Интегрированный урок (математика=физика) "Физический смысл производной на уроках математики"
план-конспект урока (алгебра, 10 класс) по теме

Тема урока: Физический смысл производной на уроках математики (интегрированный урок: математика + физика).

Цели урока:

1. Определение физического смысла производной, использование механического истолкования производной при решении задач, физический смысл производной второго порядка.

2. Развитие логического мышления при установлении связи физических величин с понятием производной, развитие монологической речи в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий.

3. Развитие навыков самостоятельной работы.

Девиз урока: «Добывай знания сам!».

Оборудование: Таблицы производных, карточки с тестами для самостоятельной работы.

Ход урока.

Сегодня мы с вами рассмотрим применение производных при решении различных физических задач, поэтому нам будет нужна следующая таблица.

I Решение задач из учебника Алимова Ш. А. «Алгебра и начала анализа» для 10-11 класса.

1. Задача №496. Тело, масса которого 5кг, движения прямолинейного по закону S=1-t+t2, где S - измеряется в метрах, а t в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.

Решение.

                                            S=1-t+t2          E=mV22         V=S'(t)

                                           m=5кг                                              V=2t-1

                                          t=10с                                                 

                                                                                                         V10=19

E=5∙3612=902,5 (дж)

Ответ: 902,5 дж.

2. Задача №497. В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону m=2l2+3l, где l – длина стержня, отсчитавшая от его начала. Найти линейную плотность в точке:

1. отстоящей от начала стержня на 3см;
2. в конце стержня.

Решение.

                                            m=2l2+3l          ρ=m'(l)         

                                           l=25см                                                                                         

1. ρ=4t+3

       ρ3=15 (г/см)

2. ρ25=103 (г/см)

Ответ: 15г/см; 103г/см.

II Решение задачи из учебника Башмакова М.И. «Алгебра и начала анализа» для 10-11 класса.

Задача №61. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента t=0, задается формулой q=3t2+t+2. Найдите силу тока в момент времени t=3.

Решение.

                                            q=3t2+t+2      I=q'(t)         I=6t+1

                                           t=3                                                    I3=19(А)

Ответ: 19А.

III Задача из ЕГЭ.

Точка движется прямолинейно по закону xt=5t2+3t-12, где xt - перемещение в сантиметрах, t - время в секундах. В какой момент времени скорость точки будет равна 33см/с?

Решение.

xt=5t2+3t-12

vt=x't

vt=10t+3

10t+3=33

10t=30

t=3(с)

Ответ:3с.

III Самостоятельная работа в двух вариантах (ответы на откидной доске).

Вариант 1

1. В чем сущность физического смысла y'?

А. Скорость.                                          Б. Ускорение.

В. Угловой коэффицент.                    Г. Не знаю.

2. Точка движется по закону st=2t3-3t. Чему равна скорость тела в момент времени t0=1с.

А. 15     Б. 12     В. 9     Г. 3

3. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S=gt22. Назовите формулу скорости.

А. t     Б. 2gt     В. gt     Г. g

4. Точка движется прямолинейно по закону

St=t33-2t2+3t+1

В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю?

А. 1 и 3     Б. 1 и 4     В. 2     Г. 2 и 0

5. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле Vt=5t3+t2

Чему равно ускорение тела в момент t0=1с?

А. 17     Б. 32     В. 30     Г. 16

Вариант 2

6. В чем сущность физического смысла y''?

А. Скорость.                                          Б. Ускорение.

В. Угловой коэффицент.                    Г. Не знаю.

7. Точка движется по закону st=2t3-3t. Чему равна скорость тела в момент времени t0=1с.

А. 15     Б. 12     В. 9     Г. 3

8. Зависимость пути S от времени движения выражается формулой S=gt22. Назовите формулу ускорения.

А. t     Б. 2gt     В. gt     Г. g

9. Точка движется прямолинейно по закону

St=t33-2t2+3t+1

В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю?

А. 1 и 3     Б. 1 и 4     В. 2     Г. 2 и 0

10. Скорость тела, движущегося прямолинейно, определяется по формуле Vt=15t2+2t

Чему равно ускорение тела в момент t0=1с?

А. 17     Б. 32     В. 30     Г. 16

IV Решение прикладной задачи. (Башмаков М.И. «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл.).

Над центром круглого стола радиуса r висит лампа. На какой высоте следует повысить эту лампу, чтобы на краях тела получить небольшую освещенность?

Из физики известно, что освещенность обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света и пропорциональна синусу угла наклона света к освещаемой маленькой площадке. Иными словами,

E=r*sinφh2+r2 ,
где E – освещенность на краю стола, sinφ=hh2+r2 , где h – расстояние от лампы до стола.

Вместо функции E=r*h(h2+r2)32 рассмотрим функцию  T=1r2 E2=h2(h2+r2)3 . При этом вместо h можно взять переменную z=h2 и найти критические точки T как функции от z:

T=z(z+r2)3,    T'=(z+r2)3-z*3*(z+r2)3(h2+r2)6=z+r2-3z(z+r2)4 ;

T'=0,   r2-2z=0,  z=r22 , т.е.  h2=r22  и  .  h=r2

И так, освещенность максимальна, если h=r2, т.е. если tg φ=hr=12

Например, если r=5дм, то h=52≈3,5дм.

V Итог урока. Всем спасибо.