Подготовка к ЕГЭ. Задачи типа С2.
презентация к уроку (11 класс) по теме

Слайд 1

ЕГЭ-2014. Задачи типа С2 Задание С2 ЕГЭ. Угол между плоскостями. Координатный метод решения стереометрических задач типа С2.

Слайд 2

1. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d =0 В этом уравнении плоскости коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

Слайд 3

Угол между плоскостями Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла. Чтобы построить линейный угол двугранного угла , нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

Слайд 4

Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла. Пусть плоскости и заданы уравнениями: Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле: В ответе мы записываем , так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

Слайд 5

Задача (ЕГЭ-2012). В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка М так, что AM=8 . На ребре взята точка K так, что . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

Слайд 6

Решение. Запишем координаты точек: М(0;0;13),К(12;0;8), Подставим их в систему уравнений: Отсюда: С= -1/13, В= -1/12, А= -5/(12х13). Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

Слайд 7

Подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол:

Слайд 8

Задача (ЕГЭ,2011). В единичном кубе АВС DA 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между плоскостями А D 1 Е и D 1 FC , где точки Е и F -середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Решение. Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D 1 (1;0;1), E (0;0,5;1), F (0,5;1;1). Решая систему составляем уравнение плоскости (А D 1 E ): x +2 y - z =0 . 2) плоскость CFD 1 : отсюда находим уравнение 2 x + y + z -3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей. , , откуда φ =60˚ Ответ: 60˚

Слайд 9

Задача (ДР_2013). В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА 1 =2:3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕ D 1 . Решение. Введем прямоугольную систему координат. Тогда В(1;0;0), Е(0 ; 0 ; 2), D 1 (0;1;5). Решаем систему Составляем уравнение плоскости ( ВЕ D 1 ): - х +1,5 у -0,5 z+ 1=0, вектор нормали плоскости ( ВЕ D 1 ) Вектор нормали плоскости ( ABC ) Найдем искомый угол как угол между нормалями плоскостей Ответ:

Слайд 10

Задача. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 1. Точка М-середина ребра АВ, точка К – середина ребра DD 1 . Найти угол между плоскостями АКВ 1 и КМС. РЕШЕНИЕ . Введем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в точку А. Составим уравнение плоскости АКВ 1 . Точка А (0;0;0) принадлежит этой плоскости, то d=0. Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и В 1 (1;0;1) в уравнение плоскости, получим b+c /2=0, a+c =0. Таким образом имеем 2 х + у - 2 z =0. Составим уравнение плоскости КМС. Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и М (0,5;0;0), С(1;1;0) в уравнение плоскости, получим систему: Уравнение плоскости (КМС) принимает вид и угол между плоскостями АВК 1 и КМС находим из 2х – у +4 z=1. Итак,

Слайд 13

Для самостоятельного решения Задача (С2 ЕГЭ 2010) . В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра AB = 8 , AD = 6 , CC 1 =6 . Найдите угол меду плоскостями CD 1 B 1 и AD 1 B 1 . Задача (С2 ЕГЭ 2010). Все ребра пирамиды SABCD с вершиной S равны между собой. Найдите угол между плоскостями SBM и SCD , где точка M - середина ребра CD . Ответ: Задача. В единичном кубе АВС DA 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между плоскостями А D 1 Е и D 1 FC , где точки Е и F -середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Ответ: 60 0 . Задача. В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найти косинус угла между плоскостями ACB 1 и BA 1 C 1. Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна , а боковое ребро равно 10. Найти угол между плоскостями ABC и ACM , где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.

Слайд 14

Источники: http://ege-ok.ru/ http://nsportal.ru/