Элективный курс по математике " Абсолютная величина"
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме
Элективный курс «Абсолютная величина» предназначен для подготовки школьников к обучению в классах физико-математического профиля, так как полученные знания будут способствовать более полному и глубокому усвоению таких базовых понятий математики, как предел и производная. Кроме того, задания единого государственного экзамена по математике предполагают умение оперировать модулем.
Элективный курс предпрофильной подготовки обучающихся 9-ых классов посвящен системному освещению учебного материала, связанного с понятием модуль числа и аспектами его применения. В нем рассматриваются различ-ные методы и способы решения уравнений и неравенств с модулем, основанные на его определении, свойствах и графи-ческой интерпретации. Значительное внимание уделено вопросам приложения модуля к преобразованию корней.
Курс ориентирован на математическую подготовку обучающихся. Он расширяет базовый курс по математике, яв-ляется предметно-ориентированным и дает учащимся возможность познакомиться с интересными и нестандартными решениями уравнений и неравенств, содержащих абсолютную величину.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 элективный курс "Абсолютная величина" | 895 КБ |
Предварительный просмотр:
Занятие 1
Определение модуля числа и его применение при решении уравнений
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Модулем числа называется расстояние от начала отсчета до точки, изображающей это число на координатной прямой. Иногда вместо термина «модуль» используется термин «абсолютная величина» или «абсолютное значение» числа. Обозначается модуль посредством символа | |. Устанавливая связь между модулем числа и самим числом, получим аналитическую запись определения: а, если а>0, | а | = 0, если а=0, -а, если а<0 Например, | 7 | = 7; | -7 | = - (-7) = 7 | - 2 | = - 2 (так как - 2 > 0); | - 4 | = - ( - 4) = 4 - (так как - 4 < 0) Отметим, что термин «модуль» (от латинского modulus – мера) ввел английский математик Р. Котес (1682 – 1716), а знак модуля немецкий математик К. Вейернетрасс (1815 – 1897) в 1841г. Рассмотрим примеры, иллюстрирующие методы решения уравнений вида | f(x) | = b, где b R. Возможен один из трех случаев.
f(x) = b f(x) = - b | Пример 1. Решите уравнение | x – 3 | = 5 Решение: x– 3 = 5 x = 8 | x – 3 | = 5 x – 3 = -5 x = -2 Ответ: - 2; 8. Пример 2. Решите уравнение | x + 4 | + 1 = 0. Решение. | x + 4 | + 1 = 0 | x + 4 | = - 1 – решений нет. Ответ: решений нет. Пример 3. Решите уравнение | 3x + 2 | - 4 = 0. Решение. | 3x + 2 | - 4 = 0 | 3x + 2 | = 4 3x + 2 = 4 x =
3x + 2 = - 4 x = - 2. Ответ: - 2; Пример 4. Решите уравнение | | = 1. Решение. = 1 (1) | | = 1 = - 1 (2) Первое уравнение равносильно системе 3 – x = x – 1 2x = 4 x = 2 x 1 x 1 Второе уравнение равносильно системе 3 – x = - x + 1 0*x = - 2
x 1 x 1 Система решений не имеет. Ответ: 2. Пример 5. Решите уравнение | x2 + x - 1 | = 2x -1. Решение. В отличие от предыдущих заданий в правой части данного уравнения содержится выражение с переменной. Поэтому уравнение имеет решение при условии, что 2х-1 0. В этом случае равенство возможно, если значения выражений х2 + х – 1 и 2х – 1 одинаковы либо противоположны. Иными словами, данное уравнение равносильно системе: 2х–1 0 х 0,5 x = 0 х2+х–1 = 2х–1 x = 1 x = (-3 + ) / 2 х2+х–1 = -(2х–1) x = (-3 - ) / 2 x = 1 x = (-3 + ) / 2 Ответ: 1, (-3 + ) / 2 Пример 6. Решите уравнение | 2x – 3 | = 3 – 2x Решение. | 2x – 3 | = 3 – 2x 3 – 2x 0 x 1,5 2x – 3 = 3 – 2x x = 1,5 2x – 3 = - (3 – 2x) 0*x = 0 Ответ: [ -∞; 1,5 ] | Упражнения для самостоятельной работы. Решите уравнения.
Ответ: 1 ± ; 1 ± 4. | 3 – 2x | = 3x Ответ: 0,6 5. x2 + 5x - = 0 Ответ: 1; -2; -3.
Ответ: [ ; + ∞)
Ответ: - ; 1 -
Ответ: 3; 4. |
Занятие 2
Уравнения, содержащие знак абсолютной величины.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Простейшими уравнениями с модулем являются уравнения вида: f(| x |) = g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции. Для того, чтобы решить данное уравнение, нужно найти сначала все решения уравнения f(x) = g(x), принадлежащие множеству х ≥ 0, затем решить уравнение f(-x) = g(x) на множестве х < 0; объединение множеств найденных решений составляет множество всех решений уравнения. Другими словами, уравнение f(| x |) = g(x) равносильно совокупности систем f(x) = g(x) f(-x) = g(x) x ≥ 0 x < 0 | Пример 1. Решить уравнение x2 – 5 | x | + 6 = 0. Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности систем: 1) x2 – 5x + 6 = 0 x = 2 ; x = 3 ; x=2, x = 3 x ≥ 0 x ≥ 0 2) x2 + 5x + 6 = 0 x = -2 ; x = -3 ; x=-2, x = -3 x < 0 x < 0 Ответ: - 3; - 2; 2; 3. Пример 2. Решить уравнение | x | = x2 + x – 2. Решение. Данное уравнение равносильно совокупность систем: 1) x = x2 + x – 2 x2 – 2 = 0 x ≥ 0 x ≥ 0 x = - x = ; x = . x ≥ 0 2) - x = x2 + x – 2 x2 + 2x – 2 = 0 x < 0 x < 0 x = - 1 - x = - 1 + ; x = - 1 - . x < 0 Ответ: ; - 1 - . Пример 3. Решить уравнение + х = х2 + 1. Решение. Данное уравнение равносильно совокупности систем: 1) 1 + x = x2 + 1 x2 – х = 0 x = 0 ; ; x = 1 ; x=1 х > 0 x > 0 x > 0 2) – 1 + x = x2 + 1 x2 – x + 2 = 0 x < 0 x < 0 Уравнение x2 – x + 2 = 0 не имеет корней, так как Д < 0, поэтому система решений не имеет. Ответ: 1 Уравнение вида h(| f(x) |) = g(x), где h, g, f – некоторые функции, равносильно совокупности систем. h(f(x)) = g(x) h(- f(x)) = g(x) f(x) ≥ 0 f(x) < 0 Пример 4. Решить уравнение = 1 Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: 1) x – 1 ≥ 0 x ≥ 1 = 1 x = - 3 система не имеет решений.
2) x – 1 < 0 x < 1 = 1 x = - , x = - . Ответ: - Пример 5. Решить уравнение = | x + 3 | Решение. Исходное уравнение равносильно совокупности систем:
= x + 3 (x2+5x+3) / (x–2)=0 x ≥ - 3 x = (-5 - ) / 2 x = (-5 + ) / 2 x = (-5 + ) / 2
= - (x+3) (x2+7x+3) / (x+4)=0 x < - 3 x = (-7 - ) / 2 x = (-7 + ) / 2 x = (-7 + ) / 2 Ответ: (-5 + ) / 2 ; (-7 - ) / 2. | Упражнения для самостоятельной работы. Решите уравнения.
Ответ: 2 + ; - 2 - .
Ответ: - 1; 0.
Ответ: - 2. 4. = | x + 1 | Ответ: - 2 - ; . 5. | 3x – 2 | + x = 11 Ответ: - ; .
Ответ: . |
Занятие 3
Решение уравнений, содержащих модуль, методом интервалов.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Уравнение вида | f1(x) | + | f2(x) | + … + | fn(x) | = g(x) решается методом интервалов (или методом разбиения на промежутки). Метод промежутков заключается в следующем:
| Пример 1. Решить уравнение | 3x – 8 | - | 3x – 2 | = 6 Решение. | 3x – 8 | - | 3x – 2 | = 6 Найдем корни подмодульных выражений 3x – 8 = 0 и 3x – 2 = 0 x = 2 x = и определим знаки этих выражений на интервалах (- ∞; ); (; 2) и (2; + ∞) (для этого достаточно подставить в каждое подмодульное выражение вместо x какое-нибудь число из выбранного интервала. - - + | 3x – 8 | - + + | 3x – 2 | 2 Теперь раскроем на каждом интервале оба модуля с учетом знака подмодульных выражений.
- (3x – 8) + (3x – 2) = 6 6 = 6 x (- ∞; ) 2) ≤ x < 2 ≤ x < 2 - (3x – 8) - (3x – 2) = 6 - 6x = - 4 ≤ x < 2 x = x = 3) x > 2 x > 2 (3x – 8) + (3x – 2) = 6 -6 = 6 нет решений. Ответ: (- ∞; ] Пример 2. Решите уравнение | 7x – 12 | - | 7x – 1 | = 1 Решение. | 7x – 12 | - | 7x – 1 | = 1 7x - 12 = 0 7x – 1 = 0 x = 1 x = - - + | 7x – 12 | - + + | 7x – 1 | 1
- (7x – 12) + (7x – 1) = 1 -7x + 12 + 7x – 1 = 1 x < 0*x = -10 нет решений. 2) ≤ x < 1 ≤ x < 1 - (7x – 12) – (7x – 1) = 1 -14x = -12 ≤ x < 1 x = x = 3) x ≥ 1 x ≥ 1 7x – 12 – 7x + 1 = 1 0*x = 12 нет решений Ответ: Пример 3. Решите уравнение | 2x + 2 | - | x | = x + 2 Решение. | 2x + 2 | - | x | = x + 2 2x + 2 = 0 и x = 0 x = - 1 - + + | 2x + 2 | - - + | x | -1 0 1) x < -1 x < -1 -2x – 2 + x = x + 2 x = -2 x = -2 2) -1 ≤ x < 0 -1 ≤ x < 0 2x + 2 + x = x + 2 x = 0 нет решений 3) x ≥ 0 x ≥ 0 2x + 2 – x = x + 2 x + 2 = x + 2 x [0; + ∞) Ответ: - 2; [0; + ∞). Пример 4. Решите уравнение | x | + | 7 – x | + 2| x – 2 | = 4 Решение. | x | + | 7 – x | + 2| x – 2 | = 4 x = 0 7 – x = 0 x – 2 = 0 x = 7 x = 2 - + + + | x | + + + - | 7 - x | - - + + | x – 2 | 0 2 7 1) x < 0 x < 0 -x + (7 – x) – 2(x – 2) = 4 x = , нет решений 2) 0 ≤ x < 2 0 ≤ x < 2 x + (7 – x) – 2(x – 2) = 4 x = , нет решений 3) 2 ≤ x < 7 2 ≤ x < 7 x + (7 – x) + 2(x – 2) = 4 x = , нет решений 4) x ≥ 7 x ≥ 7 x - (7 – x) + 2(x – 2) = 4 x = , нет решений Ответ: корней нет. | Упражнения для самостоятельной работы. Решите уравнения.
Ответ: (- ∞; 1,2]
Ответ: (- ∞; ]
Ответ: -3,5; -1,5.
Ответ: ; .
Ответ: -12; -0,75
Ответ: ; 3.
Ответ: 2.
Ответ: [-2; 3] |
Занятие 4
Решение неравенств методом интервалов.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Метод интервалов для решения неравенств аналогичен методу интервалов для решения уравнений. Не повторяя его алгоритма, рассмотрим примеры. | Пример 1. Решить неравенство | x + 5 | + | 2x – 3 | < 10 Решение. | x + 5 | + | 2x – 3 | < 10 Корни подмодульных выражений: x = -5 и x = 1,5. Расставим знаки этих выражений на полученных интервалах: - + + | x + 5 | - - + | 2x – 3 | -5 1,5 Решим системы неравенств:
- (x – 5) - (2x – 3) < 10 -x + 5 – 2x + 3 < 10 x < -5 x > - , решений нет. 2) -5 ≤ x < 1,5 -5 ≤ x < 1,5 (x + 5) – (2x – 3) < 10 x + 5 – 2x + 3 < 10 -5 ≤ x < 1,5 x > - 2 - 2 < x < 1,5 3) x ≥ 1,5 x ≥ 1,5 (x + 5) + (2x – 3) < 10 x + 5 + 2x – 3 < 10 x ≥ 1,5 x < 2 1,5 ≤ x < 2 Пример 2. Решите неравенство | x – 1 | + | 2 - x | > 3 + x Решение. Корни подмодульных выражений: x = 1 и x = 2. - + + | x – 1 | + + - | 2 - x |
Решим систему неравенств
- (x – 1) + (2 – x) > 3 + x -x + 1 + 2 – x – x > 3 x < 1 x < 0 x < 0
x + 1 + 2 – x > 3 + x x < 0 , решений нет. 3) x ≥ 2 x ≥ 2 x – 1 – 2 + x > 3 + x x > 6 , x > 6 Объединим найденные решения x (- ∞; 0) (6; + ∞) Ответ: (- ∞; 0) (6; + ∞) Пример 3. Решить неравенство | x2 – 3x | + x - 2 < 0 Решение Корни подмодульного выражения: x=0 и x = 3. + - + | x2 – 3x |
Решим системы неравенств:
x2 – 3x + x – 2 < 0 x2 – 2x – 2 < 0 Решение системы: (1 - ; 0)
- x2 + 3x + x – 2 < 0 x2 – 4x + 2 > 0 Решение системы: (0; 2 - ). Объединим найденные решения x (1 - ; 2 - )
Ответ: (1 - ; 2 - ) . Пример 4. Решить неравенство | x2 – 3x + 2 | + | 2x + 1 | ≤ 5 Решение. Найдем корни подмодульных выражений. x2 – 3x + 2 = 0 2x + 1 = 0 x = 1 и x = 2 x = - + + - + | x2 – 3x + 2 | - + + + | 2x + 1 | - 1 2 Решим системы неравенств: 1) x < - x < - (x2 – 3x + 2) - (2x + 1) ≤ 5 x2 – 3x + 2 – 2x - 1 ≤ 5 x < - x < - x2 – 5x – 4 ≤ 0 (5 - ) / 2 ≤ x ≤ (5 + ) / 2 Решение системы: -- ≤ x < 1 2) - ≤ x < 1 - ≤ x < 1 (x2 – 3x + 2) + (2x + 1) ≤ 5 x2 – x – 2 ≤ 0 - ≤ x < 1 - 1 ≤ x ≤ 2 Решение системы: - ≤ x < 1 3) 1 ≤ x < 2 1 ≤ x < 2 - (x2 – 3x + 2) + (2x + 1) ≤ 5 -x2+3x–2+2x+1 ≤ 5 1 ≤ x < 2 1 ≤ x < 2 x2 – 5x + 6 ≥ 0 x ≤ 2 или x ≥ 3 Решение системы: 1 ≤ x < 2 4) x ≥ 2 x ≥ 2 (x2 – 3x + 2) + (2x + 1) ≤ 5 - 1 ≤ x ≤ 2 Решение системы: x = 2. Объединим найденные решения x [(5 - ; 2] Ответ: [(5 - ; 2] | Упражнения для самостоятельной работы. Решите неравенства. 1. | x – 1| + |x + 2| ≤ 2 Ответ: [-2; 1]. 2. | x – 1| ≤ |2x – 3| - |x – 2| Ответ: (-∞; 1] [2; +∞) 3. |2x + 1| + |3x – 2| ≤ 5x + 3 Ответ: [-; +∞)
Ответ: (-∞; 2)
Ответ: (-; 2)
Ответ: (-∞; 1) (2 + ; +∞) |
Занятие 5
Неравенства, содержащие абсолютную величину. (|x| < a, |x| > a)
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Другой подход к неравенствам, содержащих абсолютные величины, состоит в следующем. Неравенство вида |x| < a равносильно системе неравенств x < a x > -a , а неравенство |x| > a равносильно совокупности неравенств x > a x < -a. (Напомним, что в системе должны выполняться оба неравенства. Соответствует союзу «и». Совокупность (объединение) неравенств означает, что должно выполняться хотя бы одно из неравенств. Соответствует союзу «или».) Доказательства обоих утверждений следует из определения абсолютной величины. Неравенство <, ≤ >, ≥ система совокупность | Рассмотрим примеры. Пример 1. Решить неравенство | x2 – 3x | + x – 2 < 0 Решение. Данное неравенство было решено методом интервалов (см. занятие 3). Рассмотрим иное решение. Неравенство | x2 – 3x | + x – 2 < 0 равносильно системе неравенств x2 – 3x < 2 – x x2 – 2x – 2 < 0 x2 – 3x > - (2 – x) x2 – 4x + 2 > 0 1 - < x < 1 + x < 2 - или x > 2 +
Решение системы: (1 - ; 2 - ) Ответ: (1 - ; 2 - ). Пример 2. Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3 Решение. 3(x – 1) ≤ x + 3 3| x – 1| ≤ x + 3 3(x – 1) ≥ -(x + 3) 3x – 3 ≤ x + 3 x ≤ 3 3x – 3 ≥- x – 3 x ≥ 0 x [0; 3] Ответ: [0; 3] Пример 3. Решить неравенство |x – 2| - x < 2x2 – 9x + 9. Решение. x – 2 < 2x2 – 8x + 9 |x – 2| - x < 2x2 – 9x + 9 x – 2 > -(2x2 – 8x + 9) 2x2 – 7x + 7 > 0 2x2 – 9x + 11 > 0 Так как Д1 = 49 – 8*7 < 0, Д2 = 81 – 8*11< 0, то оба эти неравенства выполняются для всех. Ответ: (-∞; +∞). Пример 4. Решить неравенство || < 3. Решение. Данное неравенство равносильно системе < 3 < 0 > -3 > 0 < 0 x < 3 > 0 x < 1 или x > 3 Решение системы: (-∞;1) Пример 5. Решить неравенство |2x – 1| >3 Решение: |2x – 1| > 3 2x – 1 > 3 2x > 4 x > 2 2x – 1 < -3 2x < - 2 x < -1 Ответ: (-∞; -1) (2; +∞) Пример 6. Решить неравенство |2x + 5| > 3 – 5x. Решение. |2x + 5| > 3 – 5x 2x + 5 > 3 – 5x 7x > -2 2x + 5 < -(3 – 5x) -3x < -8 x > - x > - x > 2 Ответ: (- ; +∞) Пример 7. Решить неравенство x2 - |5x – 3| - x < 2 Решение: x2 - |5x – 3| - x < 2 |5x–3| > x2 – x – 2 5x – 3 > x2 – x – 2 x2 – 6x + 1 < 0 5x – 3 < - x2 + x + 2 x2 + 4x – 5 < 0 3 - 2 < x < 3 + 2 -5 < x < 1 Таким образом, данное неравенство выполняется при x (-5; 3 + 2) Ответ: (-5; 3 + 2) Пример 8. Решить неравенство |x2 – 6| > 4x + 1 Решение: |x2 – 6| > 4x + 1 x2 – 6 > 4x + 1 x2 – 6 < - 4x – 1 x2 – 4x – 7 >0 x < 2 - или x > 2 + x2 + 4x – 5 < 0 -5 < x < 1 Таким образом, данное неравенство выполняется при x (-∞; 1) (2 + ; +∞). Ответ: (-∞; 1) (2 + ; +∞). | Упражнения для самостоятельной работы. Решите неравенства. 1. 4 | x + 2| < 2x + 11 Ответ: [-3; 1]. 2. x2 + 4 ≥ |3x + 2| - 7x Ответ: (-∞; -5 - ] [-2 + ; +∞) 3. |x2 – 5x| ≤ 6 Ответ: [-1; 2] [3; 6]
Ответ: (-∞;-3] [-; ] [3; +∞)
Ответ: [-4; -2) (-2; -1) [1; 2) (2; 4]
Ответ: (-∞; 2 - ) (2 + ; +∞)
Ответ: [0; 5] |
Занятие 6
Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
При изучении расстояния между двумя точками А(x1) и B(x2) координатной прямой выводится формула, согласно которой АB = |x1 – x2|. Используя эту формулу, можно решать уравнения и неравенства вида |x –a| = b, |x – a| = |x – b|, |x – a| < b, |x – a| > b, |x – a| < |x – b|, |x – a| > |x – b|, а также уравнения и неравенства, к ним сводимые. | Рассмотрим примеры. Пример 1. Решить уравнение | x – 4 | = 1 Решение. Переводя запись данного уравнения на «язык расстояний», получим предложение «расстояние от точки с координатой x до точки с координатой 4 равно 1». Следовательно, решение уравнения сводится к отысканию точек, удаленных от точки с координатой 4 на расстояние 1. Обратимся к геометрической иллюстрации. 3 4 5 x Корнями уравнения являются числа 3 и 5. Ответ: 3; 5. Пример 2. Решите уравнение |2x +1| = 3. Решение. Имеем |2x +1| = |2(x + )| = | 2 | |x + | = 2 |x + |. Значит, данное уравнение можно преобразовать к виду 2 |x + | = 3, откуда получаем |x – (-)| = , используя формулу расстояния: -2 - 1 x Ответ: -2; 1. Пример 3. Решите уравнение |5 – 3x| = 6. Решение. Имеем |5 – 3x| = | -3(x - )| = |-3| | x - | = 3| x - |. Поэтому заданное уравнение можно преобразовать к виду 3 | x - | = 6, откуда | x - | = 2; |x - 1| = 2. Используя формулу расстояния: - 1 3 x Ответ: -; 3. Пример 4. Решить уравнение |x + 2| = |x – 1|. Решение. Запишем данное уравнение в виде |x – (-2)| = |x – 1|. Исходя из геометрических представлений, нетрудно понять, что корнем последнего уравнения является координата точки, равноудаленной от точек с координатами 1 и -2, т.е. число -0,5. Ответ: -0,5. Используя аналогичные рассуждения, можно решать и неравенства. Пример 5. Решить неравенство |x – 1| < 2/ Решение. Исходя из геометрических представлений, приходим к выводу, что решениями данного неравенства являются координаты точек, удаленных от точки с координатой 1 на расстояние, меньшее 2. Чтобы изобразить эти точки на координатной прямой, первоначально отметим точки, удаленные от 1 на расстояние, равное 2, а затем меньше 2. -1 1 3 Решения данного неравенства составят числа, принадлежащие интервалу (-1; 3). Ответ: (-1; 3). Пример 6. Решить неравенство |x + 1| > 2/ Решение. Представим данное неравенство в виде |x – (-1)| > 2. Рассуждения, аналогичные приведены выше, и их геометрическая интерпретация -3 -1 1 Позволяют получить решения неравенства: (-∞; -3) (1; +∞). Ответ: (-∞; -3) (1; +∞). Пример 7. Решить неравенство |x + 1| < |x – 2|. Решение. Данное неравенство имеет следующий геометрический смысл: расстояние точки с координатой x до точки с координатой -1 меньше ее расстояния до точки с координатой 2. Отметим на прямой точку, равноудаленную от точек с координатами -1 и 2, а затем точки, расположенные к -1 ближе, чем к 2. -1 0,5 2 x Решения данного неравенства: (-∞; 0,5). Ответ: (-∞; 0,5). Приведенный метод позволяет находить решения достаточно узкого класса уравнений и неравенств с модулем. Однако использование именно таких неравенств при изучении пределов диктует целесообразность его рассмотрения. | Упражнения для самостоятельной работы. Решите уравнения и неравенства. 1. | x - 2| = 0,4 Ответ: 1,6;2,4. 2. |x + 3| = 0,7 Ответ: -3,7; -2,3. 3. |x – 2,5| ≤ 0,5 Ответ: [2; 3]
Ответ: (3;17)
Ответ: [-∞; -2) [0; +∞)
Ответ: (-∞;-8,7) (-7,3; +∞)
Ответ: 0
Ответ: 0,4
Ответ: [1; + ∞)
Ответ: (3; +∞) |
Занятие 7
Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль в модуле.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Рассмотрим несколько примеров, которые можно решить используя определение модуля. | Пример 1. Решить уравнение | | x | – 2 | = 4 Решение. | | x | – 2 | = 4 | x | -2 = 4 | x | = 6 | x | -2 = -4 | x | = -2 Уравнение | x | = -2 не имеет корней, так как модуль не может быть отрицательным числом. | x | = 6 x = -6 x = 6 Ответ: -6; 6. Пример 2. Решить уравнение | |2x – 5| - 3| = 2. Решение. | |2x – 5| - 3| = 2 |2x – 5| - 3 = 2 |2x – 5| - 3 = - 2 | 2x – 5| = 5 2x - 5 = 5 x = 5 | 2x – 5| = 1 2x – 5 = -5 x = 0 2x – 5 = 1 x = 3 2x – 5 = -1 x = 2 Ответ; 0; 2; 3; 5. | Упражнения для самостоятельной работы. Решите уравнения. 1. | | x - 2| - 3 | = 1 Ответ: -2,0;4,6. 2. | |x - 1| + 2 | = 1 Ответ: решений нет. 3. | x – 3 - | x | | = 4 Ответ: - 0,5. 4. | | x2 – 3x | - 5 | = x + 1 Ответ: 2; 2 + ; 1 + . Решите неравенства 1. | | x – 1 | - 5 | ≤ 2 Ответ: (-3; -2) (2; 3). 2. | |3x + 1| + x + 1| ≥ 2 Ответ: (-∞; -1] [ 0; +∞} 3. | 2x + 1 - |3x + 1| | ≤ x + 2 Ответ: [ -; +∞}. |
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, также содержащее модуль, можно сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули. | Пример 3. Решить уравнение | x - | 4 – x | | - 2x =4. Решение. Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: 4 – x ≥ 0 4 – x < 0 | x – (4 – x) | - 2x = 4 | x + (4 – x) | - 2x = 4 т.е. совокупности систем x ≤ 4 x > 4 | 2x – 4 | - 2x = 4 - 2x = 0 решений нет. Первая система совокупности равносильна совокупности двух следующих систем: x ≤ 4 x ≤ 4 2x – 4 ≥ 0 2x – 4 < 0 (2x – 4) – 2x = 4 - (2x – 4) – 2x = 4 т.е. совокупности x ≤ 4 x ≤ 4 x ≥ 2 x < 2 x = 0 -4 = 4 - 4x = 0 Первая система совокупности решение не имеет. Единственным решением совокупности, а следовательно, и исходного уравнения является число 0. Ответ: 0. | |
Неравенства вида | f(| x |) | < g (x) можно решить двумя способами; оно равносильно совокупности двух систем: | f(x) | < g(x) | f(-x) | < g(x) x ≥ 0 x < 0 а также равносильно системе неравенств f(| x |) < g(x) f(| x |) > - g(x) Выбор способа решения зависит от конкретного неравенства и от сложности функций f и g. | Пример 4. Решить неравенство | | x | - 1 | < 1 – x. Решение. Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем: | x – 1| < 1 – x | -x – 1| < 1 - x x ≥ 0 x < 0 Неравенство | x – 1| < 1 – x первой системы равносильно системе x – 1< 1 – x x < 1 x – 1> - (1 – x) 0*x > 0 , решений нет. Следовательно, не имеет решений и первая система совокупности. Неравенство | -x -1| < 1 – x | x + 1| < 1 – x x + 1 < 1 – x x < 0 x (-∞; 0) x + 1> -(1 – x) 0*x > - 2 Множество (-∞; 0) является решением второй системы совокупности и тем самым исходного неравенства. Ответ: (-∞; 0) | |
Неравенство вида | f(| x |) | > g(x) можно решить двумя способами: оно равносильно совокупности неравенств f( | x |) > g(x) f( | x |) < -g(x) , а также равносильно совокупности двух систем: | f(x) | > g(x) | f(-x) | > g(x) x ≥ 0 x < 0. | Пример 5. Решить неравенство | |2x – 3| - 7 | > 6. Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем: 1) |2x – 3| - 7 > 6 2) |2x – 3| - 7 < - 6 |2x – 3| > 13 |2x – 3| < 1 2x – 3 > 13 -1 < 2x – 3 < 1 2x – 3 < -13 2 < 2x < 4 x > 8 1 < x < 2 x < - 5 Ответом будет объединение полученных решений. Ответ: (-∞; -5) (1; 2) (8; +∞). |
Занятие 8
Логический метод решения уравнений и неравенств с модулями.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
В некоторых случаях решение уравнений (неравенств) с модулями логическим путем при использовании свойств ограниченности функций, стоящих в левой и правой частях уравнения (неравенства), позволяет получить ответ очень быстро и избежать тем самым более громоздкого решения стандартными аналитическими методами. | Пример 1. Решить уравнение |2x + 9| + |x – 3| + |x + 1| + 3 = 0 Решение. Так как при любых x | 2x + 9 | ≥ 0, | x – 3 | ≥ 0, | x + 1 | ≥ 0, причем эти абсолютные величины одновременно в ноль не обращаются, то |2x + 9| + |x – 3| + |x + 1| + 3 > 3. Поэтому ни при каких значениях x выражения, стоящие в левой части заданного уравнения, не будут равно нулю, т.е. уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет. Пример 2. Решить уравнение | |x2 – 4| - | = - x2 + x – 4. Решение. О.Д.З. x + 2 ≥ 0; x ≥ - 2. Заметим, что при любом x (в частности при x ≥ - 2) - x2 + x – 4 < 0 (т.к. дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в правой части уравнения, отрицателен), а | |x2 – 4| - | ≥ 0 (на О.Д.З.). Значит, это уравнение не имеет корней. Ответ: решений нет. Пример 3 Решить неравенство | 3 – 5x | + | x2 – 3x + 2 | ≥ - Решение. О.Д.З. x ≥ 1. Так как | 3 – 5x| ≥ 0, | x2 – 3x + 2 | ≥ 0, причем указанные выражения одновременно в ноль не обращаются, то | 3 – 5x | + | x2 – 3x + 2 | > 0 при любых действительных значениях x. На ОДЗ - ≤ 0. Следовательно, неравенству удовлетворяют любые значения, принадлежащие ОДЗ. Ответ: [1;+∞). Пример 4. Решить неравенство. (x2 – 5x + 6) / (| x | + 7) < 0 Решение. Заметим, что | x | + 7 > 0 при любых значениях x. Тогда исходное неравенство равносильно неравенству x2 – 5x + 6 < 0, откуда 2 < x < 3. Ответ: (2; 3). Пример 5. Решить уравнение | 1 – x | + | x | = 1 – x2 Решение. При любом x 1 – x2 ≤ 1, а | 1 – x | + | x | ≥ 1 Следовательно, 1- x2 = 1 | 1 – x | + | x | = 1 из уравнения 1- x2 = 1, находим x = 0. Проверкой убеждаемся, что x = 0 является корнем второго уравнения системы. Итак, заданное уравнение имеет единственный корень 0. Пример 6. Решить уравнение |3x – 1 – 2x2| = 2x2 – 3x + 1. Решение. Обозначим выражение 3x – 1 – 2x2 = a. Тогда данное уравнение примет вид: | a | = - a. Исходя из аналитической записи определения модуля, можно сделать вывод, что данное уравнение равносильно неравенству 3x – 1 – 2x2 ≤ 0, решая которое, получим ответ (-∞; ] [1; +∞). Ответ: (-∞; ] [1; +∞). | Упражнения для самостоятельной работы. 1. Решить неравенство. (x2 – 10x + 16) / (| x | + 5) ≤ 0 Ответ: [2;8]. 2. Решить уравнение. | | = Ответ: (-∞;2] .(3; +∞). 3. Решить уравнение. |6x2 – 5x + 1| = 5x – 6x2 - 1 4. Решить уравнение. |x - 1| + |x – 7| + |x + 4| + |x + 5| + 4 = 0 Ответ: решений нет. 5. Решить уравнение. |x2 - 1| =(x – 1)(x + 1) Ответ: [-∞; -1) [1; +∞) 6. Решить неравенство. 3 |x - 1| ≤ x + 3 Ответ: [0; 3]. 7. Решить уравнение. |x2 – 2ч - 15| + |x4 + 2x3 – x2 – 18| ≤ 0 Ответ: - 3. |
Занятие 9
Система уравнений с двумя неизвестными, содержащие модуль.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Ситуация, связанная с необходимостью использования модуля, может возникнуть и при решении систем уравнений. | Пример 1. Решить систему уравнений: 2| x – 2 | + 3 | y + 1 | = 20 2x – y = 3 Решение. 2| x – 2 | + 3 | y + 1 | = 20 2x – y = 3 2| x – 2 | + 3 | 2x -2 | = 20 y = 2x – 3 Решим первое уравнение системы. 1) x < 1. 2(2 – x) – 3(2x – 2) = 20, -8x + 10 = 20, x = - < 1. 2) 1 ≤ x < 2. 2(2 – x) + 3(2x – 2) = 20, 4x – 2 = 20, x = > 2. 3) x ≥ 2. 2(x – 2 ) + 3(2x – 2) = 20, 8x – 10 = 20, x = > 2 Таким образом, уравнение имеет два корня: - и . Если x = - , то y = - . Если x = , то y = . Ответ: (- ; - ), (; ). Пример 2. Решите систему уравнений: 3| x + 1| + 2| y – 2 | = 20 x + 2y = 4 Решение. 1) x + 1 ≥ 0, y – 2 ≥ 0, т.е. x ≥ - 1, y ≥ 2. 3(x + 1) + 2(y – 2) = 20 3x + 2y = 21 x + 2y = 4 x + 2y = 4 2x = 17 x = , y = - 2x + 4y = 8 Найденное решение и удовлетворяет условию, так как y = - < 2. 2) x + 1 ≥ 0, y – 2 < 0, т.е. x ≥ - 1, y < 2. 3(x + 1) + 2(2 – y) = 20 3x - 2y = 13 x + 2y = 4 x + 2y = 4 4x = 17 4x = 17 x = 4x + 8y = 16 8y = -1 y = - 3) x + 1 < 0, y – 2 ≥ 0, т.е. x < - 1, y ≥ 2. - 3(x + 1) + 2(y – 2) = 20 -3x + 2y = 27 x + 2y = 4 x + 2y = 4 -4x = 23 4x = -23 x = - 4x + 8y = 16 8y = 39 y = 4) x + 1 < 0, y – 2 < 0, т.е. x < - 1, y < 2. - 3(x + 1) + 2(y – 2) = 20 -3x – 2y = 19 x + 2y = 4 x + 2y = 4 -2x = 23 x = - 2x + 4y = 8 y = Найденное решение и удовлетворяет условию, так как y = > 2 Ответ: (; - ); (- ; ) Пример 3. Решить систему уравнений: y + 1 = x2 + 25 + 10x y – 2x = 5 Решение. y + 1 = (x + 5)2 y + 1 = | x + 5 | y = 2x + 5 y = 2x + 5 Первое уравнение представим в виде 2x+6 = |x+5|. В соответствии с определением модуля полученное уравнение заменяем совокупностью двух систем: 2x + 6 = x + 5 или 2x + 6 = - x – 5 x + 5 ≥ 0 x + 5 < 0 x = - 1 или x = - x ≥ 0 x < -5 решений нет. Решением этой системы является число -1. Из уравнения y = 2x + 5 получаем соответствующее значение y = 3. Ответ: (-1; 3). Пример 4. Решить систему уравнений. | x + y | = 5 | x | + | y | = 7 Решение. Возводя каждое уравнение в квадрат, получим систему уравнений. x2 + 2xy + y2 = 25 x2 + 2| xy | + y2 = 49, равносильную данной. Последняя система имеет место при условии, что xy < 0. Тогда она примет вид: x2 + 2xy + y2 = 25 x2 - 2xy + y2 = 49 Решим полученную систему: xy = -6 x + y = 5 | x + y | = 5 xy = -6 x + y = -5 xy = -6 Решим первую систему совокупности: x + y = 5 x = 6 xy = -6 y = - 1 x = - 1 y = 6 Решим вторую систему совокупности: x + y = - 5 x = - 6 xy = -6 y = 1 x = 1 y = - 6 Ответ: (6; -1), (-1; 6); (-6; 1); (1; 6). | Упражнения для самостоятельной работы. Решить системы уравнений. 1. 4 | x – 3 | + | y + 2 | = 7 x + 2y = 4 Ответ: (2; 1); (; - ). 2. 2 | x – 1 | - 3 | y + 2 | = 1 2x + y = 3 Ответ: (2,25; - 1,5); (3; -3). 3. 16 – 8x + x2 + y = 4 y – 3x + 6 = 0 Ответ: (3; 3). 4. | x – 7 | + y = 6 y – 3x + 11 = 0 Ответ: (5; 4 ). 5. | x – 5 | = 9 – (y – 2)2 | x – 5 | = 49 – (y + 2)2 Ответ: (5; 5). |
Занятие 10
Построение графиков функций, содержащих знак модуля.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
График функции y = | x |. Функция определена на множестве всех действительных чисел. При x ≥ 0 y = x – биссектриса I координатного угла; при x < 0 y = -x - биссектриса II координатного угла. График функции y = | x | - прямой угол с вершиной в точке (0; 0) и сторонами, направленными вверх. y y = - x y = x x График функции y = a | x | - угол с вершиной в точке (0; 0). Если а = ± 1 , то угол прямой; если | a | > 1 – угол острый; если | a | < 1 , но а ≠ 0 – угол тупой; если а = 0 – угол развернутый. График функции y = a | x – m | + b строится путем сдвига по оси абсцисс на m единиц и на b по оси ординат. Вершина угла y = a | x | находится в точке (m; b). | Пример 1. В одной системе координат построить графики функций. а) y = | x + 3 |; б) y = | x | +3; в) y = -2 | x | - 2; г) y = | x – 6 | - 3; д) y = 6 - | x – 5 | Решение. Пример 2. Построить график функции. y = | 1 – x | - | x – 2 | - | x – 3 | Решение. Перепишем функцию в таком виде. y = | x - 1 | - | x – 2 | - | x – 3 | Способ 1. Корни подмодульных выражений: x = 1, x = 2, x = 3. Определим знаки этих выражений на полученных интервалах. - + + + |x-1| - 1 - + + |x – 2| - - 2 - + |x – 3| 3 Если x < 1, то функция примет вид: y = -(x – 1) + (x – 2) + (x – 3), y = x – 4. Если 1 ≤ x < 2, , то функция примет вид: y = (x – 1) + (x – 2) + (x – 3), y = 3x – 6. Если 2 ≤ x < 3, , то функция примет вид: y = (x – 1) - (x – 2) + (x – 3), y = x – 2. Если x ≥ 3, , то функция примет вид: y = (x – 1) - (x – 2) - (x – 3), y = -x + 4. На каждом интервале функция является линейной, график строим по двум точкам. Способ 2. Функция определена на всей числовой прямой. Графиком функции является ломаная линия с вершиной в точках с абсциссами x = 1, x = 2, x = 3. Найдем ординаты этих точек: y(1) = -|1 – 2| - |1 – 3| = -1 – 2 = - 3 y(2) = |2 - 1| - |2 – 2| - |2 – 3| = 1 – 0 – 1 = 0 y(3) = |3 - 1| - |3 - 2| - |3 – 3| = 2 – 1 - 0 = 1 итак, точки (1; -3); (2; 0); (3; 1) есть вершины ломаной линии. Возьмем еще пару дополнительных точек (0; -4) и (4; 0) и построим график данной функции. Пример 3. Построить график функции. y = x + | x | + | x – 1 | Решение. Функция определена на всей числовой прямой. Графиком является ломаная линия с вершинами в точках, абсциссы которых x = 0, x = 1, а ординаты y(0) = 1, y(1) = 2. Возьмем еще две дополнительные точки (-1; 2), (2; 5). Далее строим график функции. | Упражнения для самостоятельной работы. Постройте графики функций. 1. y = |x – 3| 2. y = | 3x | 3. y = | x + 2 | - 2 4. y = | x + 1 | + | x – 2 | 5. y = | x + 1 | - | x – 2 | 6. y = | x + 1 | + | x | - 2 | x – 2 | 7. y = 3x + 1 - | x + 1 | + 2 | x | 8. y = | 3 – x | + | 4 + x | + | x – 1 | |
Занятие 11
Построение графиков функций, содержащих знак модуля.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Для построения всех типов графиков достаточно хорошо понимать определение модуля и знать виды простейших графиков. Так, для построения графика функции y = f(| x |) на основании модуля имеем: f(x), если x ≥ 0 y = f(| x |) = f(-x), если x < 0 Следовательно, график функции состоит из двух графиков: y = f(x) – в правой полуплоскости, y = f(-x) – в левой полуплоскости. Построение графиков функции вида y = f(| x |) облегчает следующее правило: строится график для функции y = f(x) для всех x ≥ 0 и дополняют его симметричным относительно оси ординат. | Пример 1. Построить график функции. y = x2 – 2 | x | - 3 Решение. Построим график функции y = x2 – 2x – 3, если x ≥ 0 и отобразим его относительно оси Оy. | Упражнения для самостоятельной работы. Постройте графики функций. 1. y = x2 – 4 | x | + 3 2. y = | x2 – 4x + 3 | 3. y = | x2 – 4 | x | + 3 | 4. | y | = x2 – 4x + 3 5. | y | = | x2 – 4x + 3 | 6. y = - x2 + 4 | x | - 3 7. y = | - x2 + 4x - 3 | 8. y = | - x2 + 4 | x | - 3 | 9. | y | = - x2 + 4x - 3 10. | y | =| - x2 + 4x - 3 | |
Рассмотрим функцию вида y = | f(x) | f(x), если f(x) ≥ 0 y = | f(x) | = -f(x), если f(x) < 0 При всех значениях x, принадлежащих области определения, функция y = | f(x) | принимает неотрицательные значения. поэтому ту часть графика, которая расположена ниже оси Оx, нужно отобразить симметрично относительно этой оси. | Пример 2. Построить график функции. y = | x2 – 2x – 3 | Решение. Построим график функции y = x2 – 2x – 3, и ту часть графика, которая расположена ниже оси Оx, отобразим симметрично этой оси. | |
Построение графика функции y = | f(|x|) | Последовательность действий для построения графика y = | f(|x|) | следующая: 1) построить график y = f(x) для x ≥ 0; 2) отобразить построенную часть графика симметрично оси ординат; 3) участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, отобразить симметрично относительно этой оси. | Пример 3. Построить график функции. y = | x2 – 2 | x | – 3 | Решение. 1. Построим график функции y = x2 – 2x – 3 для x ≥ 0 2. Отобразим построенную часть графика симметрично оси ординат; 3. участки полученного графика, лежащие ниже оси абсцисс, отобразим симметрично относительно этой оси. Получаем: | |
Построение графика | y | = f(x). Это соответствие не является функцией, так как каждому значению x из области определения может соответствовать более одного значения y. 1. Строим график функции y = f(x) во всей области определения; 2. Отбрасываем ту часть графика, которая расположена ниже оси Оx, и остальную часть достраиваем отобразив оставшуюся часть симметрично оси Оx. | Пример 4. Построить график. | y | = x2 – 2x – 3 Решение. | |
Построение графиков вида | y | = | f(x) |. Соответствующая последовательность действий: 1. построить график функции y = | f(|x|) |; 2. симметрично его отображаем относительно оси Оx. | Пример 5. Построить график. | y | = | x2 – 2x – 3 | Решение. |
Занятие 12
Построение графиков, содержащих модуль.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Пример 1. Изобразите на координатной плоскости множество точек (x; y), удовлетворяющих равенству: 1) | y | = x; 2) | y | = x - 3; 3) | y | = - x + 2; 4) | y | = 2x + 3; 5) | y | = - x + 1; 6) | y – 2 | = x; 7) | y + 1 | = x + 3; 8) | y - 1 | = -2x + 3; Решение. | Упражнения для самостоятельной работы. Изобразите на координатной плоскости множество точек(x; y), удовлетворяющих равенству: 1. | y | = x - 5 2. | y | = – 2x + 1 3. | y + 2 | = x - 3 4. | y - 2 | = – 3x + 2 Постройте графики функций. 1. y = x + 2. y = | | | x | + 4 | + 4 | 3. y = | | x – 1 | - 2x | 4. y = (3 – x) 5. y = -x | x | - 2 | |
Равенство | y – b | = ax + c изображается на координатной плоскости углом с вершиной в точке (- ; b) и сторонами, направленными вправо, если a > 0, и влево, если a < 0. Если а = 0, то изображается изображается параллельными прямыми y = b + c и y = b – c. | Пример 2. Постройте график функции y = | x | x +1. Решение. При x ≥ 0 y = x2 + 1, при x < 0 y = - x2 + 1
Пример 3. Постройте график функции y = | | x | - 2 | - 3. Решение. Пример 4. Постройте график функции y = (x2 -4). Решение. При x > 1 y = x2 - 4 При x < 1 y = - x2 + 4 |
Занятие 13
Графический способ решения уравнений, неравенств и систем уравнений с модулем.
Теоретический материал | Отработка практических навыков решения | Индивидуальная (парная, групповая) самостоятельная работа обучающихся, дифференцированная по уровню сформированности специальных навыков. |
Весьма эффективен графический метод решения задач , содержащих модули. Рассмотрим несколько примеров. | Пример 1. Решить уравнение 3 - | x – 2 | = 0 Решение. Уравнение 3 - | x – 2 | = 0 равносильно | x – 2 | = 3 Построим графики функций y = | x – 2 | и y = 3 и найдем абсциссы их точек пересечения. Ответ: -1; 5. Пример 2. Решить уравнение | x - 1 | + | x | = 3 Решение. Уравнение | x - 1 | = 3 - | x | равносильно заданному. Построим график функций y = | x - 1 | и y = 3 - | x | и найдем абсциссы их точек пересечения. Ответ: - 1; 2. Пример 3. Решить уравнение | x – 3 | + 2 | x + 1 | = 4 Решение. | x – 3 | + 2 | x + 1 | = 4 2 | x + 1 | = 4 - | x – 3 | Абсцисса общих точек графиков функций y = 2 | x + 1 | и y = 4 - | x – 3 | Ответ: - 1 Пример 4. Решить неравенство 2 | x + 1 | > x + 4. Решение. Построим графики функций y = 2 | x + 1 | и y = x + 4. Найдем абсциссы их точек пересечения. Ответ: (-∞; - 2), (2; +∞) Пример 5. Решить неравенство 3 | x – 1 | ≤ x + 3 Решение. Построим графики функций y = 3 | x - 1 | и y = x + 3. Найдем абсциссы их точек пересечения. Ответ: [0; 3] Пример 6. Решить систему уравнений: y = y + | x – 3 | = 2 Решение. Система y = равносильна заданной. y = 2 - | x – 3 | Построим графики функций y = и y = 2 - | x – 3 |. Построенные графики пересекаются в единственной точке (4; 1). Подстановкой найденной пары в уравнения системы убеждаемся, что она является решением этой системы. Ответ: (4; 1) Пример 7. Решить систему уравнений: y + 1 = x2 + 25 + 10x y - 2x = 5 Решение. y + 1 = x2 + 25 + 10x y + 1 = (x + 5)2 y - 2x = 5 y = 2x + 5 y = | x + 5 | - 1 y = 2x + 5 Построим графики функций y = | x + 5 | - 1 и y = 2x + 5. Построенные графики пересекаются в единственной точке (-1; 3). Подстановкой найденной пары в уравнения системы убеждаемся, что она является решением этой системы.Ответ: (-1; 3) | Упражнения для самостоятельной работы. Решить графические уравнения. 1. |x – 4| = 5 – 2x Ответ: 1 2. | x – 2 | + | x + 3 | = 7 Ответ: -4; 3 3. | 4 – y | = | 2y + 1 | Ответ : -5; 1 Решите графические неравенства. 1. | x – 2,5 | ≤ 0,5 Ответ: [2; 3 2. | x + 1 | > 1 Ответ: (-∞; - 2) (0; +∞) 3. 4 | x + 2 | < 2x + 10 Ответ: (-3;1) Решите графически систему уравнений. 1. y + 3 = 4x2 + 8x + 4 y + 3x = 4 Ответ: (1; 1) 2. y = y + | x – 2 | = 1 Ответ: (3; 0) 3. y + 2 = y + | x – 5 | = 1 Ответ: (5; 1) |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Элективный курс по математике 9 класс «Решение задач основных тем курса математики»
Курс предназначен для повторения знаний, умений и подготовки кГИА по математике. При изучении курса угроза перегрузок учащихся отсутствует, соотношение между объемо...
Авторская программа элективного курса по математике Практикум по математике: математика в задачах
Элективный курс "Математика в задачах" рассчитан на учащихся 11 классов общеобразовательных классов, имеющих слабую математическую подготовку при решении задач. ...
Элективный курс по математике по теме: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» 10-11 классы для группы естественно-математической направленности, Петрашова Валентина Николаевна - учитель математики высшей категории
Элективный курс по математике по теме: «Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики» 10-11 классы для группы естественно-математической направленности, Петрашова Валентин...
Тематическое планирование элективного курса по математике по теме: «Избранные вопросы по математики. Нестандартные задачи» 10-11 классы, Петрашова Валентина Николаевна - учитель математики высшей категории
Тематическое планирование элективного курса по математике по теме: «Избранные вопросы по математики. Нестандартные задачи» 10-11 классы, Петрашова Валентина Николаевна - учитель математики высшей кате...
Программа элективного курса"Модуль или абсолютная величина числа" для учащихся 9-11 классов.
В программе создано целостное представление о теме "Модуль или абсолютная величина числа" и расширен спектр задач, посильных для учащихся....
Авторская программа элективного курса по математике для учащихся 9 класса "Систематизируем курс математики: от простого к сложному "
Программа элективного курса рассчитана на 34 часа и будет способствовать повышению эффективности подготовки обучающихся 9 класса к основному государственному экзамену по математике за курс основн...
Рабочая программа элективного курса «В мире случайных величин» по учебному предмету "Математика" для 10-го класса
Элективный курс «В мире случайных величин» предназначен для учащихся 10 класса. Программа включает материал о понятиях случайности и стохастичности, которые относятся к числу основных прин...