Решение уравнений с параметрами
творческая работа учащихся (10 класс) по теме

Федеральное государственное образовательное учреждение среднего профессионального образования
Пермский химико-технологический техникум

Решение уравнений с параметром

Выполнил студент гр. П-10-9:

Понамарева Екатерина

Руководитель: Старкова О.П.

преподаватель математики

2010

СОДЕРЖАНИЕ

1. Введение

2. Решение уравнений с параметром

2.1. Основные определения

2.2. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к ним

2.3. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

3.  Практическая часть

3.1. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к ним

3.2. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным

3.3. Системы линейных уравнений с двумя переменными

3.4. Тригонометрические уравнения

3.5. Графический способ решения уравнений

4.  Заключение

5.  Литература

1 ВВЕДЕНИЕ

Во многих областях человеческой деятельности возникает потребность решать уравнения. С решением линейных и квадратных уравнений мы уже знакомы. Любое равенство вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) – некоторые функции, называется уравнением с одной переменной х. В реальных же прикладных задачах их больше. При этом важно выяснить, как зависит ответ (сколько решений вообще или с определёнными свойствами: положительные, рациональные, целые и т. д.) в зависимости от тех или иных переменных, входящих в уравнение. Поэтому решение уравнений с параметром находит широкое применение и имеет большое значение.

 В математике, физике, экономике решаются следующие уравнения:

1. линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным;
2. квадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным;
3. уравнения с модулем;
4. графическое решение уравнений с параметром;
5. системы линейных уравнений;

2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.

2.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Уравнение х² + ах + 1 = 0 можно рассматривать как уравнение с переменными х и а. Но чаще говоря о решении уравнения относительно х, т.е. считают переменные х и а неравноценными и решают уравнение, считая а известным. При таком рассмотрении переменная х называется неизвестным, переменная а – параметром.

Рассмотрим уравнение вида к f ( a; в; с; … ; к; х; )=g( а; в; с; … ; х ), где

а; в; с; … ; к; х – переменные величины.

Любую систему значений а = а ; в =в ; … ; к = к ; х = х ; при которой обе части уравнения имеют смысл, будем называть системой допустимых значений переменных а; в; с; … ; к; и …………………………………………... подставить в обе части уравнения, то получим уравнение с одной переменной х.

Переменные а; в; с; … ; к; которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением с параметром.

 Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а; в; с;       

… ; к; l; t; n; а известные – буквами х; у; z.

Пример 1.

 = =

a, b, c, d, l, m, n, p – являются параметрами, х – неизвестное.

Допустимой является любая система значений a, b, c, d, l, m, p, x, удовлетворяющая условию: х ≠ 0, с ≠ 0, m ≠ -1, р ≠ 0, m ≠ 0.

Решить уравнение – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения, сколько их и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называют равносильными, если:

1. они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров,
2. каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

2.2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ,

ПРИВОДИМЫЕ К ЛИНЕЙНЫМ

Уравнения вида  ах = b, где а и b – выражения, зависящие только от параметров, а  х – неизвестное, называются линейным уравнением относительно х.

Приведём словесное описание алгоритма его решения:

1. Если а ≠ 0, то ах = b

                              х= b /а

Ответ: единственный корень.

2. Если а = 0, b = 0,  то 0·х = 0

                                          0 = 0

Ответ: х - любое число.

3. Если а = 0, b ≠ 0, то 0 ·х = b

Ответ: решений не существует.

Пример 1.

aх = 0, х = 0/a

если а ≠ 0, то х = 0;

если а = 0, то корней нет.

Пример 2.

ах=а, х = а/а

если а ≠ 0, то х = 1;

если а = 0, то 0х = 0,

х – любое действительное число .

Пример 3.

х+2 = ах

х-ах = -2 

х(1-а) = -2

х = -2 : (1-а)

х = 2 : (а-1)

если а=1, то уравнение корней не имеет;

если а ≠ 1, то х = 2 : (а-1) корень уравнения.

2.3 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДИМЫЕ К КВАДРАТНЫМ

Уравнения вида mx² + px + q = 0, где х – неизвестное, m, p, q – выражения, зависящие только от параметров, а m ≠ 0, называются квадратными уравнениями относительно х.

Допустимыми являются такие значения параметров, при которых m, p, q имеют смысл.

Пример1.

ах² - 2(а+1)х + 2а = 0

Если а = 0, то в этом случае уравнение не будет являться квадратным, уравнение примет вид: 2х = 0,

                                          х = 0.

Если а ≠ 0, то в этом случае уравнение является квадратным, поэтому существование корней и их число определяется знаком дискриминанта. Найдём дискриминант:

D = (a+1)²-2a² = -a² + 2a +1.

D зависит от параметра а. Для вычисления его знака найдём корни: а1=1- и а2=1+. Нанесём на  числовую ось а полученные точки (рис.2)

                                                                                           Рис.2

Если 1 -  < а < 1 + , а ≠ 0, то D  > 0 и уравнение имеет два решения:

                             х=

При а = 1 -  и а = 1 + , D = 0 и уравнение имеет по одному решению. Если а = 1 - , то х = , при а = 1 +  - корень х = -.

 При а є (-; 1 - )(1 + ; +) уравнение не имеет решений, так как    D < 0.

 Ответ:  а є(-;1 - )  корней нет, 

                     а = 1 -  х = ,

                     а є (1 - ;0) х=,

                     а = 0  х = 0,

                    а є (0 ;1 + )  х= 

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРОМ

Рассмотрим ряд уравнений, содержащие буквенные коэффициенты (параметры). Решить уравнение с параметром – значит найти все решения данного уравнения для каждой допустимой системы значений параметров.

3.1 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ  И

ПРИВОДИМЫЕ К НИМ.

а) При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение, не имеет решения?

ах-2х=3(х-1)

ах-2х-3х+3=0

ах-5х+3=0

х(а-5)= -3

если а=5, то  имеем х · 0= -3 – не имеет решение.

если а≠5, то х = .

Ответ: а = 5  уравнение не имеет решения,

           а≠ 5,  уравнение имеет единственное решение:  х=.

б) При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение, не имеет решения?

(а² - 9)х = а² + 2а - 3

Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. Запишем уравнение в виде:

(а - 3)(а + 3)х = (а + 3)(а - 1)

если а = - 3, то уравнение примет вид: 0х = 0. Отсюда следует, что решением этого уравнения является любое действительное число (x є R).

если а ≠ - 3, то уравнение примет вид: (а - 3)х = а - 1

при а = 3 имеем 0х = 2. Уравнение решения не имеет.

при а ≠ 3 имеем х = . Уравнение имеет одно решение.

Ответ: а = - 3, x є R;

            а = 3, нет решения;

            а ≠ - 3, х = .

в) При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение, не имеет решения?

 = -

Очевидно, (х + 1)а ≠ 0, т.е. х ≠ -1, а ≠ 0.

Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на а(х + 1) ≠ 0.

(х - 4)а – 1 = - 2(х + 1)

ха - 4а – 1 = - 2х - 2

ха - 4а – 1 + 2х + 2 = 0

ха - 4а + 2х + 1 = 0

х(а + 2) = 4а - 1

Если а = - 2, то имеем 0х = - 9, уравнение решений не имеет.

Если а ≠ - 2, то х = .

Согласно ОДЗ: х ≠ - 1, поэтому необходимо проверить, нет ли таких значений а, при которых найденное значение х равно - 1:

 = - 1

4а – 1 = - а - 2

5а = - 1

а = -

Значит, при а ≠ 0, а ≠ - 2, а = -  уравнение имеет единственное решение:

х = .

Ответ:  а ≠ 0, а ≠ - 2, а = -       х = .

2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И

ПРИВОДИМЫЕ К НИМ.

а) Решить уравнение:

        (а - 5)х² + 3ах - (а - 5) = 0

 при а – 5 = 0, т.е. а = 5 имеем 15х – 0 = 0, т.е. х = 0 при а = 5.

 при  а – 5 ≠ 0, т.е. а ≠ 5 уравнение имеет корни

        х=  при а ≠ 5

Ответ: х = 0,  при а = 5

                  х=  при а ≠ 5

б) Решить уравнение:

 Отличаем, что а(х - 1)(х – а) ≠ 0, т.е. х ≠ 1; х ≠ а; а ≠ 0.

 При этих условиях данное уравнение после упрощений принимает вид

    (а + 1)х² - (а² + 4а + 1)х + (2а² + 2а) = 0

   если а + 1 = 0, т.е. а = - 1, имеем, 2х = 0, т.е. х = 0

   если а + 1 ≠ 0, т.е. а ≠ - 1, то находим, что

х==

т.е. х= а + 1, х=

 Найдём значение а, при которых х=1 и х=0, чтобы исключить их:

    а + 1 = 1  а = 0 – недопустимо по условию.

    а + 1 = а  1 = 0 – невозможно.

   2а = а + 1, т.е. а = 1  2а = 2а² + а  а = 1 и а = 0 – недопустимо.

 Итак, если а ≠ - 1; а ≠ 0; а ≠ 1; то х = а + 1 и х=

 Теперь рассмотрим, что происходит с уравнением при а = 1. Найдём корни уравнения х = 1 и х = 2, причём х = 1 не подходит по условию.

 Ответ: х = а + 1 и х=

                х = 0 при а =  - 1

                х = 2 при а = 1

в) При каких значениях а уравнение х + = а не имеет корней?

     х + = а

  Прежде  всего заметим, что х = 0 не является корнем уравнения. Умножим обе части уравнения на х , получим квадратное уравнение х² -ах + 4 = 0, которое не имеет корней, если D = а² - 16 отрицателен, таким образом, задача сводится к решению неравенства а² - 16 < 0, которое выполняется при            -4 < а < 4.

Ответ: -4 < а < 4

г) Решите относительно х уравнение:

     х² + 5ах - 6а² = 0

     D = (5а)² +4 · 6а²

     D = 25а² + 24   а² = 49   а², D > 0

     х=

     х = - 6а

     х = а

Ответ:   х = - 6а;  х = а

д)  При каких значениях в трёхчлен 2в²+3в-1 и двухчлен в²+3 принимают равные значения и какие именно?

         2в² + 3в - 1 = в² + 3

         в² + 3в – 4 = 0  

         D = 9 - 4·(- 4) = 25,  D > 0

 Если в = 1, то 2в² + 3в – 1 = 4

                       в² + 3 = 4

   в=

 если в = - 4, то 2в² + 3в – 1 = 2(9 - 4)² + 3·(- 4) – 1 = 19

 в² + 3 = (- 4)² + 3 = 19

Ответ:  при в = 1 значение 4, 

              при в = - 4 значение 19.

е) При каком значении а один корень уравнения ах² - 3х – 5 = 0 равен 1?

 Решим по теореме обратной теореме Виета:

       х +  х = -р               х·  х = q

 если  х = 1, то

                             1 +  х =                 1 · х = -        

                             1 -  =                 1 =  +

                             1 =                        а = 8

 при а = 8, данное уравнение имеет один из корней уравнения  

Ответ: при а = 8 , данное уравнение имеет один из корней уравнения

   ах² - 3х – 5 = 0     х = 1

ж) Докажите, что один из корней ах² - (а + с)х + с = 0 равнен 1.

     ах² - (а + с)х + с = 0

     D = (-(а + с))² - 4ас = а² + 2ас + с² - 4ас = а² + 2ас + с² = (а - с)²,  D > 0  

     х=

     х=          х=

      х= = 1                          х==       

Ответ: х= 1    х=                                               

з) Найдите в и решите уравнение 2х² + вх – 10 = 0, если оно имеет корень5.

       2х² + вх – 10 = 0

       х² + 0,5вх – 5 = 0

 Решим по теореме обратной теореме Виета:

       х+ х= -р               х· х=q

р = -5;    q = -5;   х = 5

5 +  х = - 0,5

5х = - 5

х =

х = -1

 проверим: 5 + (- 1) = 0,5в

                   4 = 0,5в

                   в = 8

Ответ:  в = 8 

к)  Докажите, что уравнение 12х² + 70х + а² + 1 = 0 при любых значениях а не имеет положительных корней.

    12х² + 70х + а² + 1 = 0

    а = 12; к = 35; с = а² + 1

    D = 35² - 12(а² + 1) = 1213 - 12а²

 Мы видим, что D не находится, значит решим это по теореме обратной теореме Виета:

 Преобразуем данное уравнение:

   х²+х+= 0

   х+ х= -р               х· х=q

   р =           q =

  х + х= -           х· х=>0

 Произведение корней  х , х - число положительное, т.к. знаменатель равен 12 > 0, а числами а + 1 > 0 при любых значениях а, отсюда корни уравнения могут быть оба положительными и отрицательными. Сумма двух положительных чисел величина положительная, что противоречит нашему условию, сумма корней данного уравнения равно отрицательному числу              

- значит корни уравнения числа отрицательные, уравнение                    12х² + 70х + а² + 1 = 0 при любых значениях а не имеет положительных корней.

3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.

Рассмотрим системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в каждом из которых хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Графиком уравнений системы являются прямые. Если эти прямые пересекаются, то система имеет единственное решение, если прямые параллельны, то  система не имеет решений, если прямые совпадут, то решений бесконечное множество.

      2х + у = 7,         у = 7 - 2х,             у = -2х + 7,

      у – кх = 3;          у =3 - кх;             у = -кх + 3.

при к = 2.

Прямые, являющиеся графиками линейных функций у= -2х+7 и               у = - 2х + 3 параллельны, т.к. их угловые  коэффициенты одинаковы, а точка пересечения с осью у различны.

 При к ≠ 2 Прямые, являющиеся графиками линейных функций, пересекаются, т.к. угловые коэффициенты различны и система имеет единственное решение.

 При каких значениях параметра а система уравнений имеет бесконечно много решений?

     2х + ау = а + 2,

     (а + 1)х + 2ау = 2а + 4. 

 Из первого уравнения выражаем х:

    х= -у +  + 1

 Подставим это выражение во второе уравнение, получаем:

(а + 1)(-у +  + 1) + 2ау = 2а + 4

 Умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:

(а + 1)(а + 2 - ау) + 4ау = 4а + 8

(а + 1)(а + 2) + (а + 1)(- ау) + 4ау = 4(а + 2)

ау(4 – а - 1) = 4(а + 2) - (а + 1)(а + 2)

ау(3 - а) = (а + 2)(4 – а - 1)

ау(3 - а) = (а + 2)(3 - а)

при  а = 3 (3·у·0 = 5·0)

у·0 = 0, т.е. оно удовлетворяет при любых значениях у.

Ответ: 3                                                      

3. 4  ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

а)

5. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ

 УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ.

 Сколько корней имеет уравнение х|х + 1| = а в зависимости от параметра а?

 При графическом решении уравнения требуется:

1. Построить график функции у = х|х + 1|.

2. Построить график у = 0.

3. Определить число корней при различных значениях а,

4. Используя определения модуля, записываем формулу для функции             у = х|х + 1| в таком виде:

      - х² - х при х ≤ - 1

       х² - х при х > - 1

 Легко устанавливаем по графику:

1. при а < - 0,25 одно решение.

2. при а = - 0,25 два решения.

3. при - 0,25 < а < 0 три решения.

4. при а = 0 два решения.

5. при а > 0 одно решение.

 Иногда рассмотренный метод называют методом сечений.

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В данной работе я рассмотрела решение уравнений с параметрами: линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным, квадратные уравнения и уравнения , приводимые к квадратным, системы линейных уравнений с двумя переменными, графическое решение уравнений, содержащие параметры.

А также в работе рассмотрены системы двух линейных уравнений с двумя переменными, в каждом из которых хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля. Было определено, при каких значениях параметра система уравнений имеет бесконечно много решений. Кроме этого рассмотрено графическое решение уравнений с параметром. С помощью графика было установлено, при каком значении параметра уравнение имеет решение.

                                                                                 (13)

5. ЛИТЕРАТУРА.

Д.Т.Писменный  “Готовимся к экзамену по математике”.

А.Н.Колмогоров  “Алгебра и начало анализа, 10-11 класс”.

В.С.Крамор  “Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начало анализа”.

А.Я.Симонов  “Система тренировочных задач и упражнений по математике”.

Р.Б.Райхмист  “Задачник по математике для поступающих в ВУЗы”.

Г.А.Ястребинецкий  “Уравнения и неравенства, содержащие параметры”.

С.А.Теляковский  “Алгебра 8 класс”.

Н.И.Зильберберг  “Алгебра для углублённого изучения математики”.