Банк дидактических материалов по теме «Квадратные уравнения» 8 класс
учебно-методический материал по алгебре (8 класс)

Дидактический материал по теме «Решение квадратных уравнений»

Обучающая карточка №1

1. Записать квадратное уравнение   ах2+вх+с=0, если известны его коэффициенты    а=7,  в=-4,  с=11.             Решение.

Если  а=7,  в=-4,  с=11, то квадратное уравнение имеет вид  7х2 -4х +11=0.

2.Какие из чисел  -3,  2, 4, -2, 0, 1 являются корнями уравнения  х2 – 5х + 4= 0?

                                           Решение.

Если  х = -3,  то (-3)2 - 5*(-3) + 4 = 0  —  неверно, так как  9 + 15 +4 ≠ 0;

если   х = 2 , то    22 – 5 * 2 + 4 = 0  —   неверно, так как  4 – 10 + 4 ≠ 0 ;

если   х = 4, то    42 – 5 * 4 + 4 = 0  —   верно,  так  как  16 -20  + 4 = 0;

если   х = -2, то  (-2)2 – 5*(-2) + 4=0 — неверно, так как  4 + 10 + 4 ≠ 0;

если   х = 0, то    02  -  5*0 + 4 = 0  —  неверно, так как   0 – 0 + 4 ≠ 0;

если   х = 1,  то   12 – 5*1 + 4 = 0  —  верно,  так как   1  -  5  +  4  =  0.

Ответ:  1 ;4.

3.Найти корни уравнения    или   решить уравнение                                                                   1). х2 -  256 = 0.           2). 64х2 = 0.               3). х2 + 49 = 0

         Решение.                 Решение.                   Решение.

     х2 – 256 = 0,                 64 х2 = 0,                    х2 + 49 = 0,

           х2 = 256,                      х2 = 0,                         х2 = - 49,

           х = ± ,                 х = 0.                   корней нет, так как  -49 < 0.

           х = ± 16.

Ответ: ± 16.                    Ответ: х=0.               Ответ: корней нет.

4).Решить уравнение.

1)   х2 + 10х + 25 =0.                                   2). (х-2) (х2  + 2х + 4) – х2(х – 72) = 0.

           Решение.                                                                   Решение.

      х2 + 10х + 25 = 0,                                        (х - 2) (х2 + 2х + 4)  -  х2 (х - 72) = 0,

               (х + 5)2 = 0,                                                           х3 -  8 –  х3  + 72 х2 = 0,

                   х + 5 = 0,                                                                      72х2 =  8,

                        х = -5.                                                                      х2 = ,

     Ответ: -5.                                                                                      х = ± ,

                                                                                                              х = ± .

                                                                                     Ответ: .

Обучающая карточка №2

Решить  уравнения:

1).  7х2 = 0.                 2).  5х2  - 125 = 0.             3).  6х2 + 36 = 0.          4) 5х2 + 7х = 0.

      Решение .                      Решение .                        Решение .                 Решение.

        х2 = 0,                          5х2 = 125,                        6х2 = -36,                х (5х + 7) = 0,

         х=0.                            х2 =125 : 5,                    х2 = -36 : 6,          х = 0 или 5х +7 = 0,

Ответ: 0.                             х2 = 25,                             х2 = -6,                               5х = -7,

                                            х = ± ,                 корней нет,                              х = -7 : 5,

                                            х = ± 5.                       так как  -6 < 0.                        х = - 1,4.

                                  Ответ: ± 5.                Ответ: корней нет.              Ответ: -1,4 ;   0.

                                                  5)

                                                  Решение.

Дробь равна нулю, тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.  

                                  х2 – 16 = 0,               х2 – 16 = 0,

                                  х – 4  ≠ 0.                    х2 = 16,

                                                                       х = ± 4.

Если х =-4, то   х – 4 ≠ 0 верно, если х = 4,  то   х – 4 ≠ 0  неверно.

 Ответ:  — 4.

Обучающая карточка №3

Решить уравнения методом выделения полного квадрата.

1.  х2 + 4х +3 = 0.                    2.  х2 – 6х + 5 = 0.               3.  5х2 – 7х – 6 = 0.

        Решение.                              Решение.                                Решение.

  х2 + 4х = - 3,                               х2 – 6х = -5,                        х2 - х -  = 0,

  х2 + 2*2х + 4 = -3 + 4,          х2 – 2*3х + 9 = -5+9,               х2 - х = ,

   (х + 2)2 = 1,                            (х – 3)2 = 4,                             х2 – 2*х+ = ,

х + 2 = -1  или  х + 2 = 1,      х  - 3 = -2  или х – 3 = 2,             (х - )2 =,

х = -1 – 2           х = 1 – 2,       х = -2 +3         х = 2 + 3,           х -  или  х -

 х = - 3               х = - 1.            х = 1                х = 5.            х =           х = ,

Ответ: -3,  -1.                          Ответ:  1;  5.                          х =          х = .

                                                                                                       Ответ:   2.

Обучающая карточка №4

Решить квадратные уравнения:

1).   4х2 – 11х + 6 = 0.               2).  х2 – 4х + 4 = 0.             3).  х (х+1) =  -56.

          Решение .                                 Решение .                              Решение.

      а = 4,   в = -11,  с = 6,              а = 1, в = -4, с =4,           х2 + х + 56 = 0,

      D = в2 – 4ас,                             D = в2 – 4ас,                     а =1, в= 1, с = 56,

     D = (-11)2 – 4*4*6,                   D = (-4)2 – 4*1*4,             D = в2 – 4ас,

     D = 121 – 96,                             D = 16 – 16,                      D = 12 – 4*1*56,

      D = 25,                                      D = 0,                                 D = 1 – 224,

D > 0,уравнение имеет           D = 0, уравнение имеет          D < 0, корней нет.

 два корня:                                           один корень:            Ответ: корней нет.

 х1,2 = ,                                х =  ,

 х1,2 =                      х =        

  х1 =                    Ответ:  2.

  х2 =        

Ответ:  0,75;   2   

4).  

          Решение.

Н.О.К.          20,

(х2 + х )*5 – (3 – 7х)*1=6,

5х2 + 5х -3 + 7х = 6,

5х2 + 12х – 3 – 6 = 0,

5х2 + 12х – 9 = 0,

а = 5, в = 12, с = -9,

D = в2- 4ас,

D= 122 – 4*5*(-9),

D = 144 +180,

D = 324.

D > 0, уравнение имеет два корня     х1,2 = ,

                                                               х1,2 = ,

                 х1 =              х2 =

Ответ: -3;   0,6.

Обучающая карточка №5

1.Решить приведенное квадратное уравнение  х2 – х – 2 = 0.

                                                Решение.

  х1,2 =  ,         х1,2 = ,   х1,2 = ,   х1,2 = ,

                      х1,2 =            х1 = ,       х2 =

Ответ: -1;  2.

2. Записать приведенное квадратное уравнение, имеющее корни х1 =3, х2 = -6.

                                                 Решение.

Если х1 = 3, х2= -6, то приведенное квадратное уравнение имеет вид: х2 + 3х – 18 = 0, так как  по теореме Виета  х1 + х2  = -p,  т.е. х1 + х2 = - (3+(-6)) = - (-3) = 3,  х1*х2 = q, т.е  3* (-6) = - 18.

Ответ: х2 + 3х – 18 = 0.

3.Квадратный трехчлен разложи на множители  3х2 + 8х – 3.

                                                Решение.

Найдем корни квадратного трехчлена: 3х2 + 8х – 3 = 0.

 а =3, в = 8, с = -3,  D = в2 – 4ас,   D = 82 – 4*3*(-3), D = 64 +36 = 100,

D > 0, квадратное уравнение имеет два корня: х1,2 =,  х1,2 =   х1 =   х2 =  по доказанной теореме о разложении на множители квадратного трехчлена получаем, 3х2 + 8х – 3 = 3(х-)(х+3) = (3х -1)(х+3).

Использовали формулу  ах2 + вх + с + а*(х – х1)*(х – х2).

Ответ: 3х2 + 8х – 3 = (3х – 1)(х + 3).

4.Сократить дробь

                                   Решение.

Разложим числитель и знаменатель дроби на множители, используя формулу

ах2 + вх + с + а*(х – х1)*(х – х2).

-х2+5х+36=0,                                                        х2-х-20=0,

а=-1, в=5, с=36,                                                     х1,2 = ,

D = в2-4ас, D = 25 +144 = 169,                          х1,2 = = =

D>0,уравнение имеет два корня                         х1 = , х2=

х1,2 = ,   х1,2=,

х1 =  х2=.

Преобразуем дробь        Ответ:

Обучающая карточка № 6

1.Решить уравнение  х4 – 4х2 – 5 = 0.

                                     Решение.

Обозначим  х2 = t, тогда данное уравнение примет вид: t2 – 4t – 5 = 0.                               а =1, в=-4, с=-5,     D = в2 – 4ас,    D = 16 +20 = 36, D>0, уравнение имеет два корня: х1,2 =       х1,2 = ,    х1 =    х2 =

получим два уравнения:    х2 = 5                              х2= -1

                                             х =                    действительных корней нет,

                                                                              так как  -1<0.

Ответ: .

2.Решить уравнение  

                                         Решение.

Преобразуем разность

                                Н.О.З.               у(у-4) ≠ 0,

                у(у+4) + у2 = 2у2 -8у – 4(у-4),

                у2 + 4у + у2 = 2у2 – 8у – 4у + 16,

                      2у2 + 4у – 2у2 + 12у – 16 = 0,

                                                 16у – 16 = 0,

                                                     16у = 16,

                                                        у = 1.

Если у = 1, то у(у-4) ≠ 0, верно.

Ответ: у=1.

3.Решить уравнение  (х+7)4 -5(х+7)2 + 4 = 0.

                                      Решение.

Обозначим (х+7)2 = t, тогда данное уравнение имеет вид  t2 – 5t + 4 = 0,

   а=1, в=-5, с=4,   D =в2- 4ас,  D = 25 – 16 = 9,  D>0, уравнение имеет два корня: х1,2=    х1,2=    х1=   х2=

Таким образом, получаем два уравнения:  (х+7)2=4   или  (х+7)2 = 1,

                                                              х+7 =           х+7 =

                                                      х+7=2 или х+7=-2    или   х+7=-1  или  х+7=1

                                                      х = 2 -7,     х = -2-7,            х= -1-7,        х= 1- 7,

                                                      х = -5.        х = -9.               х = -8.          х = -6.

Ответ: -9;   -8;  -6;   -5.

Обучающая карточка №7

1.Задача. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

                                                  Решение.

Пусть х кч скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению (х+3)км/ч, а против течения (х-3) км/ч. По течению реки 25 км лодка прошла за ч, а против течения 3 км за ч. По условию задачи известно, что на весь путь лодка затратила 2ч, составим и решим уравнение

                                                           Н.О.З.                  (х+3)(х-3) ≠ 0,

                                        25*(х-3) + 3*(х + 3) = 2*(х2 – 9),

                                        25х  -  75  +  3х + 9 = 2х2 – 18,

                                                          28х –  66 = 2х2 – 18,

                                                            2х2 – 28х  + 48 = 0,

                                                              х2 – 14х + 24 = 0,

                                                           а=1, в = -14, с = 24,

                                                               D = в2 – 4ас,

                                                                D =196 – 96 = 100,

D>o,  уравнение имеет два корня: х1,2 = ,    х1,2 =

х1 =       х2 =

Если х = 12, то (х+3)(х-3) ≠ 0, верно;

Если х =2, то (х+3)(х-3) ≠ 0, верно.

По смыслу задачи скорость лодки в стоячей воде должна быть больше скорости течения реки. Этому условию удовлетворяет число 12 и не удовлетворяет число 2.

Ответ: 12 км/ч.

Контрольная работа по теме «Квадратные  уравнения»

Вариант №1

I уровень1.Решить уравнение: а)14х2-9х=0;  б)16х2=49;

в)

2.Решите биквадратное уравнение    х4-13х2+36=0

3.Моторная лодка прошла 28 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на весь путь 3ч. Какова скорость моторной лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 1 км/ч.

Составьте модель.

II уровень

1.Сократите дробь

2.Решите уравнение к задаче ОУ.

III уровень

1.Один из корней уравнения х2+kх+45=0 равен 5. Найдите второй корень и коэффициент k.

2.Решите задачу  ОУ.

Вариант №2

I уровень

1.Решить уравнение: а)6х-5х2=0;  б)25х2=1;

в)

2.Решите биквадратное уравнение             х4-29х2+100=0

3.Моторная лодка прошла   3 км против течения реки и 25 км по течению, затратив на весь путь 2ч. Какова скорость моторной лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

Составьте модель.

II уровень

1.Сократите дробь

        2.Решите уравнение к задаче ОУ 

III уровень

1.Один из корней уравнения                      х2-26х+q=0 равен 12.. Найдите второй корень и коэффициент q.

       2.Решите задачу ОУ.