Элективный курс по алгебре "Алгебра модуля"
методическая разработка по алгебре (10 класс) на тему

                                 Аннотация  курса.

         Предлагаемый курс  ставит своей целью расширить математический кругозор учащихся  и развить у них  интерес  к применению математики  в различных областях. Эта цель реализуется посредством  знакомства с важным математическим  понятием «модуль» и разнообразием  способов решений задач с модулем. Поэтому  уравнения и неравенства с модулем   имеют реальное  внутриматематическое и  прикладное значение. Предпочтение в этом элективном курсе  отдается решению уравнений и неравенств.   Но также рассматривается и построение графиков с модулем.  Тематика и содержание  элективного курса  позволит  учащимся собрать воедино все математические знания, полученные к данному времени; данный курс стимулирует   инициативность  математического мышления и выработку  навыков практического применения знаний по математике и является  ценнейшим средством развития способности учащихся к математической деятельности.

                     Список литературы, используемой учителем.

1. Виленкин Н.Я. , Ивашев-Мусатов О.С. «Алгебра и  математический  анализ для 11 классов». Учебное пособие для учащихся школ  и классов с углубленным изучением математики. Просвещение. Москва.

2. Никольский С.М., Потапов М.К. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 11 класса  общеобразовательных учреждений. «Просвещение» Москва 2009.

3. Лысенко Ф.Ф. « Математика ЕГЭ -2008», «Математика ЕГЭ- 2010», Математика ЕГЭ-2012». Учебно-методическое пособие. «Легион». Ростов –на Дону. 2007, 2009, 2011.

4. Колесникова С.И. «Математика. Решение сложных задач ЕГЭ»- «Айриспресс».Москва .2005

5. Колесникова С.И. «Математика . Интенсивный  курс подготовки к  ЕГЭ»- «Айриспресс».Москва .2004

6. Сергеев И.Н. «Математика. Задачи с ответами и  решениями» . Учебное пособие. «Высшая школа». Москва .2003.

7. Ткачук В.В. «Математика-абитуриенту». – «ТЕИС». Москва .1994

8. Мерзляк А.Г. , Полонский В.Б. «Алгебраический тренажер». Пособие для школьников и абитуриентов. «АСК» .Киев. 1997.

9. Галлеев Э.М. «Подготовка к вступительным экзаменам  по математике в МГУ» Москва .2008.

10. Самаров К.Л. «Уравнения и неравенства с модулями».Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике. ООО «Резольвента» .2010.

11. Кривоногов В.В. «Нестандартные задания по математике 5-11 классы».Москва. «Первое сентября». 2003.

12. Газета «Математика» приложение к «Первому сентября»

13.  Материалы с сайтов :

1. сайты учителей математики;
2. www.larinnet.
3. Шпаргалка по математике :Подготовка к ЕГЭ: части В и С.

               Список литературы, рекомендуемой учащимся.

1. Виленкин Н.Я. , Ивашев-Мусатов О.С. «Алгебра и  математический  анализ для 11 классов». Учебное пособие для учащихся школ  и классов с углубленным изучением математики. Просвещение. Москва.

2. Никольский С.М., Потапов М.К. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 11 класса  общеобразовательных учреждений. «Просвещение» Москва 2009.

3. Лысенко Ф.Ф. « Математика ЕГЭ -2008», «Математика ЕГЭ- 2010», Математика ЕГЭ-2012». Учебно-методическое пособие. «Легион». Ростов –на Дону. 2007, 2009, 2011.

4. Колесникова С.И. «Математика. Решение сложных задач ЕГЭ»- «Айриспресс».Москва .2005

5. Ткачук В.В. «Математика-абитуриенту». – «ТЕИС». Москва .1994

6. Мерзляк А.Г. , Полонский В.Б. «Алгебраический тренажер». Пособие для школьников и абитуриентов. «АСК» .Киев. 1997.

  7.  Самаров К.Л. «Уравнения и неравенства с модулями».Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике. ООО «Резольвента» .2010.

  8. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. Москва \ Педагогика, 1985.

 9. Научно-популярный физико-математический журнал "Квант" http://kvant.mccme.ru

Учебно-методическое обеспечение элективного курса.

1.Обязательный минимум  содержания основного общего образования по предмету (приказ Минобразования России №1276   от19.05.1998 ).

2. Обязательный минимум  содержания среднего (полного) общего образования по предмету (приказ Минобразования России №56  от 30.06.1999г).

4.Федеральный компонент государственного стандарта общего образования. Математика. (приказ Минобразования России №1089  от 05.03.2004г).

3. Федеральный государственный образовательный  стандарт общего образования ( проект от 15.04.2011).

4. Под ред. Асмолова А.Г. Формирование  универсальных учебных действий в основной школе:от действия к мысли. Система заданий .- Москва. Просвещение. 2010.

5.Под ред. Козлова В.В. , Кондакова А.М. Фундаментальное ядро  содержания общего образования .- Москва. Просвещение. 2010.

6.Ступницкая М.А.  Проектная деятельность  в школе.- Школьный психолог. №46 2004.

Учебники.

1.Мордкович А.Г. Алгебра. 8-11 кл. – М.: Мнемозина, 2011.

2.Виленкин Н.Я. , Ивашев-Мусатов О.С. «Алгебра и  математический  анализ для 11 классов». Учебное пособие для учащихся школ  и классов с углубленным изучением математики. Просвещение. Москва.

3.Никольский С.М., Потапов М.К. «Алгебра и начала анализа». Учебник для 11 класса  общеобразовательных учреждений. «Просвещение» Москва 2009.

Методические пособия, сборники задач

1.Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. – М.: ВЗМШ при МГУ, 1983. 2.Гайдуков И.И. Абсолютная величина. – М.: Просвещение, 1968.                              3. Нешков К.И. и др. Множества. Отношения. Числа. Величины. – М.: Просвещение,1978.                                                                                         4.Никольская И.Л. Факультативный курс по математике. – М.: Просвещение, 1995.                                                                                                               5.Олехник С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения.10–11кл.М.:Дрофа,1995.                                                                   6.Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике 10 – 11 кл. – М.: Просвещение,1989.                                                                                                 7.Сергеев И.Н. «Математика. Задачи с ответами и  решениями» . Учебное пособие.«Высшаяшкола».Москва.2003.                                                                   8.Ткачук В.В. «Математика-абитуриенту». – «ТЕИС». Москва .1994                     9. Мерзляк А.Г. , Полонский В.Б. «Алгебраический тренажер». Пособие для школьников и абитуриентов.«АСК».Киев.1997.                                                         10.Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре 8 – 9 кл. – Москва.:  Посвещение 1995  

11. Колесникова С.И. «Математика . Решение сложных задач ЕГЭ»- «Айриспресс».Москва.2005                                                                                        12. Колесникова С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к Единому Государственному экзамену. М.: Айрис-пресс, 2004.                                13.Лысенко Ф.Ф. « Математика ЕГЭ -2008», «Математика ЕГЭ- 2010»,   Математика ЕГЭ-2012». Учебно-методическое пособие. «Легион». Ростов –на Дону. 2007, 2009, 2011.

14.Галлеев Э.М. «Подготовка к вступительным экзаменам  по математике в МГУ» Москва .2008.

15.Самаров К.Л. «Уравнения и неравенства с модулями».Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ и ГИА по математике. ООО «Резольвента» .2010.

Газета «Математика» приложение к «Первому сентября»

 Электронный учебник «Алгебра 7 – 11».

  http://archive. lseptember.ru/mat  Газета «1 сентября»: архив материалов по   математике (Материалы по проведению уроков математики в старшей школе. Архив публикаций с 1997 года)

http://kvant.mccme.ru/index.htm Задачи по математике: задачник «Кванта» (Архив задач по математике, опубликованных в журнале «Квант» с 1970 по 1999 год. Решения задач )

Сайты учителей математики;

www.larinnet.

Шпаргалка по математике :Подготовка к ЕГЭ: части В и С.

                                                               Перевод   баллов в оценку.

    Баллы набираются за каждую главу ( так удобнее и быстрее виден результат). Исходя из этого , перевод баллов в оценку может осуществляться по следующим критериям:

Глава 1.

  Всего- 35 б

35-30 баллов – оценка 5

29-24 баллов – оценка 4

23-15 баллов – оценка 3

14-  баллов – оценка 2

 Глава 2.

  Всего- 56 б

56-42 баллов – оценка 5

41-27 баллов – оценка 4

26-12 баллов – оценка 3

11-  баллов – оценка 2

  Глава 3.

  Всего- 77 б

77-60 баллов – оценка 5

59-42 балла  – оценка 4

41-20 баллов – оценка 3

19-  баллов – оценка 2

  Глава 4.

  Всего- 55 б

55-41 баллов – оценка 5

40-26 баллов – оценка 4

25-11 баллов – оценка 3

10-  баллов – оценка 2

                                    Пояснительная записка

    Элективный курс «Алгебра модуля» разработан в рамках реализации  концепции профильного обучения на старшей ступени образования и соответствует Государственному стандарту среднего образования по математике. При разработке данной программы учитывалось то, что элективный курс как компонент образования должен быть направлен на удовлетворение познавательных потребностей и интересов старшеклассников и  предназначен  на расширение и  углубление знаний и умений, которые приобретаются на уроках математики при  изучении темы «Модуль».Этот курс будет полезен как учащимся  гуманитарных классов, так и физико-математических.

Основная функция курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике – выявление средствами предмета математики направленности личности, её профессиональных интересов.

Предметно-ориентированные курсы являются пропедевтическими по отношению к профильным курсам по математике, которые имеют более высокий уровень. Присутствие таких курсов в учебном плане учащегося повышает вероятность того, что выпускник  сделает осознанный и успешный выбор профиля, связанного с математикой.Программы предметно-ориентированных курсов по выбору включают углубление отдельных тем базовых общеобразовательных программ по математике, а также изучение некоторых тем, входящих за их рамки. Поэтому считаю целесообразным включение курса «Алгебра модуля». Этот курс дополняет базовую программу, не нарушая её целостность.

Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. В заданиях ЕГЭ по математике с развернутым ответом (часть С), встречается большое количество задач, требующих понимания основных свойств модуля и умения использовать эти свойства при решении уравнений, неравенств или задач. Обязательны такие задания и на вступительных экзаменах в ВУЗы. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, нестандартными методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и его математическую культуру.

Понятие «модуль» рассматривается в математике с шестого  по одиннадцатый класс. Количество часов выделяемых на изучение темы «Модуль» в разных классах не позволяет научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства модуля для решения задач различного характера, в том числе и прикладного. Решению задач с применением модуля в школьной программе уделяется очень мало внимания , материал расположен хаотично, многие важные моменты не входят в программу. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо дают неправильные ответы.

 Актуальность предлагаемой программы объясняется расхождениями между стандартами математического образования за курс основной школы и требованиями, предъявляемыми при сдаче ЕГЭ и поступлении в высшие учебные заведения.

  Цель курса:

Создание возможностей для приобретения учащимися умений практического использования свойств модуля при решении  нестандартных задач, сформировать у учащихся навыки решения более сложных задач (уровень С) и умение ориентироваться в теоретическом материале этого уровня.
        Для достижения поставленной цели  в курсе реализуется ряд задач:

сформировать у учащихся представление о задачах  с использованием различных свойств модуля как задачах исследовательского характера, показать их многообразие и возможность красивого и  короткого решения;

  способствовать  расширению кругозора, обогащению словарного запаса, интереса к исследовательским методам .

   По окончании курса учащиеся должны

знать:
определение модуля, основные свойства, основные методы решения уравнений и неравенств.
 уметь:

· применять определение и свойства  модуля при  решении уравнений, систем, неравенств;

· извлекать(читать) информацию, предоставленную на графиках  с модулем   и строить различные графики с модулем;

· работать и применять алгоритмы решения неравенств, уравнений и построения графиков;

· применять  знания при решении уравнений и неравенств, нестандартных задач .

использовать приобретенные  знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

· моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата алгебры;

· смогут показать применение этих знаний при решении уравнений и неравенств, нестандартных задач ,для построения и исследования графиков функций. Ожидаемые результаты

1. Приобретение опыта решения задач с параметрами, уравнений и неравенств с модулем.
2. Развитие познавательных интересов, творческих способностей учащихся.
3. Приобретение опыта самостоятельного поиска, анализа при решении задач.
4. Качественная подготовка к итоговой аттестации по данной теме.
Используемые педагогические технологии:
Технология проблемного обучения , технология коллективного способа обучения ,
технология индивидуального обучения ,технология уровневой дифференциации

                                        Курс «Алгебра модуля»

рассчитан на 21 час и состоит из 4 разделов, основной вид деятельности -  практикум.  С одной стороны разделы представляют собой последовательность, организованную по принципу нарастающей трудности – от известного к неизвестному; с другой -  каждый раздел автономен, то есть имеет собственную структуру и тематику. Это позволит учителю варьировать курс по своему усмотрению.

Первый раздел –это повторение основных понятий, определений, свойств,связанных с этой темой  и входной тест на определение  уровня каждого ученика.

 Второй раздел посвящен  графикам с модулем и алгоритмам их построения, применению их при решении  различных задач( нахождение  области определения и  множества значений сложных функций),  а также применению  графиков с модулем при решении уравнений и неравенств .

Третий раздел  посвящен уравнения, решаемым  различными способами  и различной сложности ( от простого к сложному).

4 раздел – это неравенства, решаемым  различными способами  и различной сложности .

  В работе имеются тематическое планирование, содержание курса, приложения , список литературы для учителя и учащихся, формы  контроля, разработана  система оценивания данного элективного курса.

                                          Общие методические рекомендации.

 Данный элективный курс задает примерный объем знаний,  умений и навыков по теме «Алгебра модуля».В результате изучения курса учащиеся должны научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных  умений на уровне свободного использования.

   С целью осуществления контроля знаний возможно применение  накопительной системы – портфолио, по итогам и промежуточным результатам изучения разделов ( тесты,  исследования, творческие работы).  Учащиеся самостоятельно выбирают задания, наиболее интересные и доступные для них и выходят каждый на свой уровень достижений. К творческим заданиям можно отнести – создание презентаций по теме,  выполнение  проектных или исследовательских работ с подключением   таких предметов, как физика, химия, биология.

Методы контроля:

-самостоятельная работа

- зачет

-контрольная работа

-презентация.

Зачетное занятие может быть проведено открытым уроком, когда учащиеся защищают свои выполненные задания, а может  домашней контрольной работой. Все зависит от уровня подготовленности класса и желания работать на уроке и дома.

   Задания выбираются в зависимости от состава слушателей и их подготовки. Материал должен быть интересен, полезен, соответствовать возможностям

                                            Содержание курса

1.Введение

Курс начинается  с краткого изложения содержания элективного курса. Необходимо дать характеристику  того, что учащиеся узнают, завершив изучение данного курса. Это важно для мотивации учащихся.

 Нужно  вести понятие модуля, основные свойства и  методы решения задач. Кроме этого, на данном занятии  желательно познакомить кратко учащихся с планированием элективного курса и рейтинговой системой.

 В качестве домашнего задания  учащиеся должны просмотреть дополнительную литературу, касающуюся модуля и сделать небольшие конспекты или презентации по основным понятиям, связанным с модулем.

2. Модуль и графики.

  Основная цель – систематизировать  знания и умения  в построении графиков; сформировать  умения строить графики, содержащие модуль.

Тема  2.1. Модуль и графики y=│f(x)│, y=f(│x│),  │y │ = f(x), │y │ =│f(x)│,y=│x│+│x+b│.

 С учащимися  в классе  разобрать алгоритмы построения графиков. При обучении построения  графиков, нужно акцентировать внимание на внешний вид и различиях  при построении  в зависимости от алгоритмов.

 В результате изучения данной темы  учащиеся должны уметь строить графики данного типа. Для отчета  учащимся предлагается домашняя контрольная работа- зачет по теме « Построение графиков, содержащих модуль».

 Итогом  данного занятия является исследовательская  работа учащихся по решению таких задач, изучение дома литературы из других источников.

Тема  2.2. Графики  кусочных  функций.

На этом занятии дается определение графиков кусочных функций и рассматриваются задачи, которые приводят к такому графику. Итогом данного  занятия может стать презентация или исследовательская работа.

Тема  2.3. Зачетная работа.

Работа рассчитана на 1 час, состоит из 3 заданий различного уровня.

3. Модуль и уравнения.

Тема  3.1. Решение линейных уравнений, содержащих модуль и уравнений, сводящихся к данным.

Рассмотреть способы решения  уравнений: а) последовательного раскрытия  модуля;

б) перебора; в) метода интервалов ;г) возведения в квадрат.

 Отрабатываются основные  способы решения, учащиеся должны научиться определять наиболее выигрышный способ решения конкретного уравнения. В качестве дидактического материала можно использовать задачи, предлагаемые на ЕГЭ.

  Проверить умения и навыки  по данной теме, используя самостоятельную  работу. Домашняя контрольная работа – зачет по теме.

Тема  3.2. Решение квадратных уравнений, содержащих модуль и уравнений, сводящихся к данным.

Отрабатываются основные  способы решения, используя знания и навыки, приобретенные при решении линейных уравнений. Используя конспект и консультацию учителя, учащиеся самостоятельно разбираются  с темой, решают задачи, которые  можно проверять, используя технику матбоя. В  результате учащиеся  должны уметь ориентироваться и  выбирать более простой способ решения данных уравнений.

  Проверить умения и навыки  по данной теме, используя самостоятельную  работу. Домашняя контрольная работа – зачет по теме.

Тема  3.3. Дробно-рациональные уравнения, содержащих модуль.

 Углубление знаний  и умений в решении  дробно-рациональных уравнений, овладение  математическими методами решения данных уравнений.

 Итогом данной  темы может стать презентация или исследовательская работа.

Тема  3.4. Зачетная работа.

Работа рассчитана на 1 час, состоит из 5 заданий различного уровня.

4. Модуль и неравенства.

Тема  4.1. Решение линейных неравенств, содержащих модуль и неравенств, сводящихся к данным.

 Рассмотреть два основных способа решения  неравенств- методом интервалов и посредством равносильных переходов. В качестве дидактического материала можно использовать задачи, предлагаемые на ЕГЭ.

Итогом данной  темы может стать исследовательская работа , создание шпаргалки  или презентации по решению основных видов неравенств.

Тема  4.2. Решение квадратных неравенств , содержащих модуль и неравенств , сводящихся к данным.

 В данной теме   предлагается перейти  к решению более сложных неравенств. Учащиеся должны уметь выбирать более простой способ  решения неравенств данного типа.в

  Проверить умения и навыки  по данной теме, используя самостоятельную  работу. Домашняя контрольная работа – зачет по теме.

Тема  4.3. Зачетная работа.

Работа рассчитана на 1 час, состоит из 3 заданий различного уровня.

Тема  4.4. Обобщающее повторение по теме.

  Можно провести в виде семинара, консультации, ответов на вопросы , которые возникли при  решении домашних контрольных работ и самостоятельных работ.

 Дома учащиеся могут сделать презентацию по теме « Решение уравнений и неравенств, построение графиков функций  с модулем», найти  дополнительный материал, используя Интернет.

Тема  4.5. Итоговое занятие.

  Подвести итоги  работы, продемонстрировать презентации учащихся  по курсу, продемонстрировать  решение задач, а также интересный исторический  и интересный материал, не вошедший в данный курс, но подобранный учащимися из различных источников.

                   Структура элективного курса

1. Аннотация
2. Пояснительная записка
3. Цели и задачи курса
4. В результате изучения курса
5. Методические рекомендации
6. Тематическое планирование
7. Содержание курса
8. Рейтинговая система
9. Учебно-методическое обеспечение элективного курса.
10.  Список литературы, используемой учителем
11. Список литературы,  рекомендуемой для учащихся
12. Приложения:

Глава  1. ВВедение

12.1.Задания по теме «Понятие модуля»

     12.11. Задания на отработку  определения модуля

    Глава  2. Модуль и графики

     12.21.Алгоритм построения графиков с модулем

     12.22.«Задачи с модулем»-газета «Математика» 2004 год

     12.23. Задания по теме  « Построить графики функций с модулем» (20 вариантов)

     12.24. . Задания по теме  « Построить графики функций с модулем» для  сильных учащихся

    Глава  3. Модуль и уравнения

     12. 31.Разработка занятия « Решение линейных уравнений, содержащих модуль»

      12.32.Опорный  конспект « Решение уравнений, содержащих модуль»

      12.33. Тест  «Уравнения  с модулем»

      12.34. Самостоятельные работы по теме  « Решение уравнений, содержащих модуль»

      12.35. Задания по теме « Решение уравнений, содержащих модуль» из ЕГЭ

      12.36.Задания по теме « Решение тригонометрических  уравнений, содержащих модуль»

    Глава  4. Модуль и неравенства

      12. 41. Задания по теме « Решение линейных  неравенств, содержащих модуль»

      12.42. Задания по теме « Решение квадратных  неравенств, содержащих модуль»

      12.43.Тест «Неравенства с модулем»

      12.44. «Решение неравенств с модулем» -статья из журнала «Квант»

      12.5. Задание для домашней работы « Уравнения и неравенства с модулем» (8 вариантов)

      12.6.Задачи для самостоятельного решения (дополнительные)

      12.7. Зачетные работы

      12.8.Работы учащихся