Дидактические материалы по теме Квадратные уравнения
методическая разработка (алгебра, 8 класс) по теме

Дидактические материалы

по теме

«Квадратные уравнения»

Представленные вашему вниманию дидактические материалы  предназначены для организации самостоятельной работы учащихся и для осуществления контроля  знаний, умений и навыков. Они могут быть использованы как в том случае, когда преподавание ведётся по учебнику «Алгебра, 8» авторов Ю. Н. Макарычева и др., под редакцией С. А. Теляковского, так и тогда, когда преподавание ведётся по другим учебникам. Самостоятельные работы делятся на четыре группы: 1) самостоятельные работы по образцу,   т. е. простейшая воспроизводящая самостоятельная работа;

2) реконструктивно-вариатнвная самостоятельная работа; 3) частично – поисковая самостоятельная работа; 4)   творческая, исследовательская самостоятельная работа.

Эти дидактические материалы были разработаны тогда, когда я работала над проблемой «Разработка систем разноуровневых заданий для организации самостоятельной работы учащихся 8 класса по теме «Квадратные уравнения».

Методические рекомендации.

              Важнейшим условием и средством плодотворной учебной деятельности учащихся, направленной на успешное развитие у них опыта творческой деятельности, является организация самостоятельной работы школьников в процессе обучения. Особенно важна такая самостоятельная работа, в ходе которой ученик должен постоянно переносить как известные, так и вновь конструируемые способы решения в новые ситуации познавательной деятельности. Методика организации такой работы является предметом обсуждения в этой главе.

              Рассмотрим её на конкретных примерах, применяемых мною на уроках математики.

              Самостоятельная работа учащихся это такой способ учебной работы, где:

1. учащимся предлагаются учебные задания и руководства для их выполнения,
2. работа проводится без непосредственного участия учителя, но под его руководством,
3. выполнение работы требует от учащихся умственного напряжения.

               Самостоятельная работа активизирует учащихся в том смысле, что все ученики, даже более пассивные и ленивые, должны выполнять задания сами.

               Учебные задания для самостоятельной работы разнообразны, они зависят от учебных умений учащихся. Сильные ученики владеют рациональными и более сложными учебными умениями. Слабые же ученики ограничиваться в основном умениями, связанными с репродуцирующей деятельностью.

                Учебные задания делятся на 4 логических основания:

1) по методу самостоятельной работы учащихся (наблюдения,                            упражнения, работа с учебникомнаблюдения,    1) по методу ениями, связанными с репродуцирующей деятельностью.                                                );

1. по звеньям учебного процесса (задания на восприятие,                       систематизацию, закрепление и повторение учебного материала);
2. по характеру познавательной деятельности учащихся (репродуцирующие и творческие задания);
3.  по характеру руководства (подробное или менее подробное инструктирование).

               По характеру учебной самостоятельной деятельности учащихся можно выделить четыре вида работ исходя из постепенного повышения уровня самостоятельности.

Первый уровень – простейшая самостоятельность ( по образцу)

Ученик выполняет упражнение, требующее простого воспроизведения имеющихся знаний по правилу, по образцу, самостоятельно решает задачи, упражнения на его примере.

              Вот так, к примеру, мои ученики изучали тему «Квадратные уравнения». Предварительно на занятиях с учениками выполнялось такое задание:

Решите уравнения:

      а)   4х2 – 9 = 0;

      б)   4х2 + 9 = 0;

      в)   3х2 – 4х = 0;

      г)    6х2 = 0.

В ходе решения давались образцы рассуждения и оформления решений. Вот образцы.

Рассмотрим решение каждого из данных уравнений.

 а) 4х2 – 9 = 0

               1. Перенесём свободный член в правую часть уравнения: 4х2 = 9.

               2. Разделим обе части получившегося уравнения на 4:        х2 = 9/4.

               3. Найдём корни х = 1,5 или х = - 1,5

                   Ответ:  х1 = 1,5,    х2 = - 1,5.

б)   4х2 + 9 = 0

1. Перенесём свободный член в правую часть уравнения: 4х2 = - 9.

2. Разделим обе части получившегося уравнения на 4:   х2 = -9/4.

3. Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то         получившееся уравнение не имеет корней. А следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 4х2 + 9 = 0.

4.  Ответ: корней нет.

в)   3х2 – 4х = 0

1. Разложим левую часть уравнения на множители: х(3х - 4) = 0.
2. Произведение х(3х - 4) равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: х = 0 или 3х – 4 = 0.
3. Решаем уравнение 3х – 4 = 0

                                     3х = 4

                                      х = 4/3.

4.  Ответ: х1 = 0,   х2 = 11/3.

г)    6х2 = 0

                  Данное уравнение равносильно уравнению х2 = 0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Ответ: х = 0.

                 После чего записывается таблица № 1 (смотри приложение). Теперь учащимся предлагается самостоятельно решить аналогичные примеры:          а)   2х2 – 8 = 0;

                          б)   3х2 + 75 = 0;

                          в)   2х2 + 3х = 0;

                          г)    -5х2 = 0.

                  Как видим, выполняя самостоятельные работы этого вида, учащимся необходимо сделать прямой перенос известного способа деятельности в аналогичной внутрипредметной ситуации.

Второй уровень – реконструктивно – вариативная самостоятельность.

                   Это проявляется в умении из нескольких имеющихся правил, определений, образцов рассуждений и т. п. выбрать одно определение и использовать его в процессе самостоятельного решения новой задачи. На данном уровне учащийся показывает умение производить мыслительные операции, такие как сравнение, анализ. Анализируя условия задачи, ученик перебирает имеющиеся в его распоряжении средства для её решения, сравнивает их и выбирает более действенное с некоторой модификацией в необычную внутрипредметную и межпредметную проблемную ситуацию.

                   Например, математические задачи решаются с помощью переноса способа решения геометрических задач.

                    Рассмотрим решение одной такой задачи, которую я даю учащимся при изучении темы «Квадратные уравнения».

«Площадь круга равна 1 дм2. Найти радиус круга».

                    Проследим, какие геометрические и математические знания потребуются, чтобы решить задачу. Прежде всего чтобы решить задачу нужно знать формулу площади круга  S = πr2 . Затем уметь выражать одну переменную через другую (радиус через площадь), т. е. r2= S/π. Подставив числовое значение, ученик получает, что r2= 1/π, где r = 1/√π, после чего надо освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

Ответ: r =√π /π дм.

                     В этой задаче ученики самостоятельно определяют связь между геометрическими величинами и знаниями по алгебре, сами отыскивают способ определения неизвестной величины.

Третий уровень -  частично – поисковая самостоятельность.

               Она проявляется в умении из имеющихся у него правил и предписаний для решения задач определённого раздела математики, формировать (комбинировать) обобщённые способы для решения более широкого класса задач, в том числе и из других разделов математики. В умении осуществлять перенос математических методов, рассмотренных в одном разделе, на решение задач из других разделов или из смежных учебных предметов; в стремлении найти «собственное правило», приём, способ деятельности; в поисках нескольких способов решения задачи и в выборе наиболее рационального, изящного; в варьировании условий задачи и сравнении соответствующих способов решения и т. п.  Здесь уже существуют элементы творчества. Ученик на этом уровне обладает относительно большим набором приёмов умственной деятельности – умеет проводить сравнение, анализ, синтез, абстрагирование и т. п. В его деятельности значительное место занимает контроль результатов и самоконтроль. Он может самостоятельно спланировать и организовать свою учебную деятельность.

               При изучении темы «Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена» даю учащимся задание.

               «Решить приведённое квадратное уравнение  х2 + 10х + 25 = 0».

                Для решения этого задания учащиеся должны использовать несколько известных решений и скомбинировать их в нужном порядке в необычной проблемной ситуации, т. к. они ещё не знакомы с решением полных квадратных уравнений.

                Внимательно посмотрев, они видят, что левую часть уравнения можно представить в виде квадрата двучлена и получают:

                (х + 5)2 = 0. Отсюда

                  х + 5 = 0,

                  х = - 5.        Ответ: - 5.

                Далее предлагаю ребятам решить ещё одно приведённое квадратное уравнение:  х2 – 6х – 7 = 0     (1).

                 Для решения этого уравнения учащиеся должны увидеть, что если к разности  х2 – 6х прибавить число 9, то полученное выражение можно записать в виде (х - 3)2, т. е. в виде квадрата двучлена. Значит к обеим частям уравнения (1) надо прибавить число 9, а свободный член перенести в правую часть. Получают:  х2 – 6х + 9 =  9 + 7.

Далее это уравнение надо преобразовать:

                               (х - 3)2 = 16.    Отсюда

                                х – 3 = - 4 или х – 3 = 4,

                                х1 = - 1              х2 = 7

Ответ: х1 = - 1,  х2 = 7.

                Таким образом, ученику приходится дробить задачу на несколько проблем, а затем уже комбинировать способы их решения для получения общего результата.

Высший, четвёртый уровень самостоятельности – творческая, исследовательская.

                Самостоятельные работы всех этих видов включают в себя определённые проблемные ситуации, стимулирующие и ориентирующие обучающегося на поиск теоретического знания различной степени сложности (по принципу нарастания) и способов деятельности.

                Например, даю такую внутрипредметную исследовательскую задачу: «Линейным или квадратным является уравнение

5в( в – 2 ) х2 + ( 5в – 2 ) х – 16 = 0 относительно х при: а) в = 1; б) в = 2;         в) в = 0,4; г) в = 0?»

Решение: а) в = 1;     5х2 + 3х – 16 = 0 квадратное уравнение;

                 б) в = 2;     0х2 + 8х – 16 = 0,  8х – 16 = 0 – линейное уравнение;

                 в) в = 0,4;  2 (- 1,6)х2 + 0х – 16 = 0,  - 3,8х2 – 16 = 0 – неполное                        квадратное уравнение;

                 г) в = 0;      0х2 – 2х – 16 = 0,    - 2х – 16 = 0 – линейное уравнение.

             Далее предлагаю ребятам решить такое задание:

«При каких значениях параметра а уравнение    ах( ах + 3) + 6 = х( ах - 6) является: а) квадратным; б) неполным квадратным; в) линейным?»

Решение :       ах( ах + 3) + 6 = х( ах - 6),

                        а2 х2 + 3ах + 6 = ах2 – 6х,

                        х2(а2 - а) + 3х(а + 2) + 6 = 0.

а)  Уравнение является полным квадратным,если

       а2 – а ≠ 0,             а ≠ 1

       а + 2  ≠ 0;            а ≠ 0,

                                 а ≠ - 2;

если а Є ( - ∞; - 2) U ( -2; 0 ) U ( 0; 1 ) U ( 1; + ∞ ), то исходное уравнение является квадратным.

б) Уравнение является неполным квадратным, если

       а2 – а ≠ 0,             а ≠ 1

       а + 2  = 0;            а ≠ 0;

                                  а = - 2.

если а = - 2, то исходное уравнение является неполным квадратным.

в) Уравнение является линейным, если

       а2 – а = 0,             а = 1

       а + 2 ≠  0;            а = 0,

                                 а  ≠ - 2;

если а = 0  или а = 1, то исходное уравнение является линейным.

           Самостоятельность решения заключается здесь в том, что ученик по заданному условию расчленяет общую задачу на несколько частных задач, определяет пути их решения, а затем результаты каждой из них объединяет, сопоставляет, комбинирует и получает общий результат.

            Межпредметные исследовательские задачи в курсе математики, да и в других учебных курсах применяется довольно редко. Правда, следует заметить, что не все темы курса математики равноценны как источник межпредметных исследовательских задач. Например, такие темы, как «Функция», «Предел функции», «Производная», «Интеграл», имеют незначительное количество межпредметных исследовательских задач. Их необходимо органически вплетать в общую систему задач и связывать с изучаемой тематикой. Таковы виды самостоятельных работ, которые лежат в основе обучения школьников теоретическим знаниям как инструменту познания и умениям планировать собственную познавательную деятельность, контролировать её ход.

           Каждый из перечисленных видов работ включает в себя определённые проблемные ситуации, стимулирующие и ориентирующие обучающегося на поиски теоретического знания различной степени сложности (по принципу нарастания) и способов деятельности. В зависимости от открытого способа решения, обучающийся направляет свои поиски на развитие и обоснование этого способа. Прежние знания и опыт самостоятельной познавательной и практической деятельности используются при этом в зависимости от условий задачи.

             Самая высокая ступень – умение решать исследовательские задачи. Сюда входит умение самостоятельно формулировать задачи различной степени сложности в заданной ситуации, ставить проблемы и разрабатывать план их решения, определять поиск решения и строить его гипотезу.

Система разноуровневых заданий для организации самостоятельной

работы учащихся по теме «Квадратные уравнения»

Определение квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения. (2ч)

I. Простейшая воспроизводящая самостоятельная работа

(по образцу)

Таблица №1.

Решение неполных квадратных уравнений.

Решите уравнение по образцу:

х2 - 6х = 0;        0,5х2 - 7,5 = 0;        х2 = 2;

Зх2 - 11=0;        х2 = 81;        3 - х2 = 0;

8х - х2 = 0;        х2 - 25 = 0;        5х2 - 15х = 0;

-х2 - 11=0;        6084 -х2 = 0;        49х - х2 = 0;

х2 = 0,09;        2х2 - 98 = 0;        2х2 + х = 0;

х2 + 4х = 0;        х2 = -3;        49х2  =  0;

х2= -961;        2х2 + 8 = 0;        Зх2 + 75 = 0;

4 - 2х2 = 6;        7х2 =21952;        0,1х2 - 547,6 = 0;

192 - 1/3 х2 = 0.

II. Реконструктивно-вариатнвная самостоятельная работа

1.         Докажите, что:

а)        Каждое из чисел 7 и -7 является корнем уравнения 2х2 - 98 = 0;

б)        Каждое из чисел 0 и -4 является корнем уравнения х2 - 98 = 0;

1. Решая уравнение 0,5х2 - 7,5 = 0, ученик нашел, что корни равны 3 и -3.
   Докажите, что он ошибся.
2. При каких значениях b равны значения двучленов b2 + 6b  и  Зb2 - b?
3. При каких значениях а значения выражений 5a2 -12 и а2 - 4

а)        равны.

б)        являются противоположными числами?

5.        Решите уравнение:

а) (Зх-1)(2х-2) = (х-4)2 + 6;

б)  6х - 6(х - 4) = (2х - 1) (2х + 1);

в)         (Зх - 4)2 - (5х + 2) (2х + 8) = 0;

г)         (2х - 1) (2х + 3) - (х + 2)2 = 0.

6. Решите уравнения:

III. Частично – поисковая самостоятельная работа

1. Решите уравнение:

        2.        Составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

     а) 5 и 7;     б) 4 и – 4;      в) 0 и 11.

3.        Решите уравнение:

а) (5х-1)2-( Зх + 2)2 + (х-1 )(х+1) = х - 4; б) 12 х2 - (Зх + 2)2 + (х + 4) (5х - 1) = х2 - 8;

          в)            

         г)

IV. Творческая, исследовательская самостоятельная работа

1. При каких значениях m уравнение:

а) 6х2 + (m - 1)x2 – 4m = 0;

б) (m - 2)x2 + m = 0  является неполным квадратным уравнением.

2. Решите относительно х уравнение:

а) х2 + 3bx = 0;      б) (m - 2)x2 + 3x + m = 0/

3. Решите относительно х уравнение, в котором а ≠ 0:

а) ах2 = 9;      б) ах2  - 1/а = 0;      в) 6,25 – а2х2 = 0;    г)  ах2 – 6/а = 0.

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена (2 часа).

I. Простейшая воспроизводящая самостоятельная работа

(по образцу)

Решите уравнения, выделив полный квадрат суммы или разности (по формуле а2 ± 2аb + b2 = (a  ± b)2).

а) х2 + 2х + 1 = 0;                                 г)   х2 + 6х + 9 = 0;                                                                                          б) х2- 2х + 1 = 0;                                   д)   х2 - 14х + 49= 0;

в) х2- 6х + 9 = 0;                                  е)   х2 + 8х + 16 = 0.

II. Реконструктивно – вариативная самостоятельная работа

Решите уравнения, выделив полный квадрат суммы или разности в левой части уравнения.

а)   х2 + 2х + 1 = 40;                                          е) х2 - 3х + 3 = 0;

б)   х2 - 8х + 15 = 0;                                           ж) х2 + 8х + 15 = 0;

в)  х2 +12х + 20 = 0;                                          з) х2 + 9х + 14 = 0;

г)   х2 - 5х - 61 = 0;                                             и) х2 - 2х - 1 = 0;

д)  х2 - 8х - 9 = 0;                                                к) х2 + 4х + 3 = 0.

III. Частично – поисковая самостоятельная работа

Решите уравнение  выделением  квадрата двучлена:

а)  9 х2 - 30х + 25 = 0;

б)   -2х2 - 6х + 1,5 = 0;

в) (х – 0,2-3)(х+1/7)(х+2,1)=0

г)   2х2 - 9х + 10 = 0;

д)   5х2 + 3х  -  8 = 0;

е)   5х2 + 14х - 3 = 0.

IV. Творческая, исследовательская самостоятельная работа

1. Произведение двух чисел равно их среднему арифметическому, а     разность этих чисел равна 1. Найдите такие числа.
2. Разность двух чисел равна 2, а половина произведения этих чисел равна их среднему арифметическому. Найдите такие числа.

Решение квадратных уравнений по формуле (3 часа)

I. Простейшая воспроизводящая самостоятельная работа

Таблица № 2.

Решение квадратных уравнений по формуле.

1. Решите уравнение по образцу:

    а)  3 х2 -  13х + 4 = 0;                                       ж)  х2 - 5х + 6 = 0;

               б)   2х2 - 9х - 5 = 0;                                           з)  5х2 + 8х + 3 = 0;

               в)  5х2 - 13х + 6 = 0;                                         и)  х2 - 10х - 24 = 0;

               г)  9х2 - 12х + 4 = 0;                                         к)  х2 + 3х - 4 = 0;

              д) 49 х2 -  28х  + 3 = 0;                                     л)  х2 - 3х + 28 = 0;

              е) 4 х2 - х + 1 = 0.                                              м)  х2 + х  + 8  = 0;

II. Реконструктивно – вариативная самостоятельная работа

Решите уравнения, предварительно записав их в стандартном виде:

а)  х2 + 5х  = 14;                                         з) 2(2х2 - 7) = - 8х – 9;

б) 3х2 = 2х – 5;                                            и) (3х - 1)(3х + 1) – 2х( 1 + 4х ) = - 2;

в) 4х2 + 1 = 4х;                                            к) (3х + 1)2 – х( 7х + 5) = 4;

г) 25х2 + 10 = 10х + 9;                               л) ( х - 2)( х + 2 ) – 2х( х – 3 ) = 6 – х;

д) (х - 2)(х + 2) + 14 = 9х – х2;                 м)  (у + 1)2 = - 1 – ( 3 + у )у;

е) х2 + 2√2·х + 1 = 0;                                н) х( х – 1 ) – 2х( х + 1) = х – (2х +1)(2х -1);

ж) 2х – 9 + 5х2 = 2х2 + 6х – 20;               о) ( х +√2 )2 - 4√2(√2 – х ) = 8.

              III. Частично – поисковая самостоятельная работа

1. Найдите корни уравнения:

1.      9 | х – 1 |2 + 6 | х – 1 | + 1 = 0;

2.      ( 3 – х )2 + 5 | 3 - х  | - 6 = 0;

3.

4.      5( √у )2 - 6 √у + 1 = 0;

5.      2| у |2 - 9| у | = 0;

6.      4х4 + х2 – 33 = 0;

7.     – ( у + 5 )2 + 3 | у + 5 | + 5 = 0;

8.     2( х – 3 ) + √( х - 3) + 67 = 0;

9.     1 – 18 | 2 – р | + 81( 2 – р )2 = 0;

10.    – 11у 3 + у 6 – 152 = 0;

11.    18 + 3 ( х / √3 ) 2 -  х / √3 = 0;

12.     3 | х | 2 – 14 | х | + 16 = 0;

13.     5х – 16 √х + 3 = 0;

14.     х 6  + 2х 3  - 3 = 0;

15.     8 ( 1 – 2х ) 2 – 14 | 2х – 1 | + 5 = 0;

16.    12 ( 4х ) 2 + 64х – 3 = 0.

2. При каких значениях х

а) значения выражений ( х – 2 ) 2 – 5 | х + 2 | - 3 и  2 | х + 2 | - 3 равны;

б) выражение 7 | 3 – х | + 1 равно выражению 3 ( 3 – х ) 2 2 | 3 – х | + 1;

в) выражение  - 2х 4 + 5х 2 + 6  равно выражению  4х 4 + 5х 2 ;

г) выражение ( 1 /х ) 2 – 6/х   равно выражению   5/х – 18;

     д) выражение   3 ( 3/х) 2 – 4 · 3/х + 3  равно выражению  ( 3/х ) 2 + 3/х + 1?

IV. Творческая, исследовательская самостоятельная работа

|

1. Решите уравнения:

1. 4sin 2 у – 4sin у + 1 = 0;
2. 4cos 2 р - 4√3 cos р  + 3 = 0;
3. 4tg 2х – 5 tg х + 1 = 0;
4. – 4 sin 2 у –  ( √3 + 2 )sin у + √3 = 0;

5)  -  4cos  4 х - 8 cos 2 х + 3 = 0;

1. 3 000 000 t 2 – 2 000 t + 1 = 0;
2. y 10 – 244 y 5 + 243 = 0;
3.  100 ( х + 5 ) - 160√(х + 5) + 63 = 0.

2. Решите относительно у уравнения:

                 а)  су 2 + 8 = 2у 2 + 4с;

                 б)  b ( у 2 + 7 ) = b ( у + 5 ) + 2b;

                 в)  у 2 – 3у = а 2  + 3а;

                 г)  ау 2 + 6у + а = 3 ( 2у – а );

                 д)   сх 2  - 3 ( 2с – 1 )х – ( 15 – 5с) = 0.

Решение задач с помощью квадратных уравнений  ( 3 часа)

I. Простейшая воспроизводящая самостоятельная работа

1. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, обнесён изгородью длиной 360 м. Определите длину и ширину участка, если известно, что его площадь равна 8 000 м 2.

Заполните пропуски и закончите решение задачи:

     Пусть длина участка равна х м. Тогда его ширина равна ( 180 – х ) м, так как длина изгороди равна 360 м, а потому длина и ширина составляют половину от этого числа, т. е. 180 м. Значит площадь участка равна ……….. м 2 , что составляет 8 000 м 2 . Получаем уравнение …………  .

2. Найдите число, которое на 12 меньше его квадрата.

     Ответ: 4 и – 3.

3. Площадь прямоугольной пластины равна 120 см 2. Найдите длину и ширину пластины, если известно, что длина на 2 см больше ширины.

     Ответ:  12 см и 10 см.

4. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 271 больше их суммы. Найдите эти числа.      

     Ответ:  17 и 18.  

5. Спортивная площадка имеет форму прямоугольника, длина которого на

    10 м больше ширины. Найдите размеры площадки, если известно, что её          площадь равна 9 000 м 2.

    Ответ: 90 м и 100 м.

6. В прямоугольном треугольнике гипотенуза на 5 см больше одного катета и на 10 см больше другого. Найдите гипотенузу.

Указание.  Обозначив длину гипотенузы через х см, выразите длины катетов и воспользуйтесь теоремой Пифагора.

II. Реконструктивно – вариативная самостоятельная работа

1. Огородный участок, имеющий форму прямоугольника, одна сторона которого на 20 м больше другой, требуется обнести изгородью. Определите длину изгороди, если известно, что площадь участка равна 8 000 м 2.
2. От листа картона, имеющего форму  квадрата, отрезали полосу шириной 3 см и площадью 70 см 2 . Найдите размеры листа картона.
3. Для того, чтобы обменяться памятными значками, членам туристической группы потребовалось 56 значков. Сколько туристов было в группе?
4. Найди три последовательных натуральных числа, сумма квадратов которых равна 1589.
5. Имеющиеся 325 кресла установили в актовом зале школы рядом так, что число кресел в ряду оказалось на 2 меньше числа рядов. Сколько кресел в ряду?
6. В прямоугольном треугольнике один катет на 8 см меньше гипотенузы, а другой на 8 см меньше гипотенузы. Найти гипотенузу.

              III. Частично – поисковая самостоятельная работа

1. Периметр одного квадрата на 24 см меньше периметра другого, а его площадь в 16 раз меньше площади второго квадрата. Найдите стороны квадратов.
2. Правильный  n-угольник имеет 14 диагоналей. Чему равно n?
3.  В прямоугольнике одна сторона на 8 см меньше диагонали, а другая на 4 см меньше диагонали. Найдите площадь прямоугольника.
4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза в 1¼ раза больше одного катета и на 8 см больше другого. Найдите стороны треугольника.
5. Одно число на 4 больше другого, а разность их кубов равна 316. Найдите эти числа.

IV. Творческая, исследовательская самостоятельная работа

1. Ширина прямоугольного параллелепипеда в два раза меньше его длины, а высота 5 дм. Найдите объём параллелепипеда, если площадь его основания на 108 дм 2 меньше площади боковых граней.
2. Сумма кубов двух натуральных чисел равна 1547. Найдите эти числа, если  их  сумма равна 17.
3. Высота h (в м), на которой через t секунд окажется брошенное вертикально вверх тело, вычисляется по формуле  h =  V0 t – 5 t 2, где V0 – начальная скорость ( в м/сек ). В какой момент времени тело окажется на  высоте 300 м, если за 1 сек оно поднялось вверх на 75 м?
4. На предприятии зарплату повышали дважды. Первый раз на х%,

      второй – на 2х% . После двух повышений зарплата увеличилась в 15/8

       раза. Найдите х.

Теорема Виета. (3 часа)

I. Простейшая воспроизводящая самостоятельная работа

Таблица № 3.

 Выполните задания по образцу.

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а) x 2  - 12 x - 45 = 0;                        ж) 60 z  +  z 2  = 0;

б) x 2  - 16x + 28  = 0;                        з) 4,5у  -  у 2  = 0;

в) у 2  + 17 у + 60 = 0;                       и) 3x 2  - 6 x - 7 = 0;

г) 3у - 40  + у 2  = 0;                           к) 5у 2  +   у - 3 = 0;                      

д)  x 2  - 27 x  = 0;                               л) 8х – 2х 2 + 3 = 0;

е) у 2  - 12   = 0;                                  м) 4у 2 – 5у = 0.

2. а) Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найдите второй корень уравнения:

     а)  7х 2 – 11х – 6 = 0;                  б) х 2 – 8х + 12 = 0.

     б) Один из корней квадратного уравнения равен 2. Найдите второй корень     уравнения:

      а) х 2 – 21х + 54 = 0;                   б) 9х 2  - 20х – 21 = 0.

3. Определите знаки корней уравнения ( если они существуют):

а) х 2 -22х+120=0;                       г) 2у 2 + 19у – 27 = 0;

б) х2 + 15х + 56 = 0;                    д) у 2 – 15у – 13 = 0;

в) х 2 + 11х +20 = 0;                     е) 3х 2 – 21х + 17 = 0.

Образец:  а) x1 x2 = 120, значит знаки корней одинаковые;

                  б) x1 + x2 = 22,значит оба корня положительные.

II. Реконструктивно – вариативная самостоятельная работа

1. В уравнении x 2  +  p x – 24 = 0 один из корней равен 12. Найдите другой корень и коэффициент p.

Указание.  Воспользоваться тем, что произведение корней равно – 24.

   2.  В уравнении  x 2  - 8 x + q = 0 один из корней равен 12. Найди другой корень      

      и коэффициент q.

3.  х 1 = 4, найдите х 2 :  2х 2  - 9х + 4 = 0.

4.Один корень равен 1, найдите b :  х 2 – bx

4. х 1 = 5, найдите с :  2х 2  -  4х - с = 0.
5. х 1 = - 2, найдите b :  3х 2  + bх  -  2 = 0.
6. х 1 = 4, найдите х 2 :  2х 2  - bх + 8 = 0.
7.  Пользуясь теоремой обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, имеющее корни:

а)  6 и – 1;    б)  2 и ⅓;   в)  ⅓ и  ¼;    г) 1 - √2  и  1 + √2.

              III. Частично – поисковая самостоятельная работа

1. Один из корней уравнения  3х 2  -  9х + с = 0 на 2 больше другого. Найдите c.
2. При каких значениях а уравнение х 2 – ( а + 4 )х – 3 = 0 имеет два корня, один из которых на 4 больше другого?

3. Зная, что х 1 и х 2 – корни уравнения  х 2 + bx + c = 0 выразите через его коэффициенты   а) 1/х1  + 1/х2;     б)  х1 + х2;   в)  (х1  - х2 ) 2 .
4. Пусть х1  и  х2  - корни уравнения х 2 – 9х – 17 = 0. Не решая уравнения:

1) найдите значение выражения:  а) 1/х1  + 1/х2;     б) х1  2 + х2 2;    в) (х1  - х2 ) 2;  

г) х1 / х 2 + х2 / х1;       д) х1  3+ х2 3.

      2) запишите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа 1/х1 и         1/х2

IV. Творческая, исследовательская самостоятельная работа  

1. Дано квадратное уравнение  ах2 + bx + c = 0, где а ≠ 0

а) докажите, что если a + b + c = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = c / a.

б) докажите, что если a – b + c = 0  или b = a + c, то х1 = - 1, х2 = -  c / a.

2. Найдите все целые значения х  и  у, для которых выполняется равенство

9х 2у 2 – 6ху 2 – 9х 2у + 12х 2 + у 2 + 18 ху – 6 х + 5у + 6 = 0.

3. Корни уравнения х 2 – bx – b = 0 таковы, что х1 3 + х2 3 + х1 3х2 3 = 75. Найти b.
4. Пусть х1  и  х2  - корни уравнения 3х 2 + 14х – 14 = 0. Установите больше или меньше единицы значение дроби

Решение дробных рациональных уравнений ( 2 часа)

I. Простейшая воспроизводящая самостоятельная работа

1. Решите уравнение:

       Для этого: а) найдите общий знаменатель дробей;

                         б) умножьте обе части уравнения на общий  

                             знаменатель дробей, т. е. на  х – 2;  

                         в) решите получившееся целое уравнение;

                         г) исключите из его корней те, которые обращают в нуль            общий знаменатель дроби.

Для самоконтроля: после умножения на общий знаменатель дробей получается уравнение  х 2 – 8 = - 2х.

Ответ: - 4.

2.  Решите уравнения:  

II. Реконструктивно - вариативная самостоятельная работа

1.        При каком значении с значение дроби

2.        При каких значениях а значения дробей равны

3. При каких значениях а разность дробей   равна их произведению

4. Решите уравнения:

III. Частично – поисковая  самостоятельная работа

1. Решите уравнения:

IV. Творческая, исследовательская самостоятельная работа

1. Решите уравнения:

2. При каких параметрах в уравнение

Решение задач с помощью рациональных уравнений (3 часа)

I. Простейшая воспроизводящая самостоятельная работа

1. Трассу, длиной 36 км, один из лыжников прошёл на 30 мин. быстрее

другого. Найдите скорость каждого лыжника, если известно, что скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго.

Заполни пропуски и закончите решение задач.

Пусть скорость первого лыжника равна х км/ч. Тогда скорость второго лыжника равна ( х – 1 ) км/ч. Для прохождения трассы первый лыжник затратил 36/х ч, а второй 36/( х – 1) ч.

Второй лыжник затратил на 30 мин, то есть на ……  ч. больше первого, значит …….  .

Ответ: 9 км/ч;  8 км/ч.

2. Моторная лодка прошла по течению реки расстояние, равное 6 км, а затем по озеру, расстояние равное 10 км. затратив на весь путь 1 час. Найдите, с какой скоростью ехала лодка по озеру, если скорость течения равна 3 км/ч.

Для этого:

1. Обозначьте через х км/ч скорость движения по озеру.
2. Выразите скорость движения лодки по течению реки.
3. Выразите время, которое лодка затратила на путь по течению реки.
4. Выразите время, которое лодка затратила на путь по озеру.
5. Составьте уравнение, учитывая, что на весь путь лодка затратила 1 ч.
6. Решите составленное уравнение.
7. Исключите те из корней уравнения, которые не соответствуют условию задачи.

Ответ: 15 км/ч.

3. Из деревни в город  выехали одновременно два велосипедиста. Один из них ехал со скоростью на 4 км/ч большей и прибыл в город на 1 ч раньше. Найдите,  с какой скоростью ехал каждый велосипедист, зная, что расстояние от деревни до города 80 км.
4. Расстояние в 210 км катер проходит по течению реки на 4 часа быстрее, чем против течения. Определите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.
5. Числитель обыкновенной дроби на 1 меньше знаменателя. Если из числителя и знаменателя этой дроби вычесть по 1, то дробь уменьшится на 1/12. Найдите эту дробь.

Указание: обозначив числитель дроби через х, выразите знаменатель и саму дробь.

6. Бригада должна была изготовить 120 изделий к определённому сроку. Однако она изготовила в день на 2 изделия больше, чем предполагалось по плану, и поэтому закончила работу на 3 дня раньше срока. Сколько изделий в день должна была изготовлять бригада по плану?

II. Реконструктивно - вариативная самостоятельная работа

1. а) Решите уравнение:

     Составьте задачу, может привести к этому уравнению.

     б) Составьте задачу, решение которой приводит к уравнению

       Решите эту задачу.

III. Частично – поисковая  самостоятельная работа

1. За 7 ч катер прошёл 60 км по течению реки и 64 км против течения. В другой раз катер за 7 ч прошёл 80 км по течению реки и 48 км против течения. Определите собственную скорость катера и скорость течения реки.
2. На соревнованиях по кольцевой трассе один лыжник проходил круг на 2 мин быстрее другого и через час обогнал его ровно на круг. За сколько минут каждый лыжник проходил круг?
3. Дорога от посёлка до станции  идёт сначала в гору, а потом под гору, при этом её длина равна 9 км. Пешеход на подъёме идёт со скоростью на 3 км/ч меньшей, чем на спуске. Путь от посёлка до станции занимает у него 2 ч, а обратный путь – 2 ч 30 мин. Определите длину подъёма на пути к станции и скорость пешехода на подъёме и на спуске.

IV. Творческая, исследовательская самостоятельная работа

1.  Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на 7⅓ часа

     больше, чем при работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду каждый самосвал.

1. Найдите члены пропорции х1 : х2 =  х3 : х4, в которой первый член на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793.
2. Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков. Произведение этого числа на число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите данное число.

Графический способ решения уравнений ( 2 часа )

I. Простейшая воспроизводящая самостоятельная работа

1. Решите графически уравнения:

а) х 2 =  х + 6;                                      в) х 2 =  х + 2;  

б) 2х 2  + х – 1 = 0;                              г) 2х 2  - 3х – 2 = 0.

Выполни проверку. решив уравнение с помощью формулы корней.

2.  Решите графически уравнения:

а) х 2 = 4/х;                                           в) √х = х – 6;

б) 1/х = 2х + 1;                                    г) √х = 8/х.

II. Реконструктивно - вариативная самостоятельная работа

С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях b уравнение х/b = m, если:

а) m = 3/x;      б) m =  √x;      в) m = | х |/х;    г) m = x 3;      д) m = | x + 1 |.

III. Частично – поисковая  самостоятельная работа

Докажите, что функция у = √ х 2  + 2√2х + 2 + √х 2 - 2√2х + 2, где

 - √2 ≤ х ≤ √2, линейная.

IV. Творческая, исследовательская самостоятельная работа

Постройте график функции:

а) у = - | х – х 2 |;                            в) у = √х 2 + х;

б) у = | 2 – х 2 |;                              г) у = √х 2 - х.

Самостоятельная работа № 1

В – I

Решите уравнения:

1. а) 2х2 – 18 = 0;                б) х2 + 16 = 0;
2. а) 3х2 – 12х = 0;              б) 2,7х2  = 0;
3. х2 + 2х – 3 = 2х + 6;
4. х2 + 2х– 3 = 0.                              

В – II

Решите уравнения:

1. а) 6х2 – 18 = 0;                б) 12 + 4х2 = 0;
2. а)  х2 – 5х = 0;                 б) – 3/7х2  = 0;
3. 5х2  – 6 = 15х - 6;
4. х2 - 6х + 5 = 0.                              

Самостоятельная работа № 2

В – I

Решите уравнения:

1. х2 + 2х – 3 = 0;
2. 2х2 + 5х – 3 = 0;
3. ( х + 3 )2 = 2х + 6;

     4.

В – II

Решите уравнения:

1. 6х2 - 5х – 1 = 0;

2.  х2 - 6х  + 9 = 0;

3. ( х – 2 )2 + 24 = ( 2 + 3х )2;  

     4.

Самостоятельная работа № 3

В – I

Реши задачи с помощью квадратного уравнения:

1. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
2. Площадь прямоугольного треугольника 180 см2. Найти катеты треугольника, если их сумма 39 см.
3. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найти второй корень уравнения х2 - 21х  + 54 = 0.
4. Один из корней данного квадратного уравнения равен – 2. Найти коэффициент k и второй корень уравнения х2 + 5х + k = 0.

В – II

Реши задачи с помощью квадратного уравнения:

1. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
2. Найти  стороны прямоугольника, если их разность равна 14 дм, а диагональ прямоугольника 26 дм.
3. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найти второй корень уравнения 9х2 - 20х  - 21 = 0.
4. Один из корней данного квадратного уравнения равен – 2. Найти коэффициент k и второй корень уравнения х2 + kх – 16  = 0.

Контрольная работа № 1

В – I

1º. Решите уравнения:

а) 2х2 + 7х – 9 = 0;                  в) 100х2 – 16 = 0;

    б) 3х2  = 18;                               г) х2 - 2х  - 35 = 0.

2º. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найти его стороны, если известно,     что площадь прямоугольника равна 24 см2.

3. В уравнении х2 + рх – 18  = 0 один корень равен – 9. Найдите другой  

     корень и коэффициент р.

В – II

1º. Решите уравнения:

    а) 3х2 + 13х – 10 = 0;                  в) 16х2 = 49;

    б) 2х2  - 3х = 0;                            г) х2 - 16х  + 63 = 0.

2º. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найти его стороны, если известно,     что площадь прямоугольника равна 56 см2.

3. В уравнении х2 + 11х + q = 0 один корень равен – 7. Найдите другой  

     корень и коэффициент q.

Самостоятельная работа № 4

В – I

Решите уравнения:                                    

1.

2.

3.

4.

В – II

Решите уравнения:                                    

1.

2.

3.

4.

Самостоятельная работа № 4

В – I

1.  Знаменатель несократимой обыкновенной дроби на 4 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 2, а знаменатель – на 21, то дробь уменьшится на ¼. Найди эту дробь.

2.  Катер прошёл 40 км по течению реки и 6 км против течения, затратив на весь путь 3 ч. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч?

Реши графически уравнения:

3. х2 + х – 6  = 0. Выполни проверку, решив уравнение с помощью формулы корней.

4. √х = х – 6.

В – II

1.Числитель дроби на 1 меньше знаменателя. Если эту дробь сложить с

   обратной  ей  дробью, то   получится

2. Моторная лодка прошла 54 км по течению реки вернулась обратно,       затратив на весь путь 7 ч 30 мин. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения равна 3 км/ч.

Реши графически уравнения:

3. 2х2 - 3х – 2  = 0. Выполни проверку, решив уравнение с помощью формулы корней.

4. √х = 8/х.

Контрольная работа № 2

В – I

1º. Решите уравнения:

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он всё же на обратный путь затратил времени меньше на 10 мин, чем на путь из

А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?  

В – II

1º. Решите уравнения:

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы на путь в 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч?

Литература

1. Бабанский Ю. К. Как оптимизировать процесс обучения. М., 1978 г.
2. Бабанский Ю. К. Оптимизация педагогического процесса. (В вопросах и ответах). Киев, 1984 г.
3. Бондаренко С. М. Учите детей сравнивать. М., 1981 г.
4. Волков И. П. Учим творчеству. М., 1982 г.
5. Жохов В. И., Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. Дидактические материалы по алгебре в 8 классе. М., 1991 г.
6. Зотов Ю. Б. Организация современного урока. Книга для учителя. М., 1984 г.
7. Коротяев Б. И. Учение – процесс творческий. М., 1980 г.
8. Лернер И. Я. Дидактические основы методов обучения. М., 1981 г.
9. Махмутов М. И. Современный урок. Вопросы теории. М. 1981 г.
10.  Миндюк М. Б., Миндюк Н. Г. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 8 класс. М., 1996 г.
11. Нильсон О. А. Теория и практика самостоятельной работы учащихся. Таллин, 1976 г.
12. Пидкасистый П. И. Самостоятельная познавательная деятельность школьников в обучении. М., 1980 г.
13. Пидкасистый П. И., Коротяев Б. И. Организация деятельности учеников на уроке. М., 1985 г.