Решение экономических задач с помощью арифметической и геометрической прогрессии
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Пашина Л. В. Идентификатор: 242-119-630

ГБОУ гимназия №399, Санкт-Петербург

Решение экономических задач с помощью арифметической и геометрической прогрессии.

Предлагаю вашему вниманию урок, который я провожу при изучении темы «Арифметическая и геометрическая прогрессии» в 9 классе. Материал урока позволяет показать способ решения экономических задач с использованием прогрессий, связать ранее изученный материал с практикой, научит применять математические знания в жизни.

Цели урока:

Расширить представления учащихся о числовых последовательностях, изучить свойства арифметической и геометрической прогрессии, развить умение решать задачи на проценты. Развивать умения выполнять индуктивные умозаключения, подмечать закономерности и выражать их на математическом языке. Научить переводить реальные задачи на математический язык.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель организует работу учащихся.

2. Актуализация знаний:

 Устная работа по вопросам:

1). Какая числовая последовательность называется арифметической прогрессией?

2). Какая числовая последовательность называется геометрической прогрессией?

3). Какая из представленных последовательностей является арифметической, геометрической и почему?

На доске следующие записи:

1. 7,5; 9; 10,5; 12….d=1,5

2. 3, 5 9, 11 17….. не является прогрессией

3. , , , ….

4. , , , ….

5. 10; 10; 10; 10…. q=1, d=0

4).Назвать первые пять членов арифметической и геометрической прогрессий:

3, 6 ….

Мы повторили определения арифметической и геометрической прогрессий. Далее попробуем соотнести данные понятия с понятиями из экономики: сложные и простые проценты.

3. Изучение нового материала.

Простые проценты:

Постоянно за определенный промежуток времени начисляется одна и та же сумма, определенная количеством процентов.

an+1 = a1+n.d, d=a1.p/100

an+1 = a1(1+p.n/100), где p – проценты.

Сложные проценты

Увеличение значения в одно и тоже число раз по сравнению с предыдущим значением.

bn+1 = b1.qn

q = 1 + p/100

4. Закрепление материала.

Задачи:

1. Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?

Решение:

a4 = 880               a4 = a3 + 3d, d = a1.p/100 = a1.40/100 = 0,4a1

p = 40%                 880 = a1 + 1,2a1

n=3                        880 = 2,2a1

a1 - ?                        a1 = 400

Ответ: первоначальный вклад 400 руб.

2. 750 руб. положили в банк и через 4 года получили сумму вдвое больше. Под сколько процентов (простых) положили деньги?

Решение:

a1 = 750               a5 = a4 + 4d, d = a1.p/100 = p.750/100 = 7,5p

a5 = 1500                 1500 = 750 + 30p

n=4                        750 = 30p

p - ?                        p = 25%

Ответ: 25%.

3. На сколько лет надо положить 1000 руб. по 20% (сложные), чтобы получить 1440 руб.?

Решение:

b1 = 1000                        bn+1 = b1.qn, q = 1 + p/100 = (1 + 0,2) = 1,2

p = 20                        1440 = 1000.1,2n

bn+1 = 1440                        1,44 = 1,2n

                                n = 2

Ответ:  на 2 года.

Задачу 1 учитель решает на доске, задачу 2 учащиеся самостоятельно, а задачу 3 – самостоятельно, но с комментариями учителя.

Таким образом, мы решили задачи на простые проценты, которые являются прообразом арифметической прогрессии, и на сложные проценты, которые являются прообразом геометрической прогрессии.

4. Предположим следующую ситуацию.

Мы заработали определенную сумму денег и перед нами стоит задача в какой банк выгоднее вложить деньги.

Найдем в исследуемых банках рекламные проспекты с информацией о процентных ставках, которые предлагает банк населению.

Предположим, что мы рассматриваем следующие банки:

Банк 1 – простые из расчета 3% в месяц.

Банк 2 – простые из расчета 40% в год.

Банк 3 –сложные из расчета 30% в год.

В какой из этих банков выгоднее вложить 500 рублей на 3 года?

Решение:

Банк 1.

a1 = 500               a37 = a1 + 36d,    d = a1.30/100 = 15

p = 3                         a37 = 500 + 36.15 = 1040 руб.

n=36                        

a37 - ?                        

Банк 2.

a1 = 500               a4 = a1 + 3d,    d = a1.30/100 = 15

p = 40                         a4 = 500 + 3.40.500/100 = 1100 руб.

n=3                        

a4 - ?                        

Банк 3.

b1 =500

n = 3                        b4 = b1.qn,   q = 1 + p/100 = (1 + 0,3) = 1,3

p = 30                b4 = b1.qn = 500 . 1,33 = 1098,5 руб.        

Ответ:  выгоднее вложить в 2 банк.

5. Под какие проценты сделан вклад в банк, если сумма на счете каждый месяц увеличивается:

1). в 1,1 раза

2). 1,05 раза,

3). в 1,5 раза

4). в 1,15 раза?

В каждом случае определить сумму на счете через 4 месяц, считая, что начальный вклад составляет 100000 руб.

Решение:

q1 = 1,1

q2 = 1,05

q3 = 1,5

q4 = 1,15

q = 1 + p/100

p1 = 10%

p2 = 5%

p3 = 50%

p4 = 15%

b1 = 100000  b5=b1.q4

n = 4,

1). b5 = 100000.1,14 = 146410 (руб.)

2). b5 = 100000.1,054 = 121550146410 (руб.)

3). b5 = 100000.1,54 = 506250146410 (руб.)

4). b5 = 100000.1,154 = 174900146410 (руб.)

Вывод: чем больше ставка, тем больше доход.

Дополнительная задача:

На первый счет положили 100000 руб. под 30% в год (простые), на второй счет – 300000 руб. под 10% в год (простые). На каком из счетов через 50 лет будет сумма больше?

Решение:

Первый счет:

a1 = 100000               a51 = a1 + 50d, d = a1.p/100 = 100000.30/100= 30000

p = 30%                 a51 = 100000 + 50.30000 = 1600000

n=50                        

a51 - ?                        

Второй счет:

a1 = 300000               a51 = a1 + 50d, d = a1.p/100 = 300000.10/100= 30000

p = 10%                 a51 = 300000 + 50.30000 = 1800000

n=50                        

a51 - ?                        

Ответ:  на втором счету больше.

5. Итог урока:

Сегодня на уроке мы научились решать экономические задачи с помощью арифметической и геометрической прогрессий, а так же переводить экономические задачи на математический язык.

В конце урока учитель выставляет оценки учащимся, наиболее активно работавшим на уроке.

Литература:

1. Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова. Процентные вычисления. – СПб: «Специальная литература», 1997.

2. Л. П. Евстафьева. Математика: дидактические материалы для 9 класса общеобразовательных учреждений. – М.6 Просвещение, 2006.