Использование второго замечательного предела
статья по математике по теме

Использование второго замечательного предела в экономических задачах

При изучении теории пределов, студентов СПО знакомят с двумя замечательными пределами. Доказательство первого замечательного предела не вызывает затруднений. Первый замечательный предел находит широкое применение в физике и технике. Второй замечательный предел используется во многих науках, в том числе и в экономике. Вывод формулы выходит, как курс средней школы, так и за курс программы СПО. При изучении данного предела, обычно говорят, что последовательность  ограниченна и монотонна (этот факт доказывается в курсе высшей математики) и значит по теореме Вейерштрасса (которая тоже доказывается в курсе высшей математики) имеет предел. Данный предел равняется числу . Как правило, для закрепления данной темы, преподаватель со студентами решает несколько типичных примеров на нахождение второго замечательного предела, а задач  с практическим  применением этого предела не решают.

Восполнить этот пробел для студентов экономических специальностей можно с помощью следующих двух задач.

В среднесрочных и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если

проценты не выплачиваются сразу же после их начисления, а присоединяются к сумме ссуды, для подсчёта наращенной суммы применяются сложные проценты. Студенты с формулой начисления сложных процентов, обычно знакомятся на первых занятиях математики.  Вывод этой формулы практически не вызывает у них затруднений.

Начисление процентов на первоначальный капитал находится по формуле

, где  – номинальная годовая ставка сложных процентов;  – число начислений в году;  - количество лет начисления, P - современная стоимость (начальная стоимость), - наращенная (будущая) стоимость.  Такие проценты называют сложными дискретными.

Далее следует обобщить. Пусть теоретически начисление процентов может производиться  столь часто, что этот процесс можно рассматривать как непрерывный. На языке математики это означает, что m→∞.

Используя второй замечательный предел, записанный в виде   , получаем  . Получили формулу для начисления непрерывных процентов .

Далее студентам следует сказать, что  в практических финансово-кредитных операциях непрерывное наращение, т.е., наращение за бесконечно малые отрезки времени,  применяется крайне редко.

Обычно  непрерывное наращение используют в анализе сложных финансовых проблем, например, при обосновании и выборе инвестиционных  решений,  в финансовом проектировании.

 Для того,  чтобы отличить непрерывную ставку от дискретной,  её обозначают,  как  ,  и называют силой роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы за бесконечно малый промежуток времени. Тогда  формула принимает вид

Можно предложить студентам найти зависимость между дискретными и непрерывными ставками наращения между собой.  Из  формул
 и    следует: . Для закрепления можно решить следующий пример.

 На первоначальный капитал в сумме 500 рублей начисляются сложные проценты –  годовых в течение  лет. Определить наращенную сумму, если начисление процентов производится непрерывно.

Решение.

Найдём сначала силу роста σ, а потом наращенную сумму S.

 рублей.

Следующей задачей, которая вызывает у студентов практический интерес, является так называемое эмпирическое правило «семидесяти двух»,  которое утверждает, что удвоение  начальной  суммы  по  небольшим  ставкам сложных  процентов  происходит  за   лет,  где   берётся  в процентах.  Так,  при  i =  12%  удвоение  начального капитала произойдет за   =6  лет.  Строим со студентами  математическую модель этого правила с помощью  формулы  второго замечательного предела, записанной в виде  и формулы начисления сложных процентов , где  и   начальная и конечная  суммы,     - процентная ставка, выраженная десятичной дробью. Из формулы второго замечательного предела вытекает, что  при .  По условию . Значит . Так как , где   - проценты, то . На практике в качестве делителя используют множитель . Он имеет большое количество делителей, соответствующих малым процентам ), и потому более удобен для использования в качестве делимого по сравнению с более точным значением .  Для наглядной демонстрации данного правила можно построить его компьютерную модель, например с помощью электронных таблиц.

Как показывает практика, математическое моделирование  задач с прикладным  содержанием, собранными  вместе по всем темам, изучаемым студентами, как  в школе, так и   в ССУЗах,  позволяет соединить теоретические знания школьников и студентов с их профессиональными потребностями.