Задачи с параметрами
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Избранные вопросы математики

по теме

«Задачи с параметрами»

Автор:

Учитель I категории МБОУСОШ № 16  

Илясова Галина Константиновна

2012 год ,

г. Майкоп

        С параметрами учащиеся встречаются в школьном курсе алгебры:

Прямая пропорциональность:  y=kx (x и y – переменные; k – параметр; k≠o)

Линейная функция:   y=kx+b (x и y – переменные; k и b – параметры)

Линейное уравнение:   ax+b=0 (x – переменная; a и b – параметры)

Квадратное уравнение:   ax² +bx+c=0 (x – переменная; a,b,c – параметры; a≠0)

Чтобы обеспечить хорошее понимание темы целесообразно решить примеры с числовыми коэффициентами:

Пример 1.

Решить уравнение:

6x+9x–27=11x+13

15x–11x=13+27

4x=40

x=10 ,    Ответ:  10.

        Дается определение: параметрами называются числа, обозначенные буквами, значения которых предполагаются известными.

        Учащиеся должны уяснить, что исследование решения уравнения, содержащего параметры, является обязательной составной частью решения этого уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение:

        Прежде всего, устанавливаем допустимые значения для параметров и неизвестного: c≠0. На  x  никаких ограничений не накладывают, так как ни при каких значениях  х  ни левая ни правая части уравнения не теряют смысла. Затем освобождаемся от дробей. Получаем   a – bx +bc=bc–x, или  a–bx= –x,  откуда   bx – x=a,   x(b–1)=a.

Если b–1≠0, т.е. b ≠ 1, то разделив на b-1, получаем единственное решение:                    

Если b=1, то уравнение x(b-1)=a, принимает вид  0∙x=a

Ответ:  1) при a=0   x – любое число

  2) при a≠0 уравнение не имеет решений.

Пример 3.

Решить уравнение:

Решение:   x ≠ ±2,    ax+2a = x+1,    (a-1)x=1-2a,   a≠1.   Тогда  

Найдем значения a, которые приводят к недопустимым значениям x.

Следовательно,  а  не может равняться   .

Что невозможно ни при ≠ каких значениях a.

Ответ:

1) Если      

2) При          решений не имеет.

Пример 4.

Решить уравнение   ax=1.

Решение:

На первый взгляд представляется возможным сразу дать ответ:    

Однако при   a=0  данное уравнение решений не имеет, и верный ответ выглядит так.

Ответ:

 Если   a=0, то нет решений;

         Если   a≠0, то .

Пример 5.

Решить уравнение  

Решение:

a = 1; тогда уравнение примет вид 0x = 2 и не имеет решений;

a = -1, получаем 0х = 0, х – любое число;

a ≠ ±1 имеем  

Ответ: Если a = -1, то  х – любое число,

            Если   a=1, то нет решений;

        Если   a≠±1, то .

Пример 6.

        Найти наибольшее из значений параметра а, для которого существуют числа х и y, удовлетворяющие уравнению

Решение:

Удобно записать данное уравнение как квадратное относительно х. 

Поскольку должен существовать хотя бы один корень, удовлетворяющий данному уравнению, значит:

Теперь надо найти такие а, при которых полученное квадратичное неравенство имеет хотя бы одно решение. Для этого дискриминант соответствующего квадратного трехчлена должен принимать неотрицательные значения. Получаем

Отсюда ,   тогда наибольшее значение параметра а равно .

Ответ: a = .

Пример 7.

        Найти все пары значений а и b, для которых система

Имеет не менее пяти решений (х ; y).

Решение:

Первое уравнение системы равносильно уравнению

Отсюда данная система равносильна совокупности двух систем.

Если вторые уравнения этих систем квадратные или линейные, то очевидно исходная система не может иметь более четырех решений. Следовательно, для того чтобы она имела не меньше пяти решений, необходимо

Ответ: