Свойства арифметического квадратного корня
презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему

                       Свойства арифметического квадратного корня

ЦЕЛИ:

Сформулировать свойства арифметического корня п-ой степени и научить применять.

Формировать продуктивную мыслительную деятельность учащихся через формирование интеллектуальных  умений анализировать, сравнивать, обобщать, синтезировать, сопоставлять, выделять основные закономерности, устанавливать сходство и различие.

Воспитывать у учеников умение в новых условиях действовать инициативно, добиваться осуществления поставленных задач, умение отстаивать свою точку зрения.

                  Содержание урока

Эспресс-опрос:

(ученики отвечают на вопросы учителя простым «голосованием). Согласны ли вы с тем, что:

Число 5 является арифметическим квадратным корнем числа 25?

Число 0,3 –квадратный корень числа 0,9?

Число»-3»-квадратный корень числа 9.

4-число, третья степень которого равна 64?

2- число, четвёртая степень которого равна 81?

13- число, квадрат которого равен 121?

Можно ли сказать, что  число больше нуля, если известно, что существует два различных значения корня из а?

√25=5, √-25=-5, √-16=-4,  √9=3, -√9=-3.

Х1,2=+(-)7-корни уравнения х2= 49.

Вступление:

Сложение и умножение имеют по одному обратному действию, которые называются вычитанием и делением. Пятое математическое действие-возведение в степень, имеет два обратных: разыскание основания и разыскание показателя.

Разыскание основания есть шестое математическое действие и называется извлечение корня.

Нахождение показателя- седьмое  действие -называется  логарифмированием. Причину того, что возведение в степень имеет два обратных действия, в то время, как сложение и вычитание - только по одному, понять не трудно: оба слагаемых (первое и второе) равноправны, их можно поменять местами.

То же верно относительно умножения. Однако числа, участвующие в возведении в степень, неравноправны между собой, переставить их, вообще говоря, нельзя.

(например, 75 ≠ 57). Поэтому, разыскание каждого из чисел, участвующих в сложении и умножении, производится одинаковыми приёмами, а разыскание основания степени и показателя степени выполняется различным образом. Кроме  принятого обозначения теперь употребляется для того же действия ещё и другое: а⅟n, весьма удобное в смысле обобщения: оно наглядно подчёркивает, что каждый корень есть не что иное, как степень,  показатель которой дробное число. Оно предложено было голландским математиком Симоном  Стевином  в 16 веке. А сегодня мы рассмотрим свойства шестого математического действия.

Объяснение

Сравните значения двух выражений (устно, на боковой доске).

1.√81*4 и √81*√4                             2. √64/121 и √64/√121

3. √100*16 и √100*√16                    4. √100/169 и √100/√169

Заметим, что вычисления часто можно было бы упрощать, если бы мы имели право заменять, например, арифметический квадратный корень из произведения произведением корней из множителей. Но для этого необходимо убедиться в справедливости формулы

√а*в=√а√в, где а,в- неотрицательные числа. Для лучшего понимания идеи доказательства, докажем, что √121=11.

Его решения проводятся в два этапа, что соответствует наличию в определении арифметического квадратного корня двух признаков, связанных логическим союзом  «и».

Запись на доске: приведённый пример – это модель доказательства теоремы, выражающий I свойство арифметического корня

Если а ≥ 0, в > 0, m, n– натуральные числа, причём m ≥ 2, n ≥2

Извлечение корня из произведения: n√ab = n√a * n√b

√121 = 11

11 ≥ 0

112 = 121

Дано:                              Доказательство:

a ≥ 0                                1) n√a * n√b ≥0, т.к. a ≥ 0, b ≥ 0,

b ≥ 0                                2) (n√a * n√b)n = (n√a)n(n√b)n = a * b 

n ≥2                                 Следовательно, n√ab = n√a * n√b.

Доказать                        

n√ab = n√a * n√b

т.е. корень n – ой степени из произведения, неотрицательных чисел равен произведению корней той же степени из сомножителей

Следствия:

Требовании а>0 и в>0 существенно лишь для чётного п,

поскольку при а<0 и в<0 и чётном п корни n√а и п√в не определены. Если же п нечётно, то рассматриваемая формула справедлива для любых а и в.

а).√16*625=√16*√625=4*25=100

в).3√-125*27=3√-125*3√27=-5*3=-15.

2).формулу п√ав =п√ап√в полезно использовать при вычислении корней, когда подкоренное представлено в виде произведения точных квадратов.

√1532-722=√(153-72)(153+72)=√225*81=√225√81=15*9=135.

3).эта теорема верна для любого числа положительных сомножителей.

3√27*54*16=3√27(27*2)(8*2)=3√27*27*8*4=3√273√273√83√4=

=3*3*23√4.

(представили подкоренное выражение в виде произведения множителей, каждый из которых является кубом целого числа и применили правило о корне из произведения)

4).рассмотренное правило применяется и в обратном порядке, то есть с права налево: п√ап√ в=п√ав.

5).теорема об арифметическом корне из произведения применяется для вынесения множителя из-под знака корня и внесения множителя под знак корня, и др. преобразованиях.

Извлечение корня из дроби п√а/в=п√а/п√в. Корень п-ой степени из дроби, числитель и знаменатель которой -положительные  числа, равен частному от деления корня той же степени из числителя на корень той же степени из знаменателя.

Например: 1).5√719⁄32=5√243/32=5√243/5√32=3/2=1,5.

2).3√-64/27=3√-64/3√27=-4/3.

Требование а>0 и в>0 существенно лишь при чётном п.

Если же п- нечётно, то эта формула верна и для а<0,в<0.

Возведение корня в степень:

 (п√а)т= п√ат.  Чтобы корень из положительного числа возвести в степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.

 (4√2а3)5 =4√(2а3)5=4√25а15=4√242а4а4а4а3=4√а4 4√24 4√2 4√а4 4√а3 *4√а4= 2а3 4√2а3

Извлечение корня из корня

m√ n√= mn√a  При извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение остаётся без изменения.

 √ 3√ ах5 = 6√ ах5

Шестое математическое действие даёт возможность разыгрывать настоящие алгебраические комедии и фарсы на такие сюжеты, как 2*2=5, 2=3 и т.д. Юмор подобных математических представлений кроется в том, что ошибка – довольно элементарная – несколько замаскирована и не сразу бросается в глаза. Пьесу из этого комического репертуара мы вам и предлагаем (ученица заранее подготовлена).

       Докажем что 2=3.

Запишем неоспоримое равенство

                    4-10=9-15

К обеим частям равенства прибавляем по равной величине 6 ¼;

             4-10+6 ¼=9-15+6 ¼

Преобразуем обе части последнего равенства в квадрат разности:

            22-2*2* 5/2 +(5/2)2=32-2*3*5/2+(5/2)2,

                 (2-5/2)2=(3-5/2)2.      (1)

Извлечём из обеих частей равенства квадратный корень:

                     2-5/2=3-5/2.          (2)

Прибавим по 5/2 к обеим частям и получим: 2=3, что и требовалось доказать.

В чём кроется ошибка?

[В заключении что из (1) получаем (2). Из того что квадраты равны, вовсе не следует, что равны первые степени. Ведь                                              

(-5)2=52, но -5=5. Квадраты могут быть равны и тогда, когда первые степени разнятся знаками].

Закрепление

1) устно, готовый плакат   заполните пустующие                кружочки, выполнив    указанные действия.

                   х5√1                                                                                                                                                

          х(6√2)3                                      х  5√2/2

                                   х√3√8

                                                                         4√16

                             5√2

                                                  Х5√16

2) кросснамбер (с английского кресточислица – один из видов числовых ребусов как средство контроля). Правильность проверяется тут же самими учащимися: в случае верных ответов, цифры, стоящие при пересечении горизонтали и вертикали, должны совпадать. Выполнять в три этапа:

а) устно самые лёгкие.

б) самостоятельно по возможности.

в) совместно у доски письменно (комментированное письмо те задания, которые вызывают особые затруднения)

   по горизонтали:                                    по вертикали:

в) √36*25                                              а) 2 3√8*3√125

г) 5√310*215                                                            б)(3√625 +12 3√5):3√5

е) (√25-1)(√25+1)                                 в)(11√3)2-4√25

ж) 4√10000                                            д) 7(3√4√27*103)4

з) (3√2)2 +2√49                                     и) 172

к) 5√ 3,2*106                                          к) (-2 6√4)6

л) (√4+5)2

м) 2 3√64 +8 5√1 +72.                                  

Итог урока:

На свойствах арифметического корня натуральной степени

В дальнейшем будут основываться свойства степени с рациональным показателем.

Математики древности многих стран неквадратные числа, стоящие под знаком корня, не признавали за числа. Греки называли их «алогос» -невыразимое словами, арабы такие числа называли «немыми», европейцы –латинским словом «глухой».

В 16 веке Стевин писал:  « Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, неправильных , необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.»