Методологические подходы к исследовательской деятельности на уроках математики
статья по теме

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ  НА  УРОКАХ  МАТЕМАТИКИ

Отличительной чертой современного состояния науки и системы образования является переход от старых, элементарных представлений об изучаемом предмете к системному анализу^[1]. Этот переход вызван потребностями повышения качества управления во всех сферах общественной жизни.

При системном анализе сложные объекты рассматриваются не как простая сумма составляющих их элементов, а выявляются новые свойства и закономерности. Поэтому прежние методы научного исследования, сложившиеся на элементарных объектах, не могут быть применимы для исследования системных объектов.

Хотя  комплексный подход не является научной новизной, но только теперь он начинает приобретать количественные критерии. Такие понятия, как "системные исследования", "интегрированные уроки", "системный подход", "организация", "управление", "объект исследования", "предмет исследования", раньше были не более чем данью моды. Не уяснив существа проблемы, невозможно было старым, элементарным методом решать сложные творческие задачи. Таким образом, педагогическая наука не совершенствовалась, а, напротив, все более запутывалась в нагромождении различных методик.

Целью обучения является не отражение объектов познания, не энциклопедическое накопление данных об их свойствах, а исследование самих объектов познания и, что особенно важно, способности человека их преобразовывать и управлять их развитием^[2]. Таким образом, процесс обучения немыслим без изучения самих объектов познания, которыми являются объекты природы, продукты культурного развития человечества, целенаправленная деятельность людей и т.д. Ошибочность заключается не в той или иной методике познания или обучения, а в неверном определении методологии образования. В математике, в частности, такой ошибкой является утверждение, что обучаемый

должен получить знания о некоторой абстракции и выразитъ их в знаковой форме^[3].

Познание есть индивидуальный деятельный процесс человека но различению качественных характеристик окружающего мира, количественному их сопоставлению, установлению взаимных связей элементов, причинно-следственных связей происходящих процессов и т.д. Отражение результата этой деятельности, притом сугубо индивидуальное, выражается в знаковой форме. Знаковыми формами могут быть словесное описание, выражение средствами изобразительного искусства, литературными персонажами, музыкальными звуками, иерографической формой, математическими символами и т.д. Любая знаковая форма сама по себе мертва. А суть образования состоит не в согласовании между собой знаний двух или нескольких субъектов, а в соответствии наших знаний материальным объектам и практике. Когда сохраняется подход к математике как "науке чисел", то математика перестает быть наукой познания. Поэтому важнейшим подходом в начальной школе на уроках математики является не научение счету, а первоначальное изучение окружающего мира с различением величин, количества и выражении их отличий с помощью знаков - цифр.

Таким образом, ошибочность педагогической науки заключалась в попытке подменить объективность существующего окружающего мира теорией и методикой познания, а теорию познания заменить методологией познания.

Несмотря на то, что в окружающем нас объективном мире существуют материальные объекты, тем не менее, человек в своей познавательной деятельности имеет дело не с ними, а с предметами знания, которые он выделяет и выражает в определенной знаковой форме. Эти знаки замещают объект, вполне определенно относясь к каждому объекту. Если знаки не в полной мере сопоставимы с объектом, то вводится промежуточное знаковое изображение, представляющее предмет "как таковой". Т.е. предметом изучения становится не сам объект познания, а его знаковые формы. В этом суть всей предшествующей знаковой (кодирующей) педагогики.

Примером такого подхода в познании является преподавание геометрии. Изучение объективного мира начинается с проекций предметов на плоскость. Вводятся понятия точки, отрезка, луча, фигуры на плоскости.  А все это - проекции исследуемого объекта,  причем  неизвестным  для обучаемого способом. Само исследование сводится к заполнению плоской фигуры, которое затем заменяется знаками. Если в результате подобных проективных и знаковых манипуляций случится, что плоская фигура не совпадает с исходным объектом, то вводят еще одну плоскость или фигуру замещения — и таких замещений можно создавать бесчисленное множество, каждое из которых будет претендовать на "новое направление в образовании".
Образцом такого поиска замещения может служить "Программа преподавания альтернативного курса геометрии 6, 7-8 классы"^[4], где базовым знаковым объемным телом служит куб в определенной проекции. Хотя данная программа и названа "концепцией развития образного мышления", но данный подход лежит в рамках старой методологии. Из истории науки и образования известны многие такие теории познания, например, теория познания Канта,  теория Маха, методология познания Щедровицкого и т.д.

Между тем наука уже давно установила, что формальный (т.е. не связанный с содержанием и сущностью) метод исследования систем — это чистейшая бессмыслица. Еще Гегель показал, что формальными могут быть методы, скажем, математики, имеющей дело с мертвым пространством и мертвыми счетными единицами, с познаванием, внешним по отношению к материалу. Но для развивающихся обьектов формальные методы не применимы:

"...Природа научного метода заключается... в неотделимости от его содержания "^[5]...

Настоятельная потребность перейти от знания (запоминания бессвязаных фактов) к пониманию (т.е. знаниям, приведенным в систему) требует осознания учениками целостности всего окружающего мира, гибких связей его элементов, изменяемости объектов, предметов и понятий. Этого абсолютно нельзя добиться при формальном подходе через анализ мертвых тел, а тем более мертвых знаков. Лишь переход от формального познания к содержательно-сущностному может означать задачу номер один дальнейшего развития науки и образования.

Логико-формалистов очень точно показал известный русский мыслитель:

"Вот их логика: Иванов — человек очень богатый. Он ездит обыкновенно на гнедых лошадях, следовательно, чтобы разбогатеть, необходимо ездить также на гнедых лошадях. Пока мы будем соблазняться такой логикой или сражаться против нее, до тех пор мы, наверное, не разбогатеем, на каких бы лошадях мы ни ездили".

Д. И. Писарев

Процесс обучения - это не только теоретическая деятельность, но в первую очередь деятельность предметная. Человеческое мышление по своей природе предметной истинностью не обладает. Поэтому отсутствие связи с чувственными объектами, разрыв мысленных объектов с реальными приводит к единственному варианту образовательной деятельности-исследованию знаков.
          Но реальное познание - не формальная дедукция, оно включает и элемент творчества, элемент нового, которое ранее в знаках не содержалось. Вот что говорит по этому поводу А. Б. Брушилинский^[6]:

"...Любое предвосхищение еще неизвестного, искомого решения возникает не просто как функция прошлого знания, прошлого опыта, а только в ходе мыслительного процесса решения именно данной, конкретной задачи... Детерминация мышления представляет собой процесс взаимодействия исходных, внешних и специфических, внутренних условий мыслительной деятельности.
Это процесс непрерывного взаимодействия мыслящего субъекта с познаваемым объектом, с объективным содержанием решаемой задачи. "  
Мышление есть не статическое состояние, не результат, а процесс, именно процесс становления понятий, процесс открытия сущностных определений предмета. Лишь в результате, в конце этого процесса новое знание овеществляется в предмете, опредмечивается, оформляется в знаках. Но знаки не есть ни мышление, ни знание. Знаки, языковое отображение мысли - это лишь следы знания. Книга сама ничего не знает, хотя в ней очень много знаков. Человек, взявший книгу в руки, также еще не знает предмета, которому посвящена книга. В это знание нужно погрузиться, восстановить истину как процесс. Знаки - лишь "рама" картины истины, они не имеют дело с истиной, это - чисто технический инструмент. Знаковые операции  - "несобственный" компонент познавательной деятельности. Они протекают по своим собственным законам, которые изучаются математической логикой, но которые никоим образом не являются, и принципиально не могут являться законами самого познающего мышления. Поэтому изучение чисел и операций над ними в математике не есть процесс мышления. Но с помощью законов математической логики возможно получение новых знаний о предмете исследования. А результаты процесса исследования записываются с помощью математических знаков.
     Совсем не случайно все известные представители математической науки в период ее самого активного развития в XVIII-XIX вв.: Гаусс, Мебиус, Клейн, Лагранж, Лаплас — первоначально проявили себя в физике, астрономии и других областях, а затем уже развивали математику как науку, возглавили политехнические школы^[7].

Оперируя одними "числами",  записанными знаками и действиями над ними, ученик на выходе из школы не отличает понятие "число" от понятия "величины", "величину" от "количества", а "количество" от "числа". У него нет миропонимания, и он будет блуждать в жизни, даже имея в аттестате по математике "5".

Прежде чем иметь дело со знаками-цифрами, дети должны научиться выделять признаки предметов, их качества, находить количественное выражение их величин, а только затем переходить к отображению этого количества цифрами.
Этим с детьми мы занимаемся на "Уроках творчества". На этих уроках, выполняя поделки из деталей, дети не только создают аппликации, оригами, барельефы, конструкции, но одновременно познают операции с количественными свойствами предметов: сравнение, увеличение "на" и "во" столько-то раз, "вычитание" одного количества из другого, нахождение симметрии и т.д.

Не умея еще вычислять и записывать числа, но уже проделывая математические операции, дети видят результаты своего труда - моделирования. Из отдельных деталей за счет собственного ума, работы мысли, нанизывая звено к звену, появляются системы с новыми свойствами - простой и ясный результат работы. Разве это не счастье ребенка? Кто этого не испытывал, тот не знает настоящего счастья. Продолжением "Уроков творчества" в начальной школе является предмет "Математика и конструирование", где изучаются не только плоскостные и объемные фигуры, но и их движение, прямые и обратные действия, конструктивное возведение в степень, собственно равные и противоположно равные фигуры и многое другое.      
     По опросам учеников их любимым предметом является не английский язык, как не хотелось бы это родителям, а именно "Математика и конструирование", "Уроки творчества".

Многие родители, да и педагоги полагают, что для образования достаточно пройти курс обучения в хорошей школе и у хороших преподавателей, добросовестно выучить и твердо запомнить ранее добытые человечеством истины
и формулы; они полагают, что знание готовых истин и формул есть действительное знание. Практическая деятельность после школы им представляется как умелое использование и применение готовых формул плюс самостоятельное расширение, углубление и совершенствование знаний. Но всякое "расширение", "углубление" и "совершенствование" готовых знаний превращаются в пристройки, надстройки и подпорки к ранее построенному и, быть может, уже устаревшему знанию. Человек вынужден латать, подновлять и подкрашивать, но отнюдь не строить. Из архитектора он превращается в ремонтного рабочего, из творца — в накопителя сведений.

В вопросах обучения дело доходит до курьеза. Чем скорее в маленьком ребенке утрачивается самостоятельность мысли и чувств, чем больше в нем обнаруживается формализма, например, способности запоминать непонятные ему образы, знаки, слова; чем больше способностей к математическим и другим формальным наукам, тем одареннее признается ребенок. Действительность в самом деле связывается с оглуплением ребенка, а представления об этом связываются с его "талантливостью".

"Взрослые такие непонятливые, так трудно им все объяснить", - лишь этими словами и непослушанием дети могут отвечать на то зло, которое насаждает им взрослый, приучая к формализму знаний. Дети беспомощны и целиком зависят от взрослых только потому, что они не умеют еще формировать свои мысли и чувства и к тому же над ними повседневно совершается насилие, они не могут предъявить большого счета взрослому человеку, имеющему на памяти много частичной информации. Дети, становясь взрослыми, постепенно лишаются способности самостоятельно мыслить; к семнадцати годам они становятся формалистами, но горький осадок остается. Дети могут любить своих родителей, но уважать их и быть по-настоящему благодарными за полученное воспитание и обучение не могут. Неблагодарность детей - это их плата взрослому
человеку за его ограниченное мировоззрение.

Наши дети рано или поздно задумаются и будут ломать себе голову: каким образом педагоги и их родители могли доходить до такого состояния мысли, чтобы всерьез думать о законченности и завершенности предлагаемых им теоретических знаний, которые сложились по праву "авторитетного" мыслителя?

У Германа, героя "Пиковой дамы", запала в голову завершенная теория: как добыть себе богатство с помощью трех счастливых карт. У Чичикова имелась совершенно законченная теория, как стать херсонским помещиком. У Пуассона - совершенно законченное понимание вероятности, на основе которого он вывел свою знаменитую формулу нормального распределения. У Гаусса - законченное понимание "частотной" вероятности, положенной им для вывода закона простых чисел. У Корнана и Кейнса гвоздем засела мысль, будто главное в жизни людей -логика и логическое воспроизведение окружающего мира. В классической
физике - завершенные законы,  позволяющие с абсолютной точностью предвидеть дальнейшую судьбу всех вещей и явлений. В релятивистской физике Эйнштейна, знай он сам, что собою представляют сингулярности и поля - можно было бы вычислить раз и навсегда эволюцию мира.

В чем причина — спросят нас дети — почему родители были столь терпеливы в зубрежке чужих идей? Неужели они не понимали, что ни одна теория, какой бы полной она ни была, не может быть завершенной? Неужели они не могли сами мыслить? Еще римским императором и философом Марком Антонионом Аврелием (126-180 гг) был дан ответ:

• Есть у тебя разум?
• Есть.

- Почему же ты не пользуешься им? Ведь если он будет делать свое, то чего же еще тебе?

Наши дети, если они действительно начнут ломать себе головы над подобными вопросами, никогда не поймут, что не человек владеет своими представлениями, а сложившиеся представления владеют человеком. В этом состоит интеллектуальное рабство, которое в обществе лишь меняет свои формы, но пока не отменяется по существу.