Факультатив « Избранные вопросы математики» .7 класс.
учебно-методический материал на тему

Факультативные занятия

Факультативный курс или факультативный предмет (фр. facultatif — от лат. facultas — «возможность») — необязательный учебный курс (предмет), изучаемый в высшем учебном заведении или школе по выбору студента (ученика).

Факультатив « Избранные вопросы математики» .7 класс.

Цель факультатива “Избранные вопросы математики”: развить интеллектуальные и творческие способности учащихся, логическое мышление, навыки решения логических задач; выявить детей с логико-математическими способностями.

Задачи факультатива: 

• познакомить школьников с основными приемами решения нестандартных задач;
• сформировать у учащихся умения и навыки решения нестандартных задач;
• сформировать представления об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники;
• ориентировать учащихся к осознанному выбору профиля.

Основные знания и умения учащихся

В результате работы на факультативе “Избранные вопросы математики” учащиеся должны знать:

• основные способы решения нестандартных задач;
• основные понятия, правила, теоремы.

Учащиеся должны уметь:

• решать нестандартные задачи, применяя изученные методы;
• применять основные понятия, правила при решении логических задач;
• создавать математические модели практических задач;
• проводить небольшие математические исследования, высказывать собственные гипотезы и доказывать их.

Программа факультатива предполагает реализацию рассматриваемых вопросов в виде 6 часов лекций и 28 часов практических занятий различного типа (практикумы, математические исследования).

Аттестация по усвоению программы предполагается в виде школьной олимпиады для участников факультатива.

Учебно-тематический план

Содержание

1. Вводное занятие (1 час)

Роль математики в практической жизни человека. Нестандартные задачи. Примеры решения некоторых задач.

2. Старинные задачи (3 часа)

Решение старинных задач. Исследовательская работа “Популярные задачи разных народов”.

3. Галерея числовых диковинок (2 часа)

Число 10101. Число 10001. Шесть единиц. Числовые пирамиды. Девять одинаковых цифр. Цифровая лестница. Математическое исследование.

4. Недесятичные системы счисления (2 часа)

Знакомство с недесятичными системами счисления. Осуществление перевода чисел из десятичной системы счисления в недесятичную и наоборот.

5. Вес и взвешивание (2 часа)

Решение нестандартных задач на взвешивание.

6. Лист Мебиуса (1 час)

Математическое исследование: лист Мебиуса – как пример односторонней поверхности. Свойства поверхности. Биография Мебиуса А.Ф.

7. Круги Эйлера (3часа)

Биография Эйлера Л. Круги Эйлера, их применение при решении логических задач.

8. Графы (3 часа)

Теория графов, основные понятия. Использование графов при решении нестандартных задач. Исследовательская работа “Графы в практике человека”.

9. Принцип Дирихле (3 часа)

Формулировка принципа Дирихле. Классификация задач, решаемых с помощью принципа Дирихле. Решение задач.

10. Арифметика остатков (3 часа)

Теория арифметики остатков. Основная теорема арифметики, ее применение при решении логических задач.

11. Числовые головоломки (2 часа)

Магическая звезда. Числовое колесо. Числовой треугольник. Восьмиконечная звезда. Числовые головоломки.

12. Математические фокусы и развлечения (2 часа)

13. Подготовка к школьной олимпиаде (4 часа)

Решение олимпиадных задач

Факультатив на тему « Круги эйлера»

Здравствуйте ребята.

Теория множеств появилась на свет 7 декабря 1873 года. Основатель этой теории немецкий математик и философ Георг Кантор (1845–1918). Его заинтересовал вопрос, каких чисел больше – натуральных или действительных? В одном из писем адресованных к своему приятелю Рихарду Дедекинду, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств.

Что же все-таки представляют собой множества? “Множество есть многое, мыслимое как единое” (Г. Кантор). Понятие множества настолько простое, принятое в повседневной жизни и перенесенное в математику, что оно не определяется, но может быть пояснено с помощью примеров: множество городов, множество государств, множество учащихся. Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами. В математике рассматривают только те множества, которые обладают четко определенными свойствами, состоят из элементов, имеющих некоторые общие свойства.

Есть несколько способов обозначения множеств. Можно переписать все элементы множества в фигурные скобки .

При этом мы наглядно видим, из каких элементов состоит множество. Но эта запись неудобна при описании множеств с большим числом элементов или множеств, число элементов которых невозможно перечислить полностью, то есть – бесконечных множеств. Например, невозможно записать все элементы множества чисел, которые делятся на 10. В этом случае множество записывается так:

Если во множестве нет ни одного элемента, то оно называется пустым множеством . Например, множество крылатых китов, есть пустое множество.

Сами множества так же могут быть элементами множества

Пусть задано множество . Элемент 3 принадлежит множеству В, это обозначается так . Элемент 8 не принадлежит множеству В, это обозначается .

Упражнения

Назовите известные вам названия множеств людей (например, команда).

Назовите известные вам названия множеств живых существ (например, табун).

Запишите множества, элементами которого являются: а) планеты солнечной системы; б) столицы государств; в) все двузначные числа; г) числа, делящиеся на 7.

Подмножество.

Рассмотрим множество дней в неделе. Запишем его .

Теперь отберем только рабочие дни. Они составляют множество .

Посмотрим, в каком соотношении находится множество R, учитывая его элементы, по отношению к множеству S. Можно заметить, что все элементы множества R входят в множество S. Значит, множество R является частью множества S или подмножеством. Следовательно, если каждый элемент какого-то множества R является в то же время элементом множества S, то можно сказать, что R – подмножество множества S. Обозначается это так  . Само множество S так же является своим подмножеством. Очень важно отметить, что пустое множество является подмножеством каждого множества. Значит, если нам нужно выписать все подмножества множества , то мы запишем: .

Упражнения

1. Даны множества:

а)множество А учеников 5 класса нашей школы;

б)множество В всех учеников нашей школы;

в)множество С учеников 5 класса нашей школы, посещающих бассейн;

г)множество Е всех учащихся школ города Новокузнецка;

д)множество К учеников 5 математического класса нашей школы.

Верно ли что:

а)множество А есть подмножество множества В;

б)множество А есть подмножество множества К;

в)множество В есть подмножество множества Е;

г)множество К есть подмножество множества С;

 Пересечение множеств.

Рассмотрим два множества   и  . Составим новое множество С, в которое запишем общие элементы множеств А и В. Общими у них являются элементы 5 и 6, значит . Множество С называется пересечением множеств А и В. Обозначается так:

Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству А , и множеству В.

Пусть Р – множество учащихся математических классов нашей школы, К – множество учащихся пятых классов, тогда  (пересечением множеств Р и К) будет множество учащихся пятого математического класса.

У множеств  и нет ни одного общего элемента, следовательно, их пересечение есть пустое множество О

Упражнения

1. Даны множества  . Найдите: а) ; б)  ; в) ; г)  .

Объединение множеств.

Возьмем те же два множества  и . Составим теперь множество Е следующим образом – запишем в него элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В. Получим множество . Множество Е называют объединением множеств А и В. Обозначается

Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Упражнения

1. Даны множества  . Найдите: а) ; б)  ; в) ; г)  .

 Разность множеств.

Возьмем уже знакомые множества  и . Составим новое множество Ф в которое запишем элементы множества А, не входящие во множество В.  . Множество Ф называется разностью множеств А и В. Обозначается А \ В = Ф.

Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.

Важно заметить, что при вычитании множеств нельзя менять их местами. При нахождении разности В \ А в новое множество мы запишем элементы множества В, которые не принадлежат множеству А. Значит В \ А =.

Упражнения

Даны множества   . Найдите: а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

 Круги Эйлера.

Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер (1707–1783) за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые “очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления”. Эти круги и назвали кругами Эйлера. С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать операции над множествами. На рисунках представлены иллюстрации действий над множествами. Можно рисовать не только круги, но и овалы, прямоугольники и другие геометрические фигуры.

Рис. 1       пересечение множеств                                     Рис.2 Подмножество

Рис. 3      Разнось множеств                                      Рис.4 Объединение множеств.

С помощью кругов Эйлера можно решать задачи. Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения.

Давайте решим  задачу с помощью метода Эйлера.

Задача. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение. Изобразим эти кружки (рис. 5). Большой круг будет изображать учащихся класса. В этот круг поместим два поменьше. Один обозначим буквой М и он будет изображать математиков класса. Другой круг обозначим Б – биологи класса. Очевидно, в общей части кругов, обозначенной МБ, окажутся те самые биологи – математики, которые нас интересуют. Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 ребят, внутри двух меньших  ребят. Внутри “математического” круга М находятся 20 ребят, значит, в той части “биологического” круга, которая расположена вне круга М, находятся  биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их человек, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.

Ответ. 6 биологов увлекаются математикой.

Рассмотрим ещё одну задачу.

 Задача.В трех шестых классах 70 ребят. Из них 28 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов, 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение:

Д-драмкружок, Х-хор, С-спорт. В круге Д-27 ребят, в круге Х-32 человека, в круге С-22 ученика. Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и Х. Трое из них еще и спортсмены, они окажутся в общей части всех трех кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8-3=5 спортсменов, не поющих в хоре и 6-3=3, не посещающих драмкружок. Легко видеть, что 5+3+3=11 спортсменов посещают хор и драмкружок, 22-(5+3+3)=11 заняты только спортом;

70-(11+12+19+7+3+3+5)=10 не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.

Ответ:  10 человек.

Упражнения

В классе 29 учащихся. Каждый из них изучает хотя бы один язык – английский или немецкий. Английский язык изучают 18 человек, немецкий язык изучают 15 человек. Сколько человек изучают два языка и немецкий, и английский?

В классе 29 учащихся. Из них 16 занимаются музыкой, 21 посещают математический кружок; 4 не занимаются музыкой и не посещают математический кружок. Сколько учащихся посещают только математический кружок? Сколько математиков занимаются и музыкой?

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

В классе 38 человек. Из них 16 человек играют в баскетбол, 17 человек – в хоккей, 18 человек – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем 4 человека, баскетболом и волейболом 3 человека, волейболом и хоккеем 5 человек. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?

Список используемой литературы:

1. И.Ф. Шарыгин. Факультативный курс по математике. Решение задач. М.1989.
2. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. И.Н. Антипов. М. 1990.