Развитие математического мышления
статья по алгебре по теме

Пять подструктур математического мышления.

В психолого-педагогической литературе постоянно обсуждается проблема учета индивидуально-психологических особенностей школьников. Потребность в этом ощущают и педагоги-практики. Естественно возникает вопрос о том, какие же именно особенности должен учитывать учитель. Их очень много: качественные особенности восприятия (предметность, осознанность, структурность и т.д.), преобладающие виды памяти (зрительная, слуховая, двигательная и т.д.), виды мышления(наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое и т.д.), его качества (гибкость, глубина, широта и т.д.)...

Какие же из этих особенностей должен учитывать учитель математики в первую очередь? Внимание педагогов должно быть прежде всего направлено на индивидуальные особенности математического мышления. Именно поэтому необходимо знать структуру математического мышления.

Согласно психологическим исследованиям, структура математического мышления представляет собой пересечение пяти основных подструктур. Охарактеризуем каждую из них.

Топологическая подструктура мышления обеспечивает замкнутость, компактность, связанность осуществляемых мышлением преобразований, непрерывность трансформаций, мысленное выращивание, вылепливание в представлении требуемого объекта (его образа).

Порядковая подструктура мышления дает возможность постоянного сопоставления человеком математических объектов и их элементов по таким характеристикам, как больше - меньше, ближе - дальше, часть - целое, изменение направления движения и его характера, положение, форма, конструкция предмета.

Метрические подструктуры мышления позволяют вычленять в объектах и их компонентах количественные величины и отношения (пропорции, численные значения размеров, углов, расстояний).

Алгебраические структуры мышления помогают осуществлять не только прямые и обратные операции над математическими объектами, расчленение и соединение их составляющих, но и замену нескольких операций, объединение нескольких блоков предмета в один, выполнение математических преобразований в любой последовательности.

Проективные подструктуры мышления обеспечивают изучение математического объекта или его изображения с определенного самостоятельно выбранного положения, проецирование с этой позиции объекта на изображение (или изображения на объект) и установление соответствия между ними.

Указанные пять подструктур в математическом мышлении существуют не автономно, не изолированно, не равнозначны, а пересекаются и находятся в определенной зависимости. В соответствии с индивидуальными особенностями ученика та или иная подструктура занимает место главной, ведущей, доминирующей. Она наиболее ярко выражена по сравнению с остальными, более устойчива и лучше развита.

В соответствии со своей ведущей подструктурой ученик по разному воспринимает, оперирует, перерабатывает и воспроизводит математическую информацию. Например, при восприятии математического объекта один ученик прежде всего выделяет метрические соотношения - его интересует вопрос «сколько?». Другой воспринимает в первую очередь топологические инварианты и оперирует ими. При этом он акцентирует свое внимание не на количественных, а лишь на качественных отношениях. Очевидно, представитель именно этой группы мог сформулировать известный афоризм: «Не математики считают, что математики считают».

Третий ученик (с ведущей алгебраической подструктурой) постоянно стремится к сокращениям, замене нескольких операций одной. Он часто свертывает, а порой и пропускает какие-то шаги в рассуждениях (например одним действием он осуществляет сразу несколько операций: переносит все члены уравнения в одну сторону, приводит подобные и тут же выносит общий множитель за скобки). Сделать проверку собственного решения для такого ученика - мука.

Если с такими детьми провести диагностирующий тест, то возможные варианты ответов можно предугадать.

Пример: Исключить из данного ряда фигур лишнюю фигуру и обосновать свой Ответ.

Аспособ: Четырехугольник ХВОС вписан в окружность. Поэтому имеет место теорема Птолемея: ВО«ХО + ОС*ВХ = ВООХ, или Ы+£й12 (а+b) = £*+?• ОХ, откуда ОХ =/Т/2(а+в).

Ьспособ: Воспользуемся формулой биссектрисы L для треугольника ABC L = 2вс cosA/2 /(в+с), где а,в,с стороны треугольника ABC. Поскольку ХЕ - биссектриса а треугольнике ВХС:   ХЕ= 2aBcos45/(a+b).     Треугольники ХОС и ХВЕ подобны,

поэтому ХО:а = в: ХЕ, ХО= ав(а+в)/ авУ51=^/2(а+в).

X

вспособ:    ХО= BCsin(4540. Где J. =/ХВС, ХО = f az +b4z(cos   +sin )/2 =П(а+Ъ)/2/

Пример: Решить тригонометрическое уравнение cosx + sinx = 1

Рассмотрим приемы решения:

1 способ: Введение вспомогательного угла, для этого надо разделить уравнение на 2. 2способ: Введение выражения для sinx и cosx через   tg(x/2).

Зспособ: Сведение к однородному уравнению через функции половинного аргумента. 4способ: Преобразование суммы в произведение, заменив cosx через sin(n/2 +x). 5способ: Применение формулы sinx + cosx = 2sin(x + п/4). бспособ: Введение в квадрат обеих частей уравнения. 7способ: Замена cosx выражением ± Vl - sin x/

Дети с ведущей топологической подструктурой исключают фигуру 5 на том основании, что она находится вне замкнутого контура.

«Метристы» (школьники, у которых ведущей является метрическая подструктура) предлагают исключить фигуру 4, поскольку у нее только пять граней, в то время как у остальных по шесть и формой она не похожа на остальные.

«Алгебраисты» выбрасывают фигуру два как единственную не цельную, а сложенную из нескольких частей (кубиков)

«Проективисты» твердо убеждены, что логическую закономерность нарушает фигура 3, так как, в отличие от всех остальных, центр ее проецирования на чертеж находится с лева, а не справа от фигуры.

Дети с порядковой подструктурой мышления утверждают, что лишней является фигура 1, и обосновывают это тем, что она резко отличается от остальных своими размерами (значительно больше).

С учетом этих особенностей мышления мы строим процесс обучения школьников математике. Суть его заключается в том, что от детей не требуется общего, одинакового решения. Каждый может выполнять задание своим способом, тем, который ему понятнее, а этот индивидуальный способ зависит от ведущей подструктуры математического мышления школьника. В зависимости от нее и помощь учителя, его подсказки должны быть различными. Только в этом случае они будут услышаны, восприняты и приняты. Каждый учитель обладает своей подструктурой мышления и соответственно дает подсказки на уроке свойственные для его мышления и как бы навязывает свой путь решения. Рассмотрим еще пример с различными видами подсказок, для различного вида мышления.

ПРИМЕР: в комнате стоят 15 стульев и табуретов, у которых вместе 50 ножек. Сколько стульев и сколько табуретов находится в комнате, если у стула 4 ножки, а у табурета 3?

Топологический способ рассуждения.

Подсказки учителя: мысленно выноси из комнаты вместе по одному стулу и одному табурету и отвечай на следующие вопросы:

1. Сколько вместе ножек у одного табурета и одного стула?
2. Сколько всего ножек у тех вещей, которые еще не вынесены?
3. Сколько осталось вещей(в штуках): табуретов и стульев?
4. Могут ли остаться не вынесенными только табуреты и только стулья?
5. Если ответ отрицательный, повтори все рассуждения с 1 вопроса.

Порядковый способ рассуждения. Подсказка учителя: пусть в комнате стоят только стулья.

1. Сколько тогда должно быть ножек?
2. На сколько ножек оказалось больше, чем было на самом деле?
3. Почему ножек осталось на 10 больше? (т.к. вместо табуретов брали стулья)
4. На сколько больше ножек у стула, чем у табурета?
5. Сколько в комнате табуретов?
6. Сколько в комнате стульев?

Проективный способ рассуждения.

Подсказка учителя: попробуй изобразить ножки от табуретов и стульев, если они расположены в один ряд.

Метрический способ рассуждения. Подсказка учителя: предположим задача уже решена. 1) Какие числа удовлетворяют условию задачи?

(такие учащиеся с большим желанием и удовольствием готовы длительное время, без устали совершать различные действия над числами, у них особая интуиция. 4 7 + 38 =52 - не подходит, 45 + 3 10 = 50 - подходит. Метод подбора, как искусственный не так уж редко используется, особенно для решения нестандартных задач).

Алгебраический метод рассуждения.

1. з + 4 = 7(ножек) вместе у одного табурета и одного стула.
2. 7 5 = 35(ножек) вместе у 5 табуретов и 5 стульев.
3. 50 - 35 = 15(ножек) осталось несосчитанных.
4. 15 - 10 = 5(штук) осталось либо табуретов, либо стульев.
5. 15:5 = З(ножки) Значит осталось 5 табуретов.
6. 5 + 5 = 10 (табуретов)
7. 5 стульев - это очевидно.

Ведущая подструктура математического мышления проявляет себя во всех математических действиях школьников, и в зависимости от нее каждый выбирает свой индивидуальный метод решения. Пример: Сравнить две дроби 2/3 и 3/4

Школьники с топологической подструктурой строят единичный отрезок. Делят его соответственно на 3 и 4 части и откладывают отрезки длиной 2/3 и 3/4 , после этого делают вывод, что 2/3 < 3/4.

3/4

Дети с ведущей порядковой подструктурой уравнивают знаменатели дробей, а затем сравнивают числители. 2/3=8/12, 3/4=9/12 и т.к. 8 < 9, то и 8/12<9/12,тогда 2/3<3/4.

Метрический способ решения не отличается оригинальностью. Эти школьники просто ищут разность двух обыкновенных дробей: 3/4-2/3=1/12, следовательно 3/4>2/3.

Учащиеся с ведущей алгебраической подструктурой поступают так. Они пытаются дополнить каждую дробь до целого, в данном случае до единицы: 2/3 + 1/3 = 1    и   3/4+1/4=1 так как 1/4<1/3, то 2/3<3/4.

Школьники с ведущей проективной подструктурой располагают друг под другом два параллельных отрезка. На одном отмечают длину 2/3, на другом 3/4, проецируют один полученный отрезок на другой и сравнивают длины полученных отрезков. В итоге получают ответ 2/3<3/4.   ,

                                         2/3

3/4

К сожалению, отсутствие учета индивидуальных особенностей математического мышления учащихся ведет к тому, что педагог навязывает детям тот способ расссуждения который свойственен ему самому ( в силу наличия у самого учителя ведущей подструктуры). В этом случае дети, ведущая подструктура которых совпадает с

подструктурой учителя, легко его понимают, для них он понятно и доступно объясняет. Для остальных же школьников усвоение математики - мука. Если учитель преподает в одном классе несколько лет, то возможно, что за это время он постепенно «переломает» и переформирует подструктуру некоторых школьников. В результате эти дети начинают думать так, как объяснял это учитель (например сравнивать дроби метрическим или порядковым способом в зависимости от приверженности педагога). Другие же школьники (с наиболее устойчивой подструктурой) продолжают испытывать трудности.

Не ломать математическую индивидуальность ученика, а учитывать и строить процесс обучения в соответствии с ней - наша задача. Именно этот путь (в соответствии со структурой мышления школьника) известный математик и методист  А.И.Маркушевич назвал «подлинно «детским путем» в математику».

2) ЗАДАЧА ПИФАГОРА. На вопрос, сколько учеников в его математической школе, Пифагор ответил: Их половина себя посвящает прекрасной науке, И математику здесь изучает.

Природы бессмертной четверть Познанью себя отдает. Часть же седьмая в молчании, Время проводит, отдавши себя размышлениям. Три девы есть еще в доме моем, Среди них всех мудрее Теано. Так сколько же учеников было у Пифагора?

3. Три сосуда вместимостью 20 литров наполнены водой, причем в первом - 11
   литров, во втором - 7 литров, а в третьем - 6 литров. Как разлить имеющуюся воду
   поровну, если в сосуд разрешается наливать только такое количество воды, которое
   в нем уже имеется?
4. Во дворе гуляли гуси и поросята. Всего голов 30, а ног всего 84. Сколько гусей и
   Сколько поросят?

5) Является ли число     12345    + 7       простым?

6) В трех коробках лежат шары: в первой - два белых, во второй   - два черных, а в третьей один белый и один черный. На коробке написано ББ, ЧЧ, БЧ, но содержимое не соответствует надписи. Как вытащив только один шар, определить содер-мое каждой из коробок?

РАЗВИТИЕ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

1. Пусть Р и G произвольные цифры. Какое из чисел PPPGGG, GGPPGP, GPPGGP,
   GPGPGP, PGPPGG обязательно делится на 7?
2. Жан - Кристоф сказал: «Когда послезавтра станет «вчера», тогда «сегодня»
   Будет также далеко от воскресенья, как и в тот день, когда позавчера было
   «завтра»». В какой день недели это сказано?
3. В неравенствах    А<Б>Р>А>К<А>Д<А<Б>Р>А

каждая из букв изображает одну из цифр 0,2,4,6,8. Разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым - одинаковые. Какая цифра соответствует Р ?

4. Сумма 2000 положительных целых чисел равна 2001. Чему равно их произведение?
5. Заменить одинаковые буквы - одинаковыми цифрами, а разные буквы-разными
   цифрами.

РЕШИ        ,    МАША        ,   ВАГОН        /ОДИН

ЕСЛИ        КЛАША        ВАГОН        ОДИН

6)  Повторяя шесть раз единицу, знаки арифметических действий, и, если надо скобки. Составьте примеры с ответами 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

        СИЛЕН        СЕСТРЫ        СОСТАВ        МНОГО

1. Прочитать определение сферы, стараясь хорошо понять его: «Множество всех
   точек пространства, находящихся на данном положительном расстоянии от данной
   точки, называется сферой».
2. Выдерживаем паузу до тех пор, пока учащиеся сами не прекращают работать над
   текстом.
3. Предлагаем выяснить, нельзя ли в этом определении опустить слова «всех» и
   «положительном».

Сопоставляем наблюдения, в какой из двух ситуаций 1) или 3) мыслительная деятельность была более активной?

Поставленное учителем задание может направлять усилие учащихся на применение различных приемов мыслительной деятельности: сравнение, конкретизации, классификации, составление плана и т.д. Характер задания, которое ставится перед классом, существенно зависит от содержания изучаемого материала, уровня знаний и развития учащихся.

Например, планируя самостоятельную работу в 8 классе по учебнику по теме «Решение квадратных неравенств» Решить неравенство 5х^ + 9х - 2 < 0. Ребята читают текст в учебнике, конкретно решение этого неравенства. Ставим себе вопрос: Что учащиеся должны усвоить из этого текста? Им надо уяснить способ решения подобных неравенств. Отсюда получаем одно из возможных заданий, в котором предлагается прочитать текст и составить план решения подобных неравенств. После выполнения задания включаем, кодоскоп и предлагаем сравнить составленный план с демонстрируемым на экране. Еще лучше, если в списке указаний, допускается неточность, которую обнаружат учащиеся. Подробное обсуждение каждого пункта плана (и защиты своего пункта) приводит к осмысленной деятельности.

Вот некоторые задания, развивающие мыслительную деятельность по различным материалам курса:

Пример: Определить какие параметры двух изображенных пирамид являются одинаковыми?

Пример: Какие из заштрихованных фигур не могут быть плоскими сечениями куба?

Пример: тема: «Натуральные числа»

В результате устного счета I и   II вариант получают два различных числа, например 20 и 26. Задание может быть таким: Что можно сказать об этих числах? ( варианты ответов: эти числа натуральные, одно больше другого на 6, эти числа четные и т.д.)

Пример: Одинаковые буквы замени одинаковыми цифрами.

Пример: При помощи любых арифметических действий составьте число 100 при помощи пяти пятерок.

100 = 5-5-5-5-5  = (5+5+5+5)-5

Пример:

Сложив листок в четыре раза, Я отхватил один кусок. А вы сообразите сразу, Какой же формы стал листок.

Задания, активизирующие мыслительную деятельность учащихся, могут быть составлены как учителем, так и самими учащимися. Систематически подбирая задания, активизирующие мыслительную деятельность учащихся, учитель приучает их к самостоятельному выбору и использованию различных приемов мыслительной деятельности. Большую роль в развитии мышления играют так называемый «Урок одной задачи», это когда одна задача решается в течении целого урока несколькими способами.

Пример: « В треугольнике ВХС длины катетов ХВ=а, ХС=в. Найдите отрезок ОХ»

С

« Обучать - это не значит набивать человека   фактами и обучение не сводится к манипулированию информацией. Важно передать учащемуся точку зрения, развить мышление и речь - благодаря этому достигается понимание»

Р. Каррерас

Природа щедро наделила человека, но два ее дара трудно переоценить. Именно они помогли ему стать человеком. Имеется в виду две особенности, свойственные только человеку: способность мыслить и передавать свои мысли, имеющуюся у него информацию другим людям посредством речи.

Способность четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли в настоящее время необходимы каждому. В них нуждается ученый и руководитель предприятия, врачи преподаватель, агроном и рабочий, политический деятель и предприниматель. Вот те причины, в силу которых развитие речи и мышления является основной задачей начиная от детского сада до аспирантуры. Совершенствовать эти два дара необходимо всю жизнь. От того насколько успешно удастся решить эти задачи, зависит многое, и прежде всего прогресс общества, научно-техническое развитие, экономическое и культурное процветание. Общество, которое не заботится о наращивании своего интеллектуального потенциала, обречено на деградацию, на потерю ранее завоеванных позиций. Вот почему все члены педагогического коллектива -математики и физики, биологи и лингвисты, историки и географы - обязаны не только передавать знания, которые предусмотрены программой обучения, а одновременно настойчиво развивать мышление и приучать учащихся к правильной, ясной, убедительной, четкой и краткой, но одновременно насыщенной смыслом речи.

Математика, в том числе и школьная, имеет огромные возможности для воспитания привычки к отчетливому мышлению и четкой, логической совершенной речи. Чтобы успешно ответить на вопрос преподавателя, провести доказательство теоремы или самостоятельно решить задачу, нужно не просто заучить материал, а самостоятельно размышлять. Ученик, не разобравшийся в идее доказательства, обязательно при ответе допустит ту или иную не точность. Для правильного ответа он должен понять систему рассуждений, ту мысль, которая положена в их основу. Опытный преподаватель без труда определит, понял учащийся материал или заучил. В математике это выясняется однозначно. Ученик должен показать в своем ответе умение не только запоминать, сколь разбираться в структуре рассуждения, смысле условий теоремы, знать значение каждого слова в определении, самостоятельно мыслить.

При этом учитель математики должен обращать внимание на речь ученика, на ее точность, краткость, логическую полноту и обоснованность рассуждений. В математической речи не должно быть слов, не несущих смысловой нагрузки. Впрочем, к этому следует стремиться и в обычной речи, поскольку лишние слова затрудняют понимание существа вопроса, на них затрачиваются внимание, время и мысль слушателя. Все такие слова и фразы следует безжалостно выкинуть за ненадобностью. Лишние слова и даже предложения могут быть сказаны для оказания эмоционального воздействия на собеседника или на группу учеников, для выяснения связей с практическими задачами или с другими научными дисциплинами. Но такие слова нельзя считать лишними, они педагогически и логически оправданны, поскольку ведут к лучшему пониманию дела, к проникновению в суть предмета, к выяснению связей с другими проблемами.

Мы должны с детства воспитывать культуру речи у наших молодых граждан, прививать привычку, о которой раньше говорили: «Мыслям должно быть просторно, а словам тесно». Речь должна быть убедительной, краткой, ясной и одновременно изящной.

возбуждающей мысль и эмоции. Нужно убедить молодое поколение, что истинные красота и величие слова состоят в простоте, четкости и доступности.

В связи с только что сказанным, считаю необходимым напомнить слова Н.И.Лобачевского, написанные им в предписании директору училищ Саратовской губернии (1846): «...усмотренная в некоторых учениках наклонность к риторическим украшениям, нестрогости выражений и дикая фантазия....возлагают также на учителя обязанность заботиться, чтобы сочинения были писаны ясно, а ответы изобиловали бы количеством мыслей, а не украшений, которые допускать только тогда, когда ими выражается особенная мысль или действительно усиливается выражение...» Приведенные мысли Лобачевского не потеряли своей актуальности и в наши дни, особенно в связи с тем, что за последние десятилетия мы ослабили внимание к воспитанию культуры как речи, так и мышления.

К сожалению, на практике нередко математики не обращают должного внимания на то, как отвечает ученик, на небрежность его речи, а ограничиваются лишь содержанием ответа его математической правильностью. А это недопустимо. Математик не должен и не может проявлять безразличие не только к содержанию, но и к форме ответа. Ведь то, что может сделать учитель математики, порой затруднительно для преподавателя литературы или истории. Действительно, именно на уроках математики школьник должен привыкать к краткой, предельно четкой и логически отточенной речи.

Основные направления методики, способствующей развитию речи учащихся.

Есть определенная методика, способствующая развитию речи учащихся, основные идеи, которой состоят в следующем:

1. Максимально увеличивается время разговорной речи учащихся на каждом уроке. С
   этой целью уменьшается количество дополнительных, вспомогательных вопросов,
   сокращается время, отводимое для беседы, стараться проводить объяснения в виде
   связного рассказа, широко используется метод «образцовых ответов».
2. Приучать к связному рассказу при устном объяснении решаемой задачи,
   обеспечивая возможность последовательно, аргументировано, и доказательно
   комментировать решаемые задачи.
3. Предоставляется возможность многократно слушать образцы объяснений
   решаемых задач нового типа. Эти образцы излагают сначала учитель, а затем
   учащиеся по желанию. Предъявляя высокую требовательность к этим учащимся,
   добиваться того, чтобы их ответы постепенно приближались к «образцовым».
4. Применяя методы: компактный, алгоритмический и др., - обеспечивать ученикам
   возможность комментировать решаемые задачи.
5. Организовать дифференцированное обучение, предоставляя ученикам, право
   выбрать либо самостоятельную работу, во время которой они уже не
   прислушиваются к объяснениям, либо коллективную форму работы, при которой
   каждое упражнение продолжают выполнять с подробными объяснениями.
   Дифференцируемые формы работы осуществлять также и при решении
   неэлементарных задач, используя прием «разбиения» и вовлекать учащихся в
   поиск, обсуждение и объяснение решаемой задачи.
6. Ставить учащихся перед необходимостью сосредоточить свои усилия главным
   образом на аргументированном, доказательном объяснении решаемой задачи или
   излагаемого теоретического вопроса. Формировать внутреннее стремление,
   побуждения, мотивы, которые «заставляют» ученика прислушиваться к
   объяснениям при решении задач. Все это достигается использованием следующих
   методов и приемов обучения: опираясь на закономерности, что если задачи одного
   типа, то после 2 илиЗ задачи ученик прекращает обосновывать решение, ставить учащихся перед выбором либо объяснять решаемую задачу, внимательно прислушиваясь к объяснениям, пунктуально и тщательно проверять все условия применяемых теорем, либо ошибаться. Но так как никому не хочется ошибаться при выполнении упражнений, кажущихся нетрудными, то каждый старается быть внимательным и вдумчивым. Таким путем, учащиеся учатся не только прислушиваться к объяснениям, но и сами их мысленно произносят в процессе решения задач.

7. Стремление к вдумчивому обоснованному решению задач все время подкрепляется
   путем чередования упражнений в соответствии с принципом однотипности,
   непрерывного повторения, использования контр примеров, сравнения.
8. Организуя проверку домашних заданий, проведение устных упражнений и
   фронтального опроса, ставить учащихся перед необходимостью главные усилия
   сосредоточивать на объяснении выполняемых упражнений.
9. Поскольку устная и письменная речь взаимосвязаны, и умения письменно
   высказывать свои мысли крайне важны, то целенаправленно обучать грамотному
   изложению письменного решения задач. Для этого использовать во всевозможных
   сочетаниях различные приемы и формы работы: комментированное решение задач,
   коллективную работу с записью решения задачи на доске, устные упражнения,
   самостоятельные и контрольные работы.
10. Учить составлять конспекты при изучении теоретического материала. При этом не
    ограничиваться конспектами только одного вида, например с использованием

приема выделения смысловых опорных пунктов.Учить также, составлять обычные

конспекты, тезисы. Приучать к грамотному письменному изложению своих

мыслей, учить умению переформулировывать, записывать своими словами

прочитанное в книге.

Большое внимание уделяется методам поиска решения задачи. Применяя эти методы, школьники приучаются не только самостоятельно находить способы решения задач, но и логически, нестандартно мыслить, учатся рассуждать.

Из приведенного перечня видно, что все рассмотренные методы и приемы используются для обучения    связному рассказу, для развития речи учащихся

Успехи учащихся в изучении математики находятся в прямой связи с культурой их устной и письменной речи. Если ученик отвечает на уроке грамотно, красиво, четко, в темпе, соответствующем возможностям остальных учащихся, то он облегчает работу всего класса по усвоению учебного материала. Такой ответ все слушают с интересом и вниманием. Наоборот, ученик, который говорит с трудом, неграмотно, замедляет темп работы всего класса, затрудняет ее. Такой ответ остальные учащиеся слушают без интереса, невнимательно. Отсюда следует глубинная связь между работой по развитию речи учащихся и всем остальным учебным процессом.

Каждый учитель должен стремиться к тому, чтобы ответы учащихся были грамотны, четки, ясны, чтобы эти ответы с пониманием и удовольствием слушал весь класс. Но многие ли наши учащиеся умеют так отвечать, и всегда ли учитель следит не только за содержанием ответа, но и за грамотностью речи учащихся? На уроках математики, физики и других предметов часто, даже, не обращают внимания на грамматические и стилистические ошибки учащихся, на засоренность их речи словами-паразитами, при этом искажаются математические термины и специфические для математики речевые обороты.

Забота о чистоте, правильности, выразительности речи учащихся всегда была общим делом школьных учителей всех предметов. Традиционно народный учитель в России - носитель высокой культуры, образцовой родной речи: перефразируя известное выражение, можно сказать, что учитель в России - всегда больше, чем учитель. И именно учителя - начиная с первой учительницы, встретившей ребят на пороге школы - на протяжении всех школьных лет оказывают определяющее влияние на речевую культуру детей. В этой общей работе у учителя математики особая роль, особая ответственность. Прежде всего, потому, что учитель математики чаще многих других встречается с детьми и на уроках и после уроков, он почти всегда - классный руководитель, и он часто становится образцом для подражания - ученики непроизвольно копируют речь, манеры приемы работы своего учителя. Предопределено такое положение тем, что математика для детей - предмет наиболее трудоемкий, требующий высокого умственного напряжения, и носитель этих знаний учитель - воспринимается как наиболее умный и осведомленный из всех окружающих.

Большинство учителей математики постоянно следят за правильностью и точностью речи учащихся - верным употреблением терминов, склонением числительных, логичностью и доказательностью рассуждений и т.п. Многие рекомендуют детям вести словарики - записывать в них новые термины, объяснять смысл пройденных понятий, запоминая одновременно правописание трудных слов. Учителя стараются на уроках давать детям образцы чтения математических предложений, прививают нормы культурного речевого общения.

Однако в речи учителей иногда возникают отклонения от литературных норм. Прежде всего, это связано с тем, что, как и у других профессиональных групп, в учительской среде складывается свой сленг, и он передается от поколения к поколению преподавателей. Кроме того, отклонения от нормативной речи (в том числе орфоэпические ошибки) часто возникают под влиянием окружающей языковой среды -местных диалектов, бытовой речи. Сказывается и недостаточная разработанность речевых нормативов в школьных учебниках математики.

Первые шаги в оказании целенаправленной помощи учителю и учащимся в освоении грамотной математической речи предприняты в учебниках математики для 5 и 6 классов авторов Н.Я. Виленкина и др.(издания 1990-1998гг.), где введен постоянный раздел «Говори правильно». Но этих материалов явно не достаточно: проблемы с верным чтением выражений, употреблением терминов, постановкой ударений и т.д. возникают постоянно.

Негативные примеры из педагогической практики.

Кто из учителей математики, начиная урок, хотя бы изредка не произносил:

-        Здравствуйте. Сели, открыли тетради, записали новую тему.

Такие штампы - с заменой повелительного наклонения («сядьте», «откройте», «запишите» и т. д.) прошедшим временем изъявительного - сложились во многих школах, используются начиная с первого класса. Объяснить использование форм изъявительного наклонения можно, видно, стремлением (часто - неосознанным) к СОпричастности, Содействию с ребенком, налаживанию психологического контакта (МЫ записали, МЫ -вместе - начертили и т.д.). Эти высказывания сродни известному докторскому «что У НАС болит?» Кроме того, часто образовывать форму повелительного наклонения труднее, и здесь у говорящего появляется боязнь ошибиться. И все же эта замена повелительного наклонения изъявительным грамматически совершенно невозможна, это - серьезная речевая ошибка. Давайте будем говорить верно:

-        Сядьте. Запишите тему урока. Начертите параллелограмм.

Многочисленные отклонения от литературной нормы в школьной практике встречаются при чтении выражений с переменными и названий функций. Можно услышать, например: «а равен двум», «икс равно восьми», «синус икс равно половине», «логарифм два икс минус пять по основанию три равно единице».

В русском языке названия латинских букв х, у, z - мужского рода, остальных латинских букв - среднего рода. Надо читать «а равно трем», «цэ равно минус пяти», но «икс равен тремстам», «игрек равен ста» и т. д. При чтении выражений названия букв по падежам не изменяются:

Зу - «три игрек», а не «три игрека». 5х - «пять икс», а не «пять иксов».

Зх = 120 - «три икс равны ста двадцати».

0,8х = -2,4 («ноль целых восемь десятых игрек равны минус двум целым четырем

десятым».

Ударения в названиях всех греческих букв, кроме омега и омикрон - на первом слоге.

Хочется отметить, что большинство учителей правильно называют имена греческих ученых - Евклид, Архимед, Пифагор, Герон и т. д., с ударением на последнем слоге. У англичан ударение всегда на первом слоге - Ньютон, Максвелл, Непер, Тейлор, а у французов ударение на последнем слоге - Декарт, Лопиталь, Виет, Галуа и т.д.

В речи многих профессиональных групп некоторые термины произносятся с ударениями, не соответствующими литературной норме (и это считается, видимо, определенным «шиком»). Например    шоферы говорят «искрА» вместо верного «Искра», моряки говорят «компАс» вместо «кОмпас», физики-ядерщики говорят «атОмная» энергия вместо «Атомная» и т.п. Похожее положение и с речью профессиональных математиков (колебания в произношении ряда терминов, фамилий иногда свойственны даже определенному вузу или научной школе). Например, «живет» в школах «первообразная функция», хотя верно - «первообрАзная».

С первых дней пребывания в школе - и даже еще раньше, уже в детском саду - дети постоянно слышат сюсюканье «нежных» воспитателей, учителей: «откройте книжечки», «соберите тетрадочки», «возьмите цветные карандашики», «начертите квадратики и кружочки» и т.д. и т.п. Постоянное и неоправданное использование таких форм существительных не только не правильно с точки зрения литературных норм языка, но и все время «возвращает» детей (психологически и эмоционально) к младшей возрастной группе (напоминает, что они еще маленькие), и часто закрепляется в речи самих детей на многие годы.

Но если указанные формы существительных хотя бы существуют в языке, и плохо - неумеренное и неуместное их использование, то использование уменьшительно-ласкательных форм в математической (и вообще - естественно-научной) речи совершенно недопустимо. Однако на уроках часто можно услышать, как и учитель , и дети небольшой отрезок называют «отрезочек», меньший из нескольких углов - «уголок» или «уголочек», ребро многогранника - «ребрышко», масштабную линейку - «линеечка», чертежный треугольник - «треугольничек», а «под хорошее настроение» - появляются и «интегральчик», и «уравненьице». Следует помнить: В РУССКОМ ЯЗЫКЕ У ТЕРМИНОВ НЕТ УМЕНЬШИТЕЛЬНО-ЛАСКАТЕЛЬНОЙ ФОРМЫ!

Часто у учителей математики возникают вопросы, споры - как правильно прочитать такое, например, выражение 1-0,5:

65535. от одного отнять ноль целых пять десятых?
65536. от единицы отнять ноль целых пять десятых?
65537. из единицы вычесть ноль целых пять десятых?

Название один для первого натурального числа часто используется в начальных классах, встречается в названии чисел. Вспомним: «к одному прибавить три», «от пяти отнять один» и т.д. В различных математических предложениях чаще используется название единица. Вспомним «единичная окружность», «логарифм единицы» и т.д. Математическая энциклопедия также для первого натурального числа дает только название «единица». Термин же один используется при счете и в названиях чисел. Следует говорить «один карандаш», «одна целая одна десятая», но «из единицы вычесть ноль целых две десятых», «синус единицы», «отрезок единичный».

Очень часто (особенно на уроках геометрии) можно услышать и от учителя и от ученика такие, например, высказывания: «наша прямая делит плоскость на две полуплоскости», «углы нашего равностороннего треугольника равны 60», «наш луч делит угол на два равных угла» и, не замечая комизм фраз, в старших классах продолжают:

«наши фигуры симметричны и имеют форму квадратов», «наши ребра взаимно перпендикулярны», «наше тело имеет форму цилиндра» и т.д.

Школьный жаргон живуч - эти «накатанные» словосочетания передаются следующим поколениям, попадают даже в некоторые школьные учебники. И мы уже перестаем задумываться: почему сказали, что у нашего равностороннего треугольника такие углы - они ведь и у любого другого - «не нашего» - тоже по 60! Что это за наша прямая, наш угол и т.д.? (может быть здесь сказывается наше не сознательное стремление к приобретательству?)

Безусловно, приведенные примеры - это примеры словесного мусора, которого, к сожалению, немало в нашей профессиональной речи. И все-таки надо избавляться от ненужных «довесков» в предложениях, неоправданных замен слов, якобы «упрощающих» высказывания учеников. Будем говорить: «Все углу равностороннего треугольника равны 60», «Ребра куба (а не наши\) взаимно перпендикулярны».

В разговорном русском языке, в газетных публикациях в последние десятилетия стала отчетливо   проявляться тенденция усиления уже и превосходной степени (мы таким образом пошли дальше восточных царедворцев - «наимудрейший», «наиумнейший»), неверного образования составной превосходной степени, а часто - и ухода от понимания смысла произносимых слов.    Читаем: «покорена самая высочайшая горная вершина», «является наиболее выдающимся нападающим», «самое последнее предупреждение», «самое высшее достижение в спорте», а в телевизионном «прямом эфире» услышим и такой шедевр: «Милиции выделяются значительно более меньшие суммы».

К сожалению, отмеченная тенденция проявляется и на уроках математики. Можно услышать выражения вроде: «самое первое натуральное число», «самое максимальное значение функции», «самое крайнее (или самое последнее) число из числового промежутка», «это решение более легче», «самая грубейшая ошибка» и даже (при исследовании функций) « найдите самое наименьшее или самое наибольшее значение функции». Понятно, что такое «наименьшее» - это самое маленькое, а что такое «самое наименьшее»? Понятно, кто «последний» в очереди, но кто «самый последний» - уже не понятно (последнее последнего?)

Заботясь о чистоте и правильности, выразительности (без излишеств) языка своих воспитанников, постараемся не поддаваться дурным тенденциям, существующим в бытовой и не всегда грамотной печатной речи.

Устная и письменная речь учащихся непосредственно взаимосвязаны. Обычно как говорят, так и пишут. Многие письменные контрольные работы по математике оформляются небрежно, в них отсутствуют знаки препинания, неправильно построены фразы, масса неряшливых исправлений. И как следствие всего этого - многочисленные ошибки в преобразованиях и вычислениях, логические несуразности.

При письменном оформлении решений задач часто полностью отсутствуют необходимые объяснения, много грамматических ошибок, нелепых сокращений слов. Ученик, который в диктантах по русскому языку и в сочинениях по литературе старается правильно расставить знаки препинания, пренебрегает ими, когда записывает решение задач, особенно когда записывает формулы, преобразует уравнения и т.д. Редкий учитель математики снизит за это оценку, тем самым оказывая ученику плохую услугу. В младших классах за небрежные, неграмотные записи в письменных работах по математике снижают оценки, в старших - почти никогда. Так от урока к уроку, из года в год вырабатывается устойчивая привычка неаккуратно, безответственно относится к делу.   Исправить это можно только путем   усиления требовательности.

Одним из самых распространенных недостатков организации уроков является многословие учителя. Оно чаще всего выражается в обилии вспомогательных, дополнительных вопросов. При этом предполагается, что вспомогательные вопросы активируют класс, помогают учащимся лучше понять объяснения, точнее изложить материал, найти путь решения задачи. Но на самом деле многочисленные вопросы учителя чрезмерно опекают деятельность школьников, сковывают их инициативу, уменьшают общее время урока, отводимое для устной и письменной речи учащихся.

Очевидно, чем меньше времени на уроке объясняет и спрашивает учитель, тем больше говорят учащиеся, тем успешнее усваивается учебный материал и развивается речь учащегося.

Пример. Урок алгебры в VIII классе. Коллективно решают задачу с помощью уравнения. По ходу решения классу и вызванному ученику задается ряд дополнительных вопросов. Эти вопросы грамотны, ускоряют темп урока, обращают внимание учащихся на особенности условия задачи, на рациональный выбор неизвестного и т. д. Но всего за 14 минут, затраченных на решение задачи, было задано...27 вопросов(!) Подобная «беседа» исключает, очевидно, самостоятельность в мышлении учащихся, сковывает их инициативу.

Следующую аналогичную задачу учитель предложил решить самостоятельно. При этом сначала был проведен устный разбор задачи, во время которого учитель опять задал 12 дополнительных вопросов. Несмотря на такую подготовку к самостоятельной работе многие учащиеся за последующие 15 минут не успели закончить решение второй задачи. Проверка тетрадей выявила массу ошибок.

При анализе урока пришли к выводу, что большое число дополнительных вопросов свидетельствуют о слабом усвоении материала, что выявилось на самостоятельной работе. Дома многие учащиеся не смогут самостоятельно решить подобную задачу. Значит, указанные беседы дали им мало пользы и целесообразно отказаться от такой методики, выбрав другую.

Овладение терминологией - необходимое условие развития речи.

Каждый предмет, изучаемый в школе, в том числе и математика, имеет множество специальных терминов, особых речевых оборотов, специфических именно для данного предмета. Естественно, что учащиеся должны овладеть этими терминами в первую очередь. Не научившись активно владеть языком данного предмета, ученик с большим трудом понимает объяснения учителя, ответы других учащихся, не успевает вникнуть в смысл того, о чем идет речь на уроке, не может грамотно выразить свои мысли. Такой ученик отвечает неграмотно, медленно и почти всегда своим ответом замедляет темп работы класса. Прислушиваться к его ответу остальным учащимся крайне неинтересно.

Ускорить темп урока, сделать его более насыщенным, интересным можно только в том классе, где хорошо развита речь не отдельных, а всех учащихся. Иначе кто-то в классе просто не успевает осознавать мысли, высказываемые на уроке.

Отсюда ясно, что овладение терминологией изучаемого предмета - необходимое условие и успешного усвоения программного материала, и развитие речи учащихся, и хорошей организации уроков.

Овладение терминологией сводится к формированию прямых и обратных обобщенных ассоциаций типа: осознание термина - представление образа и, наоборот, осознание образа, символа - мгновенное вспоминание соответствующего термина. Эти ассоциации образуются, прежде всего, с помощью упражнений «на распознавание».

Для того чтобы познание математики доставляло учащемуся удовлетворение, нужно, чтобы он проник в суть идей этой науки и прочувствовал внутреннюю связь всех звеньев рассуждений, что только позволяет понять глубокую и одновременно прозрачную логику математических доказательств. Если хотя бы раз ученик достигнет ясности в понимании сущности дела, проникнет во внутреннюю связь понятий и рассуждений логических выводов, то ему будет трудно удовлетвориться впоследствии суррогатом знаний, который дает заучивание без понимания, зубрежка без вдохновения.