Решение тригонометрических уравнений
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Тема: Примеры решения тригонометрических уравнений.

Тип: изучение нового материала.

Задачи  урока:

1. Усвоить навык решения основных групп тригонометрических уравнений:

Повторить 1) решение квадратных уравнений через дискриминант и    

                теорему Виета;

1.  решение простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи;
2. Основные тригонометрические формулы и тригонометрические преобразования.

2. Сформировать новые понятия и способы действия с ним:

Выработать навык у учащихся 1)классифицировать тригонометрические

                                      уравнения;

                                      2) решать тригонометрические уравнения по схеме.

3. 1) Способствовать учащимся, самостоятельно составить алгоритмы решения тригонометрических уравнений  различных групп;

         2) развивать логическое мышление, математическую речь, аналитические способности.

4. Воспитывать культуру общения: не перебивать выступающего, а позже выразить своё мнение по вопросу.

Методы: репродуктивный – демонстрационные карточки;

исследовательский – составление алгоритма решения для каждой группы тригонометрических уравнений;

аналитика - синтетический – из множества уравнений выбрать однотипные уравнения, имеющие общую схему решения;

диалогический – «В споре рождается истина»;

интерактивный – использование компьютера и мультимедиа;

игровой – имитация научной лаборатории.

Учебное оборудование:  мультимедиа, тест – карточки, доска, демонстрационные карточки.

Структура урока:

1. Организационный момент. (1 - 2мин)

            Предварительная организация класса, постановка цели перед

           учащимися, создание благоприятной психологической атмосферы.

2. Повторение знаний учащихся (устно)(2 + 6 = 7 мин)

1. Используя демонстрационные карточки повторить решение квадратных уравнений;
2. Найти решение уравнения (мультимедиа, слайд №2)

3. Изучение нового материала (15 - 20  мин)

1. через анализ и диалог- беседу -  разбиение тригонометрических уравнений на группы;
2. поиск и составление алгоритма (схемы) решения уравнений каждой группы;
3. оформление решения тригонометрических уравнений (запись на доске)

4. Закрепление. (5 – 7 мин)

Карточка – тест.

5. Подведение итогов урока. (4мин)

1. Обобщение алгоритмов решения тригонометрических уравнений;
2. Выставление оценок;
3. Домашнее задание.

Ход урока.

I .  

Слайд № 1

Вы уже должны уметь:

1. решать простейшие тригонометрические уравнения;
2. решать квадратные уравнения;
3. применять основные тригонометрические формулы;
4. уметь выполнять тригонометрические преобразования.

        Задача сегодняшнего урока из множества различных тригонометрических уравнений уметь выделить группы, имеющие общую схему решения.

Но не возможно изучение нового, без повторения старого материала.

На доске написан эпиграф: Повторенье – мать ученья.

х2 – 6х -  7 = 0;

х2 + 7х - 44 = 0;

     х2 + 7х +10 = 0;

      х2 – 15х + 26 = 0.

Решите квадратное уравнение, используя формулу нахождения дискриминанта или теорему Виета.  

Ответы: 1) 7 и – 1; 2) -11 и 4; 3) -5 и – 2; 4) 13 и 2.

Слайд № 2.

Соедините простейшее тригонометрическое уравнение с его решением.

II.

Слайд № 3

1. 2 sin2 x + sin x – 1  = 0;
2. 2 cos2 x + sin x + 1 = 0;
3. 3 tq2 x + 2 tq x – 1 = 0;
4. 3 sin2 x + sin x · cos x = 2 cos2 x;
5. 8 sin2 x + cos x + 1 = 0;
6. 6 cos2 x + cos x – 1 = 0;
7. tq x – 2 ctq x + 1 = 0;
8. 4 sin2 x - sin 2x = 3;
9. cos 5x - cos 3x = 0;
10. 2 cos2 x – 3 sin x · cos x  +  sin2 x = 0.

        Перед вами десять различных тригонометрических уравнений. На какие группы, по вашему мнению, можно разбить. Ответ обосновать.

Предполагаемый ответ учащихся:

1 группа 1,3,6 уравнения: уравнения составлены из функции  одного вида с понижением степени.

2 группа 2,5,7 уравнения: уравнения составлены из квадрата одного вида тригонометрической функции и линейной записи другой.

3 группа 4,10 уравнения: однородные уравнения, уравнения составлены из двух видов тригонометрических функций с понижением степенейфункций.

4 группа 8,9 уравнения: для решения данных уравнений необходимо применение тригонометрических преобразований.

Слайд № 4.

1 группа:

1) 2 sin2 x + sin x – 1  = 0;   3) tq2 x + 2 tq x – 1 = 0;    6) cos2 x + cos x – 1 = 0;

Схема 1:

1. Ведём замену а.
2. Находим корни квадратного уравнения.
3. Возвращаемся к замене и решаем простейшее тригонометрическое уравнение.
4. Записываем ответ.

Записываем решение в тетрадь: 2 sin2 x + sin x – 1  = 0;

sin x  = а, ׀ а ׀    ≤ 1;  

2а2 + а – 1 – 0;

D = 9; а1 = - 1; а2 = 1/2 ;

sin x  = -1;                                                           sin x  = 1/2;

х1 = - п/2 + 2пn, n € N.                         x2 = (- 1)k п/6  +  пk, k€ N.

Ответ: - п/2 + 2пn; (- 1)k п/6  +  пk,  n, k € N.

Слайд № 5

2 группа:

1. 2 cos2 x + sin x + 1 = 0;  5) 8 sin2 x + cos x + 1 = 0;  7)tq x – 2 ctq x + 1 = 0;

Схема:

1. Заменим функцию, которая в квадрате, через другую функцию, используя основные тригонометрические формулы.
2. Ведём замену а.
3. Находим корни квадратного уравнения.
4. Возвращаемся к замене и решаем простейшее тригонометрическое уравнение.
5. Записываем ответ.

Записываем решение в тетрадь: 8 sin2 x + cos x + 1 = 0;

8 ( 1 -  cos2 x) + cos x + 1 = 0;

8 cos2 x - cos x + 9 = 0;

cos x = а;    ׀  а ׀≤ 1;  

8а2 – а + 9 = 0;

D = 289; а1 = - 9/8;  а2 = 1;

cos x =   - 9/8;                            cos x = -1;

- ׀9/8 ׀≤ 1;                                  х = п + 2пn, n € N.

Нет решений.

Ответ: п + 2пn, n € N.

Слайд № 6.

3 группа;

4) 3 sin2 x + sin x · cos x = 2 cos2 x;   10) 2 cos2 x – 3 sin x · cos x  +  sin2 x = 0.

Схема 3:

1. Разделим  обе части уравнения на cos2 x ≠ 0.
2. Ведём замену а.
3. Находим корни квадратного уравнения.
4. Возвращаемся к замене и решаем простейшее тригонометрическое уравнение.
5. Записываем ответ.

Записываем решение в тетрадь: 3 sin2 x + sin x · cos x = 2 cos2 x;

3 tq2 x + tq x = 2; х ≠ п/2 + пn, n € N.

tq x = а;

3а2 + а – 2 = 0;

D = 25; а1 = - 1; а2 = 2/3 ;

tq x = - 1;                                   tq x = 2/3;

х1 = -п/4 + пn, n € N.                  x2= arctq 2/3  + пn, n € N.

Ответ:  -п/4 + пn,  arctq 2/3  + пn, n € N.

Слайд № 7

4 группа:

8) 4 sin2 x - sin 2x = 3;    9) cos 5x - cos 3x = 0.

Используя различные тригонометрические формулы преобразования, уравнение сводится к уравнениям 1 – 3 групп.

III

 Предлагаю заполнить тест, лежащий у нас на столе.

Один учащийся выполняет задание на компьютере (откидная доска). (Для самопроверки и обобщения итогов урока)

Тест – карточка.

1. К какой группе уравнений относится уравнение 5 sin2 x + 6 cos x – 6 = 0

А:  1;          Б: 2;          В: 3;         Г: 4.

2. К какой группе уравнений относится уравнение 3 sin2 x – 5 sin x  - 2 = 0

А:  1;          Б: 2;          В: 3;         Г: 4.

3. К какой группе уравнений относится уравнение 4 sin2 x - sin 2x = 3

А:  1;          Б: 2;          В: 3;         Г: 4.

4. К какой группе уравнений относится уравнение 2 tq2 x + 3 tq x – 2 = 0

А:  1;          Б: 2;          В: 3;         Г: 4.

5. К какой группе уравнений относится уравнение

              9 cos x · sin x - 7 cos2 x = 2 sin2 x

А:  1;          Б: 2;          В: 3;         Г: 4.

6. К какой группе уравнений относится уравнение cos2 x + 3 sin x = 3

А:  1;          Б: 2;          В: 3;         Г: 4.

7. Решите уравнение 2 cos2 x - 3 cos x – 5 = 0

А:  п + 2пn, n € N;                           Б: ±arcos 2,5 + 2пn; п + пn, n € N ;  

     В: -1; 2,5;                                         Г: (-1)кп + 2пn, n € N.

8. Решите уравнение tq x – 2 ctq x + 1 = 0

А:arctq 2 + пn, n € N; п/4 + пn, n € N;    Б:- arctq 2 + пn, n € N; п/4 + пn, n € N;                               В: - arctq 2 + 2пn, n € N; п/4 + 2пn, n € N;         Г: -2; 1.

Ключ к тесту 

          1) Б

2) А

3) Г

4) А

5) В

6) Б

7) А

8) Б

«3» - от 4 до 5 правильных ответов;

«4» - от 6 до 7 правильных ответов;

«5» - от7 полных правильных ответов и начала решения 8 задания.

IV

После сдачи результатов теста – разбор ответов ученика за компьютером (проецировать на экран), а два ученика проверяют тесты и выставляют оценки.

Объявление оценок классу.

Продолжите предложение на экране.

Слайд № 8.

Я сегодня на уроке узнал (а) ….

Запишем домашнее задание

Слайд № 9.

Домашнее задание №№

Слайд № 10

Всё! Всем спасибо за работу!