Материалы в помощь учителю математики
методическая разработка на тему

ГБОУ ВПО Московской области «Академия социального управления ДПО»

Итоговый практико-значимый проект

«Этика в профессиональной культуре педагога»

По курсу «Образование и общество. Актуальные проблемы психологии и психологии»

Академический инвариант (36 часа)

                                 Слушатель:  

                                                                           Карнаухова Ольга Анатольевна

                                               учитель  математики

                                                            МБОУ СОШ №16 имени Героя

                                         Советского Союза

                                                                Сережникова А.И. г.о. Балашиха

                                              Московской области.

                                                     Научный руководитель:

                                                                Елфимова Е.В. к.п.н., доцент

                                                                кафедры развития образования.    

2013

Структура работы:

1.Введение.

2. Определение понятия профессиональной культуры педагога.

1. Понятие этики.

2. Профессиональная этика

   3.Педагогическая культура.

3.  Педагогическая этика, категории педагогической морали и моральные ценности.

   1.Определение научного понятия педагогической этики.

   2.Зарождение и развитие педагогической этики.

   3. Основные категории педагогической этики.

4. Главные направления педагогической этики.

4.  Заключение.

«Только  личность может действовать

 на развитие и определение личности,

 только характером можно

образовать характер».

(К.Д.Ушинский)

1. ВВЕДЕНИЕ

В современной действительности огромное внимание уделяется психологии и этике педагогического общения. Сегодня как никогда такие проблемы становятся актуальны. Это связано с развитием демократического общества в нашей стране, при котором на первый план выходит человек как личность, человек, требующий к себе внимания и доброжелательного отношения. Такие отношения не чужды и работе творческого коллектива, эффективность работы которого во многом зависит от педагогического такта преподавателя.
В современном мире педагога возложена ответственная миссия: не только  обучать  (развивать интеллектуальные способности, закладывать  определенные знания), но и воспитывать новое поколение. Элементы педагогической этики появились вместе с возникновением педагогической деятельности как особой общественной функции. Учителю же в этом процессе отводится особая роль. Учитель участвует в процессе воспроизводства нравственного сознания личности не только индивидуально, но и через педагогический и ученический коллективы, через родительскую общественность. В данном случае он выступает как концентрированный носитель общественной морали..Успешно решать сложные задачи, поставленные реформой общеобразовательной и профессиональной школы, может лишь тот учитель, который олицетворяет собой образец высоконравственной личности. Потому важной составляющей профессиональной культуры современного  педагога, на мой взгляд, является его духовно-нравственная культура и этика.

 Закладывая основы материалистического мировоззрения, он призван давать учащимся и основы этических знаний. Для этого учителю необходимо самому вполне усвоить идеи и ценности высокой морали и по мере сил стремиться воплощать их в жизнь. В.А. Сухомлинский подчеркивал, что учитель становится воспитателем, лишь овладев тончайшим инструментом воспитания – наукой о нравственности, этикой. Без знания теории морали сегодня не может быть полноценной профессиональная подготовка учителя.

           Раскрыть учащимся красоту человеческих поступков, научить отличать добро от попустительства, гордость от спеси может только тот учитель, чьи нравственные установки безупречны. Педагогическая этика должна обратить особое внимание на сущность и специфику индивидуального нравственного сознания учителя. Поэтому  говорить об этической стороне профессиональной культуры педагога как никогда актуально.

2. ПОНЯТИЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ ПЕДАГОГА

    Важнейшей предпосылкой успеха воспитательной работы является профессиональная культура учителя. Педагог - это ключевая фигура системы образования. Уровнем развития его профессионализма и нравственной культуры определяются любые успехи, как в этой сфере, так и в развитии общества в целом. Поэтому необходим высокий уровень профессиональной культуры педагога. Для этого рассмотрим некоторые понятия: 

 “Этика – философское учение о морали, её развитии, принципах, нормах и роли в обществе; совокупность норм поведения (обычно применительно к какой – нибудь общественной группе)”. (С.И. Ожегов)

Профессиональной этикой  называют кодексы поведения, обеспечивающие нравственные характер тех взаимоотношений между людьми, которые вытекают из их профессиональной деятельности. Особенностью профессиональной этики является её тесная связь с деятельностью членов конкретной группы и неразрывное единство с общей теорией морали.  Как известно, производственная и общественная деятельность накладывает отпечаток на сознание и поведение личности.

       В педагогической науке понятие Педагогическая культура определяется как

     1. часть общечеловеческой культуры, в которой в наибольшей степени запечатлелись духовные и материальные ценности, а также способы творческой педагогической деятельности, необходимые человеку для обслуживания исторического процесса смены поколений и социализации (взросления и становления) личности;

2. сущностная характеристика целостной личности педагога, способного к диалогу культур в индивидуально-личностном плане;

3.  динамическая система педагогических ценностей, способов деятельности и профессионального поведения учителя, в качестве компонентов которой выделяются:

а)педагогическая позиция и личностные качества;

б)профессиональные знания и культура педагогического мышления; в)профессиональные умения и творческий характер педагогической деятельности;

 г) саморегуляция личности и культура профессионального поведения педагога .

  Идеальной,  хотя и отдаленной,  целью любого цивилизованного  сообщества становится тип отношений,  основанный на торжестве морально-этических принципов.

  Потребность общества передавать свой опыт и знания подрастающим поколениям вызвала к жизни систему школьного образования и породила особый вид общественно необходимой деятельности – профессиональную педагогическую деятельность.

  И не случайно  в настоящее время основным направлением инновационной работы в школе является реализация гуманистической составляющей образования, которая обеспечивается личностью педагога.

      Учитель, обладающий высоким уровнем педагогической культуры, любит детей, защищает их права и интересы, заботится об их здоровье, проявляет доброту и уважение к школьнику независимо от успехов в учении, понимает психологию школьника, владеет глубокими и разносторонними знаниями по предмету, творчески подходит к обучению и воспитанию, во всех ситуациях проявляет высокую культуру поведения. Ведущими характеристиками профессиональной культуры педагога с этих позиций становятся гуманистическая педагогическая позиция учителя по отношению к детям, его способность быть воспитателем и психолого-педагогическая компетентность.

3. ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ЭТИКА 

1. Определение научного понятия педагогической этики.

Профессиональная культура педагога – это сложная, комплексная составляющая его личности, соединяющая в себе социальные, профессиональные и сугубо личностные характеристики. Одной их немаловажных составляющих культуры педагога  является этика.

      “ЭТИКА – философское учение о морали, её развитии, принципах, нормах и роли в обществе; совокупность норм поведения (обычно применительно к какой–нибудь общественной группе)”. (С.И. Ожегов) Однако есть и второе значение этого слова.

Этика - это «кодекс поведения, обеспечивающий нравственный характер взаимоотношений между людьми,  который вытекает из их профессиональной этики .

   Таким образом,  этика изучает нравственные проблемы жизни человека, дает определение добра и зла, рассматривает различные модели межчеловеческих отношений и поведения человека в обществе.

     Важным основанием профессиональной культуры педагога является педагогическая этика (от греческого долг и учение) или деонтология, определяющая нормативные нравственные позиции, которыми необходимо руководствоваться педагогу в процессе общения с учащимися, их родителями, коллегами. Элементы педагогической этики появились вместе с возникновением педагогической деятельности как особой общественной функции. Учителю же в этом процессе отводится особая роль. Закладывая основы материалистического мировоззрения, он призван давать учащимся и основы этических знаний. Для этого учителю необходимо самому вполне усвоить идеи и ценности высокой морали и по мере сил стремиться воплощать их в жизнь. В.А. Сухомлинский подчеркивал, что учитель становится воспитателем, лишь овладев тончайшим инструментом воспитания – наукой о нравственности, этикой. Без знания теории морали сегодня не может быть полноценной профессиональная подготовка учителя. Педагогическая этика является самостоятельным разделом этической науки и изучает особенности педагогической морали, выясняет специфику реализации общих принципов нравственности в сфере педагогического труда, раскрывает её функции, специфику содержания принципов и этических категорий.

Также педагогической этикой изучается характер нравственной деятельности учителя и нравственных отношений в профессиональной среде, разрабатываются основы педагогического этикета, представляющего собой совокупность выработанных в учительской среде специфических правил общения, манер поведения и т.п. людей, профессионально занимающихся обучением и воспитанием.

Каждый учитель – живой человек, и у него могут быть ошибки, промашки, досадные срывы, однако из любой ситуации он находит поистине человеческий выход, поступает бескорыстно, справедливо и благожелательно, никогда не проявляя утилитарного расчёта, высокомерия и мстительности. Настоящий воспитатель, как ни затёрто это звучит, учит добру, причём делает это как словесно, так и личным примером.

2.Зарождение и развитие педагогической этики.

Первые элементы педагогической этики появились вместе с возникновением педагогической деятельности как особой общественной функции. Потребность общества передавать свой опыт и знания подрастающим поколениям вызвала к жизни систему школьного образования и породила особый вид общественно необходимой деятельности – профессиональную педагогическую деятельность.

По мере своей эволюции педагогическая этика формировала присущие ее времени этические требования. Так, например, философы античного общества (Демокрит, Платон, Аристотель и др.) в своих работах писали о необходимости сообразовывать воспитание с природой ребенка, об использовании детской любознательности как основы учения, о предпочтении средств убеждения над средствами принуждения. В то же время Квинтилиан впервые поставил вопросы педагогической этики на профессиональный уровень – его рекомендации представляли собой обобщение педагогического опыта, предостерегали педагога от использования принуждения, апеллировали к здравому смыслу и заинтересованности ребенка в процессе учебы и ее результатах.

В эпоху средневековья общество не интересовала проблема разработки вопросов педагогической этики ввиду доминирования религии в сфере общественного обучения и воспитания.

В эпоху Возрождения эти вопросы получили последовательное развитие в трудах М.Монтеня, Я.А.Коменского, Дж.Локка и др. В качестве правил педагогической этики предполагалось обращать внимание на личностные качества наставника, учитывать «душевные склонности ребенка», не требовать беспрекословного принятия идей учителя учеником. В ряде работ делается акцент на доброжелательном отношении педагога к обучаемым, критике формально-показного выполнения учительских обязанностей, уделяется внимание нравственным отношениям между воспитателем и воспитанником и т.д.

Представители эпохи Просвещения (Ж.Ж.Руссо, И.Г.Песталоцци, Ф.Дистервег и др.) сформулировали требования к нравственному облику учителя, выдвигали свои этические концепции, считая движущей силой прогресса просвещение, науку и разум. Они считали, что учитель должен быть лишен человеческих пороков и в нравственном отношении стоять выше общества. В связи с этим истинный педагог должен уметь в любом ребенке обнаружить и развить положительные личностные качества, пропагандировать идеи трудового и нравственного воспитания.

Качественно новый этап в разработке проблем педагогической этики связан с русскими революционерами-демократами, обогатившими и углубившими этические идеи деятелей эпохи Просвещения. В частности, большое внимание этому вопросу уделял Н.А.Добролюбов, который в своих работах доказывал, что воспитание должно основываться не на авторитете подавления, а на высоком образовании и всестороннем развитии педагога, его твердых и непогрешимых убеждениях, уважении прав детей.

В советское время разработку проблем педагогической этики мы находим в трудах В.А.Сухомлинского, В.И.Писаренко, И.В.Чернокозова и др. Ими неоднократно подчеркивалось, что этические требования должны отражать живые человеческие отношения между педагогом и детьми.

В последние годы перед педагогической этикой стоит целый ряд насущных задач, которые могут быть разделены на теоретические и прикладные. В их числе исследование проблем методологического характера, выяснение структуры и изучение процесса формирования нравственных потребностей педагогов, разработка специфики нравственных аспектов педагогического труда, выявление предъявляемых требований к нравственному облику педагога в связи с переориентацией отечественной педагогической теории и практики на гуманистические позиции и др.

3.Основные категории педагогической этики.

Педагогическая этика рассматривает сущность основных категорий педагогической морали и моральных ценностей. Моральными ценностями можно назвать систему представлений о добре и зле, справедливости и чести, которые выступают своеобразной оценкой характера жизненных явлений, нравственных достоинств и поступков людей и т.п.    Без морали и нравственности ни одна организация (деятельность) не может быть эффективной. Свод этических норм, способствующих достижению целей, стоящих перед школой в управленческой науке получил название «корпоративная этика».К педагогической деятельности применимы все основные моральные понятия, однако отдельные понятия отражают такие черты педагогических воззрений, деятельности и отношений, которые выделяют педагогическую этику в относительно самостоятельный раздел этики. Среди этих категорий – профессиональный педагогический долг, педагогическая справедливость, педагогическая честь и и педагогический авторитет.

Профессиональный педагогический долг - одна из важнейших категорий педагогической этики. В этом понятии концентрируются представления о совокупности требований и моральных предписаний, предъявляемых обществом к личности учителя, к выполнению профессиональных обязанностей: осуществлять определённые трудовые функции, преимущественно интеллектуальные, правильно строить взаимоотношения с учащимися, их родителями, коллегами по работе, глубоко осознавать свой отношение к выбранной профессии, ученическому и педагогическому коллективу и обществу в целом. Основой профессионального педагогического долга являются объективные и актуальные потребности общества в обучении и воспитании подрастающих поколений. В профессиональном долге педагога запрограммирована необходимость творческого отношения к своему труду, особая требовательность к себе, стремление к пополнению профессиональных знаний и повышению педагогического мастерства, необходимость уважительного и требовательного отношения к учащимся и их родителям, умение разрешать сложные коллизии и конфликты школьной жизни.

Справедливость вообще характеризует соответствие между достоинствами людей и их общественным признанием, правами и обязанностями; педагогическая справедливость имеет специфические черты, представляя собой своеобразное мерило объективности учителя, уровня его нравственной воспитанности (доброты, принципиальности, человечности), проявляющейся в его оценках поступках учащихся, их отношения к учёбе, общественно полезной деятельности и т.д. Справедливость это нравственное качество учителя и оценка мер его воздействия на учащихся, соответствующая их реальным заслугам перед коллективом. Специфика педагогической справедливости заключается в том, что оценка действия и ответная реакция на неё находятся у педагога и учащихся на разных уровнях нравственной зрелости; в том, что определение меры объективности зависит от педагога в большей степени; в том, что общей моральной оценке подвергается взаимодействие сторон с неравной самозащитой; наконец, в том, что педагогически необходимое, запрограммированное педагогом, может не

осознаваться учениками. Важнейшей характеристикой личности педагога высшей образовательной квалификации выступает педагогическая направленность. Под ней принято понимать систему целей и установок, стремлений и эмоциональных реакций, идеалов и убеждений человека, выражающих его отношение к педагогическим аспектам профессиональной деятельности и определяющим образом влияющих на ее содержание и результаты. В содержании педагогической культуры она выражается следующими компонентами: педагогическим интересом; склонностью к педагогической деятельности; стремлением к педагогическому труду; системой профессиональных специфических отношений; педагогическими убеждениями. Определяющим показателем педагогической направленности выступают педагогические убеждения – сплав знаний, чувств.

Педагогическая направленность учителя тесно связана с другим качеством – педагогической эрудицией. В ее содержании, как составной части педагогической культуры, важную роль играют психолого-педагогические знания о личности, его темпераменте, характере, интеллекте, природе зарождения конфликтов в группе, в коллективе, путях их предупреждения и разрешения, средствах, методах и способах взаимодействия с личностью, путях самовоспитания, самообразования и др.

Успешное решение сложных педагогических задач в профессиональной деятельности не возможно без творческого подхода. Педагогическое творчество выступает как специфическое качество, основанное на закономерностях психологии и педагогики. Оно направлено на совершенствование и развитие методических систем, разработку новых условий и форм, идей и опыта, средств и способов обучения. Педагогическое творчество учителя также предусматривает выработку оригинальных приемов воздействия на личностную сферу обучающихся.

В основе педагогического мастерства учителя лежит высокий уровень развития его нравственных качеств, диалектическое мировоззрение. Проявление им творчества в профессиональной деятельности обусловлено наличием совокупности развитых качеств, прежде всего творческого мышления, профессиональных и психолого-педагогических знаний, педагогических способностей. Не менее значимы навыки и умения профессионального обучения и воспитания подчиненных, чувство нового и ответственности за педагогические последствия принимаемых решений, педагогическое лидерство и др.

Важными компонентами культуры педагога является его педагогическая техника и культура речи. Первая по своему содержанию представляет собой совокупность навыков и умений осуществления педагогического взаимодействия с обучающимися. В нее входят навыки в организации и проведении специальных профессиональных занятий и воспитательных мероприятий, умение осуществлять служебную деятельность с учетом ее педагогических аспектов, навыки руководства процессом самообразования, умение применять современные технические средства в процессе проведения профессиональных занятий и воспитательных мероприятий. Культура же речи представляет особую область педагогической техники и выступает внешним показателем уровня общей культуры педагога, основным инструментом его педагогического взаимодействия с обучающимися. Отличительными признаками педагогической культуры речи выступают ясность, краткость, правильность, уместность, эмоциональность.

Профессиональная честь в педагогике – это понятие, выражающее не только осознание учителем своей значимости, но и общественное признание, общественное уважение его моральных заслуг и качеств. Высоко развитое осознание индивидуальной чести и личного достоинства в профессии педагога выделяется отчётливо. Если учителем в своём поведении и межличностных отношениях нарушаются требования, предъявляемые обществом к идеалу педагога, то соответственно им демонстрируется пренебрежение к профессиональной чести и достоинству. Честь учителя – общественная оценка его реальных профессиональных достоинств, проявляющихся в процессе выполнения им профессионального долга. Наконец, педагогический авторитет учителя – это его моральный статус в

коллективе учащихся и коллег, это своеобразная форма дисциплины, при помощи которой авторитетный и уважаемый учитель регулирует поведение воспитуемых, влияет на их убеждения. Педагогический  авторитет зависит от предшествующей морально-этической и психолого-педагогической подготовки учителя. Уровень его определяется глубиной знаний, эрудицией, мастерством, отношением к работе и т.д.

Наконец, педагогический авторитет учителя – это его моральный статус в коллективе учащихся и коллег, это своеобразная форма дисциплины, при помощи которой авторитетный и уважаемый учитель регулирует поведение воспитуемых, влияет на их убеждения. Уровень его определяется глубиной знаний, эрудицией, мастерством, отношением к работе и т.д.  Педагогический авторитет основывается на принципе единства требования и доверия к личности воспитуемого. Авторитет педагога зависит от всего комплекса его личных и профессиональных качеств,  нравственного достоинства; это духовная власть над сознанием учащихся. «Действительный авторитет основывается  на вашей гражданской  деятельности,  - указывал А.С. Макаренко, - на вашем гражданском чувстве, на вашем знании жизни ребенка, вашей помощи ему и на вашей ответственности за его воспитание».  Доброжелательность и искренность  -  неотъемлемые черты авторитетного педагога.

Не желая работать над собой,  некоторые педагоги стремятся завоевать авторитет ложным путем и приобретают тот или иной вид ложного авторитета. Педагогическое сознание рассматривается как осознание (понимание и принятие) педагогом норм своего поведения, характера взаимоотношений в обществе и ценности качеств человеческой личности, что закрепляется во взглядах, представлениях, чувствах и привычках. Общественное сознание дает обобщенное теоретическое и идеологическое обоснование морали как общественного явления. В то же время в индивидуальном нравственном сознании отражается еще и специфика той среды, с которой человек постоянно взаимодействует, что существенно влияет на формирование нравственных взглядов педагога, его нравственного сознания. Одним из элементов нравственного сознания является осознание им нравственных ценностей и осмысление того, как осуществляется восприятие этих ценностей его воспитанниками. Основой формирования нравственных взглядов является знание принципов, требований и норм морали и их специфического отражения в педагогической деятельности.

Переход от педагогического сознания к нравственной практике раскрывается особой категорией педагогической этики, рассматриваемой как педагогический такт. Это связано с тем, что нравственное творчество педагога включает в себя ряд компонентов, среди которых важнейшими являются такие, как осмысление нормы и ее значимости в отношении к обществу, педагогической профессии, осмысление сложных обстоятельств ситуации и условий ее возникновения, необходимость выбора лучшего вида поступка в соответствии с нравственно-педагогической нормой.

Педагогический такт есть форма реализации педагогической морали в деятельности учителя, в которой совпадают мысль и действие.

Такт – это нравственное поведение. В числе основных составляющих элементов педагогического такта учителя можно назвать уважительное отношение к личности, высокую требовательность, умение заинтересованно слушать собеседника и сопереживать ему, уравновешенность и самообладание, деловой тон в отношениях, принципиальность без упрямства, внимательность и чуткость по отношению к людям и т.д.

Педагогический такт – это чувство меры в поведении и действиях учителя, включающее в себя высокую гуманность, уважение достоинства ученика, справедливость, выдержку и самообладание в отношениях с детьми, родителями, коллегами по труду. Педагогический такт – одна из форм реализации педагогической этики.

Главным признаком педагогического такта является его принадлежность к нравственной культуре личности учителя. Такт относится к моральным регуляторам педагогического процесса и основывается на нравственно-психологических качествах учителя.

Основными элементами педагогического такта являются:

– требовательность и уважительность к воспитаннику;
– умение видеть и слышать ученика, сопереживать ему;
– деловой тон общения;
– внимательность, чуткость педагога.

Профессиональный такт проявляется:

–во внешнем облике педагога;
– в умении быстро и правильно оценить сложившуюся обстановку и в то же время не торопиться с выводами о поведении и способностях воспитанников;
– в умении сдерживать свои чувства и не терять самообладания в сложной ситуации;
– в сочетании разумной требовательности с чутким отношением к учащимся;
– в хорошем знании возрастных и индивидуальных особенностей учащихся;
– в самокритичной оценке своего труда. 

Тактичный педагог приходит вовремя на работу, деловые встречи; своевременно возвращает то, что одалживал у коллег, учащихся, их родителей; не повторяет слухов, непроверенных фактов, тем более, если они могут нанести ущерб окружающим. Педагогический такт является важным компонентом нравственной культуры учителя.

         Особая общественно-государственная роль профессионального труда определяет специфические цели и задачи, нравственные потребности и мотивы деятельности, формы ее организации и стимулирования, особые, более строгие профессионально-этические критерии ее оценки и регуляции. В связи с этим важнейшими мотивами педагогического труда выступают такие этические категории, как глубоко осознанный педагогический долг, высокая личная ответственность учителя за обучение и воспитание учащихся.

Вследствие вышеизложенного педагогическую этику профессиональной деятельности в самом общем плане можно определить как сложную систему моральных связей и отношений, нравственно-педагогических требований, принципов и норм, которые вытекают из специфики профессиональной деятельности и определяют морально-педагогические убеждения специалиста, его взгляды, установки и чувства в области решения стоящих перед ним профессиональных задач. Все это позволяет ему регулировать свое отношение к учебно-воспитательному труду, своей профессии, окружающим людям и самому себе. Проявляются нравственно-педагогические требования и нормы в его моральном выборе, конкретных действиях и поступках, в реальных качественных характеристиках, высокий уровень развития которых позволяет ему эффективно решать профессиональные задачи.

4.Главные направления педагогической этики.

 Педагогическая этика рассматривает нравственные отношения как совокупность общественных контактов и взаимных связей, возникающих у учителя с теми людьми и учреждениями, по отношению к которым он имеет профессиональные обязанности. На основании такого подхода целесообразнее всего рассматривать нравственные отношения в наиболее четко выделяющихся подсистемам:

«учитель — ученики»,

«учитель — педагогический коллектив»,

 «учитель — родители учащихся»,

 «учитель — руководители школы».

УЧИТЕЛЬ И УЧЕНИК.

Среда, в которой происходит общение и взаимодействие между учителями и учениками, имеет как общие, так и особенные социальные признаки. Ведущая роль учителя в этой среде обусловливает повышенные моральные требования к нему, потому что объектом его воздействия являются дети с особым комплексом морально-психологической незащищенности. Педагогическая деятельность анализируется теми, на кого она направлена. Дети фиксируют все оттенки взаимоотношений учителей с ними, с другими учителями, с родителями и т. д.

Учитель общается с учениками в тот период, когда они на практике постигают азбуку социальных отношений, когда у них формируются и закрепляются основные нравственные установки. Мир взрослых дети постигают через призму взглядов любимого учителя, который нередко становится их идеалом на всю жизнь. Учитель, допускающий грубость, произвол в обращении с детьми, оскорбляющий их достоинство, не может пользоваться авторитетом учащихся. Они, как правило, активно сопротивляются воздействию такого учителя даже тогда, когда он бывает прав.

Учитель несет ответственность за жизнь и здоровье учеников.

Педагог профессионально ответствен за душевное здоровье ученика. Репрессивная и агрессивная педагогика,  как считает доктор и педагог А.  А. Дубровский,  недопустима.  Его  «Советы раздражительному учителю»,  несомненно, заслуживают внимания педагога с точки зрения педагогической этики:

• не предъявляйте чрезмерных требований к ребенку,

• не впадайте в гнев, постарайтесь осмыслить ситуацию,

• не оскорбляйте и не кричите на ученика - это разрушает его психику.

   Педагогическая мораль определяет педагогическую целесообразность и необходимость установления партнерских отношений с учащимися за счет

1. уважения личности учащегося
2. обращения к учащимся по имени (звук собственного имени для человека – самая приятная мелодия; услышав его, ученик «автоматически» настраивается на доверительное общение с че ловеком)
3. исключения в общении с учащимися крика и оскорблений. При восприятии слов ребенок сначала реагирует на интона цию и лишь потом усваивает смысл сказанного. Крик педагога вызывает у ученика реакцию защиты и теряет  воздействующую силу.
4. планирования учебной и внеучебной деятельности совместно с учащимися
5. раскрытия и развития индивидуальности каждого учащегося в урочной и внеурочной деятельности
6. выявления и поощрения индивидуальных положительных качеств, достижений учащихся
7. учета мнения учащихся, признания собственной вины во всех возникающих проблемах
8. реализации на практике права учащихся на собственное убеждение и выбор.

 Требовательность  учителя  должна  быть  доброжелательной,  требовательностью  друга,  заинтересованного  в  судьбе  ученика.) .   Современный  преподаватель,  несомненно,  должен быть профессионалом,  мастером,  интеллектуалом,  психологом,  социологом, технологом, организатором, куратором, новатором, нравственным наставником, вдохновителем, другом. Эталоны  и  аксиомы  педагогического  профессионализма  -  это  то,  что должно неотъемлемо приниматься теми людьми, кто посвятил себя нелегкому труду: воспитанию и обучению подрастающего поколения. Он писа л:  «Наш опыт подтверждает,  что самой главной причиной возникновения неврозов,  таких как энурезы,  логоневрозы  (нарушение речевой функции), различные тики, истерии, юношеские гипертонии, фобии, является школа,   учебный   процесс,   связанный   с   перегрузками,   нервными   переживаниями,  перенапряжением,  дистрессовыми состояниями,  а если вникнуть глубже в суть дела, то все это можно выразить отсутствием установки на постоянную обеспокоенность охраной здоровья учеников учителем». Учитывая все эти факторы, педагог должен помнить, что он ответствен за полноценное развитие ребенка и его психическое здоровье.  

УВАЖЕНИЕ К ЛИЧНОСТИ УЧЕНИКА.  Подлинное уважение к детской  личности  проявляется,  прежде  всего,  в  педагогической  требовательности к ней,  в оказании помощи ученику в раскрытии своего собственного «я».  Требовательность должна быть реалистичной, выполнимой, понятной ученикам. Манера выражений требований учителем должна быть также достойной,  уважительной, тактичной.   Необходимо   избегать   крика,   скороговорок,   исключать   назидательный тон.  Уважение воспитанника педагогом обнаруживается в его способности удивляться уникальной одаренностью детской натуры, доверять внутренним    духовным  силам  учащихся.  «Эффект  человеческой  притягательности возникает    в учителе не только благодаря его эрудиции и интеллектуальной развитости. Он образуется как следствие таланта человеческого интереса, любви учителя к другому человеку. Это талант уважения личностиребенка, сочувствие   его проблемам и переживаниям, требовательной помощью ему в развитии духовности, интеллигентности, достоинства и самоуважения». (Б.Т. Лихачев).

 Эталоны и аксиомы нравственного профессионализма

Каждый педагог стремится стать профессионалом.  Существующие эталоны педагогического профессионализма позволяют создать некую модель учителя-мастера.  Ряд таких черт, безусловно, ориентирован на общечеловеческие ценности и обусловлен исторически передачей опыта от старшего поколения к младшему

Аксиома 1. Учитель должен уметь любить детей. 

Любить детей - это, прежде всего, понимать их и принимать их такими, какие они есть, со своими достоинствами и недостатками.  Педагог,  который  искусственно  делит  учащихся  на  «шалопаев»,  «перспективных», «трудных» и «обычных», может легко не разглядеть личность,  не увидеть чью-то судьбу.  Любовь к ребенку не есть позволение ему делать все, что он захочет. Уже педагогами прошлого было подмечено, что дисциплина не является воспитательной дубинкой.  Постоянные запреты типа  «нельзя»  либо делают воспитанника нечувствительным к слову педагога, либо вызывают дух противоречия. Разумные и постоянные требования приучают ученика к определенному стилю жизни. Стимулируемое любовью педагога волевое действие становится через какое-то время привычным. Поэтому в процессе воспитания необходимо дать ученику почувствовать, что его любят независимо от его проступков и внешних качеств.   Любить  ребенка  -  это  значит уметь к вникать в тревоги каждого воспитанника, уметь прийти вовремя на помощь,  уметь вслушиваться в настроения учащихся,  уметь входить в тайные пласты детского общества и быть принятым ими,  уметь своевременно разрешать противоречия школьной жизни.  Данное понятие проявляется на уровне сложившихся нравственных отношений с воспитанниками.  Эти отношения должны характеризоваться такими качествами, как: ƒ доверие, уважение, требовательность, чувство меры, справедливость, великодушие, доброта, ƒ взаимопомощь,  взаимопонимание,  взаимоуважение,  взаимная  требовательность и ответственность.

Аксиома 2. Учитель должен относиться к детям с уважением.

Учительский стол возвышает взрослого над детьми. Он не только диктует стиль, формы общения, но и обязывает уважать и оберегать личность ребенка. Я. Корчак остроумно заметил: «Высокий рост человека не есть свидетельство его превосходства над окружающими».

Аксиома 3.  Ученик - имеет право на незнание.

Часто неуважительная,  авторитарная позиция педагога по отношению к ученику объясняется тем, что школьник еще слишком мало знает и умеет по сравнению с самим учителем. Однако выдающиеся педагоги прошлого неоднократно констатировали тот факт, что учитель должен уважать детское незнание, поскольку как отметил еще Я. Корчак: «Дураков среди детей не более, чем среди взрослых».  Воспитанник согласен воспринимать знания и нормы поведения в обществе, если педагог уважает его «незнание» и, прежде чем приказывать и требовать, объясняет необходимость данных действий и советует, как лучше поступить.  Ученик имеет право не знать,  но он будет стремиться к познаниюпри правильно организованном воспитательно-образовательном процессе.

Аксиома 4. Злой учитель  -  непрофессионал.

Гнев, ярость, недовольство, несдержанность, ненависть, если они полностью овладевают сознанием педагога, отравляют ум ученика, вызывают психозы, неврозы и другие сопутствующие им состояния и болезни. Будущему педагогу  необходимо  научиться  сдерживать  свои   отрицательные  эмоции, быстро успокаиваться в сложных ситуациях. Постоянный самоконтроль вырабатывает умение не раздражиться в самых критических ситуациях. Но при этом педагог не перестает нетерпимо относиться к нарушению норм общественной  морали.  О  сдерживании  эмоций  в  человеческом  общении  писали многие выдающиеся люди. Так, Л. Фейхтвангер писал: «Когда вы гневаетесь на кого, не избегайте его близости. Подойдите к нему и поклонитесь ему, и выскажите спокойно,  без шипов злоречья все-все,  что причиняет вам досаду... И лучшим из вас будет тот, кто первым придет с поклоном». В.Г.  Короленко заметил остроумно:  «За собой следи,  чтобы не раздражаться: и людьми и лошадьми надо управлять, владея прежде всего собой».

Моральные принципы педагогического общения представляют собой одну из форм этического сознания педагога. В них выражаются наиболее обобщенные требования к этике общения педагога с учащимися. Принципы педагогического общения определяются целями воспитания, и в основе их лежит диалоговый характер взаимодействия педагога с учениками (18). Это принципы:
- ненасилия (право ученика быть тем, что он есть);
- паритетности взаимоотношений;
- уважения труда познания ученика;
- уважения неудач и слез ребенка;
- уважения тяжелой работы роста;
- уважения самобытности ученика;
- безусловной любви воспитателя к воспитаннику;
- оптимальной требовательности и уважения;
- опоры на положительное в ребенке;
- компромиссности спорных решений. Данные принципы подтверждаются практикой выдающихся педагогов.
 Поэтому на современном этапе модернизации образования соблюдение педагогами норм корпоративной этики является остро необходимым условием - условием эффективного существования организации.

учитель и родители ученика.

Успех воспитания учащихся зависит не только от отношения учителя к своим обязанностям, его подготовки, нравственно-психологического облика, но и от влияния той ближайшей микросреды, в которой живут и воспитываются дети.

Выделяя в системе нравственных отношений подсистему «учитель — родители ученика», нужно исходить из того, что семья — важнейший источник формирования нравственных позиций ребенка, закрепления его нравственно-психологических установок. Как показывают многие исследования, семейное воспитание накладывает глубокий отпечаток па формирование нравственных качеств личности. Семья является первичным коллективом, где ребенок приобретает некоторый жизненный опыт и приобщается к бытующим в обществе нормам морали.

     В школу приходит шестилетний человек, у которого уже сложились представления о хорошем и плохом, красивом и уродливом. Учитель должен знать не только то, какие представления сформировались у ребенка, но и в каких условиях происходило это формирование. Поэтому ему важно наладить контакт с родителями учащихся, сделать их союзниками в деле воспитания. Учителю и родителям важно стать взаимозаинтересованными людьми, потребности которых в доброжелательном общении стали бы естественными, органичными, послужили бы основой всей системы нравственных отношений.

Требования кодекса профессиональной этики по отношению к родителям учащихся:

• Сознание и нравственная ответственность перед родителями учащихся за результаты обучения и воспитания.
• Поиск контактов с родителями учащихся и осознание своей ответственности за организацию такого сотрудничества. Вы знаете, что родители учащихся и педагог – это две стороны, взаимно ответственные за воспитание ребёнка перед обществом. Педагогическая целесообразность этого требования основана на необходимости всесторонней информации о ребёнке и учёте её в работе педагога, а также на необходимости преодоления разнобоя в требованиях по отношению к ребёнку между сторонами. При этом контакты педагога с родителями учащихся должны носить постоянный характер. Причины нежелания педагога устанавливать контакты с родителями учащихся могут лежать в области высокой самоуверенности в своих педагогических возможностях, равнодушии, отсутствии чувства сознания и ответственности.
• Повышение авторитета родителей в глазах детей, умение оценить и показать детям наиболее значимые качества их родителей. Причём педагогическая целесообразность этого велика – педагог приобщает детей к важной стороне нравственности, заставляет их задуматься, с какими интересными и уважаемыми людьми они живут. Иногда педагогу, правда, приходится прибегать к усилиям, дабы преодолеть отчуждение, которое могло возникнуть в отношениях между ребёнком и его родителями. Педагог, который смог повлиять на рост авторитета родителей в глазах своих детей, поднимает и свой авторитет.
• Недопущение оскорбления родительских чувств необоснованной оценкой способностей, успеваемости и поведения детей. Ведь всякая небрежность и предвзятость в суждениях о детях ими переживается и передаётся своим родителям, которые чутко реагируют на это. Педагог обязан давать ученикам только объективную характеристику. Известна история, рассказанная Адлером. Адлер очень плохо учился в гимназии. Однажды учитель вызвал его отца и сказал ему, что его сын может быть только сапожником, поскольку совершенно не справляется с уроками.                                                                                                                                                                    Когда педагог осведомлён о семейных устоях и умеет понять родительские чувства, он говорит о ребёнке уважительно и со знанием дела, приобретая в родителях союзников в обучении и воспитании.
• Тактичное предъявление необходимых требований к родителям с целью улучшения воспитания детей и совершенствования педагогических взглядов их родителей, но без перекладывания на них своих обязанностей. Это означает, что родители могут в чём-то ошибаться, совершать непедагогические действия, в чём-то пренебрегать воспитанием детей, следовать устаревшим воззрениям – и педагог из соображений сотрудничества и создания благоприятных условий для педагогического процесса должен помочь развивать педагогическую культуру родителей, объяснять им зло педагогической безграмотности по отношению к их ребёнку. Однако при этом педагог не должен пытаться переложить свои обязанности на родителей, так как этим он расписывается в собственном педагогическом бессилии и нежелании нести ответственности за ученика.
• Анализ критических замечаний родителей учащихся по отношению к педагогу.Профессиональная мораль требует от педагога доброжелательного отношения к замечаниям родителей в его адрес. Хотя психологически педагогу далеко не всегда приятно бывает слышать критические замечания, так как многие их высказывающие мало осведомлены в педагогике вообще. Критика от родителей учащихся приобретает более конкретный и деловой характер, когда педагог сам организует родителей на неё, убедив их в том, что ему необходимо знать их мнение о том, правильно ли его понимают ученики и родители, имеются ли промахи в организации педагогического процесса. Требовательный к себе педагог с развитой самокритикой всегда найдёт в замечаниях родителей нечто полезное. Тем более, что при отсутствии критики недовольство родителей сохраняется, приводя к взаимному непониманию и недоверию к авторитету педагога. В конечном итоге родители должны оценивать и положительные качества педагога.

учитель и педагогический коллектив

Педагогическое влияние на учащихся оказывает не только отдельный учитель, но и весь учительский коллектив. Морально-педагогический облик учительского коллектива является одним из важных педагогических факторов, воздействующих на учащихся как непосредственно, так и опосредованно, через того или иного учителя.

Учительский коллектив обладает своей спецификой, влияющей и на взаимоотношения между его членами, а в конечном итоге — на морально-педагогический климат школы в целом.

В зависимости от характера отношений, сложившихся в коллективе, каждый из учителей может усиливать или ослаблять воспитательные возможности другого. Заслуживает внимания опыт организации педагогического коллектива на основе идеи коллективной ответственности за каждого воспитанника, за профессиональный рост каждого учителя, за повышение качества учебно-воспитательного процесса. Если в коллективе отношения между людьми создают обстановку сплоченности и доброжелательности, то они благоприятны для педагогического процесса. Отношения же недоброжелательности, создающие постоянную напряженность, конфликты и столкновения, вынуждают учителя отвлекаться от учебно-воспитательной работы на  регулирование своих отношений с коллегами.

Педагогический коллектив – сложное целое, объединенное общими педагогическими задачами, составленное из людей, различающихся между собой по возрасту и опыту, вкусам и интересам, специальности и педагогическим взглядам, нравственному уровню и интеллекту. Здесь встречаются семейные и несемейные, веселые и грустные, люди с разными типами нервной системы, характерами и темпераментами, с разным уровнем нравственного развития. Для того чтобы коллектив, собранный из столь разных людей, мог работать как единое целое, необходима согласованность усилий всех его участников.

 Общие этические принципы и характер делового общения в педагогическом коллективе.

ЭТИКА  ДЕЛОВОГО  ОБЩЕНИЯ.  Это  совокупность  нравственных норм, правил и представлений, регулирующих поведение и отношения людей в процессе их профессиональной деятельности. Этика делового общения затрагивает в большинстве случаев все сферы и уровни человеческих отношений. В педагогической области она является одной из важнейших сторон профессиональной деятельности педагогических работников. Этика делового общения может проявляться в отношениях:

- между  образовательным  учреждением  и  социальной  средой  в  целом

(контакты с другими предприятиями и учреждениями),

- между самими образовательными учреждениями,

- внутри данного образовательного учреждения:

     • между руководителем и педагогическим коллективом,

    • между  учителями  (членами  данного  педагогического  сообщества).

  В отношениях между сторонами того или иного вида делового общения существует своя специфика. Задача и состоит в том, чтобы сформулировать такие принципы делового общения, которые не только соответствовали бы каждому виду делового общения,  но и не противоречили общим нравственным принципам поведения людей и обществе. Деловое общение всегда должно проверяться этической рефлексией, оправдывающей мотивы вступления в него.  При этом сделать этически правильный выбор и принять индивидуальное решение часто дело не совсем простое.  Однако,  несмотря  на  всю  проблематичность  и  трудность  выбора нравственной позиции,  в деловом общении имеется ряд положений,  соблюдение которых позволяет избежать ряда ошибок :  

• в морали нет абсолютной истины и высшего судьи среди людей,

• когда идет речь об этических ошибках других, не следует делать из «моральных мух» «моральных слонов». Когда идет речь о своих ошибках, следует поступать наоборот:

• в морали следует хвалить других, а предъявлять претензии к себе,

• нравственное отношение окружающих к нам зависит, в конечном счете, только от нас самих,

• когда идет речь о практическом утверждении норм морали,  основной императив поведения - «начни с себя».

В деловом общении можно выделить три основных вида отношений.

Этика делового общения «сверху вниз» (руководитель — подчиненный). Правило данного контакта гласит:  «Относитесь к своему подчиненному так, как вы хотели бы, чтобы к вам относился руководитель». Отношение руководителя к подчиненным влияет на весь характер делового общения,  во многом определяет нравственно-психологический климат коллектива.  На этом уровне формируются нравственные эталоны и образцы поведения всех членов данного сообщества. Отметим некоторые из них:

• стремитесь превратить вашу организацию в сплоченный коллектив с высокими моральными принципами общения,

• замечание сотруднику должно соответствовать этическим нормам,

• укрепляйте у подчиненного чувство собственного достоинства,

• доверяйте сотрудникам и признавайте собственные ошибки,

• привилегии,  которые вы делаете себе,  должны распространяться и на

других членов коллектива.

Этика делового общения «снизу вверх» (подчиненный - руководитель).

Правило данного контакта гласит:  «Относитесь к своему руководителю так, как вы хотели бы, чтобы к вам относились ваши подчиненные». Используя те или иные этические нормы,  можно привлечь руководителя на свою сторону, сделать своим союзником, но можно и настроить против себя, сделать своим недоброжелателем. Ниже приведены некоторые этические принципы и нормы, которые можно использовать в деловом общении с руководителем:

• не пытайтесь навязывать руководителю свою точку зрения или командовать им. Высказывайте ваши предложения или замечания тактично и вежливо,

• не разговаривайте с начальником категорическим тоном,  не говорите всегда только «да» или «нет». Вечно поддакивающий сотрудник надоедает, а тот, кто всегда говорит « нет», служит постоянным раздражителем.

• будьте преданны и надежны,  но не будьте подхалимом.  Имейте свой характер и принципы,

• не стоит обращаться за советом, с предложением и т. д. «через голову», сразу к руководителю вашего руководителя. Ваш непосредственный руководитель в этом случае теряет авторитет и достоинство.

Этика  делового  общения  «по  горизонтали»  (между  руководителями одного ранга или рядовыми членами коллектива). Общий этический принцип данной формы общения:  «В деловом общении относитесь к своему коллеге так, как вы хотели бы, чтобы он относился к вам». Некоторые принципы общения «по горизонтали» приведены ниже:

• не требуйте к себе какого-либо особого отношения или особенных привилегий со стороны другого,

• попытайтесь достичь четкого разделения прав и ответственности в выполнении общей работы,

• не давайте обещаний, которые вы не можете выполнить,

• рассматривайте вашего коллегу как личность, которую следует уважать саму по себе, а не как средство для достижения ваших собственных целей,

• не лезьте человеку в душу. На работе не принято спрашивать о личных делах, а тем более о проблемах,

• не старайтесь показаться лучше, умнее, интереснее, чем вы есть на самом деле.

Вывод:      “Нравственность учителя, моральные нормы, которыми он руководствуется в своей профессиональной деятельности и жизни, его отношение к своему педагогическому труду, к ученикам, коллегам – всё это имеет первостепенное значение для духовно – нравственного развития и воспитания обучающихся. Никакие воспитательные программы не будут эффективны, если педагог не являет собой всегда главный для обучающихся пример нравственного и гражданского личностного поведения” (“Концепция духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России”)  Учитель, обладающий высоким уровнем педагогической культуры, любит детей, защищает их права и интересы, заботится об их здоровье, проявляет доброту и уважение к школьнику независимо от успехов в учении, понимает психологию школьника, владеет глубокими и разносторонними знаниями по предмету, творчески подходит к обучению и воспитанию, во всех ситуациях проявляет высокую культуру поведения

 Педагогическая культура учителя,  является важным элементом его профессиональной деятельности. Она требует постоянного совершенствования в целях соответствия всем задачам профессионального обучения и воспитания. При этом важно, чтобы учитель уделял достаточное внимание состоянию педагогической техники и принимал необходимые меры по ее развитию и совершенствованию в процессе своей профессиональной деятельности. Этому во многом способствует знание и соблюдение требований педагогической этики.

Список литературы.

1. Григорович Л.А. Педагогика и психология: Учебное пособие для студентов вузов / Л.А. Григорович,

     Т.Д. Марцинковская.  М.: Гардарики, 2003.

2.   Словарь по этике / Под ред. И. С. Кона. - 5-е. изд. - М., 1983.

3.   Гойхман О.  Я.,  Надеина Т.  М. Основы речевой коммуникации:  Уч-к

для вузов / Под ред. проф. О. Я. Гойхмана. - М.: ИНФРА, 1997. - 272 с. .

 4.  Психология и этика делового общения: Уч-к для вузов / В. Ю. Доро-

шенко, Л. И. Зотова и др.; Под ред. проф. В. Н. Лавриненко. - 2-е. изд. - М.:

ЮНИТИ, 1997. - 279 с.

5.   Лаврентьева, Н.Б., Нечаева, А.В. Педагогическая этика / Н.Б. Лаврен-

тьева, А.В. Нечаева. – Барнаул: изд-во АлтГТУ, 2010.

6.Сухомлинский В. А. Сердце отдаю детям. - Киев, 1969. - С. 83.

Профессиональная культура учителя / Под ред. В.А.Сластенина. - М., 1993.
7. .   Я. Котигер, В. Чамлер. Педагогическая этика. Кишинев, 1984.Наумчик В.Н. и др. Этика педагога. - М: Изд-во "Университетское", 1999

 О профессиональной этике педагога // Сибирский учитель. - Декабрь. - 2000. - №11 (спецвыпуск)

     8.   В. Писаренко, И. Писаренко. Педагогическая этика. Минск, 1986

     9.   И. Чернокозов. Профессиональная этика учителя. Киев, 1988

Министерство образования Московской  области.

Государственное общеобразовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов Московской области.

Педагогическая академия последипломного образования.

Факультет естественно-математического образования.

Кафедра методики преподавания физики и математики.

Реферат «Нахождение множества значений функции»

                                         Учитель  математики МОУ СОШ № 16 имени Героя

                                                           Советского Союза Сережникова А. И.                          

                                                            Карнаухова Ольга Анатольевна

                                                                    Москва 2017 г.

НАХОЖДЕНИЕ МНОЖЕСТВА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ.

Задачи на нахождение множества значений функции вызывают немалые затруднения у учащихся. Такие задачи неизменно содержатся в заданиях различных математических тестов и испытаний и, в частности, в заданиях единого государственного экзамена (ЕГЭ).  Например, в заданиях ЕГЭ-2007  к нахождению множества значений функции сводится задача С3 по исследованию неравенства с параметром, а в заданиях ЕГЭ-2008 с этой темой связаны задачи высокого уровня сложности С3 и С5, не говоря уже о более простых задачах уровней сложности А и Б. Целью  данного реферата является ознакомление с методами нахождения множества значений функции.

Для успешного нахождения множества значений функции надо хорошо знать свойства основных элементарных функций, особенно их области определения, области значений и характер монотонности. Приведем свойства непрерывных, монотонных и дифференцируемых функций, наиболее часто используемые при нахождении множества значений функции.

• Если функция ƒ (x) непрерывна и возрастает на отрезке [а; b], то множество значений функции на этом отрезке есть отрезок [ƒ(a), ƒ(b)]. При этом каждое значение  А ∈ [ƒ(a), ƒ(b)] функция принимает ровно при одном значении x ∈  [а; b], т.е. уравнение ƒ (x) = А имеет единственный корень на отрезке [а; b]. Если же       ƒ (x) – непрерывная и убывающая на отрезке [а; b] функция, то ее множество значений на [а; b] есть отрезок [ƒ(b), ƒ(a)].
•  Если функция ƒ (x) непрерывна на отрезке [а; b]    и   m = min ƒ (x),  М = max ƒ (x)                                                                                                                              

                                                                                                           [а; b]                    [а; b]                                 

       - ее  наименьшее и наибольшее значения на этом отрезке,  то множество значений ƒ (x) на [а; b] есть отрезок [m; M].

3.      Если функция непрерывна на отрезке [а; b] и дифференцируема (имеет производную) в интервале (а; b), то наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [а; b] существуют и достигаются либо на концах отрезка, либо в критических точках функции, расположенных на отрезке.

Свойства  2 и 3, как правило, используются вместе со свойством элементарной функции быть непрерывной в своей области определения. При этом наиболее простое и краткое решение задачи на нахождение множества значений функции достигается на основании свойства 1, если несложными методами удается определить монотонность функции. Решение задачи еще упрощается, если      

                                                              2

функция, вдобавок, - четная или нечетная, периодическая и т.д. Таким образом, при решении задач на нахождение множества значений функции следует по мере надобности проверять и использовать следующие свойства функции:

непрерывность;

монотонность;

дифференцируемость;

четность, нечетность, периодичность и т.д.

Несложные задачи на нахождение множества значений функции в большинстве своем ориентированы:

а) на использование простейших оценок и ограничений          

              (x2  ≥  0,  2x  > 0,   - 1 ≤ sin x ≤ 1,  0 ≤ cos2 x ≤ 1 и т.д. );

б) на выделение полного квадрата            (x2 – 4x +7 = (x - 2)2 + 3 );

в) на преобразование тригонометрических выражений  

                     (2 sin2 x – 3 cos2 x  + 4 = 5 sin2 x + 1);

г) использование монотонности функции    (+ 2x-1 возрастает на R).

Примеры для самостоятельного решения среднего уровня сложности В на эти методы приводятся в конце реферата.

Более сложные задачи на нахождение множества значений функции рассчитаны на :

а) последовательное нахождение значений сложных аргументов функции;

б) метод оценок;

в)использование свойств непрерывности и монотонности функции;

г) использование производной ;

д) использование наибольшего и наименьшего значений функции;

е) графический метод;

ж) метод введения параметра;

з) метод обратной функции.

Раскроем суть этих методов на конкретных примерах.

                                                                       3

Пример 1.     Найдите область значений  Е(у)  функции    у = log0.5 (4 – 2*3x – 9x ).

Решим  этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию

           у =   log0.5 ( 5 – (1 + 2*3x + 32x)) = log0.5  (5 – ( 3x + 1)2)                                            и последовательно найдем множества значений ее сложных аргументов:

                Е(3x) = (0; + ∞ ),   Е(3x + 1) =  (1; + ∞ ),

                      Е(- (3x  + 1)2)  = (- ∞; - 1 ),  

                       Е(5 – (3x + 1)2) = (- ∞ ; 4).

Обозначим t = 5 – (3x + 1)2 , где t ∈ (- ∞ ; 4).

Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функций   у =   log0.5 t на луче (- ∞ ; 4). Так как функция   у =   log0.5 t   определена лишь при t ∈ (0; + ∞), то ее множество значений на луче  (- ∞ ; 4) совпадает с множеством значений функции на интервале (0; 4), представляющем собой пересечение луча (- ∞ ; 4) с областью определения (0; + ∞ ) логарифмической функции. На интервале (0; 4) эта функция непрерывна и убывает. При t → 0 она стремится к  +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому Е(у)   = ( -2, + ∞).

Заметим, что для решения примера вовсе не требовалось находить предварительно область определения исходной функции, хотя в ходе решения примера обойти эту проблему полностью все же не удалось.

Пример 2.   Найдите область значений функции  у = cos7x + 5cosx.

Решим этот пример методом оценок, суть которого состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценки. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у нее других значений.

Из неравенств -1 ≤ cos7x ≤ 1,  - 5 ≤ 5cosx ≤ 5 получим оценку  - 6 ≤ у ≤ 6. При x = π и  x = 0  функция  принимает  значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы

                                                                       4

оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций cos7x и cosx, функция   у непрерывна на всей числовой оси, поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств      - 6 ≤ у ≤ 6 другие значения у нее невозможны. Следовательно, Е(у)  = [-6; 6].

Наиболее распространенная ошибка при нахождении множества значений функции методом оценок состоит в следующем. На основании полученной оценки, например неравенств А≤ ƒ (x) ≤ В, делается ошибочно заключение, что множество значений функции есть отрезок [А; В], в то время как такое заключение можно сделать лишь тогда, когда функция непрерывна на рассматриваемом промежутке и на нем имеются точки, в которых функция принимает значения   А  и  В  (достигает нижней  А  и верхней  В  границы оценки). В общем случае неравенства  А≤ ƒ (x) ≤ В  лишь означают, что множество значений функции принадлежит отрезку [А; В], и вовсе не означают, что множество значений функции совпадает со всем отрезком [А; В]. Например, значения функции ƒ (x) = cos2x + 2cosx удовлетворяют неравенствам  – 3 ≤ ƒ (x) ≤ 3. Однако нет таких значений  х , при которых функция принимала бы  значение  -3, поэтому на основании неравенств   – 3 ≤ ƒ (x) ≤ 3 можно лишь утверждать о принадлежности множества значений функции отрезку [- 3; 3]. На самом деле, как будет показано в следующем примере,   Е(ƒ)  = [-1,5; 3].

Пример 3.        Найдите область значений  Е(ƒ) функции ƒ (x) = cos2x + 2cosx.

                                                                        5

По формуле косинуса двойного угла преобразуем функцию ƒ (x) = 2cos 2 x + 2cosx -1 и обозначим  t = cosx. Тогда ƒ (x) = 2 t2 +2 t – 1. Так как  Е(cosx)  = [-1; 1], то область значений функции ƒ (x) совпадает с множеством значений функции    g(t) = 2t2 + 2t – 1  на отрезке [-1; 1], которое найдем графическим методом. Построив график функции               у = 2t2 + 2t – 1 = 2(t + 0,5)2 – 1,5 на промежутке [-1; 1], находим     Е(ƒ) = [-1,5; 3].

К нахождению множества значений функции сводятся многие задачи с параметром, связанные, в основном, с разрешимостью и числом решений уравнений и неравенств. Например, уравнение ƒ (x) = а  разрешимо тогда и только тогда, когда  а ∈ Е(ƒ). Аналогично, уравнение ƒ (x) = а   имеет хотя бы один корень, расположенный на некотором промежутке  Х , или не имеет ни одного корня на этом промежутке тогда и только тогда, когда   а   принадлежит или не принадлежит множеству значений функции       ƒ (x)   на промежутке Х. Так же исследуются с привлечением множества значений функции и неравенства  ƒ (x) ≠ а, ƒ (x) > а    и т.д. В частности, ƒ (x) ≠ а  для всех допустимых значений x , если а  ∉  Е(ƒ).

Пример 4.      При  каких значениях параметра а  уравнение   = а (x2 + 4) имеет единственный корень на отрезке = [-4; -1].

Запишем уравнение в виде     = а.   Последнее уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [-4; -1] тогда и только тогда, когда а  принадлежит множеству значений

 функции  ƒ (x) =    на отрезке [-4; -1].  Найдем это множество, используя свойство непрерывности  и монотонности функции.

На отрезке [-4; -1] функция   у = x2 + 4 не прерывна, убывает и положительна, поэтому функция  g(x) =   непрерывна и возрастает на этом отрезке, так как при делении на положительную функцию характер монотонности функции меняется на противоположный. Функция   h(x)=    непрерывна   и возрастает в своей области определения   D(h) = [-5; + ∞)  и, в частности, на отрезке [-4; -1], где она, кроме того, положительна. Тогда функция  ƒ (x) = g(x) * h(x), как произведение двух непрерывных, возрастающих и положительных функций, также непрерывна и возрастает на отрезке  

                                                                      6

    [-4; -1], поэтому ее множество значений на [-4; -1] есть отрезок  [ƒ (- 4); ƒ (- 1)] = [0,05; 0,4] Следовательно , уравнение имеет решение на отрезке [-4; -1], причем единственное (по свойству непрерывной монотонной функции), при   а  ∈  [0,05; 0,4].

Как уже отмечалось, разрешимость уравнения  ƒ (x) = а   на некотором промежутке Х равносильна принадлежности значений параметра  а  множеству значений функции ƒ (x) на Х . Следовательно, множество значений функции ƒ (x) на промежутке Х совпадает с множеством значений параметра  а , для которых уравнение  ƒ (x) = а    имеет хотя бы один корень на промежутке Х . В частности, область значений  Е(ƒ)  функции  ƒ (x) совпадает с множеством значений параметра  а , для которых уравнение  ƒ (x) = а имеет хотя бы один корень.

Пример 5.      Найдите область значений  Е(ƒ)  функции  ƒ (x) =  .

Решим  пример методом введения параметра, согласно которому Е(ƒ)  совпадает с множеством значений параметра  а, для которых уравнение                                                   = а ⟺  = а() ⇔ (2 - а) x2 - 4x + 1 - 3а = 0   имеет хотя бы один корень.

При  а = 2 уравнение  является линейным  -4x – 5 = 0 с ненулевым коэффициентом при неизвестной  x , поэтому имеет решение.  При  а ≠ 2 уравнение является квадратным, поэтому оно разрешимо тогда только тогда, когда его дискриминант

D ≥ 0 ⇔  ≥ 0 ⇔ 3а2 - 7 а – 2 ≤ 0 ⇔  ≤ а ≤  .

Так как точка а = 2  принадлежит отрезку  [; ], то искомым множеством значений параметра  а  , значит, и областью значений Е(ƒ)  будет весь этот отрезок.

Как  непосредственное развитие метода введения параметра при нахождении множества значений функции, можно рассматривать метод обратной функции, для нахождения которой надо решить относительно x уравнение  ƒ (x) = у, считая  у 

                                                                    7

параметром. Если это уравнение имеет единственное решение  x = g(у) , то области значений  Е(ƒ)    исходной функции ƒ (x) совпадает с областью определения   D (g ) обратной функции  g(у). Если же уравнение  ƒ (x) = у  имеет несколько решений  x = g1(у), x = g2(у) и т.д.,  то Е(ƒ)    равна объединению областей определений функции  g1(у),  g2(у) и

т.д.      

Пример 6.    Найдите область значений  Е(у)  функции  у = .

Из уравнения = у ⇔  = log5 у ⇔ 3x =   найдем обратную функцию  x = log3 ()  и  ее область определения D (x) :

 > 0 ⇔ [log5 у > 2   log5 у < 0  ⇔ [ у > 25    0< у < 1  ⇔ D (x) = (0; 1) ∪ (25; + ∞).

Так как уравнение относительно  x  имеет единственное решение, то

Е(у)   = D (x) = (0; 1) ∪ (25; + ∞).

Если область определения функции состоит из нескольких промежутков или функция на разных промежутках задана разными формулами, то для нахождения области значений функции надо найти множества значений функции на  каждом промежутке и взять их объединение.

Пример 7.               Найдите области значений функции  ƒ (x)  и  ƒ(ƒ (x)), где

ƒ (x)   = { 4x + 9 * 4-x + 3, x ≤ 1

         ƒ (x)  ={ 2cos   + 7,  x > 1.

Найдем сначала множество значений функции ƒ (x)  на луче ( -∞; 1], где она совпадает с выражением   4x + 9 * 4-x + 3. Обозначим  t = 4x. Тогда  ƒ (x) = t +  + 3, где t ∈ (0; 4], так как показательная функция  t = 4x  непрерывно возрастает на луче ( -∞; 1] и стремится к нулю при x → - ∞. Тем самым множество значений функции ƒ (x)  на луче  

                                                                     8

    ( -∞; 1] совпадает с множеством значений функции g(t ) = t +  + 3 на промежутке (0; 4], которое найдем, используя производную gʹ(t ) = 1 - . На промежутке (0; 4] производная gʹ(t ) определена и обращается там в нуль при   t  = 3. При  0 < t < 3 она отрицательна, а при 3 < t < 4 положительна. Следовательно, в интервале  (0; 3) функция  g(t ) убывает, а в интервале  (3; 4) она возрастает, оставаясь непрерывной на всем промежутке (0; 4], поэтому  g(3) = 9 – наименьшее значение этой функции на промежутке (0; 4], в то время как ее наибольшее значение не существует, так при  t → 0 справа функция  g(t ) → +∞. Тогда, по свойству непрерывной функции, множеством значений функции g(t ) на промежутке (0; 4], а значит, и множеством значений   ƒ (x)  на ( -∞; 1], будет луч [9; + ∞).

При  x > 1 функция  ƒ (x)  совпадает с выражением   2cos + 7. Квадратный кореньпри x > 1 определен и принимает все положительные значения, поэтому cos принимает все значения от -1 до 1 включительно, а выражение  2cos + 7 принимает все значения от 5 до 9  включительно. Следовательно, множеством значений функции  ƒ (x)   на луче (1; + ∞) будет отрезок [5; 9].

Теперь, объединив промежутки [9; + ∞) и [5; 9] – множества значений функции  ƒ (x)   на лучах  ( -∞; 1] и (1; + ∞) соответственно, найдем ее область значений  Е(ƒ)  = [5; + ∞).

Чтобы найти область значений функции  ƒ(ƒ (x)),  обозначим t = ƒ (x). Тогда ƒ(ƒ (x)) = ƒ (t), где t ∈ Е(ƒ)  ⇔ t ∈ [5; + ∞). При указанных t функция   ƒ (t) = 2cos   + 7 и она снова принимает все значения от 5 до 9 включительно,   т.е. область значений                  Е(ƒ2) =   Е( ƒ(ƒ (x))) =   [5; 9].

Аналогично, обозначив z = ƒ(ƒ (x)), можно найти область значений Е(ƒ3) функции      ƒ ( ƒ(ƒ (x))) = ƒ(z), где z  [5; 9], и т.д. Убедитесь, что Е(ƒ3) = [2cos + 7; 2cos2 + 7].

Наиболее универсальным методом нахождения множества значений функции  является использование наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке.

Пример 8.           При каких значениях параметра  р  неравенство 8x – р ≠ 22x+1 – 2x  выполняется для всех x ∈ [- 1; 2).

                                                                    9

Обозначив  t = 2x , запишем неравенство в виде   р ≠ t3- 2 t2 + t. Так как t = 2x – непрерывная возрастающая функция на R , то при x ∈ [- 1; 2) переменная  t ∈ [2-1; 22) ⇔ t ∈ [0,5; 4), и исходное неравенство выполняется для всех x ∈ [- 1; 2) тогда и только тогда, когда  р отлична от значений функции ƒ (t) = t3- 2 t2 + t при t ∈ [0,5; 4).

Найдем сначала множество значений функции ƒ (t) на отрезке [0,5; 4], где она всюду имеет производную ƒʹ (t) = 3 t2 - 4 t + 1. Следовательно, ƒ (t) дифференцируема, значит, и непрерывна на отрезке  [0,5; 4]. Из уравнения   ƒʹ (t) = 0 найдем критические точки функции  t =  , t = 1, первая из которых не принадлежит отрезку [0,5; 4], а вторая принадлежит ему. Так как  ƒ (0,5) =  , ƒ (1) = 0,  ƒ (4) = 36, то, по свойству дифференцируемой функции, 0 – наименьшее, а 36- наибольшее значение функции ƒ (t) на отрезке [0,5; 4]. Тогда ƒ (t), как непрерывная функция, принимает на отрезке [0,5; 4]  все значения от 0 до 36 включительно, причем значение 36 принимает только при t = 4, поэтому при  t ∈ [0,5; 4)  она принимает все значения из промежутка [0; 36)  . Тем самым  р ∉ [0; 36)   ⇔ р ∈ (- ∞; 0) ∪ [36; +∞).

Приведенные примеры охватывают лишь малую часть всевозможных примеров на нахождение множества значений функции.

Для нахождения множества значений некоторой сложной функции обычно требуется пошагово оценивать возможные значения входящих в первоначальную функцию элементарных функций и на последнем шаге прийти к решению поставленной задачи — найти множество значений исходной функции. Для проведения всех шагов необходимо знать множества значений элементарных функций. Продемонстрируем сказанное на примерах.

    Пример 1. Найдите множество значений функции .

 Решение:

125 + x 4  ≥ 125;

log5 (125 + x4)  ≥ log5 125;

log5 (125 + x4)  ≥ 3;

13 +  log5(125 + x4)  ≥ 16;

  ≤   = 5

  ≤  5

Логарифм по основанию, меньшему единицы — убывающая функция, поэтому:      

                                                                              10

Log0.2(  ) ≥  Log0.2 5 = -1        

       y ≤ – 1; y ∈ [–1; +∞).

Oтвет:  [–1; +∞).

    Пример 2. Найдите множество значений функции .

 Решение:

7 + |x|  ≥ 7;

log7(7 + |x|) ≥ log77 = 1;

10 + log7(7 + |x|) ≥ 11;

  ≥ 

 (  ) ≤ 

y  ≤ 1; y ∈ (– ∞; 1].

Oтвет:  (–; 1].

    Пример 3. Найдите множество значений функции .

 Решение:

4 + x4  ≥ 4;

log4(4 + x4) ≥  log44 = 1;

log4(4 + x4) + 47  ≥ 48;

  ≥ 16

log 0.25 ( ) ≤  log 0.25 16

y  ≤ log0,25(0,25) – 2;

y ≤ –2; y ∈ (– ∞; –2]

Oтвет: (–∞; –2].

                                                                               11

    Рассмотрим другой тип заданий — найти множество значений некоторой функции при заданных значениях аргумента.

    Пример 4. Найдите множество значений функции y = sin2x, если .

Решение: Так как arccos x — убывающая функция, то arccos  > arccos  =

так что arccos  >  ;  2 arccos  >

 .

Тогда  < 2 arccos 2x ≤   ,то есть 2x находится во второй четверти, так что sin 2x — убывает.

Значит , sin   ≤ sin 2x ≤ sin (2 arccos )

Sin (2 arccos = 2 sin (arccos ) * cos (arccos ) = 2 *   *  =  *  =  *  =

Так что   ≤ sin2x ≤ ;  y ∈ [  ]

Oтвет: . [  ]

    Пример 5. Найдите множество значений функции y = cos2x, если .

 Решение: Заметим, что -  < - arctg   < 0 < < arctg 2; так что   -  < -2 arctg  < 0 <  < 2arctg 2.

Тогда при  x ∈ [- arctg   ; arctg 2] функция cos 2x достигает максимума                          cos(2 • 0) = cos 0 = 1.

Также cos (- 2arctg   ) > 0, так как -  < -2 arctg  < 0, а cos(2arctg 2) < 0, так как arctg 2 > .

Так что минимум cos 2x достигается при x = arctg 2;

cos(2arctg 2) = 2cos2(arctg 2) – 1 =  -1 =  -1 = -

Так что –0,6 ≤ y  ≤ 1.

Oтвет: [–0,6; 1].

                                                                             12

    Пример 6. Найдите множество значений функции y = cos2x, заданной на отрезке [–arcsin0,4; arccos0,4].

 Решение: Заметим, что -  < -arcsin 0.4 < 0 <  < arcsin 0.4

Так что -  < - 2arcsin 0.4 < 0 ,   < 2arccos 0.4 < π

Функция y = cos 2x достигает на отрезке [–arcsin 0,4; arccos 0,4] своего максимума в точке x = 0: y(0) = cos 0 = 1.

Найдем минимум: cos(–2arcsin 0,4) > 0, а cos(2arccos 0,4) < 0.

Так что минимум равен y(arccos 0,4) = cos(2arccos 0,4) = 2cos2(arccos 0,4) – 1 = 2 • (0,4)2 – 1 = –0,68.

Так что y ∈  [–0,68; 1]..

Oтвет: [–0,68; 1].

                                                                 13

Список литературы

• Сильвестров В. В. Множество значений функции : Учебное пособие. – Чебоксары, 2004.
• Амелькин В. В. , Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. – Минск, 1996.
• Горнштейн П. И., Пилонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. – Москва-Харьков, 1998.
• Мочалов В. В., Сильвестров В. В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. 4-е изд., доп., перераб. – М., 2006.
• Сильвестров В. В. Неравенства с параметром на едином государственном экзамене // Математика для школьников. 2008. № 2

                                                                            14

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №2 по геометрии  7 класса.

Признаки равенства треугольников.

                                                              I вариант.

1. Задача:

В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведены биссектрисы  АD и CF равных углов САВ и АСВ соответственно. Докажите, что ∆ ADB=∆CFB.

2. Задача:

Треугольники АВС и АОС равнобедренные с общим основанием. Точки В и О лежат в разных плоскостях относительно прямой АС. Докажите, что ∆АОВ= ∆СОВ.

3. Задача:

Докажите, что если основание и боковая сторона одного равнобедренного треугольника равны основанию и боковой стороне другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

                                                              II вариант.

1. Задача:

По разные стороны от прямой АВ отмечены точки С и D  так, что луч АВ является биссектрисой угла DAC, а луч ВА- биссектрисой угла DBC. Докажите, что ∆DAB = ∆CAB.

2. Задача:

Треугольники АВС и АОС равнобедренные с общим основанием. Точки В и О лежат в одной плоскости относительно прямой АС. Докажите, что ∆АОВ = ∆СОВ.

3. Задача:

Докажите, что если основание и угол при основании одного равнобедренного треугольника равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.