Показательно-степенные уравнения
план-конспект урока (11 класс) на тему

" Решение показательно-степенных уравнений. " (45 минут)

Цель: Раскрыть содержание понятий «показательно-степенные уравнения»;

Ознакомить с основными приемами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмами приемами решения показательно-степенных уравнений.

I.    Организационный момент: (1 минута)

II.    Подготовка к основному этапу урока: (7 минут)

1.Устно:

   1) Найти значение числовых выражений:

    а)   б)      в)    г)

    д)  е)   ж)  

  2) Сравните числа:

    а)и     б)  и     в) 2 и 3   г)  2 и 3

  3) Внесите множитель под знак корня:

    а) 2     б) 2  в) а, а0    г) в, в0   д) 2     е) 3

4) Укажите какое либо число, больше 2, удовлетворяющее данному условию:

    =9      

2. Показательные уравнения, повторение изученного:

Пример №1.

1253х-1=5

Решение

59х-3=5(5-3)х

59х-3=51-3х

9х-3=1-3х

х=

Ответ: х=

Пример №2.

3=92х-2

Решение

3=34х-4

=4х-4

   х=

Ответ: х=

III  Усвоение новых знаний и способов действий: (23 минуты)

1. Познакомить учащихся с понятием «показательно-степенные уравнения»;

2. Изучить теорему о показательно- степенном уравнении  вида ,  где неизвестное находится и в показателе и в основании степени.

  3. Ввести алгоритм решения уравнении вида . Для этого надо обратить внимание на то, что при а(х) не равном нулю, единице и минус единице равенство степеней с одинаковыми основаниями (будь-то положительными или отрицательными) возможно лишь при условии равенства показателей. То - есть все корни уравнения  будут корнями уравнения f(x) = g(x)

 Обратное же утверждение неверно, при а(х) < 0 и дробных значениях f(x) и g(x) выражения а(х) f(x)  и    а(х)g(x) теряют смысл.

То - есть при переходе от к f(x) = g(x) при и  могут появиться посторонние корни, которые нужно исключить проверкой по исходному уравнению. А случаи, а = 0, а = 1, а =-1 надо рассмотреть отдельно.

       Итак, для полного решения уравнения  рассматриваем случаи:

а(х) = 0 . Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению,  f(x) и g(x) будут положительными числами, то это решение. В противном случае, нет.

а(х) = 1. Корни этого уравнения являются корнями и исходного уравнения.

а(х) = -1. Если при значении х, удовлетворяющем этому уравнению, f(x) и g(x) являются целыми числами одинаковой четности (либо оба четные, либо оба нечетные), то это решение. В противном случае, нет.

При  и  решаем уравнение f(x)= g(x) и подстановкой полученных результатов в исходное уравнение отсекаем посторонние корни.

4. Разобрать и оформить решение примеров:

Пример №3.

Решение

x – 3 = 0, x = 3. т.к. 3 > 0, и  32 > 0, то x1 = 3  - это решение.

x – 3 = 1, x2 = 4.

x – 3 = -1, x3 = 2. Оба показателя четные. Это решение x3 = 2.

x – 3 ≠ 0 и x ≠ ± 1. x = x2, x = 0 или x = 1. При x = 0, (-3)0 = (-3)0 –верно это решение x4 = 0. При x = 1, (-2)1 = (-2)1 – верно это решение x5 = 1.

Ответ: 0, 1, 2, 3, 4.

Пример №4.

Решение

По определению арифметического квадратного корня: x – 1 ≥ 0, x ≥ 1.

x – 1 = 0 или  x = 1,  = 0, 00  это не решение.

x – 1 = 1         x 1 = 2.

x – 1 = -1         x 2 = 0 не подходит в ОДЗ.

 =

       Д = -16 – корней нет.

Ответ: 2.

IV  Закрепление нового материала. Первичная проверка понимания.

Пример №5.

Решение

1)  =  0  решения нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2)  ≠  0  т.е. . Тогда можем записать:

2.1)   =  1.     =  0    

     и

2.2)  =  -1  х = 0 или х = 1. При х = 0    =  -1. (-1)-1 ≠ (-1)0. Это не решение.  При х = 1   (-1)0 = (-1)0. Это  решение х3 = 1.  

2.3)  ≠  0 и  ≠  ±1    имеем  =  0,    =  -1    или

     =  1. Эти корни уже учтены.

Ответ: -1, 1, 2.

Пример №6.

Решение

1) при решений нет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) при ,

, .

3), .

     , (-1)0 = (-1)0 это решение.

     .

 4)  и

      или

 При  (-4)0 = 1 – верно.

Ответ: -1, 2, 4.

Пример №7.

Решение

1) , ,  это не решение.

2) ,  и .

3) отрицательных значений основание не имеет. При  и , ,      ,

х = 5,    315 = 315 – верно. х3 = 5,

х = 2 – не является решением.

Ответ: 1,3,5.

Пример №8

Решение

ОДЗ: ,

, ,

 и

Все решения принадлежат уравнению =2.

, ,   и . Оба значения принадлежат к ОДЗ.

Ответ: -4, -1.

Работа учащихся в группах по 4 человека, группы получили одинаковый набор заданий, но в разном порядке. (10 минут)

Пример №1

Решение

1) , , , . Это решение .

2) , .

3) , ,  - четное и -3х – четное. Это решение. х2 = -4.

4)  и , , , ,  4-3 = 4-3 – верно. .

Ответ: -4, -3, -2, 1

Пример №2

Решение

1)  не дает решений, т.к. 0 ни в какой степени не равен 1.

2) .  или .

3) отрицательных значений  не имеет.

4) При ,

    , т.к. , то . Проверка 20 = 1 – верно.

Ответ: -1, 1, 2.

Пример №3

Решение

ОДЗ: ,  , .

1)  решений не имеет, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

При ,  или ,

                          ОДЗ, ОДЗ.

Значит все решения содержатся в уровнении = 0,  или .

Проверка: , 20 = 1 – верно.

                  ,  - верно.

Ответ: 0, 3/2.

Пример №4

Решение

1)  решений не дает, т.к. 0 в любой степени не равен 1.

2) При , , . Все решения принадлежат уравнению .  или .

3) ,  и .

Второе решение не подходит, т.к , . А  является решением

Ответ: , 2, 4.

Проверочная работа: По одному ученику из групп - на доске записывается первый пример, тем самым проверяется решение всех заданий.

 V  . Подведение итогов урока: (2 минуты)

VI.  Информация о домашнем задании, инструктаж

по его выполнению: (2 минуты)

 Домашнее задание:

1.                                      Ответ:  0; 3.

2.                                                           Ответ:  1; 3.

3.                                               Ответ: 1; 8.

4.                                                     Ответ: -1; 1; 2.

5.                                            Ответ:  .