элективный курс по математики 11 класс
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

Элективный учебный предмет для учащихся 10-11 классов по алгебре и началам анализа «Решение сложных и нестандартных задач по математике».

Пояснительная записка к элективному учебному предмету по алгебре и началам математического анализа «Решение сложных и нестандартных задач по математике».

Особенностью элективного учебного предмета является возможность обучения учащихся решению задач, не входящих в программный материал, но широко используемый при сдаче единого государственного экзамена. В предложенной программе рассматриваются задачи с параметрами, причем, кроме использования определенных алгоритмов решения уравнений и неравенств, приходится обдумывать, по какому признаку нужно разбить множество значений параметра на классы, следить за тем, чтобы не пропустить какие-либо тонкости. Кроме этого, стандартные задачи систематизируются: делятся на классы. Причем идея решения «элементарных задач с параметрами» прослеживается и при решении иррациональных, показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Цели:

-понимание смысла решаемых задач;

-расширение знаний по математике, выходящих за курс средней   школы;

-воспитание понимания значимости математики.

Задачи:

-развитие интеллекта;

-обогащение и совершенствование знаний.

Основные требования к уровню подготовки учащихся.

В результате изучения данного элективного предмета учащиеся должны:

 -     уметь решать сложные и нестандартные задачи по математике;

-      анализировать и обобщать полученные в результате изучения знания.

Содержание программы.

10 класс

Тема 1. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами. (4ч)

В данной теме рассматриваются квадратные уравнения и неравенства, сводящиеся к ним, решаются задачи с использованием свойств квадратного трехчлена, причем выделяются четыре основных подхода к изучению квадратного трехчлена:

1. метод выделения полного квадрата;

2. нахождение корней квадратного трехчлена с последующей работой

          с полученными корнями;

3. использование теоремы Виета;

4. использование графических представлений о квадратном трехчлене.

При решении конкретных задач не исключается одновременное использование нескольких подходов.

Тема 2. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, при        наличии параметра. (4ч)

В данной теме рассматривается решение уравнений аналитическим способом (методом интервалов в том числе), а также графическим способом решения, который является более наглядным и в ряде случаев дает более простое решение.

Тема 3. Решение показательных уравнений и неравенств с параметрами. (5ч)

В данной теме рассматриваются показательные уравнения и неравенства с параметрами, которые зависят от вида конкретного уравнения и неравенства, причем при решении уравнений и неравенств с параметрами надо помнить, что функция вида у = а х (а> 0) всегда больше нуля.

Тема 4. Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами. (5ч)

При решении иррациональных уравнений и неравенств основным методом решения иррациональных уравнений и неравенств является сведение их к рациональным путем возведения обеих частей в одинаковую степень. При этом нужно следить за эквивалентностью получаемых уравнений и неравенств исходным. Кроме того, следует помнить, что функция у =  , n Є N всегда неотрицательна, а областью определения этой функции является множество решений неравенства f (x) ≥ 0. Во многих случаях удобно пользоваться также равносильными переходами.

Тема 5. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.(5ч)

При решении логарифмических уравнений и неравенств с параметрами надо помнить, что функция у = log а x определена при а > 0, а ≠ 1 и х > 0, поэтому решение логарифмических уравнений надо начинать с нахождения области допустимых значений (ОДЗ) неизвестной величины и параметров.

Тема 6. Задачи с параметрами  в заданиях Единого Государственного экзамена. ( 5ч)

В данной теме рассматриваются задания ЕГЭ различных лет, различного уровня сложности.

Тема 7.  Избранные задачи с параметрами. (6ч)

В данной теме рассматриваются задачи, относящиеся ко всем ранее разобранным разделам. Они представляют набор тренировочных задач, данных неупорядоченно. При таком подходе не происходит отработки навыков решения задач какого-то определенного типа, поэтому перед обучающимся ставится задача: самостоятельно проводить классификацию задач и выбор способа решения.

11 класс

Тема 8. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами. ( 8ч)

В данной теме рассматривается решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами, сводящиеся к квадратным, уравнения и неравенства, при решении которых учитываются свойства тригонометрических функций, уравнения и неравенства, решаемые с использованием ограниченности синуса и косинуса.

Тема 9. Уравнения и неравенства, содержащие обратные   тригонометрические функции. ( 6ч)

В данной теме рассматривается решение уравнений и неравенств с параметрами, содержащие обратные тригонометрические функции. В уравнениях требуется определить неизвестное по заданному значению одной из аркфункций. Необходимо также учитывать область допустимых значений переменных. При решении уравнений и неравенств используются также графический способ решения.

Тема 10. Системы уравнений и неравенств с параметрами. ( 8ч)

В данной теме рассматриваются системы, содержащие показательную, логарифмическую функции, тригонометрические уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения и неравенства. При решении таких систем используются методы замены переменных, подстановки, разложения на множители, использование свойств логарифмической, показательной, тригонометрических функций в сочетании с методами решения задач с параметрами.

Тема 11.  Графические способы решения уравнений и неравенств с параметрами. ( 6ч)

Стандартный способ решения уравнений и неравенств в отдельных случаях приводит к сложным и утомительным преобразованиям. Процесс решения может быть иногда упрощен, если применить графоаналитический прием. Можно выделить две разновидности рассматриваемого приема:

1. изображение на плоскости (х; а), где х – неизвестное; а – параметр;
2. на плоскости (х; у) рассматривается семейство кривых, зависящих от параметра а.

Первый способ используется в задачах, которые содержат лишь неизвестную х и параметр а, или сводящихся к таким.

Второй способ оказывается удобен в задачах с двумя неизвестными х и у и одним параметром а. Именно эти приемы рассматривается в данной теме.

Тема 12. Задачи с параметрами  в заданиях Единого Государственного  экзамена. ( 6ч)

В данной теме рассматриваются задания ЕГЭ (С5) 2009, 2010 года, 2011 года.

Календарно-тематическое планирование, 10 класс

1ч в неделю, всего 34 часа

Календарно-тематическое планирование, 11 класс

1ч в неделю, всего 34 часа

Используемая литература.

1. П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков Школа,.решения задач с параметрами. - М.: Илекса, 2007.
2. В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. - 2-е изд., доп., перераб. - Чебоксары: изд-во Чуваш. Унта, 2000.
3. В.И. Голубев Решение сложных задач по математике. - М.: Илекса, 2007
4. А.П. Власова, Н.И.Латанова Задачи с параметрами. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства, системы уравнений 10-11 классы: Учебное пособие. - Москва, Дрофа, 2005.
5. А.Х.Шахмейстер Задачи с парметрами в ЕГЭ. - С. - Петербург, Москва, изд. Московского университета ЧеРо на Неве МЦНМО, 2004.
6. Материалы ЕГЭ, допущенные ФИПИ 2009-2011 гг.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с.Пилюгино

            «Рассмотрено»                                          «Утверждено»                                          Руководитель ШМО                                                       Директор МБОУ СОШ                            

________Сафонова О.В.                                              с. Пилюгино __________Ломакова О.В.

Протокол № 1   от                                                                Приказ №        от

«28» августа  2012 г.                                                «28» августа  2012 г.                                                                                                                 

Рабочая программа

элективного курса.

Решение нестандартных задач по математике.

Учитель: Сафонова Ольга Валентиновна

9 класс.

«Рассмотрено»                  

на  заседании педагогического совета

Протокол №1 от 28.08.2012      

2012-2013 учебный год

1. Пояснительная записка.

1. Нормативно-правовые документы.

Рабочая программа разработана на основе учебных пособий: Ястрибинецкий Г.А  Задачи с параметрами; Студенецкая В.Н., Сагателова Л.С. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: 2006.

2. Общая характеристика учебного предмета

Курс «Решение нестандартных задач по математике» дополняет базовую программу, не нарушая её целостность.

 Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с параметрами и модулями в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия.

Именно задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Как известно, в настоящее время практика вступительных экзаменов  оторвалась от школы, настолько велики «ножницы» между требованиями, которые предъявляют к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему абитуриенту  вуз, особенно вуз высокого уровня.

Очевидно одним из способов устранения указанных «ножниц» является изучение данного курса, посвященного трудным вопросам школьной математики, связанными с параметрами и модулями.

Задачи, предлагаемые в данном курсе, интересны и часто не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить свои способности к математике.. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включаться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя: занятия могут проводиться на высоком уровне сложности, но включать в себя вопросы, доступные и интересные всем учащимся.

Изучение спецкурса способствует процессу самоопределения учащихся, помогает им адекватно оценить свои математические способности, обеспечивая системное включение ребёнка в процесс самостоятельного построения знаний.

Цель данного курса перейти от репродуктивного уровня усвоения материала к творческому. Научить применять знания при выполнении нестандартных заданий. При решении таких задач школьники учатся мыслить логически, творчески. Это хороший материал для учебно-исследовательской работы, что является пропедевтикой научно-исследовательской деятельности.

Основная задача курса как можно полнее развить потенциальные творческие способности каждого слушателя, не ограничивая заранее сверху уровень сложности задачного материала. Решение задач способствует систематическому углублению изучаемого материала и развитию навыка решения сложных задач.

3. Цели и задачи обучения.

1. подготовить учащихся таким образом, чтобы они смогли на экзамене успешно справиться с задачами, содержащими модули и параметры.
2. углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;
3. выявить и развить их математические способности;
4. расширить математические представления учащихся о приёмах и методах решения задач с модулями и параметрами;
5. повышение уровня  математического и логического мышления учащихся;
6. развитие навыков исследовательской деятельности,
7. обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

1. Место предмета в учебном плане лицея.

Рабочая программа разработана на 34 часа из расчета 1 час в неделю.

1. Общеучебные умения, навыки и способы  деятельности.

Элективный курс предусматривает не только овладение различными умениями, навыками, приемами для решения задач, но и создает условия для формирования мировоззрения ученика, логической и эвристической составляющих мышления. Задачи с модулем и параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер.

3. Учебно-тематический план.

Содержание курса (34 ч., 1 час в неделю)

1. Решение задач с модулем. (12 часов).

Модуль действительного числа. Геометрическая интерпретация. Линейное уравнение, содержащее абсолютную величину. Уравнение и неравенства вида |х|= а, |ах+в|=0, |ах+в|≤0.

График функции у=|х|, у=| ах+в |. Построение графиков функций, связанных с модулем.

Методы решения уравнений вида: |ах+в|=с, где с - любое действительное число, |ах+в|=|сх+д|.

Графическое решение неравенства |ах+в|≤с, где с – любое  действительное число.

Методы решения уравнений вида: |ах+в|+|сх+д|=т, |ах+в|+|сх+д|+пх=т. Методы решения неравенств вида: |ах+в|+|сх+д|<т,|ах+в|+| сх+д|+ пх>т.

Методы решения неравенств вида: |ах+в|≤| сх+д|, |ах+в|≥| сх+д|, |ах+в|≤ сх+д, |ах+в|≥ сх+д. Графическая интерпретация.

Квадратное уравнение, содержащее абсолютную величину. Метод замены переменной. Решение уравнений.

2. Решение задач с параметрами. (12 часов).

Понятие параметра. Что значит - решить уравнение или неравенство с параметрами. Что значит - исследовать уравнение (определить количество решений, найти положительные решения и т.д.), содержащее параметры.

Линейное уравнение с параметрами. Общий метод решения уравнения вида ах= в, решение  линейных уравнений с параметрами, сводящихся к виду ах=в. Линейные    уравнения с параметрами, содержащие дополнительные условия (корень равен данному числу, прямая проходит через точку с заданными координатами, уравнение имеет отрицательное решение и т.д.).

Линейные неравенства с параметрами вида ах≤в, ах≥в.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трехчлена.

Количество корней в зависимости от значений параметров. Параметр, как фиксированное число.

3. Нестандартные методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, содержащих модули и параметры. (10 часов)

Графические и аналитические методы. Классификация задач. Ответ, как наперёд заданное подмножество множество действительных чисел. Параметр, как равноправная переменная. Свойства решений уравнений, неравенств и их систем.

Свойства функций в задачах с параметрами и модулями. Схема исследования функций. Область значений функции. Подстановки. Экстремальные свойства функций. Метод оценки. Свойства монотонных функций.

5. Требования к уровню подготовки учащихся.

Учащиеся должны знать:

1. понятие параметра
2. прочно усвоить понятие модуль числа;
3. алгоритмы решений задач с модулями и параметрами;
4. зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра;
5. свойства решений уравнений, неравенств и их систем;
6. свойства функций в задачах с параметрами.

Учащиеся должны уметь:

1. уметь решать линейные, квадратные уравнения с модулем;
2. уметь решать линейные, квадратные неравенства с  модулем;
3. строить графики уравнений, содержащие модули;
4. уметь решать линейные, квадратные, рациональные уравнения с параметром;
5. уметь решать неравенства с параметром;
6. находить корни квадратичной функции;
7. строить графики квадратичных функций;
8. исследовать квадратный трехчлен;
9. знать и уметь применять нестандартные приемы и методы решения уравнений, неравенств и систем.

1. Список литературы.

для учителя:

1. Литвиненко В.Н., Мордкович А. Г. Практикум по решению математических задач.
2. Ястрибинецкий Г.А  Задачи с параметрами.
3. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С.  Задачи с параметрами.
4. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г.В. «О параметрах – с самого начала».
5. Дорофеев Г.В., Затахавай В.В. «Решение задач, содержащих модули и параметры».
6. Дорофеев Г.В. «Квадратный трёхчлен в задачах».
7. Марков В.К. «Метод координат и задачи с параметрами».
8. Шарыгин И.Ф. «Факультативный курс по математике. Решение задач».

для учащихся:

1. Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Алгебра 8. Алгебра 9. Дополнительные главы к школьному учебнику. Москва. «Просвещение». 2001год.
2. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре

8-9. Москва. «Просвещение». 2001год.