Дидактический материал по теме "Квадратные уравнения"
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

ПЕРВИЧНЫЙ КОНТРОЛЬ

1. Какие из уравнений являются квадратными?

а) 2х2 – 3х -7=0;          б)  -  = 7;          в) –  + 4х=(х -2)2;

г) 4 +  =3х;          д)  -5х = 41;           е) 3х2 = 0,5

2. Докажите, что число 3 является корнем квадратного уравнения

   x2 – 4x + 3 = 0.

3. Докажите, что число –7 не является корнем уравнения 2x2 + x – 3 = 0.

4. Приведите пример квадратного уравнения ах2+вх+с=0, у которого:

1) а>0, в<0, с>0;                                   4) а>0, в>0, с=0;

2) а<0, в>0, с<0;                                   5) а<0, в=0, с>0;

3) а>0, в<0, с=0;                                   6) а>0, в=0, с=0.

5. Назовите старший коэффициент и свободный член в уравнении:

а) 7х2 + 6х+11=0;                            д) 6х2+7х=0;

б) -5х2 + 4х+1=0;                            е)13х-9х2=0;

в) -7х + +2х2=0;                            ж) х2 +5=0;

г) 0,3х2 -11+0,25х=0;                      з) х2=0.

6. Замените данное уравнение равносильным ему квадратным уравнением:

а) 4х2 -11=х2 -11+9х;                        

б) (2х+1)(х-4)=(х-2)(х+2);

в) (2х-1)2=1-4х;

г) 3 - (4х+1)(3-х)=х2

7. Укажите неполные квадратные уравнения:

1) – 5,2x2 = 0;                                      5) – 9x2 – 15x – 4 = 0;

2) 19x2 + 14x – 5 = 0;                          6) – 35x2 – 33 = 0;

3) 8x2 + 17x = 0;                                  7) x2 + 9x + 10 = 0;

4) x2 – 2x – 3 = 0;                                8) – 13x2 – 11x – 1 = 0.

8. Сколько корней имеет каждое уравнение?
1)  (х - 1)(х +11) = 0;                        6)  х² + 5 = 0;
2)  (х – 2)² + 4 = 0;                            7)  9х² - 1 = 0;
3)  (2х – 1)(4 + х) = 0;                       8)  х² - 3х = 0;
4)  (х – 0.1)х = 0;                               9)  х + 2 = 0;
5)  16х² + 4 = 0;                                 10)  0,07х² = 0.

9. Решите неполное квадратное уравнение:

1) x2 + 5x = 0;                                5) 6x2 = 0;                            

2) –x2 + 8x = 0;                              6) (x – 2)(x + 4) = 0;

3) x2 – 9 = 0;                                  7) x2 + 12x + 36 = 0;

4) –2x2 -  11 = 0;                            8) 4x2 – 3x + 7 = 2x2 + x + 7

10. Дифференцированная проверочная работа

Решите уравнение:   на «3»                                          

а) х2 - 2х = 0

б)2х2-72 = 0

в)5х2 = 0

Решите уравнение:   на «4»

а) 2х2 - Зх + 4х2 = 0

б)2х2-4=4х2

в)  -  х2 =0

Решите уравнение:  на «5»

а)(х-5)(х + 3) = 2х-15

б)(х-3)(2х-4) = х2-10х

в) (2х - 5)(3х + 7) = (х - 3)(2х +5)

11. Самостоятельная работа

1. Найти корни уравнения:

а)  - 0,1х2 +1 = 0;

б) у2 -  = 0;

2. Решите уравнение:

а)  2у + у2 = 0;

б) 10х2 + 7х =0;

3. Какие из следующих уравнений являются неполными? В случае неполного уравнения найдите его корни.

а)  х2 + 14х – 23=0;

б)   - х2 + х=0;

в)  х+8-9х2 =0;

4. Найдите сумму корней неполного уравнения 4х2 +9х=0.

Текущий контроль

1. Математический диктант

1. Является  ли уравнение 2х2 – 3х +4=0 квадратным?

2. В уравнении 3х2 +3х - 3=0 число 3 является свободным членом?

3. Является ли уравнение 2 – 4х + х2 =0 приведенным?

4. Является ли число 0 корнем уравнения х2 – х =0?

5. Является ли полным уравнение 5х + х2 -1 =0?

6. Может ли квадратное уравнение не иметь корней?

7. Правда ли, что число 0 является корнем для любого квадратного уравнения?

2. Занесите в таблицу коэффициенты предлагаемых уравнений.

 3. Восстановите квадратное уравнение:

4. Тест “Виды квадратных уравнений”

5. Лабораторная работа (3 мин.)

Составьте квадратные уравнения, которые:

1. не имеют корней;
2. имеет один из корней, равный 0;
3. имеет два корня, равных по модулю, но противоположных по знаку;
4. имело бы один корень;
5. сумма коэффициентов уравнения равна 0.
6. Пример лабораторной работы:
7. 

Вариант 1.

Уровень А

1. Для каждого уравнения вида ax2 + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 3х2 + 6х – 6 = 0, б) х2 - 4х + 4 = 0

2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 по формуле D = b2 - 4ac.

5х2 - 7х + 2 = 0, D = b2 - 4ac = (-7)2 – 4· 5 · 2 = …;

3. Закончите решение уравнения 3х2 - 5х – 2 = 0.

D = b2 - 4ac = (-5)2- 4· 3·(-2) = 49; х1 = … х2=…

Уровень В

Решите уравнение: а) 6х2 – 4х + 32 = 0; б) х2 + 5х - 6 = 0.

Уровень С

Решите уравнение: а) -5х2 – 4х + 28 = 0; б) 2х2–8х–2=0.

 В) При каком значении а уравнение х2 - 2ах + 3 = 0 имеет один корень?

Вариант 2.

Уровень А

1. Для каждого уравнения вида ax2 + bx + c = 0 укажите значения a, b, c.

а) 4х2 - 8х + 6 = 0, б) х2 + 2х - 4 = 0

2. Продолжите вычисление дискриминанта D квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 по формуле D = b2 - 4ac.

5х2 + 8х - 4 = 0, D = b2 - 4ac = 82 – 4· 5 · (- 4) = …;

3. Закончите решение уравнения х2 - 6х + 5 = 0. 

D = b2 - 4ac = (-6 )2 - 4· 1·5 = 16; х1 = … х2=…

Уровень В

Решите уравнение: а) 3х2 – 2х + 16 = 0; б) 3х2 - 5х + 2 = 0.

Уровень С

Решите уравнение: а) 5х2 + 4х - 28 = 0; б) х2 – 6х + 7 = 0;

    Важным моментом в изучении квадратных уравнений является рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие зависимости между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения.

1. Найти сумму и произведение корней каждого из следующих уравнений:

1) х2 — 9х + 20 = 0;
2)  х2  +  2х — 80 = 0;
3) 12 х2 — х — 1 = 0;
4) 2 х2 + 13х + 21 = 0.

2. Составить квадратное уравнение по данным его корням.

1) 5 и 2;   2) — 0,1 и 10;   3) 1/3 и — 1/4;   4) — 2/3 и — 2/3

.

Задание №3 (индивидуальная работа)

    Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание:

Решите уравнение, соответствующее своему порядковому номеру, и выберите больший корень уравнения:

1.          х2 + 7х + 10 = 0
2.          х2 – х – 20 = 0
3.          х2 + 6х – 7 = 0
4.          х2 + 11х + 24 = 0
5.          х2 + 17х + 70 = 0
6.          х2 – 7х – 30 = 0
7.          х2 + 10х – 11 = 0
8.          х2 + х – 12 = 0
9.          х2 + 11х + 28 = 0
10.  х2 – 4х – 21 = 0
11.  х2 + 4х + 3 = 0

1.  х2 + 7х - 18 = 0
2.  х2 + 6х + 5 = 0
3.  х2 -9х +14 = 0
4.  х2 + 13х + 42 = 0
5.  х2 + 2х - 3 = 0
6.  х2 – х – 12 = 0
7.  х2 + 12х + 35 = 0
8.  х2 -10х + 21 = 0
9.  х2 -х - 30 = 0
10.  х2 – 9х + 20 = 0
11.  х2 -11х + 24 = 0

   Код: большему корню уравнения соответствует буква

Тест по теме «Теорема Виета»

I вариант

а) х2 - 4х + 3 = 0

  Т – {1;3},  Е – {-4;3},  А – {-3;-1};

б) х2 - 12х + 11 = 0

  А – {-11;-1},  Е – {1;11},  М – {-3;8};

в) х2 + 5х + 4 = 0

  А – {1;4},  М – {-4;-1},  Т – {9;20};

г) При каком значении p один из корней уравнения х2 - рх + 9 = 0   равен 1. Найти второй корень.

        Е – {р=1; х2=4},  Т – {р=10; х2=-9},  А – {р=10; х2=9}.

Тест по теме «Теорема Виета»

II вариант

а) х2 - 8х + 7 = 0

  И – {-1;7},  В – {1;7}, Т – {-8;-1};

б) х2 + 3х + 2 = 0

  И – {-2;-1},  Е – {2;3},  B – {-1;2};

в) х2 - 16х + 15+ = 0

  Т – {5;10},  Е – {1;15},  B – {-5;20};

г) При каком значении p один из корней уравнения х2 - рх + 6 = 0   равен 1. Найти второй корень.

        В – {р=-2; х2=4},  Е – {р=1; х2=10},  Т – {р=7; х2=6}.

ИТОГОВЫЙ КОНТРОЛЬ

Вариант 1.

1. Полное квадратное уравнение - это уравнение вида:

а) ах2+вх+с=0, где а≠0;                      б) ах +bx+с=0;

в) ах2+вх=0, где а≠0;                          г) ах2+с=0, где а≠0;                    

2. Если в квадратном уравнении D = 0, то уравнение имеет:

а) 1 корень                          б) 3 корня

в) не имеет корней              г) 2 корня

3. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?

а) 8х2 + 4 –х3                      б) 4х – 9 +2х2

в) 2х4 – 5х2 +1                       г)  х2 +  - 2

4. Какое из чисел - 2, - 1, 3, 5 являются корнем уравнения 4х2 – 11х -3=0?

а) - 1         б) – 2          в) 3                  г) 5

5. Чему равна сумма корней уравнения 7х2 -19х +4=0 ?

а)             б) -            в)                  г)

6. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?

А.  Б.

В.  Г.

7. Чему равна сумма квадратов корней уравнения

?

А.4 Б.18 В.16 Г.6

8. Какое из чисел 9, - 1, 6,  является корнем уравнения .

А) 9 Б)  В) - 1 Г) 6

9. При каких значениях параметра  квадратное уравнение  имеет только один корень?

А. Нет таких значений Б.

В.  Г.

10. Если в полном квадратном уравнении D<0, то уравнение имеет:

А) один корень Б) два корня

В) не имеет корней Г) четыре корня

Вариант 2.

1. Полное квадратное уравнение - это уравнение вида:

А) , где а , b; Б) ах +bx+0=0;

В) , где а; Г) , где а.

2. Если в квадратном уравнении D > 0, то уравнение имеет:

А) 1 корень Б) 3 корня

В) не имеет корней Г) 2 корня

3. Какой из предложенных многочленов является квадратным трехчленом?

А.  Б.

В.  Г.

4. Какое из чисел - 2, - 1, 3, 5 являются корнем уравнения?

А. - 2 Б. - 1 В.3 Г.5

5. Чему равна сумма корней уравнения ?

А.  Б. -  В.  Г.

6. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?

А.  Б.

В.  Г.

7. Чему равна сумма квадратов корней уравнения

?

А.4 Б.18 В.9 Г.1

8. Какое из чисел 9, - 1, 6,  является корнем уравнения

.

А) 9 Б)  В) - 1 Г) 6

9. При каких значениях параметра  квадратное уравнение  имеет только один корень?

А. Нет таких значений Б.

В.  Г.

10. Если в полном квадратном уравнении D<0, то уравнение имеет:

А) один корень Б) два корня

В) не имеет корней Г) четыре корня

4.  Критерии оценок:

"5" - 9-10 б.

"4"-7-8 б.

"3" - 5-6 б.

Тестовые вопросы (5 мин)

На доске 8 квадратных уравнений. Эти задания на слух, повторяются только два раза. Залог успеха - огромное внимание.

1.  2х2 - 8х +4 = 0;

2.  3х2 + 4х - 1 = 0;

3.  х2 - 8х + 12 = 0;

4. х2 - 8 = 0;

5.  х2 - 10х + 100 = 0;

6. х2 - 8х + 12 = 0;

7.3х2 = 0;

8.14 - 2х2 + х = 0

а) Выпишите номера полных квадратов уравнений.

б) Выпишите коэффициенты а, b, c в уравнении 8.

в) Выпишите номер неполного квадратного уравнения, имеющего один корень.

г) Выпишите коэффициенты a, b, c в уравнении 5.

д) Найдите дискриминант в уравнении 6.

е) Найдите дискриминант в уравнении 2 и сделайте вывод о количестве корней.

Проверяем, оцениваем себя сами:

нет ошибок - "5"

1 - 2 ошибки - "4"

3 - 4 ошибки - "3"

Вариант I

1. Имеет ли корни уравнение:

а) ;

б) ?

2.  Решите уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3.  Сократите дробь .

4.  Один из корней уравнения  равен 5. Найдите другой корень и коэффициент .

5.  Площадь квадрата на 8см2 меньше площади прямоугольника. Сторона квадрата в три раза меньше одной стороны прямоугольника и на 2 см больше второй его стороны. Найдите длину стороны квадрата.

6.  Поезд должен был пройти 840 км в определенное время. На половине пути он был

задержан на 30 мин из-за технической неисправности. Чтобы прибыть во время, ему пришлось увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд находился в пути?

Вариант II

1. Имеет ли корни уравнение:

а) ;

б) ?

2. Решите уравнение:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Сократите дробь

.

4. Один из корней уравнения  равен 12. Найдите другой корень и коэффициент .

5.  Периметр прямоугольника равен 32 см, а его площадь равна 60см2. Найдите длину меньшей стороны прямоугольника.

6.  Из города А в город В выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста на 10 км/ч меньше скорости мотоциклиста, поэтому он затратил на весь путь на 6 ч больше. С какой скоростью ехал мотоциклист, если расстояние между городами 120 км?

Тест по теме "Квадратные уравнения"

Тест №1.

1.Какое из уравнений не является квадратным?

а) 6х2+ 7х – 6 = 0;

б) 2х2 – 7 = 0;

в) 10 + 2х2 = 0;

г) 2х3 – 7 = 0.

2.Какое из уравнений является неполным квадратным?

а) 3х2– 8х + 15 = 0;

б) 2х2 – 7 = 0;

в)5 х2 – 8 х +3 = 0;

г) 2х – 5 = 0.

3.Укажите корни неполного квадратного уравнения: х2 – 9 = 0

а)  +3 и -3;    б)  3 и 6;   в)  нет корней;        г) 0.

4. Выберите неполное квадратное уравнение, не имеющее корней:

а) 2х2 + 8 = 0;  б)  х2 – 3х = 0; в)  х2 = 16; г) x2 – 2х = 0.

5. Укажите дискриминант данного квадратного уравнения: 6х2 + 3х – 1 = 0:

а) 44;    б)33;    в) 0;    г) -15.

6.Укажите число корней квадратного уравнения: х2 – 3х + 3 = 0:

а) Два различных корня; б) Два совпадающих корня; в) Нет корней; г) Четыре корня.

7. Укажите, не решая, сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения: у2 + 8у +15 = 0:

а) х1 + х2 = 8; х1х2 = 15;

б) х1 + х2 = 8; х1х2= - 15;

в) х1 + х2 = - 8; х1х2 = 15;

г) х1 + х2 = -8; х1х2= -15.

8. Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите второй корень уравнения х2 – 5х + 6 = 0:

а) 2; б) 3; в) 6; г) 1.

Тест №2.

1.Какое из этих уравнений является квадратным:

а) 3х +2 = 0;  б) 2х4 + 6х3 - 7 = 0;  в) 4х2 + 3х - 5 = 0;  г)2х3= 7.

2. Какое из уравнений является неполным квадратным уравнением?

а) у2 + 8у – 15 = 0; б) 5 у2  - у = 0; в) 4х2 + 3х – 7 = 0; г) 5у2 + у - 1 = 0.

3.Укажите, сколько решений имеет уравнение: 2х2 + 8х = 0?

а) Два различных корня; б) Два одинаковых корня;

 в) Ни одного; г) Более двух.

4.Выберите неполное квадратное уравнение, имеющее только один корень:

а) 2х2+3 = 0;   б) 2х2 = 0;   в) 4х2 + 8х = 0; г) 4х2 – 64 = 0.

5.Укажите дискриминант данного квадратного уравнения: х2 + 10х + 17 = 0

а) 100; б) 32; в) 168; г) 36.

6.Укажите число корней квадратного уравнения: х2 – 8х – 10 = 0

а) Два различных корня; б) Два совпадающих корня;

в) Нет корней; г) Три корня.

7.Укажите, не решая, сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения: у2 – 13у -11 = 0

а) у1 + у2 = 13; у1у2 =11;

б) у1 + у2 = -13; у1у2=-11;

в) у1 + у2 =13; у1у2 = -11;

г ) у1 + у2 = -13; у1у2 =11.

8. Один из корней квадратного уравнения равен 9. Найдите второй корень уравнения: х2 – 8х – 9 = 0

а) -1; б) 2; в) -3; г) 4.

 Заключение

 Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

 Данную работу можно использовать в педагогической деятельности, она может стать методическим пособием для учителей  математики, преподающие в средней школе, которые стремятся вызвать интерес к урокам математики.