Элективный курс по алгебре 10 кл.
элективный курс по алгебре (10 класс) по теме

Пояснительная записка

1. Нормативные документы,

обеспечивающие реализацию программы.

1. Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Стандарт основного общего образования по математике.// Вестник образования России. 2004. №12. Стр.107 – 119.
2. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев. Математика. «Дрофа». Москва. 2004. Стр. 96 – 99.
3. Обязательный минимум содержания основного общего образования по предмету. (Приказ МО от 19.05.98 №1276)
4. Закон РФ «Об образовании».
5. Региональный компонент стандарта общего образования.
6. Школьный компонент стандарта общего образования.

II.  Общая характеристика учебного предмета. Цели изучения курса.

Элективный курс состоит из двух блоков: «Многочлены» и «Модуль».

1 блок

  Изучению темы «Многочлены» в программе по математике основной школы уделяется большое внимание. Учащиеся овладевают навыками сложения и вычитания, умножения многочленов от одной и нескольких переменных. Значительное место отводится заданиям, связанным с разложением многочленов на множители, решению алгебраических уравнений.

При изучении математики в курсе основной школы основной упор делается на изучение квадратного трёхчлена, а в старшей школе тема «Многочлены» не изучается. И часто учащиеся, встретив в задании многочлены 3-ей, 4-ой степени от одной переменной, затрудняются выполнять какие-либо операции с ними. Сказывается отсутствие необходимых навыков.

 За пределами школьного курса остаются некоторые методы отыскания корней многочленов, операции деления многочлена на многочлен. В связи с этим школьники лишены возможности решить некоторые алгебраические уравнения высших степеней (в том числе возвратные, однородные), приемы, решения которых тесно связаны с отысканием корней многочленов. Между тем, таким заданиям отводится значительное место в экзаменационных заданиях.

Углубление темы «Многочлены» позволит учащимся распознавать виды многочленов и алгебраических уравнений, уверенно выполнять их преобразования, выбирая наиболее рациональные приёмы.

Кругозор учащихся, интересующихся математикой, пополнится знанием теоремы Безу, теоремы о корнях многочлена, следствиями из этих теорем, знанием метода неопределённых коэффициентов. Данный элективный курс предназначен учащимся 10-х классов, поможет создать более целостное представление о многочленах от одной переменной, вызовет интерес к способу их преобразований, тем самым обеспечивается мотивация к выбору обучения, связанного с математикой. Готовясь к творческому отчету или выполняя итоговую работу учащиеся столкнутся с необходимостью выделять главное, обобщать, систематизировать материал.

Овладевая довольно сложными математическими преобразованиями многочленов высших степеней, школьникам придется постоянно анализировать, классифицировать, перебирать различные варианты решений, отыскивать наиболее рациональные способы, выполнять самоанализ и при этом быть предельно внимательными и точными.

 Проводя цепочку логических рассуждений, учащиеся видят немыслимо сложное выражение, но в процессе преобразования приобретающее простые формы. В итоге приходит понимание, что даже самые сложные многочлены можно сделать «послушными», нужно только узнать их «слабые» стороны и изучить методы воздействия на них. Иными словами, «крутые» многочлены тоже поддаются «дрессировке», нужно только овладеть её способами.

2 блок

  Предлагаемый курс «Модуль» своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 9 -10 классов, которым интересна математика. Данный элективный курс направлен на расширение знаний учащихся, повышения уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Стоит отметить, что навыки решения уравнений, неравенств, содержащих модуль, и построение графиков элементарных функций, содержащих модуль, совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения. Материал данного курса содержит «нестандартные» методы, которые позволяют более эффективно решить широкий класс заданий, содержащий модуль, и, безусловно, может использоваться учителем как на уроках по математики в 9-10 классах, так  и на факультативных и дополнительных занятиях. Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения. Я постаралась с помощью модульного обучения где ученик самостоятельно или с определенной дозой помощи учителя достиг конкретных целей учебно–познавательной деятельности в процессе работы с модулем.

Модуль – это целевой функциональный модуль, в котором объединено: учебное содержание и технология овладения им в систему высокого уровня целостности. Таким образом, модуль выступает средством модульного обучения, так как в него входит: целевой план действий, банк информации, методическое руководство по достижению дидактических целей. Именно модуль может выступить как программа обучения, индивидуализированная по содержанию, методам учения, уровню самостоятельности, темпу учебно-познавательной деятельности ученика.

Опыт работы по использованию модульной технологии я покажу на примере  некоторых занятий изучения темы «Модуль».

Цели курса:

-образовательные:

- создать условия для повышения уровня понимания и практической подготовки в таких вопросах, как:

 а) преобразование выражений, содержащих модуль;

 б) решение уравнений и неравенств, содержащих модуль;                    

 в) построение графиков элементарных функций, содержащих модуль.

- способствовать пониманию совокупности с основными разделами курса математики базу для развития способностей учащихся;

- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

- Научить уверенно преобразовывать многочлены высших степеней, решать алгебраические уравнения 3-ей и 4-ой степени.

-развивающие:

-способствовать развитию у учащихся умения анализировать, сравнивать, обобщать; умения работать с учебной дополнительной литературой.

-воспитательная:

-воспитывать умение публично выступать, задавать вопросы, рассуждать.

 Конечный результат:

Учащиеся должны уметь:

  - грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные      

     рассуждения в ходе решения заданий;

  - применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;

  - преобразовывать выражения, содержащие модуль;

  - решать уравнения и неравенства, содержащие модуль;

  - строить графики элементарных функций, содержащие модуль.

Задачи курса

1. Изучить основные теоретические положения о многочленах n -ых степеней от одной переменной.
2. Научить учащихся делить многочлен на многочлен, выделять полный квадрат и доказывать несложные утверждения, опираясь на его свойства.
3. Научить учащихся распознавать возвратные (симметрические), однородные уравнения.
4. Научить учащихся решать несложные алгебраические уравнения высших степеней, нахождение корней которых связано с отысканием корней многочленов.
5. Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования.
6. Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Все теоретические обоснования и выводы даются на интуитивном уровне, без строгого доказательства, иллюстрируются доступными для всех учащихся конкретными примерами.

Основное содержание курса опирается на необходимый минимум знаний, но предназначен он для учащихся, интересующихся математикой. Предлагаются задания различной степени сложности, которые должны удовлетворить запросу учащихся с разными учебными возможностями.

При проведении курса предлагается классно-урочная форма занятий. Каждая тема заканчивается проверочной самостоятельной работой, выполняя которую учащиеся должны убедиться, что основной материал ими понят и усвоен. (Самостоятельные работы чередуются с зачётами.)

Учителю необходимо позаботиться о создании комфортных условий процесса овладения знаниями. Для этого предполагается, что каждый учащийся получит карточку-опору, которая разработаны по всем темам. Изложенные в карточке необходимые положения и алгоритмы конкретных операций окажут помощь в выполнении заданий. Для самостоятельной работы предлагаются как задания, выполняемые по алгоритму, так и задания, требующие применения знаний в новых ситуациях.

III. Требования к уровню подготовки выпускников

  В результате изучения программы учащиеся получают возможность

ЗНАТЬ:

1. формулы куба суммы и разности двучлена;
2. понятие коэффициентов, старшего члена, степени многочленов канонического вида;
3. определение тождественно равных многочленов;
4. алгоритм деления многочлена на многочлен «столбиком»;
5. теорема Безу и следствие из неё;
6. утверждение о корне многочлена и следствие из него.
7. Определение модуля: алгебраический и геометрический смысл.
8. Свойства функций

 УМЕТЬ:

1. выделить полный квадрат или куб;
2. методом выделения полного квадрата доказывать, что многочлен принимает только неотрицательные (неположительные) значения;
3. уметь подбирать корни многочлена и выполнять разложение его не множители;
4. делить многочлен на многочлен «столбиком»;
5. решать уравнения высших степеней методом замены переменных, подбором корней среди делителей свободного члена;
6. распознавать и решать возвратные, однородные алгебраические уравнения высших степеней.

 Основополагающая линия занятий курса – частично-поисковый метод

Учитель только «сталкивает» учащихся с незнанием, иногда направляет мыслительную деятельность учащихся. Школьники сами пытаются решить проблему, применить теорию на практике, сделать выводы.

Постоянно осуществляется взаимопомощь: «ученик-ученик», «учитель-ученик». Изложение нового – только в форме беседы. После изучения теоретических основ проводятся уроки-практикумы по решению упражнений. Каждая тема заканчивается проверкой уровня усвоения. Проверочные работы оцениваются только положительными отметками («3», «4», «5»), причём по желанию учащиеся могут после дополнительной работы дома повысить свою отметку.

Учащимся сообщается, что по окончании курса на итоговом занятии-семинаре они должны будут защитить свою работу (либо сделать обобщение изученного, либо выбрать и решить не менее пяти из предложенных им заданий).

Из числа наиболее способных учащихся (по желанию) создаётся группа ассистентов, оказывающих помощь учащимся, помогающих учителю быстро осуществить проверку ЗУНов учащихся. С такими учащимися проводится небольшая дополнительная работа вне занятий (особенно перед проведением проверочных самостоятельных работ и зачётов).

IV. Структура курса

СОДЕРЖАНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ТЕМ КУРСА

 1 блок

Тема 1. Операции над многочленами от нескольких переменных

1. Сложение, вычитание, умножение многочленов, деление многочлена на одночлен.
2. Разложение многочленов на множители с помощью комбинации различных приёмов (использование формул сокращённого умножения, способа группировки).
3. Метод выделения полного квадрата, доказательство утверждений с использованием этого метода.
4. Вывод формул квадрата трёхчлена вида ( a + b + c ) куба суммы и разности выражений.

Тема 2. Делимость многочленов от одной переменной

1. Канонический вид многочлена от одной переменной.
2. Тождественное равенство многочленов.
3. Делимость многочленов «уголком».
4. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу.
5. Использование теоремы Безу, делимость многочленов «столбиком» для разложения многочленов на множители.

  Тема 3. Отыскание корней многочленов

1. Утверждение о корнях многочлена.
2. Отыскание корней многочленов больших степеней с целыми коэффициентами.

Тема 4. Решение алгебраических уравнений высших степеней

1. Теорема о корнях уравнения вида  с целыми коэффициентами. Следствие их неё.
2. Замена переменных (метод подстановки).
3. Возвратные (симметрические), однородные алгебраические уравнения.
4. Метод неопределённых коэффициентов.

2 блок

Тема 1. Модуль: общие сведения. Преобразование выражений, содержащих модуль

Занятие 1,2. Модуль. Общие сведения: определение, свойства модуля, геометрический смысл модуля. Преобразование выражений, содержащих модуль.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 2. Решение уравнений, содержащих модуль.

Занятие 3.( лекция) Решение уравнений, содержащих модуль.

Решение уравнений вида:

ƒ |x| = a ; |ƒ(x)| = a ; |ƒ (x)| = φ(x) ; |ƒ (x)| = |φ(x)|.

Занятие 4,5. Решение уравнений, содержащих модуль.(2ч)

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема: 3. Решение неравенств, содержащих модуль.

 Занятие 6.(лекция) Решение неравенств вида:

|ƒ(x)| ≤ a ; ƒ |x| > a ; |ƒ(x)| ≤ |g(x)| ; |ƒ(x)| ≤ g(x) ; |ƒ(x)| > g(x).

Занятие 7,8. Решение неравенств, содержащих модуль.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 5. Графики функций, содержащих модуль.

Занятие 10. Построение графиков функций, содержащих модуль.

Построение графиков функций вида:

            y = |ƒ(x)| ; y = ƒ |x| ; и уравнений |y| = ƒ(x) ;  |y| = |ƒ(x)|.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач

Занятие 11,12. Построение графиков функций, содержащих модуль.

Построение графиков уравнений вида: |y| = ƒ(x)  и  |y| = |ƒ(x)|.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 6. Проверка знаний, умений и навыков.

Занятие 14. Проверочная работа

Тема 7. Модуль в заданиях единого государственного экзамена.

Занятие 15. Решение заданий единого государственного экзамена, содержащих модуль.

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Тема 8. Контрольная работа.

Занятие 16. Проверка знаний, умений и навыков.

Тема 6. Творческая работа учащихся.

Занятие 17. Учащимся предлагается дифференцированное домашнее задание по темам: 1. История возникновения модуля. (сообщение)

            2. Реферат на тему: «Модуль и его применение».

            3. Решение «нестандартных» задач.

            4. Модель графиков функций, содержащих модуль и его применение при              

                    построении графиков.

Календарно-тематический план

МЕТОДИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

                                       Занятие -1

Формулировка общей дидактической цели.

Для того, чтобы учащиеся сформулировали для себя цель, я прошу их заполнить таблицу:

То, что они написали в графе «Хочу узнать» и будет их целью в ходе изучения данной модульной программы.

ТЕМА: Модуль: общие сведения. Преобразование выражений, содержащих модуль.

Цель урока: расширить  представление учащихся о модуле числа, дать определение и сформулировать свойства модуля, геометрический смысл модуля.

                                 Занятие – 3.

ТЕМА: Решение уравнений, содержащих модуль.

                                    Занятие – 6.

    ТЕМА: Решение неравенств, содержащих модуль.

                                    Приложение:

1. Карточки – задания для самостоятельной работы.
2. Тест – задание.
3. Карточки – задания для построения графиков функций, содержащих модули.
4. Графики квадратичных функций, содержащих модули.
5. Неравенства с двумя переменными, содержащими модуль, на координатной плоскости.

      6.   Контрольная работа по элективным курсам.

 1. Карточки – задания для самостоятельной работы

     Вариант – 1.

1. |5х + 3| = 1
2. |2х + 5| + |2х – 3| = 8
3. |х² + 2х| – |2 – х| = |х ²- х|
4. 1 ≤ |3х – 2| ≤ 2
5. х² - 2|х| – 8 ≥ 0
6. |(3х + 1)(х – 3)| ≤ 3

     Вариант – 2.

1. |2х - 3| = 1
2. |х - 5| + |2х –6| = 7
3. |х² + 3х| – |4 – х| = |х ²- х|
4. 1 ≤ |2х – 1| ≤ 2
5. х² - 5|х| – 4 ≥ 0
6. |(2х + 1)(х – 5)| ≤ 3

2. Тест – задание.

   Решите уравнения и неравенства

  А.  1) |x|² - 4 = 0                                 Ответ:

        2) | x|² - 4 < 0                                Ответ:

        3)  |x|² - 4 > 0                                Ответ:                        

   Б.  1)  |x|² - 3|x| ≥ 0                             Ответ:

         2)  |x|² - 3|x| > 0                             Ответ:

         3)  |x|² - 3|x| ≤ 0                             Ответ:

         4)  |x|² - 3|x| < 0                             Ответ:

  В.  1)  x² - 2x + | x| = 0                         Ответ:

        2)  x² - 2x + | x| < 0                         Ответ:

        3)  x² - 2x + | x| > 0                         Ответ:

 Г.  1) |x² - 2x| +  x = 0                            Ответ:

      2) |x² - 2x| +  x < 0                            Ответ:

      3) |x² - 2x| +  x > 0                            Ответ:

3. Карточки – задания на построения графиков, содержащих модуль.

      Вариант - 1

Постройте графики функций.

у = - |x|                                            y = - |x + 1|                             y = ||x + 1| - 1|

у                                                                    у                                                            у

  0                               х                                 0                                х                            0                        х

Вариант - 2

Постройте графики функций.

у = - |x - 1|                                            y = 1- |x + 1|                             y = |x + 1| - 1

 у                                                                   у                                                            у

   0                              х                                  0                               х                            0                         у

4. Графики квадратичных функций, содержащих модули.

     Вариант – 1.

        а)  у = |x² - 5x + 6| = 0                        

        б)  |(x - 2)² - 3| = 0

        в)  |x² - 3| = 0                        

      Вариант – 2

         а)  у = |x² - 7x + 10| = 0                        

         б)  |(x + 2)² - 4| = 0

         в)  |x² + 5| = 0                        

5. Неравенства с двумя переменными, содержащими модуль, на координатной плоскости.

   Вариант – 1.                                     Вариант - 2

     а) ху ≥ 4                                            а)  ху ≤ - 4  

     б) |xy| ≤ 4                                          б)  |xy| ≥ 4  

     в) х |у|  ≤ 4                                        в)  у |х| ≤ 4                                          

6. Контрольная работа по элективным курсам.

1. Решите уравнение:

      а)   | 2х – 4| = 6;

      б)   х | 3х + 5| = 3х² + 4х + 3;

      в)   |х – 2 | = 3 |х + 1|;

      г)   |х + 1| + |х – 2| = 2х + 4;

      д)   |2х – 6| -  |2х – 3| = 3.

     2. Решите неравенство:

      а)       х – 2      ≥ 1;

                х + 1    

     б) |х² - х |  <  | 3 – х | + | х² - 3 |.

     3. Постройте график функции:

      а)    у = х² +  | х | - 2;

       б)   у = | х² - 4х + 3|.

 Критерии оценки:

Зачет, если выполнено половина работы и больше;

Незачет, если выполнена меньше половины работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. В.Н.Студенецкая, Л.С. Сагателова  Сборник элективных курсов « Математика 8 – 9 классы, профильное образование, издательство «Учитель»
2. С.И.Колесникова «Решение сложных задач ЕГЭ» 300 задач с подробным решением. Издательство Москва Айрис пресс 2005 год.
3. Г.А.Воронина Практическое руководство для учителя  «Элективные курсы»
4. Издательство Москва Айрис пресс 2006 год

1. Ю.Н.Макаров, Н.Г.Миндюк «Дополнительные главы к школьному учебнику»    

5. 9 класс, Москва Просвещение, 1997г.

6. Галицкий М.Л. и др. «Сборник задач по алгебре». Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. – М.: Просвещение, 1997 г .
7. Мордкович А.Г. Алгебра 7, 8, 9 класс. – М.: Мнемозина, 2001 г .
8. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 7, 8, 9 класс. – М.: Просвещение, 1998 г .
9. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука, 1988 г .
10. Газета «Математика» – приложение к газете «Первое сентября».
11. Журналы «Математика в школе».
12. Методические пособия для поступающих в вузы.