решение текстовых задач
методическая разработка по теме

Курсовая работа.

«Решение текстовых задач. В13.»

Выполнила: учитель математики

ГОУ СОШ №435

Савзиханова Миясат Кадировна

г. МОСКВА, 2013

 Недостаточно лишь понять задачу,

                                                      необходимо желание решить её.

                                            Без сильного желания решить трудную

                                               задачу невозможно, но при  наличии  

                                                            такового возможно.

                                                           Где есть желание, найдётся путь!

                                                                                                                  Пойа Д.

Содержание

 Содержание работы:.…………………………………….……….2

Цели работы……………………2  

План работы ………………………………………………………..3                                              

Изучение видов  текстовых задач  и их решения  4

Выводы  ……...…………………………………………………........7

Задачи на движение ………………………………………………7

Задачи на проценты……………………………………………….12

Задачи на смеси и сплавы……………………………………………….14

Задачи на совместную работу……………………………………………16

Библиография………………………………………………….20

Цели  работы

развивать познавательный интерес учащихся;

 развивать умение пользоваться научной  литературой  при   подготовке проектов;

изучить роль текстовых задач

Задачи  работы:   

Познакомиться с видами текстовых  задач.

Рассмотреть различные способы решения текстовых  задач.

В школьном курсе математики текстовым задачам отводится особое место, трудно сразу выбрать нужный наиболее рациональный способ  их решения. Определение вида задачи и выбор способа её решения  способствует общему развитию учащихся, развитию логического  и образного мышления. 

Методы:

поисковый метод с использованием научной  и учебной  литературы;

исследовательский метод при определении видов задачи их решении различными способами

практический метод решения задач;

анализ полученных в ходе исследования данных.

План работы.

Изучение видов  текстовых задач.

Изучение  способов решения задач.

Выводы.

Изучение видов  текстовых задач  и их решения.

1.Текстовые задачи и их решение.

В начальном обучении математики велика роль текстовых задач. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. 

Текстовая задача есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.

Текстовые задачи состоят из двух частей: условие и требование.

 В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных  и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними.

Требование задачи - это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные задачные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, т. е. такую, которая не нужна для выполнения требования задачи.

Например: «На тракторе «Кировец» колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе «Казахстан» -за15 дней. За сколько дней можно вспахать это поле, если будут работать оба трактора?»

    В данной задаче для выполнения её требований  не имеют значения названия марок тракторов. Здесь важно лишь, что в задаче речь идёт о двух тракторах с разной производительностью.

В задаче «Девочка нашла 10 белых грибов и 5 подберезовиков, а мальчик 7 белых грибов. Сколько белых грибов нашли дети?» 

  содержится избыточная информация о подберезовиках. Данное «5 подберёзовиков»   оказывается лишним.

На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Например:

   Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если известно, что длина больше ширины на 3 метра.

  Недостающие данные значение площади или одной из сторон.

Решить задачу- это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи.

 Способы решения задач

• В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраические способы решения задач.
•  При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами.
• При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения.

2. Сущность задач с практическим содержанием  

Под математической задачей с практическим содержанием (задачей прикладного характера) мы понимаем задачу, фабула которой раскрывает приложения математики в смежных учебных дисциплинах, знакомит с ее использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций.

Требования к задачам:

познавательная ценность задач и применение ее к задачам с практическим содержанием предъявляет следующие дополнительные требования,   оказывающие влияние на учеников;

а)доступность школьникам используемого в задаче нематематического материала;

б) реальность описываемой в условии задачи ситуации, числовых данных значений, постановки вопроса и полученного решения.

Общие умения по решению задач

• умение проводить анализ условия задачи;

• умение применять изученную теорию (определение, правило) на практике;

• умение выделять основную идею в решении отдельной задачи, находить общее в решении нескольких задач и переносить эту идею, это общее на новую задачу;

• умения по самооценке своей деятельности, самоконтролю.

Разновидности задач

Текстовые задачи подразделяются следующим образом:

• задачи на движение;
• задачи на работу;
• задачи на проценты;
• задачи на смеси, сплавы и концентрацию;
• задачи, в которых неизвестные – целые числа;
• задачи, для решения которых нужно находить наибольшее или наименьшее значение;

задачи, решение которых требует рассмотрения нескольких вариантов;

• задачи, процесс решения которых приводит к системе уравнений, содержащей уравнений меньше, чем неизвестных;
• задачи, для решения которых необходимо использовать неравенства.

Сюжетные задачи:

Сюжетные задачи - это наиболее древний вид задач.

Во всех сохранившихся письменных памятниках древности встречаются разные сюжетные задачи.

Сюжетные задачи всегда широко использовались и будут использоваться в обучении математике. Еще задолго до нашей эры в Древнем Египте, Вавилоне, Китае, Индии были известны и многие методы их решения. Однако  со временем цели и функции решения сюжетных задач существенно изменялись и видоизменяются до сих пор.

Если примерно до XIX в. цели решения этих задач были  чисто практические: Научить решать задачи, которые часто встречаются в жизненной практике, то затем эти цели значительно расширились и, кроме практических целей, они начинают использоваться как важное общеобразовательное и методическое средство.

Старинные методы решения задач:

В древности были разработаны различные «правила», пользуясь которыми решались сюжетные задачи. Число этих правил было весьма велико. Так в одном из обзоров по истории арифметики говорится о 26 таких правилах, но, должно быть, их было значительно больше.

В основе всех этих правил лежит понятие о пропорции и пропорциональных величинах. Применение понятия пропорциональных величин можно обнаружить уже в египетских папирусах. Пифагорейская школа уже знала три вида пропорций:

Виды пропорций

Арифметическая    a-b= c – d,

Геометрическая      a : b= c : d

Гармоническая        a : c=(a – b) : ( b – c).

Из них пифагорейцы получали непрерывные пропорции:

 a – b= b – c,

 a : b= b: c  и арифметическую среднюю:

b=( a+ c): 2, геометрическую среднюю:

b= и гармоническую среднюю: b=2ac:( a + c).

Термины арифметическая, геометрическая и гармоническая аналогии(отношения) встречаются уже у Аристотеля ( 384-322 до н.э.)

Выводы.

             В традиционном российском школьном обучении математике много видов текстовых задач.   Известно, что многие математические значения передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решением. Первоначально обучение математике велось по образцу (по определённым правилам). Использование арифметических способов решения задач способствует общему развитию учащихся, развитию их логического и образного мышления.

Текстовые задачи учат способам действий, которые применяются на практике.

Чтобы решить задачу, надо поставить все возможные вопросы, в которых имеются данные и искомые  элементы задачи, просмотреть решения похожих задач. Возможно, найденный способ решения может быть  в дальнейшем использован  для решения  более трудных задач, сходных с решенной  простейшей задачей.

        Для того чтобы приобрести навыки  в решении задач, необходимо решить  их достаточно  большое количество  различной  степени трудности.

Очень важно при решении задач проявлять фантазию, чтобы организовать поиск решения различными способами. Главное научиться решать задачи не с целью нахождения ответа, а с целью рассуждений и развития  интеллектуальных способностей.

Задачи на движение. 

Задание В13 бывает представлено текстовой задачей, в которой встречаются понятия скорость, время и расстояние. Для ее решения требуется знание формулы S= v * t, где S- расстояние или пройденный путь, v- скорость, t- время.

Из этой формулы легко получить две другие формулы для нахождения скорости и времени.

В случаях движения по реке следует учитывать скорость течения. Если катер движется по течению, то скорость течения складывается со скоростью катера. Если катер движется против течения, то скорость течения вычитается от скорости катера.

Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:

1. Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.
2. Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.
3. Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения – (х-у).

При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

При решении задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.

Задача1:из пункта a круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть x км/ч – скорость велосипедиста, y км/ч – скорость мотоциклиста.

Анализируя условие задачи, разобьем движение на два этапа:

1) до первой встречи

2) от первой встречи до второй

Итак,

Этап 1 – до первой встречи.

Где находится велосипедист в момент первой встречи? Проехал ли он уже больше одного круга, или все еще одолевает первый круг?

Заметим: скорость велосипедиста не может превышать 60км/ч. Это известно не из условия задачи, а из соображений здравого смысла, из житейского опыта. Значит, за 30 минут велосипедист не проедет 30 км, то есть, за 30 минут он проедет меньше, чем полный круг.

Сколько времени находился в пути каждый из участников задачи до первой встречи?

Велосипедист был в пути 30 минут, когда мотоциклист начал движение;

после этого до первой встречи прошло 10 минут.

Значит, до первой встречи:

велосипедист был в пути 30 + 10 = 40 минут, мотоциклист – 10 минут

Так как единицей измерения скорости будет "км/ч", то и время нужно выразить в часах. Сделаем это: 40 минут = 40/60 = 2/3 ч, 10 минут = 10/60 = 1/6 ч.

Занесем все данные в таблицу:

Так как велосипедист и мотоциклист стартовали в одной точке, то к моменту первой встречи они проехали равное расстояние. Составим уравнение:

2/3 · х =1/6 · у

Этап 2 – между первой и второй встречами.

После первой встречи оба участника в течение 30 минут продолжали движение с той же скоростью. Занесем данные второго этапа в таблицу:

О втором этапе движения нам известно, что за те же полчаса мотоциклист проехал на один круг больше, чем велосипедист. Это означает, что путь мотоциклиста больше пути велосипедиста ровно на длину круговой трассы. Длина трассы известна по условию, это 30 км.  Значит, Sмот – Sвел = 30 км. Составим второе уравнение:

½ х- ½ у=30

Получили систему из двух уравнений:

     2/3 х= 1/6 у

     ½ х- ½ у =30        

Теперь решим систему. Получим : х =20 у = 80. В этой задаче мы нашли значения двух введенных переменных. Которое из двух чисел нужно записать в ответ? Еще раз перечитываем задание: "найдите скорость мотоциклиста". Мы обозначали скорость мотоциклиста за y. Значит, в ответ запишем y = 80.

Задача 2:Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? 

Решение: Эта задача тоже относится к задачам на движение с круговой трассой.

Но здесь мы будем рассматривать не линейную скорость, а угловую.

Угловая скорость определяется как величина угла, на который повернулся луч за единицу времени. Определим угловую скорость стрелок. Минутная стрелка за час делает полный оборот. Полная окружность – это 360о. Значит, угловая скорость минутной стрелки равна 360о/час. Часовая стрелка за час сдвигается на одно деление.

На полном круге 12 делений. Величина угла, лучи которого смотрят на

соседние деления составляет 360о: 12 = 30о. Значит, угловая скорость часовой стрелки равна 30о/час. Теперь определим, что означает "в четвертый раз поравняться".

На рисунке красной линией обозначено движение минутной стрелки, а синей – движение часовой стрелки. По рисунку видим: чтобы стрелки поравнялись в четвертый раз, минутная стрелка должна: - дойти до отметки 8, - потом сделать на три полных оборота больше, - а потом еще пройти тот же путь, который за это время пройдет часовая

Дойти до отметки "8" – значит, пройти 240о (8 раз по 30о) Три полных оборота – значит,

 3 · 360о  Таким образом, путь минутной стрелки больше пути часовой стрелки

 на 240о + 3 · 360о.

Пусть х часов – время до четвертой встречи стрелок. Запишем все данные в таблицу:

Так как путь минутной стрелки на 240о+ 3 · 360о длиннее пути часовой стрелки, то можем составить  уравнение:

360 х – 30 х = 240 + 3 · 360

330 х = 240 + 3 · 360

33 х = 24 + 3 · 36

11 х = 8 + 36

11 х = 44

х = 4

Таким образом, в четвертый раз стрелки поравняются через 4 часа (заметим, что это произойдет в полночь) Еще раз посмотрим, что спрашивалось в задаче, и увидим, что ответ нужно выразить в минутах:

4 часа = 240 минут. Ответ 240

Задача 3. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.

Решение задачи

Пусть х, км/ч – скорость товарного поезда (х>0), у, ч – время движения скорого поезда (у>0).

Составляем таблицу.

По условию задачи поезда прошли одно и то же расстояние. Получаем систему уравнений

8/5 х(у+1) = х(у+4)

(х+50)у = х(у+4).

По условию задачи х>0, тогда

8(у+1) = 5(у+4)

(х+50)у = х(у+4),

3у = 12

(х+50)у = х(у+4),

у = 4

х+50 = 2х,

у = 4

х = 50.

Полученные значения неизвестных удовлетворяют условию х>0, у>0, значит удовлетворяют условию задачи.

50 км/ч – скорость товарного поезда.

50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.

Проверка по условию задачи.

50 км/ч – скорость товарного поезда,

4+4 = 8 (ч) – время движения товарного поезда.

50*8 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл товарный поезд.

50*8/5 = 80 (км/ч) – скорость пассажирского поезда.

4+1 = 5 (ч) – время движения пассажирского поезда.

80*5 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл пассажирский поезд.

4 ч – время движения скорого поезда.

50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.

100*4 = 400 (км) – расстояние, которое прошёл скорый поезд.

Каждый поезд прошёл одно и то же расстояние.

Задача  решена  верно.

Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч.

Задача 4. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

Решение: Пусть         х км/ч – собственная скорость парохода.

Тогда         (х+6,5) км/ч – скорость парохода по течению.

        (х–6,5) км/ч – скорость парохода против течения.

Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х–6,5) км/ч, то

         ч. – время движения парохода против течения.

Так как по течению пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то

         ч. – время движения парохода по течению.

По условию                            решим полученное уравнение

Откуда получаем квадратное уравнение

        х2–37х+146,25=0  Þ  х1=4,5 км/ч  и  х2=32,5 км/ч.

Осуществим отбор полученных решений.

Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х1=4,5 км/ч не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения).

Поэтому, собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч.

Ответ: v=32,5 км/ч.

Задачи на проценты

Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами: нахождения части от целого, восстановление целого по его известной части, нахождение процентного прироста. Рассмотрим эти алгоритмы.

1. Пусть известна некоторая величина А, надо найти а % этой величины.

Если считать, что А есть 100%, а неизвестная часть х это а %, то из пропорции

  имеем  .

2. Пусть известно, что некоторое число b составляет а % от неизвестной величины А. Требуется найти А.

Рассуждая аналогично, из пропорции получаем        .

3. Пусть некоторая переменная величина А, зависящая от времени t, в начальный момент t0 имеет значение А0, а в момент t1 – значение А1.

Тогда абсолютный прирост величины А за время t1–t0 будет равен А1–А0; относительный прирост этой величины вычисляется по формуле , а процентный прирост по формуле  .

Задача 1. Для офиса решили купить 4 телефона и 3 факса на сумму 1470 долларов. Удалось снизить цену на телефон на 20%, и в результате за эту же покупку уплатили 1326 долларов. Найти цену факса.

Решение:

Пусть         х – стоимость факса,

        у – стоимость телефона.

По условию        4у+3х=1470.

Так как цену на телефон снизили на 20%, то телефон стал стоить 80% от первоначальной цены, то есть

        0,8у – стоимость телефона после снижения.

По условию        3х+4×0,8у=1326.

Решим полученную систему двух уравнений методом алгебраического сложения.

Так как нам нужно найти только х, исключим у из системы, для чего первое уравнение умножим на (–0,8) и сложим со вторым:        0,6х=150  Þ  х=250.

Ответ: факс стоит 250 долларов.

Задача 2 :Кусок сплава меди с оловом массой 12кг содержит 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав имел 40% меди?

Решение: Пусть 12кг сплава- 100%

             х кг меди   - 45%

Тогда, получаем :

      12 :х = 100:45  х=12•45: 100

                             х = 5,4.

Предположим, что у кг олова надо добавить, тогда  (12+у) кг – 100%

         5,4 кг    - 40%

Таким образом (12+у) : 5,4= 100:40

                              у = 1,5 кг

Ответ: 1,5 килограммов чистого олова надо прибавить к сплаву

Задача 3: Из 36 учеников одна четверть учится хорошо, одна треть- удовлетворительно

а остальные- слабо. Хороших и удовлетворительных перевели в следующий класс, а слабых оставили в том же классе. Сколько учеников оставили в том же классе?»

Решение: Одна четверть и одна треть имеют общее- одну двенадцатую часть.

1. хороших  учеников было ¼=3/12 от 36; 1/12 от 36=3; 3/12 от 36=3х3=9      учеников.

2.Удовлетворительных  учеников было 1/3=4/12; 4х3=12 учеников.

3. Сколько учеников перевели в следующий класс?   9+12=21.

4. Сколько учеников оставили?   36-21=15.

ЗАДАЧИ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ

В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде. Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:

• концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;
• процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m1 и m2 и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с1 и с2. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c1m1+c2m2, а концентрация .
2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

Задача 1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть х кг олова надо добавить к сплаву. Так как процентное содержание меди в сплаве равно 45 %, то масса меди в первоначальном сплаве m=0,45×12=5,4 кг (где 0,45 – концентрация меди в сплаве).

Тогда 12+х – масса нового сплава

И так как масса меди в первоначальном сплаве равна 5,4 кг, то

         – концентрация меди в новом сплаве.

По условию                ,        решая уравнение, получаем х=1,5 кг.

Ответ: нужно добавить 1,5 кг чистого олова.

Задача 2. Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора 4 л, другого – 6 л. Если их слить вместе, то получится 35 % раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36 % раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из первоначальных растворов?

Решение:

Пусть         х л кислоты содержится в первом растворе,

        у л кислоты содержится во втором растворе.

Тогда          – концентрация кислоты в первом растворе,

         – концентрации кислоты во втором растворе.

Если слить два раствора, то получим раствор массой 4л+6л=10л, причем масса кислоты в нем будет х+у, тогда

         – концентрация кислоты, после сливания обоих растворов.

Так как по условию в полученном таким образом растворе содержится 35% кислоты, то ее концентрация там равна 0,35.

Таким образом, получаем:          или  х+у=3,5.

Если будем сливать равные объемы растворов по m литров, то

         – масса кислоты в полученном растворе,

        2m – масса полученного раствора,

тогда

         – концентрация кислоты в полученном растворе.  По условию

  или  .

Таким образом, получили систему двух уравнений

  Þ    Þ    Þ 

Þ    Þ 

Ответ: в первом растворе содержится 1,64 л кислоты, во втором – 1,86 л.

ЗАДАЧИ НА СОВМЕСТНУЮ РАБОТУ

Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением

.

Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.

Пусть         х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,

        у – время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда          – производительность труда первого рабочего,

         – производительность труда второго рабочего.

         – совместная производительность труда.

         – время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

Задача 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.

Решение:

Пусть         х – время работы первого по выполнению всей работы.

        у – время работы второго рабочего.

По условию х=у–1, и первое уравнение составлено.

Пусть объем всей работы равен 1.

Тогда          – производительность труда первого рабочего,

         – производительность труда второго рабочего.

Так как они работали 45 мин.=3/4 часа совместно, то

         – объем работы, выполненной рабочими за 45 минут.

Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут=2¼=9/4 часа, то

         – объем работы, выполненной вторым рабочим за 2 часа 15 минут.

По условию         .

Таким образом, мы получили систему двух уравнений

Решим ее, для этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе

  Þ    Þ  4у2–19у+12=0

 ч.  и  у2=4 ч.

Из двух значений для у выберем то, которое подходит по смыслу задачи  у1=45 мин., но 45 мин. рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно, поэтому  не подходит по смыслу задачи. Для полученного у2=4 ч. найдем из первого уравнения первоначальной системы значение х

х=4–1  Þ  х=3 ч.

Ответ: первый рабочий выполнит работу за 3 часа, второй – за 4 часа.

Замечание: эту задачу можно было решить, не вводя вторую переменную у, а выразить время работы второго рабочего через х, тогда нужно было составить одно уравнение и решить его.

Задача 2. Две бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали, они стали работать раздельно. В 15 часов выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 час на одну деталь больше, а вторая бригада за 1 час на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 часов и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже к 13 часам. Сколько деталей в час делала каждая бригада?

Решение:   Пусть         х деталей в час изготовляет первая бригада (производительность первой бригады).

        у – производительность второй бригады.

        х + у – совместная производительность бригад.

Так как вместе они сделали 72 детали, то

         – время совместной работы бригад.

Так как бригады работали с 8 до 15 часов, всего 7 часов, то

         – время работы бригад раздельно, тогда

         – число деталей, которое изготовила первая бригада, работая отдельно

         – число деталей, которое изготовила вторая бригада, работая отдельно

По условию          или  

Составим второе уравнение. По условию:

        х+1 – производительность труда первой бригады на другой день.

        у–1 – производительность труда второй бригады на другой день.

        х+1+у–1= х + у – совместная производительность (такая же, как и в первый день).

Так как бригады работали с 8 до 13 часов – всего 5 часов, то

         – число деталей, которые изготовила первая бригада, работая отдельно,  во второй день.

         – число деталей, которые изготовила вторая бригада, работая отдельно, во второй день.

По условию          или  .

Таким образом, мы составили систему двух уравнений:

Решим эту систему методом замены переменных:

Пусть ...................(А)

Тогда имеем:

  Þ 

Выразим из первого уравнения  и подставим во второе уравнение

  Þ  v2+2v–8=0  Þ  v1=2,  v2=–4.

Значение v2=–4 не подходит по смыслу задачи (из условия ясно, что производительность первой бригады выше, чем второй, а значит  х–у=v>0). Найдем значение u, соответствующее v2=2, подставив значение v2 в выражение для u:

.

Так как нам нужно найти значения х и у, подставим полученные значения для u  и v в (А)

  Þ    Þ    Þ    Þ 

Ответ: 13 деталей в час изготавливала первая бригада; 11 деталей в час изготавливала вторая бригада.

Литература:

Баврин И.И.,Фрибус Е.А. Старинные задачи.-М.,Наука,1994.

Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 7–11 классы. – М.: ИЛЕКСА. – 2011

Семенов А.Л. «ЕГЭ.Математика 2012»

Ященко И.В. «Подготовка к ЕГЭ по математике 2012»

А. Прокофьев, Т. Соколова, В. Бардушкин, Т. Фадеичева. Текстовые задачи. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №9, 2005г.

Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5, 6 кл. Учебник для общеобразовательных                      учреждений.-М.:Мнемозина, 2006.

Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М.: Просвещение,1994.