Исследовательская работа на тему "Способы решения задач с параметрами"
проект (10, 11 класс) на тему

Слайд 1

Исследовательская работа на тему: «Способы решения задач с параметрами»

Слайд 2

Актуальность: Тема моей исследовательской работы наиболее актуальна , так как затрагивает современную проблему, знакомую каждому выпускнику, а именно – высокорезультативное решение задач Единого Государственного Экзамена. Задачи с параметрами традиционно - это одна из самых трудных тем ЕГЭ. Поэтому уже сейчас, учась в 10 классе, пока « не поджимает время», надо приложить максимум стараний, чтобы разобраться в способах решения этих трудных, но в то же время, красивых задач.

Слайд 3

Цель работы: Научиться решать задачи с параметрами наиболее легкими способами Задачи: 1. Найти и изучить литературу по теме исследования. 2. Разобраться, что такое параметр и задачи с параметром 3. Исследовать разновидности задач с параметрами 4. Исследовать способы решения задач с параметрами и выбрать из них для себя 2 самых лёгких 5. Потренироваться в решении задач с параметрами выбранными способами

Слайд 4

Гипотеза: Убедиться , что метод мажорант и графический метод- самые лёгкие методы решения Объект исследования: Задачи с параметрами Предмет исследования: Способы решения задач с параметрами Методы работы: 1. Исследовательский ( изучение литературы) 2. Эксперимент (исследование изменения вида кривой, в зависимости от параметров входящих в её уравнение)

Слайд 5

При подготовке данного материала я прочитала большое количество тематических книг, в которых описывались различные способы их решения: аналитический, графический, метод, симметрии, метод областей, метод мажорант, метод , использующий производную. В ходе исследования я поняла, что наиболее лёгкими и наглядными для меня оказались графический способ и способ мажорант .

Слайд 6

Что такое параметр? Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным числом

Слайд 7

Основные типы задач с параметрами? Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить

Слайд 8

Основные типы задач с параметрами? Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений

Слайд 9

Основные типы задач с параметрами? Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Слайд 10

Основные типы задач с параметрами? Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Слайд 11

Графический способ решения задач с параметром Задачу с параметром можно рассматривать как функцию f (x; a) = 0 1. Строим графический образ 2. Пересекаем полученный график прямыми параллельными оси абсцисс 3. «Считываем» нужную информацию

Слайд 12

Пример 1 Найдите все значения параметра а , при которых уравнение имеет единственное решение. Правая часть этого уравнения задает неподвижный «уголок», левая – «уголок», вершина которого двигается по оси абсцисс. 2 х у - 2 - 4 4 0 А В РЕШЕНИЕ.

Слайд 13

Очевидно, что данное уравнение будет иметь единственное решение, если вершина движущегося «уголка» попадет в точку А, или точку В. Имеем, тогда А(-4; 0), В(-2; 0) и координаты этих точек удовлетворяют уравнению Ответ: В 2 х у - 2 - 4 0 А

Слайд 14

Данное уравнение равносильно совокупности следующих двух уравнений: Количество решений данного уравнения - это число точек пересечения графика данного уравнения с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ х а 0 - 1 1 Пример 2 Найти количество корней уравнения в зависимости от параметра а 1

Слайд 15

Пример 3. Сколько решений имеет система в зависимости от параметра а ? x y 2 -2 2 - 2 1 -1 1 Графиком второго уравнения является неподвижная окружность с центром в начале координат и радиусом 1 Графиком первого уравнения является семейство квадратов с вершинами в точках 4 решения при а = 1 решений нет при 8 решений при 4 решения при решений нет при Ответ: решений нет, если 8 решений, если 4 решения, если 0

Слайд 16

0 х у а Ответ: 0 < а < 4 4 Пример4 При каких значениях а уравнение l х ² -4х l =а имеет четыре решения? Построим графики функций: у= l х ² -4х l , у=а 4

Слайд 17

Пример5 При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений? 0 х у 1 -√2 Ответ: 1) уравнение не имеет решения при а >√2 , а < -√2; 2) Уравнение имеет два решения при 1≤а < √2 Решение: А Δ АВО-прямоугольный, равнобедренный; Проведем ОК┴АВ, ОК=КВ=АК=1; ОВ=√2 Имеет два решения? Решим уравнение графически. Построим графики функций в одной системе координат. у а У=√1-х ² √ 2 у=а-х В К

Слайд 18

При каких значениях параметра а система уравнений имеет 4 решения? 8 решений? Не имеет решений? 0 3 х у 3 -3 -3 l х l + l у l =3 х ² +у ² =а Пример6 1,5√2 Ответ: 1) 4 решения при а=4,5 и а=9; 2) Система уравнений Имеет 8 решений при 4,5 9 . √ а Δ АВС-прямоугольный, равнобедренный; Проведем ОК┴АВ, ОВ=3, АВ=3√2 ОК=КВ=АК=1,5√2; А В К а≥0 1,5 √2

Слайд 19

Пример7 При каком наибольшем значении а система уравнений имеет решение? (х-3 ² +(у+1) ² ≤1, (х+1) ² +(у-2) ² =а+5 Решение: х ² +у ² -6х+2у+9≤0, х ² +у ² +2х-4у=а 2 х у 0 Ответ: а=31. 3 -1 -1 А В С R =√а+5 АВ=√(3+1) ² +(2+1) ² =5 АС=5+1=6 √ а+5=6, а=31.

Слайд 20

8) Найдите все значения параметра а , при которых количество корней уравнения равно количеству общих точек линий и Уравнение задает неподвижный уголок. Уравнение задаёт семейство окружностей с центром в начале координат и радиусом Построим эскизы этих линий и определим из рисунка количество их общих точек. х у 1 решение при 2 решения при 3 решения при 4 решения при 3 решения при 2 реш. при 1 решение при нет решение при 2 -2 3 3 1 5 А В С О

Слайд 21

Запишем первое уравнение в виде Заметим, что х = 0 – корень не зависимо от параметра а . Уравнение может иметь 0, 1 или 2 решения в зависимости от параметра а и дискриминанта . а = 5; а = 1 Три решения Два решения одно решение совокупность линий первое уравнение Осталось заметить, что условие задачи выполняется только в трех точках при Ответ:

Слайд 22

Задачи, взятые из материалов ЕГЭ прошлых лет

Слайд 23

Решение. Рассмотрим сумму данных выражений t у 0 -4 1 2 5 12 Сумма данного выражения равна 1, при пересечения параболы с горизонтальной прямой . По рисунку «считываем» ответ Построим в прямоугольной системе координат график параболы и прямые у = а, учитывая ОДЗ: t  [1;2] . Ответ: a  [5;12] Пусть тогда уравнение примет вид 9) При каких значениях параметра а сумма и равна 1 хотя бы при одном значении х ?

Слайд 24

10) Найдите все значения параметра а, для которых при каждом х из промежутка (4;8 ] значение выражения не равно значению выражения Введем новую переменную: тогда уравнение примет вид: График левой части – парабола f (t) , график правой части – прямая g(t) . -8 t 3 2 - 4 1 Решим задачу при условии равенства данных выражений. Значит условие исходной задачи выполняется при 0 у

Слайд 25

Мажорантой называется такое число М, что либо , либо для всех Метод мажорант

Слайд 27

Выводы Графический способ и способ мажорант являются наиболее наглядным, простым и доступным способами решения задач с параметрами 2. К сожалению, данные методы применимы не всегда . 3. Решение задач с параметрами развивает творческие способности.

Слайд 28

Внеурочная работа по математике в контексте реализации инновационных технологий. Дидактические материалы для организации деятельности обучаемых: учеб. пособие∕авт.-сост.: А.Т. Лялькина, Е.В. Чудаева и др. – Саранск, 2007 П.И. Горнштейн, В. Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003. 3. Б.М.Ивлев, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницен, С.И.Шварцбурд. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учеб. Пособие для 10-11 кл.сред.шк. - М.: Просвещение, 1990. 4. Экзаменационные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. ЕГЭ – 2006. Составитель: Клово А.Г. – 2005. 5. Черняк А.А., Черняк Ж.А. « Алгебра . ЕГЭ:Шаг за шагом»- Волгоград: Учитель, 2012 Литература