Городская математическая регата (8 класс)

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов)

1. Расставьте во всех клетках квадрата 4х4 клетки плюсы и минусы так, чтобы у любого минуса в соседних по сторонам клетках было ровно три плюса, а у любого плюса в соседних по сторонам клетках был ровно один минус.

2. Средний рост восьми баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее количество из этих игроков может быть ниже, чем 191 см?

3. Найдите все такие двузначные числа  для каждого из которых истинны ровно три из следующих шести утверждений: 1)  делится на 3;                        4)  делится на 15;

                         2)  делится на 5;                        5)  делится на 25;

                         3)  делится на 9;                        6)  делится на 45.

Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов)

1. Дети, построенные парами, выходят из лесу, где они собирали орехи. В каждой паре идут мальчик и девочка, причем у мальчика орехов либо вдвое больше, либо вдвое меньше, чем у девочки. Могло ли так случиться, что у всех вместе 2008 орехов?

2. Катя и ее друзья встали по кругу так, что соседи каждого ребенка либо оба мальчики, либо оба девочки. Мальчиков среди Катиных друзей 17 человек. А сколько девочек среди Катиных друзей?

3. Найдите последнюю цифру числа

Третий тур (15 минут; каждая задача – 8 баллов)

1. Все акции компаний «Карабас» и «Барабас» вместе стоят 90 золотых монет. У Буратино есть 25% акций компании «Карабас» и 75% акций компании «Барабас» общей стоимостью 30 золотых монет. Найдите стоимость всех акций каждой компании.

2. На доске написано число 23. Каждую минуту число стирают с доски и записывают на его место произведение его цифр, увеличенное на 12. Что окажется на доске через час? Не забудь обосновать свой ответ.

3. На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками поставили еще по точке. Аналогичную операцию проделали еще три раза. В результате на прямой оказалось 3 265 точек. Сколько точек было на прямой первоначально?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов)

D

A

B

C

1. Прямоугольник ABCD разрезан на квадраты так, как показано нарисунке. Известно, что сторона AB равна 32 см. Найдите длину

стороны AD.

2. Сколько существует различных телефонных номеров, если считать,

что:

1) каждый номер содержит не менее 3 цифр и не более 5 цифр;

2) номер не может начинаться с нуля;

3) цифры номера различны.

 (Для каждого номера должны выполняться все эти требования.)

3. Известно, что три последовательных целых числа  натуральные числа Найдите эти числа.

Решения задач

Первый тур

1.

2. Ответ: семь.

Например, если один баскетболист имеет рост 230 см, то рост каждого из остальных может быть 190 см, так как

3. Ответ: 15, 30, 60.

Рассмотрим следующие случаи:

1) Пусть  делится на 45. Тогда  делится на 15, на 9, на 5, на 3. Следовательно, имеем более трех истинных утверждений, что противоречит условию задачи. Значит,  не делится на 45.

2) Если  делится на 25, то  делится и на 5. Если при этом  делится на 3, то оно кратно и числу 15, что противоречит уже доказанному; если же  в рассматриваемом случае не делится на 3, то оно не кратно ни одному из оставшихся чисел, что противоречит условию. Значит,  не делится на 25.

3) Если  делится на 15, то оно кратно числам 3 и 5, то есть, имеем уже три истинных утверждения. Следовательно, искомые числа, должны быть кратны числу 15, но не кратны числам 9 и 25.

Значит, подходят числа 15, 30, 60.

Второй тур

1. Ответ: нет.

Заметим, что в каждой паре суммарное число орехов должно делиться на 3, значит, и общее число орехов должно делиться на 3 и не может быть равно 2008, т. к. 2008 не делится на 3.

2. Ответ: 16 девочек.

Мальчиков - ровно 17 человек, одна девочка точно есть – Катя. Тогда, размещая детей по кругу, получим, что они стоят через одного. Значит, всего 17 девочек, но Катю не учитываем.

3. Ответ: 4.

Заметим, что . Значит, сумма  оканчивается цифрой 9, так как . Очевидно, что сумма  также оканчивается цифрой 9. Рассуждая аналогично, получим, что сумма  оканчивается цифрой 0, т.к.  . Тогда сумма  оканчивается цифрой 4, т. к.

Третий тур

1. Ответ : все акции компании «Карабас» стоят 75 золотых монет, а компании «Барабас» - 15 золотых монет.

Из условия следует, что 100% акций компании «Карабас» и 300% акций компании «Барабас» стоят 120 монет. Значит, 200% акций компании «Барабас» стоят 120-90=30 золотых монет. Тогда все акции  компании «Барабас» стоят 15 монет, а все акции компании «Карабас»: 90-15=75 монет.

2. Ответ : 16.

        Посмотрим, какие числа появятся на доске в течение нескольких первых минут: 23, 18, 20, 12, 14, 16, 18, … Мы видим, что, начиная со второй минуты, числа повторяются с периодом 5. Так как  то через час на доске будет записано пятое число из (двенадцатого) периода, то есть 16.

3. Ответ : 205 точек.

Пусть - первоначальное количество точек. Тогда после проведения указанной операции в первый раз точек станет  после проведения указанной операции во второй раз точек будет  В следующий раз точек станет  а в итоге окажется  Решая уравнение  получим, что

D

A

B

C

y

x+2y

2x+2y

y

x

2y

3y-x

3y-x

Четвертый тур1. Ответ : 29 см.

        Обозначим через         и  стороны наименьшего и второго

по величине квадратов. Выразим стороны всех квадратов через и .

Решив уравнение см, получаем см, см, после

чего все стороны квадратов определяются однозначно (см. рисунок).

2. Ответ : 32 400.

        Найдем сначала количество трехзначных номеров,

удовлетворяющих условию задачи:  (на первое место в записи числа «претендуют» 9 цифр, на второе – 9 цифр, на третье – 8 цифр).

Количество четырехзначных номеров, удовлетворяющих условию задачи:

Количество пятизначных номеров, удовлетворяющих условию задачи:

Всего номеров, удовлетворяющих условию задачи:

3. Ответ : 2007, 2008, 2009.

        Найдем сумму этих чисел, получим:  Пусть искомые числа, расположенные в порядке возрастания. Тогда  Решим уравнение:  Получим, что Следовательно,