Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Методическая разработка на тему: «Искусство витража и современность»

Введение.

Формирование эстетической культуры - это процесс целенаправленного развития способности личности к полноценному восприятию и правильному пониманию прекрасного в искусстве и действительности. Он предусматривает выработку системы художественных представлений, взглядов и убеждений, воспитание эстетической чуткости и вкуса. Одновременно с этим у школьников воспитывается стремление и умение вносить элементы прекрасного во все стороны бытия, бороться против всего уродливого, безобразного, низменного, а также готовность к посильному проявлению себя в искусстве.

Витраж (от лат. «витрум» - стекло) - разновидность декоративного искусства, основным материалом является стекло или иной прозрачный материал. Искусство витража существует как само по себе - это панно, так и в союзе с архитектурными ансамблями. К витражу в наше время могут быть отнесены украшения проемов, окон, стен, отдельных изделий, созданные из стекла или из стекол плафоны, самостоятельные картины и т.д. Несмотря на то, что витражи   принадлежат к числу самых прекрасных и привлекательных произведений средневекового искусства, долгое время им не придавали такого значения, как фрескам или произведениям станковой живописи.

Сейчас «витражи» переживают новый взлет своей истории. Изготавливается изделие из бесцветных стекол, цветных, либо с росписью по стеклу специальными красками, либо без них. Вариантов много, как и много техник работ по созданию витражей.

Зачем нужен витраж? Это прелестное украшение и художественное яркое решение для любого интерьера, это оригинальный заменитель стекла и одновременно возможность, не упускать солнечного света, оставаясь спрятанным от чужого внимания. Если возникает необходимость оживить интерьер, создать что-то запоминающееся и, тем не менее, не кричащее, или же скрыть какой-нибудь дефект - витраж будет самым, оптимальным и отнюдь не компромиссным решением.

Все программы, по которым в настоящее время осуществляется учебно-воспитательная деятельность в  школьных учреждениях большую роль отводят эстетическому развитию своих воспитанников. Программы Т.Я.Шпикаловой «Основы народного и декоративно-прикладного искусства и Б.М.Неменского «Изобразительное искусство и художественный труд позволяют решить  проблему  эстетического воспитания более полно и эффективно. Например, программа Б.М.Неменского предусматривает изучение различных декоративных техник, таких как витраж.

Изучение  этого вида декоративно-прикладного искусства можно осуществлять как на уроках изобразительного искусства, так и на факультативных, внеклассных занятиях в школе. Не менее привлекателен этот вид искусства и для студентов колледжа. Они с интересом рассматривают работы преподавателя, студентов прошлых лет, которые хранятся как выставочный материал.

1. Изучение искусства витража в колледже.

Изучение данного вида декоративного искусства в колледже на занятиях в кружке

осуществляется в следующей последовательности.

        На первых занятиях идет ознакомление с историей развития витражного искусства в России и других странах. Демонстрируется презентация, в которой подобран интересный визуальный материал.

        Затем преподаватель рассказывает о витражном искусстве и техниках его выполнения, о материалах, инструментах и приспособлениях для работы.

Постоянно демонстрируются изделия, выполненные преподавателем и студентами прошлых лет, фотоматериалы с выставок творчества.

         Большое внимание уделяется такой разновидности витражного искусства, как псевдовитраж. Изучается технология псевдовитража с показом презентационного материала с последовательностью выполнения работы.

Первые работы выполняются или с образца, или по наиболее простому эскизу. Но просмотр творческих работ студентов прошлых лет, интересные идеи в книгах заставляют студентов выбирать более сложные эскизы. Копирование как методический прием имеет свой положительный эффект. Именно, копирование помогает освоить тонкости витражного искусства. Большое значение имеет пример преподавателя, его увлеченность, показ во время практической работы, своевременная методическая помощь.

2. История витражного искусства.

История витражей начинается глубоко в древности, и, надо сказать, начинается как бы случайно. Но ее дальнейшее развитие показало, что эта оригинальная находка таит в себе бездну потенциальных открытий и применений. Сначала витражное искусство используется в церквях, храмах, дворцовых зданиях. Но позднее интерес к витражам проявляется и со стороны светского общества.

Когда витраж: стал популярен, начались эксперименты мастеров с красками, в процессе которых выяснилось, что стекла могут быть окрашены и интенсивнее. В период  9-10 веков нашли новый способ окрашивания стекол обжигом, что в свою очередь положило начало живописи по стеклу. Прелесть витражей и мозаичных панно заключается не только в том, что это сделано из стекла, но и в том, что картина, созданная таким образом, никогда не изменить своих ярких красок и очертаний. А игра льющегося или затухающего света и бликов на такой картине всегда будут будоражить воображение.

Предыстория витражного искусства в России идет из Византии. В Византии до XII века витражи применялись в убранстве некоторых церквей. По различным источникам собраны отдельные факты  использования цветных оконных стекол в русских постройках как культового, так и гражданского назначения в домонгольский период. В Древней Руси витражи не нашли применения как из-за природно-климатических условий, так иной, чем в средневековой Европе пространственной организации храма, кроме того, православная традиция запрещала писать иконы на "стекле" из-за хрупкости и недолговечности самого материала, а значит и образа, на нем изображенного, в котором по христианским понятиям таинственно присутствует тот, кто изображен на иконе.

Запретов на использование разноцветного оконного стекла в светских сооружениях не было, и применение витражей в этом случае зависело лишь от возможностей русского стеклоделия и импорта. Стекло было привозным и дорогим товаром, поэтому окна в зажиточных русских домах закрывались другими полупрозрачными материалами: рыбьим пузырем, промасленной бумагой, слюдой.

Слюдяные оконницы, собранные из различных по размерам кусков слюды, иногда с ажурными накладками из олова или жести и подкладками из цветной бумаги или ткани своим внешним видом напоминали витражи, выполненные способом мозаичного набора. Сравнительный анализ русских и западно-европейских гравюр, изображающих жилые интерьеры в Древней Руси  16-17 вв., позволил сделать вывод, что иностранцы воспринимали русские слюдяные оконницы как тип декоративного остекления, равноценный европейским витражам..

Появление в  17 столетии в обиходе придворных кругов витражей закономерно. Установлено, что витражи в древнерусской архитектуре встречались исключительно редко и находились в домах лиц, принадлежащих к высшим кругам русского общества.

Реформы первой четвери  18 века, европеизация культуры предопределили развитие в России ранее неизвестных ремесел и искусств. Основы для развития искусства витража в следующем,  19 столетии, были заложены в петровскую эпоху организацией производства стекла. Самые  ранние сведения о витражах в русских постройках нового времени относятся к периоду царствования Екатерины II. Образцы  цветного остекления того времени не сохранились, упоминания в источниках редки и мало информативны.  

Изучение истории витражного искусства, если это необходимо, можно продолжить и расширить. Рассказать об искусстве витража эпохи романтизма и эклектики, о санкт-петербургских витражах эпохи модерна, о готических витражах.

3. Псевдовитраж как разновидность витражного искусства.

Техника псевдовитража была разработана для тех случаев, когда надо декорировать

помещение за короткий срок, вкладывая минимум средств. Освоение технологии псевдовитража позволяет тем, у кого нет навыков работы с резкой стекла, подражая манере великих мастеров копировать их произведения.

С помощью этой техники можно успешно имитировать традиционные художественные

витражи из цветных стекол, соединенные свинцовыми полосками. Эта техника позволяет изготавливать оконные витражи, разделительные стенки, декоративные элементы для дверей и мебели, зеркала и картины. (См. Приложение 1). Следует учитывать, что конечный результат зависит не только от удачного выбора сюжета, а также от разновидности цвета стекла- основы, от цветовой гаммы.

Анализ работ мастеров, наиболее удачных творческих работ  студентов оказывают неоценимую помощь (См. Приложение 2).

4. Технология  выполнения псевдовитража картины - панно.

Перед тем, как приступить к реализации проекта, необходимо пройти стадию предварительной подготовки, подобрать сюжет и сделать эскиз. Тематика сюжета может быть самой разнообразной. В приложении к проекту на CD – диске в папке имеется необходимый учебно-методический материал. На фото можно увидеть все необходимые инструменты и приспособления, необходимые для выполнения проекта.

Затем выполняется эскиз в цвете в натуральную величину рамки со стеклом. Эскиз с помощью скотча прикрепляется к стеклу. Поверхность стекла вместе с эскизом помещают на обратную сторону рамки и обезжиривают спиртом или ацетоном. Рисунок по контурным линиям обводится контуром по стеклу на водной основе.  После высыхания (2 часа) соответственно эскизу пространства между контурными линиями заполняются цветом. Специальные магазины продают витражные краски на водной основе как в наборах, так и в ассортименте. Эти краски можно смешивать друг с другом, но в отдельном чистом тюбике. После встряхивания при смешивании красок образуются пузырьки, поэтому краске надо дать немного постоять. Пузырьки с поверхности стекла необходимо убирать в уголки между линиями контура или прокалывать. Заполнение цветового пространства стекла должно обязательно доходить до линии контура.

 Все пространство стекла может не заполняться цветом. Вы можете предусмотреть цветовую подложку фона разного цвета. Такую цветовую подложку можно выбрать в тон ваших обоев, так как это панно-картина будет висеть на стене.

Заключение.

Освоение данного вида техники на этом не заканчивается. Как правило, студенты, увлекаясь творчеством, предлагают продолжить знакомство с росписью по стеклу.

Им предлагаются более сложные по тематике сюжеты, а также изготовление подарков друзьям, родственникам, добавление других видов красок (например, акриловых по стеклу и керамике, аэрозольных).

Не менее интересные работы получаются коллажного типа. В приложении к проекту эти работы студентов можно просмотреть.

Список литературы

1. Алан Гир и Барри Фристоун Роспись по стеклу (20 чудесных проектов в стиле модерн)- Арт-родник. Москва, 2006.
2. Власов В.Г. Стили в искусстве: Словарь.- СПб.: Кольна, 1995
3. Витражи в пседоготических сооружениях 1820-1840-х гг. / Петербургские чтения - 95. Материалы научной конференции 22-26 мая 1995. СПб., 1995. С.112-115.
4. Витражи Аничкова дворца. / Аничков дворец - памятник российской истории. Материалы конференции. СПб., 1997.
5. Данилевский В. В. М. В.Ломоносов и художественное стекло. М.-Л., 1964. С. 104.
6. Санкт-Петербургский витраж эпохи модерна: эстетика, производство, памятники. / 100 лет петербургского модерна. Сборник материалов конференции, (готовится к печати).
7. Спирито М. Витражное искусство и техника росписи по стеклу.- М.: Альбом. 2006.
8. Цветное стекло в интерьере: Практическое руководство- М.: Издательство «Ниола-Пресс», 2007.

Приложение 1

Имитация витража в интерьере

Разделительная стенка

Картины-панно

Приложение 2.

Работы студентов и школьников

2

Введение

Актуальность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами при сдачи Единого Государственного экзамена и на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Цель данной работы рассказать о решении уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. дать определения понятиям уравнение с параметрами;
2. показать принцип решения данных уравнений на общих случаях;

1. показать решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, логарифмической и тригонометрической функциями.

Объектом исследовательской работы было решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами выше представленных функций.

Структура данной работы включает в себя теорию, практическую часть, заключение, библиографический список.

3 Решение уравнений с параметрами

Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение. Такие задачи предлагаются на едином государственном экзамене и на вступительных экзаменах в вузы.

Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, -степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Основное, что нужно усвоить при первом знакомстве с параметром, -это необходимость осторожного, даже, если хотите, деликатного обращения с фиксированным, но неизвестным числом. Этому, по нашему мнению, во многом будут способствовать наши примеры.

Необходимость аккуратного обращения с параметром хорошо видна на тех примерах, где замена параметра числом делает задачу банальной. К таким задачам, например, относятся: сравнить два числа, решить линейное или квадратное уравнение, неравенство и т.д.

Обычно в уравнение буквами обозначают неизвестные.

Решить уравнение - значит:

4

найти   множество   значении   неизвестных,   удовлетворяющих   этому

уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(Х,

Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами^, о, с). Тогда мы

имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

При одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других - имеет только один корень, при третьих - два корня. При решении таких уравнений надо:

1)        найти множество всех доступных значений параметров;

2)        перенести все члены, содержащие неизвестное, в левую часть
уравнения, а все члены, не содержащие неизвестного в правую;

1. привести подобные слагаемые;
2. решать уравнение ах = Ь. Возможно три случая.

1.        а   ^0,   b   -   любое   действительное   число.   Уравнение   имеет

Ъ единственное решение х = —.

а

2.        а = 0, b = 0. Уравнение принимает вид: Ох = 0, решениями являются
BcexeR.

3.        £= 0, hfQ. Уравнение Ох = b
решений не имеет.

Сделаем одно замечание. Существенным этапом решения уравнений с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа - это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

В только что разобранном примере запись ответа практически повторяет решение. Тем не менее, я считаю целесообразным привести ответ.

Ответ:

х = — при а «ё 0, b — любое действительное число;

х - любое число при а = 0, b = 0; решений нет при а = 0, b Ф 0.

Решение уравнений с параметрами, связанных со свойствами показательной, тригонометрической и логарифмической функциями

х+ 1.

1. Найдем значения параметра п, при которых уравнение 15-10 х — 20 п - п • 10х+1 не имеет корней?

Решение: преобразуем заданное уравнение: 15-10х-20 = п-п- 10

15-10x+n- 10x+1=n + 20;10x-(15 + 10n) = n + 20;10x-   n + 2°

15 + Юи

Уравнение не будет иметь решений при          < 0, поскольку 10 х

всегда положительно.

Решая указанное неравенство методом интервалов, имеем:          < 0;

15 + 10«

(п + 20>(15 + 10п) < 0; - 20 < п < - 1,5.

Ответ: [-20;-1,5].

2.        Найдем все значения параметра а, при которых уравнение lg (1 + х )
+ (За - 2)- lg(l + х ) + а = 0 не имеет решений.

Решение: обозначим lg(l + х ) = z, z > 0, тогда исходное уравнение

-J        ■J

примет вид: z   +(3a-2)-z + a   =0. Это уравнение - квадратное с дискриминантом, равным (За - 2)2 - 4а2 = 5а2 - 12а + 4. При дискриминанте меньше 0, то есть при 5а2-12а + 4<0 выполняется при 0,4 < а <2. Ответ: (0,4; 2).

3.        Найдем наибольшее  целое  значение  параметра а,  при котором
уравнение cos2x + asinx = 2а - 7 имеет решение.

Решение: преобразуем заданное уравнение:

cos2x + asinx = 2a - 7; 1 - 2sin2x - asinx = 2a~7: sin2x — asinx + a - 4

2

0;

 0 дает:

(sinx - 2) = 0; x принадлежит пустому множеству.

sinx

 — 2 ) = 0; x = (-1)" arcsin   —2 ) + 7tn, n e Z при

v2        V2

 --2

v2      у

 < 1.

Неравенство

--2

\2      j

< 1  имеет решение 2 < а < 6, откуда следует, что

наибольшее целое значение параметра а равно 6. Ответ: 6.

4. Указать наибольшее целое значение параметра а, при котором корни уравнения 4х - 2х + а = 0 принадлежит интервалу (- 1; 1).

Решение: корни заданного уравнения равны: xi = — (1+ VI - 4а)

х2 = _(i - Vi-4a ), при этом а < —.

По условию -1 < -(1+ л/1-4а) < 1 о- -5< Vl-4a< 3,

- 1 < -Ц-Vl-4а )< 1 ^>5 > Vl-4а > - 3.

4V

Решением, удовлетворяющим указанным двойным неравенствам, будет решение двойного неравенства: - 3 < VI-4а < 3.

Неравенство - 3 < Vl-4a выполняется при всех а < —, неравенство VI - 4а < 3 - при - 2 < а < —. Таким образом, допустимые значения параметра а лежат в интервале (-2; —

7 Наибольшее целое значение параметра а из этого интервала, которое одновременно принадлежит и интервалу (-1; 1), равно 0. Ответ: 0.

5. При каких значениях параметра а число корней уравнения

\х   -8| х |+ 7| = 0 равно а?

Решение: построим эскиз графика функции, у = \х   -8|х |+7| при этом

учтем, что функция у - четная и ее график - симметричен относительно оси ординат, в силу чего можно ограничиться построением только его правой части ( х > 0). Также учтем, что трехчлен х2 - 8х + 7 имеет корни х = 1 и х = 7, при х = 0 у = 7, а при х = 4 - минимум, равный - 9. На рисунке: пунктирными прямыми изображена парабола

у = х2 - 8х + 7 с минимумом умин равным - 9 при х мин = 4, и корнями xi = 1 и х2 = 7;

сплошными линиями изображена часть параболы у = |х - 8х + 7| (1 < х

< 7), полученная зеркальным отражением относительно оси Ох части параболы

х2 - 8х + 7 при К х < 7.

(Эскиз левой части графика функции при х < 0 можно получить, отразив эскиз правой части графика симметрично относительно оси Оу).

Проводя горизонтали у = а, а е N, получаем к точек ее пересечение с линиями эскиза графика. Имеем:

Таким образом, а = к при а = 7. Ответ: 7.

6. Указать значение параметра а, при котором уравнение х4 + (1 - 2а)х2 + а2 - 4 = 0 имеет три различных корня.

Решение: всякое биквадратное уравнение в общем случае имеет две пары корней, причем корни одной пары различаются только знаком. Три корня возможны в случае, если уравнение имеет одну пару в виде нуля.

Корни заданного уравнения равны:

х

 = + |(2^ ~ ^ ± У(2^ ~ I)2 ~ 4(а2 ~ 4Т = + |(2а-1)±л/Г7

 -4а

Одна из пар корней будет равна 0, если (2а-1) = Vl7-4a  . Решая это уравнение при условии 2а-1 > 0 <=> а> —, имеем: (2а - 1) = Vl7-4a  «(2a -

1)2=17-4а«

4а2 - 4а +1 = 17 - 4а о а = 2. Ответ: 2.

7.      Указать целое значение параметра/?, при котором уравнение s[p cosx - 2sinx = л/2 + -у]2-р имеет решение.

Решение: р > 0; 2 - р > 0 <=> р < 2; объединяя допустимые значения параметра/?, имеем:

9 0<р<2.

При р = 0 исходное уравнение принимает вид - 2sinx = 2V2   <=>х принадлежит пустому множеству ( в силу ограниченности синуса). Ирир = 1 исходное уравнение принимает вид:

cosx-2sinx= V2 +1. Максимальное значение разности (cosx-2sinx) составляет V5J(cosx - 2 sinx) = (- sinx - 2cosx) = 0 tgx = -2, при этом sinx =

_ 'у

sin (arctg(-2)) = —=, cosx - 2sinx = Vs ], что меньше V2 +1.

-n/5

Следовательно, при p = 1 уравнение решений не имеет. При р = 2 исходное уравнение принимает вид

V2cosx-2sinx = V2 .

Максимальное значение разности V2cosx-2sinx составляет л/б прих =

-V2        1

arctg(-V2) (при этом sinx = —==- , cosx = —=). Поскольку л[б> 42 +1, то

V3        V3

уравнение V2cosx-2sinx = V2 будет иметь решение. Ответ: 2.

8. Определить число натуральных п, при которых уравнение         = —

и-10    х

не имеет решения.

Решение: х Ф 0, п Ф 10.

х-8     п        [х2-8х-иО-10) = 0,

■ = — <=>

п-10    х        [х*0,и^10

Уравнение х2 - 8х - п(п — 10) = 0 не имеет решения, если его дискриминант меньше 0, т.е. 16 + п(п-10) <0 <=> п -10п+16<0 о (п-2) (п-8) <0 о 2 < п < 8.

В найденном интервале 5 натуральных чисел: 3, 4, 5, 6 и 7. Учитывая условие п Ф 10, находим, что общее число натуральных п, при которых уравнение не имеет решений, равно 6.

Ответ: 6.

10

9.  Найти  наименьшее  целое  значение  параметра  а,   при  котором

11        к

уравнение        +        = а (0 < х < — ) имеет решение.

sinx    cosx        2

Решение: по условию 1 > sinx > 0 <г> 1 <        < + оо,

sinx

1 > COSX > 0<» 1 <         < + оо,

cosx Следовательно, 2 < а < + оо. Возводя обе части заданного уравнения в квадрат, имеем:

1        1

■ + -

а       —т~ + —        +—^ = а <=>

sin  х    sin х-cosx    cos x

(    1        1     ^        2<=>       1        2        1       __2

smx    cosx у

1        2        2

sin2 х-cos2 х    smx-cosx

+        =а .

Введем переменную z =         . Тогда исходное уравнение примет

sin х • cos x

вид:

z   + 2z - а   =0. Оно имеет решение при любом а, поскольку его

дискриминант

D = 1 + а2 положителен при любом а.

Учитывая, что 2 < а < + <х>, заключаем, что наименьшее целое значение параметра а, при котором заданное уравнение имеет решение равно 3.

Ответ: 3.

11

Заключение По завершению работы я пришла к выводу, что эта тема должна изучаться не только на элективных курсах и дополнительных занятиях, но и в школьной программе, так как она формирует логическое мышление и математическую культуру у школьников. Учащимся знания по этой теме помогут сдать Единый Государственный Экзамен и вступительные экзамены в ВУЗы.

12 Используемая литература.

1. П.И.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.СЯкир «Задачи с параметрами», 2002г.
2. Н.Ю.Глаголева «Задачи по математике для поступающих в вузы», 1994г.
3. В.В.Локоть «Задачи с параметрами», 2003г.
4. В.В.Ткачук «Математика - абитуриенту», 1994г.
5. Г.А.Ястребинецкий «Уравнения и неравенства, содержащие параметры», 1972г.
6. А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа», 1987г.
7. В.С.Крамов «Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа», 1994г.
8. «Математика. Решение задач повышенной сложности», 2004г.
9. М.И. Шабунин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, Р.Г. Газарян «Алгебра и начала анализа», 2000г.
10. А.П. Карп «Даю уроки математики...», 1992 г.
11. В.В. Ткачук «Математика - абитуриенту», 1996 г.