Программа факультатива "Развитие математического мышления"
элективный курс (алгебра) по теме

Департамент образования и социально-правовой защиты детства администрации Нижнего Новгорода

 Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

«Лицей № 87 имени Л.И.Новиковой» г. Нижнего Новгорода

Развитие математического мышления школьников

Программа элективного курса для учащихся 10 – 11 классов

(50 часов)

                                                                      Разработчик программы:

                                                                                        С.И.Никулина, учитель математики  

                                                              МБОУ «Лицей № 87

                                                                      имени Л.И. Новиковой»

Нижний Новгород

2013

Пояснительная записка.

Чтобы выжить, надо быстро изменяться.

(Правило Чёрной Королевы)

Л.Кэролл.

Формирование математической культуры молодёжи – важное условием гуманитаризации образования. Математическая культура формируется в процессе познания, самостоятельного творческого мышления, при усвоении специальных методов и приёмов доказательного рассуждения.

Соблюдение правил логики, знание элементов комбинаторики и теории вероятности избавляют рассуждения человека от запутанности, обеспечивают доказательство истинных суждений и опровержение ложных. Правильному мышлению свойственны определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность.

Изучение математики способствует становлению самосознания, интеллектуальному развитию личности. Овладение математическими знаниями и умелое их использование на практике помогает разбираться в закономерностях и взаимосвязях явлений общественной жизни, вести аргументированную полемику, доказательство отстаивать истинные суждения.

 Современному человеку необходимо умение эффективно и корректно вести диалоги, критически воспринимать аргументацию оппонентов, уметь находить нужные аргументы, культурно и логически грамотно опровергать ложные тезисы, встречающиеся в полемике, дискуссиях, диспутах и других формах диалога.

Изменение современной образовательной парадигмы сказалось не только на содержании обучения математики. Оно повлекло за собой изменение и других компонентов методики, и, пре6жде всего методов и средств обучения.

 В дидактической основе элективного курса «Развитие математического мышления» учащихся 10-11 классов на первое место выходят развивающие и социализирующие цели. А само предметное содержание, уступив целевую функцию способам действий, играет роль средств запуска и поддержания процессов саморазвития и самопознания. Разнообразие объектов, изучаемых на занятиях элективного курса «Развитие математического мышления», интеграция с информатикой, обеспечивают возможности для развития общеучебных, информационных и мыслительных навыков.

Цель элективного курса: реализация в образовательном процессе развивающего и социализирующего потенциала предметного содержания.

 Программа элективного курса рассчитана для изучения в 10-11 классах (50 часов: в10 классе – 1 ч в неделю в I и II полугодии, в 11 классе – 1 ч в неделю в I полугодии). Программа включает следующие темы: «Предмет изучения логики», «Законы и принципы правильного мышления», «Дедуктивные и индуктивные умозаключения», «Искусство доказательства и опровержения», «Элементы комбинаторики», «Вероятность и статистика».

Задачи элективного курса:

1. интегрирование содержания предмета с профильными гуманитарными, экономическими предметами;
2. насыщение занятий заданиями, требующими знаний и навыков профильного предмета;
3. использование системы развивающих заданий как формы работы, поддерживающей ученика в его процессе Самопознания и Саморазвития.

Программа элективного курса «Развитие математического мышления» является дидактическим средством, обеспечивающим успешную деятельность каждого ученика. Данная программа направлена на достижение следующих целей:

65535. формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как универсальном языке науки, средства моделирования явлений и процессов;
65536. овладение различными математическими языками (словесный, символический, графический) для продолжения образования освоения избранной специальности на современном уровне;
65537. развитие логического и математического мышления, интуиции, творческих способностей, нацеленных на самостоятельную деятельность  в области математики и её приложений в будущей профессиональной деятельности;
65538. воспитание средствами математической культуры гармонично развитий личности, понимающей значимости математики для общечеловеческого прогресса.

Параметры учебного успеха или индивидуальный стиль конкретного ученика будет выглядеть на схеме как замкнутая фигура, ограниченная кривой, проходящей через дистальные точки отрезков:

Эта схема работает в динамике: если растёт показатель по любому из выделенных параметров, то общая площадь фигуры будет увеличиваться, т.е. увеличивается общий уровень познавательных возможностей обучаемого.

Активизация математического мышления достигается такими формами обучения, как решение логических задач, отгадывание кроссвордов, логические игры, читательские конференции, использование ПК на практических занятиях.

Содержание данной программы строится на основе системно-деятельностного подхода, принципов разделения трудностей, укрепления дидактических единиц, опережающего формирования ориентировочной основы действий, принципов позитивной педагогики.

Системно-деятельностный подход: разнообразие индивидуальных образовательных траекторий и индивидуального развития.

Принципы разделения трудностей: концентрация внимания на обучении отдельным компонентом делает материал доступнее, изучсаемый материал носит алгоритмический характер, для отработки и осознания каждого шага алгоритма в программу включена система творческих заданий, опирающихся на результат предыдущего применяется сформированное умение, новое знание.

Принцип позитивной педагогики: заложенный в данную программу, создает интеллектуальную атмосферу гуманистического образования нацеленную на формирование учителем у обучающегося здравого смысла и рациональности. Учитель воспитывает уважением, свободой, ответственностью и участием, в результате чего передаются, усваиваются и вырабатываются приемы жизненного роста как цепь процедур самоиидетификации, самоопределения, самоактуализации и саморегуляции.

Программа предполагает достижение учащимися 10-11 классов следующих результатов:

СОДЕРЖАНИЕ ПРОГРАММЫ.

ТЕМА 1. ПРЕДМЕТ И ЗНАЧЕНИЕ ЛОГИКИ. (4ч.)

Формы чувственного познания (ощущение, восприятие, представление). Формы абстрактного мышления (понятие, суждение, умозаключение).

Как возникла и развивалась логика. Роль логики в повышении культуры мышления. Знание логики - рациональная основа процесса обучения, в том числе математике.

Описательные и логические термины: логические связки, кванторы. Составление формул для сложных суждений.

ТЕМА 2. ПОНЯТИЕ. (4ч.)

Понятие как форма мышления. Виды и признаков предметов: свойства и отношения. Языковые формы выражения понятий. Роль понятий в познании (на примерах математики, информатики и других школьных дисциплин).

Основные логические приёмы формирования понятий: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение. Объём и содержание понятия.

Виды понятий. Отношения между понятиями. Совместимые и несовместимые понятия. Типы несовместимости: равнозначность, перекрещивание, подчинение. Типы несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие. Решение задач, включающих понятия на материале математики, информатики и др. предметов.

Определение понятия. Реальные и номинальные определения. Правила определения понятий. Ошибки, возможные в определении. Приёмы, сходные с определением понятий: описание, характеристика, разъяснение посредством примера, сравнение, различение.

Деление понятий. Виды деления: по видоизменению признака и дихотомическое (двучленное). Правила деления понятий. Возможные ошибки в делении. Использование операций деления понятий и классификации в математике.

Обобщение и ограничение понятий. Использование этих логических операций в математике.

ТЕМА 3. СУЖДЕНИЕ (ВЫСКАЗЫВАНИЕ). (4ч.)

Общая характеристика суждения. Суждение и предложение.

Виды простых суждений:  суждение свойства (атрибутивное), суждение существования, суждение с отношениями.

Простое суждение и его состав: субъект, предикат, связка, кванторное слово. Классификация простых суждений по качеству и количеству. Объединённая классификация простых суждений по качеству и количеству. Приведение суждения к чёткой логической форме.

Сложное суждение и его виды: Образование сложных суждений из простых с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Составление формул для сложных суждений. Приведение содержательных примеров сложных суждений по данной формуле исчисления высказываний (например, по формуле

(a ^ b) → (e ^ (d ץ f))

ТЕМА 4. ЗАКОНЫ (ПРИНЦИПЫ) ПРАВИЛЬНОГО МЫШЛЕНИЯ. (4ч.)

Основные черты правильного мышления: определённость, последовательность, непротиворечивость и доказательность.

Общая характеристика законов (принципов) правильного мышления.

Закон тождества, закон непротиворечия. Закон исключения третьего. Закон достаточного основания. Нахождение учащимися примеров, показывающих нарушение этих законов в мышлении.

ТЕМА 5. СИМВОЛИЧЕСКОЕ МЫШЛЕНИЕ. СОВРЕМЕННАЯ ДЕДУКТИВНАЯ ЛОГИКА. (4ч.)

Операции с классами (объёмами) понятий: объединение, пересечение, вычитание. Решение задач, включающих два, три или большее число классов на материале математики, информатики и др. школьных учебных предметов.

Исчисление высказываний (пропорциональная логика). Понятие высказывания. Простые и сложные высказывания. Способы образования сложных высказываний с помощью

ТЕМА 6. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ. (4ч.)

Исторические сведения. Вероятность по П.Лапласу. Случайные события. Основные понятия и определения. Алгебра событий. Решение задач.

ТЕМА 7. КОМБИНАТОРИКА. (4ч.)

Общие правила комбинаторики. Генеральная совокупность и выборки без повторений и с повторениями. Решение задач.

ТЕМА 8. ОПЕРАЦИИ НАД ВЕРОЯТНОСТЯМИ. (4ч.)

Вероятность объединения совместимых и несовместимых событий. Условная вероятность. Независимость событий. Произведение вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Решение задач.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного
появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную
вероятность второго:

Р(АВ) = Р(А) · Ра(В) = Р(В) · Рв(А)

ТЕМА 9. НЕЗАВИСИМЫЕ И ПОВТОРНЫЕ ИСПЫТАНИЯ.(4ч.)

Последовательность независимых событий. Схема Бернулли. Асимптотические формулы. Формулы Пуассона, Муавра-Лапласа. Решение задач

Если производятся, при которых вероятность появления события А в каждом
испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются
независимыми относительно события А.

Вероятность того, что п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность
появления события А равна р (где 0 < р < 1), событие А наступит ровно к раз
(безразлично, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли.

ТЕМА 10. СТАТИСТИКА. (4ч.)

Описание дискретной и непрерывной величины. Понятие выборки. Полигон. Гистограмма. Эмпирические моменты. Среднее. Свойства дисперсии.

ТЕМА 11. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА В ФИЗИКЕ, ПСИХОЛОГИИ И ДРУГИХ НАУКАХ. (4ч.)

Отработка данных в науке. Задачи на отработку данных. Итоговое занятие.

ТЕМА 12. ПРОЕКТНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ. (6ч.)

Статистические исследования по предложенным темам:

а) Динамика успеваемости в корпусе (за определенный период);

б) Прогнозирование пропусков по болезни (сезонность эпидемий).

Ресурсные материалы для проведения мониторинга качества знаний учащихся (тематический контроль).

Тема: «Предмет и значение логики»

Вариант 1.

Укажите, какие из приведённых выражений являются именными функциями а какие пропозициональными, получите из них имена или высказывания (суждения).

1. Озеро x больше озера y.
2. Z делённое на 5 без остатка.
3. Х – знаменитая современная певица.
4. Разность площади многоугольника х и многоугольника y.

2. Определите, к понятиям или суждениям относятся следующие языковые выражения:

     А) Проходящий мимо станции поезд.

     Б) Площадь квартиры №23 больше площади квартиры №25.

     В) Математика Древнего Востока.

     Г) Тихая, красивая песня, раздающаяся вдалеке.

     Д) Уровень древнеегипетской математики был довольно высок.

     Е) Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки математики, себя учениками египтян.

3. Выразите в символической форме следующие сложные суждения:

     1) «Математика…выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного» (Аристотель).

     2) «Математик, который не есть отчасти поэт, не будет никогда подлинным математиком» (Карл Вейерштрасс).

Тема: «Понятие»

Вариант 1.

1. Определите вид следующих понятий: капиталист; остров; созвездие Большая Медведица; ромб; выдающийся русский математик Софья Ковалевская.
2. Определите отношения между следующими понятиями: четырёхугольник; квадрат, длина сторон которого равна 3см; правильный многоугольник; периметр квадрата.
3. Обобщите и ограничьте следующие понятия: озеро; усечённая пирамида.
4. правильно ли даны такие определения понятий? Укажите вид, состав определения. Если определение неправильное, то укажите вид логической ошибки.

1. Окружность – кривая линия, все точки которой равноудалены от одной точки (центра).
2. Термометр – прибор для измерения температуры жидкости.

Ресурсные материалы для проведения практических занятий.

                                                     Тема «Понятие»

                                                                (4ч)

                                                    Основные вопросы

1. Понятие как форма мышления.
2. Виды понятий.
3. Отношения между понятиями.
4. Деление понятий.
5. Ограничение и обобщение понятий.

                                                          Упражнения

1. Определите виды следующих понятий:

   1) родительское собрание;

   2) воспитание;

   3) эффективность производства;

   4) электрон;

   5) самая северная в мире атомная электростанция;

   6) небрежность;

   7) неподвижность;

2. Определите отношение между следующими понятиями:

   1) многолетнее растение, однолетнее растение;

   2) крупное яблоко, мелкое яблоко, зелёное яблоко, спелый фрукт, яблоко;

   3) хлеб, масло, чёрный хлеб, свежий хлеб;

   4) наводнение, стихийное бедствие, явление природы, землетрясение;

   5) отец, дед, внук, брат;

   6)сельскохозяйственный институт, университет, биологический факультет.

3. Дайте характеристику (укажите вид, состав, правильность следующих определений):

   1) Горы – это участки земной поверхности, высоко поднятые над окружающей местностью.

   2) Огромные участки суши, окружённые со всех сторон океанами, называются материками.

   3) Станок, управляемый ЭВМ, называется станком с числовым программным управлением (ЧПУ).

   4) Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.

   5) Треугольником называется геометрическая фигура, имеющая три угла.

   6) Количество есть количественная характеристика предмета.

   7) Все природные богатства, которые люди добывают из глубины земли или с её поверхности и используют в хозяйстве, называют полезными ископаемыми.

   8) Шар можно получить, вращая полукруг (или круг) около его диаметра.

   9) ЭВМ называют также компьютерами (от англ. слова computer – вычислитель).

4.  Дайте характеристику (укажите вид, состав, правильность) следующих делений и классификаций. Укажите на ошибки, если они имеются.

   1) Твёрдые лекарственные формы делятся на порошки, таблетки, драже, сборы, капсулы.

                                Данная величина не является переменной.

                             Память ЭВМ бывает внутренней или внешней.

                               Данная память ЭВМ не является внутренней.

                              Данная память ЭВМ является внешней.

5. 1. Найдите в литературе или придумайте примеры четырёх различных видов дилемм: простой конструктивной, сложной конструктивной, простой деструктивной и сложной деструктивной, а также некоторых видов трилемм.

    2. Определите вид умозаключения, напишите схему и формулу.

                            Если я попытаюсь бежать из плена, то я могу погибнуть,

                              А если я останусь в плену, то я тоже могу погибнуть.

                             Я могу попытаться бежать из плена,

                             Или я могу остаться в плену.

                             Я могу погибнуть.                                                      

Приведённые здесь и в учебном пособии дилемма и трилемма военных лет показывает героизм, мужество, находчивость и преданность защитников Отечества в годы Великой Отечественной войны 1941 – 1945 гг.

Желательно, чтобы учащиеся точно цитировали из книги ситуацию, в которой происходит действие, затем сами чётко формулировали дилеммы, писали о том, какую из альтернатив принял человек и каким оказался результат его решения.

Ресурсные материалы для организации самостоятельной деятельности.

                                                Темы рефератов

   Тема «Понятие»

1. Использование определений и делений в школьных учебниках.
2. Сочинение по логике на тему: «Приёмы, заменяющие определение понятий».

   Тема «Суждение»

1. Выражение структуры сложных суждений с помощью символов (анализ произведений одного – двух писателей).
2. Выражение логических терминов в естественном языке (русском, английском, французском или других языках).

   Тема «Умозаключение»

1. Дедуктивные умозаключения и их роль в математике.
2. Индуктивные умозаключения и их применение в математике.
3. Аналогия. Виды аналогий, используемых в математике.
4. Д. Пойа. Применение индукции и аналогии в математике (см.: Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / пер. с англ. М., 1975).

    Тема «Искусство доказательства и опровержения»

1. Уметь вскрывать ошибки в математических софизмах.
2. Уметь решать логические задачи по теоретическому материалу науки логики и математики и занимательные задачи по логике.
3. Логические ошибки по отношению к тезису, аргументам и форме демонстрации.

ОБУЧЕННОСТЬ

МОТИВАЦИЯ

ПАМЯТЬ

ВНИМАНИЕ

КОМУННИКАТИВНЫЕ

ОУНН

ИНФОРМАЦИОННЫЕ И ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ОУУН

МЫСЛИТЕЛЬНЫЕ ОУНН