Учебный модуль по теме " Уравнение. Решение уравнений.Решение текстовых задач с помощью уравнений."
методическая разработка по математике (6 класс)

№Модуль. Уравнение. Решение задач с помощью уравнений.

Уравнения — одна из сложных тем для усвоения, но при этом они являются достаточно мощным инструментом для решения большинства задач.С помощью уравнений описываются различные процессы, протекающие в природе. Уравнения широко применяются в других науках: в экономике, физике, биологии и химии.

Базовая идея. С помощью уравнений можно описать различные события и процессы в природе.

Мотивирующее задание .

Ещё за 3–4 тысячи лет до н.э. египтяне и вавилоняне, пользуясь таблицами и готовыми выработанными рецептами, умели решать некоторые уравнения. Разумеется, приёмы решения у них были вовсе не такими, как теперь. Греки, унаследовавшие математические знания египтян и вавилонян пошли дальше.
Наибольших успехов в решении уравнений добился выдающийся древнегреческий учёный. Диофант (III век), которого по праву называют «отцом алгебры».

Диофант умел решать очень сложные уравнения, примеряя для неизвестных буквенные обозначения, ввёл специальный символ для вычитания, использовал сокращения слов.
 

О нём потом писали: Посредством уравнений, теорем

  Он уйму всяких разрешил проблем:
   И засуху предсказывал, и ливни –
  Поистине его познанья дивны. 

Стройное учение об уравнениях разработал среднеазиатский учёный Мухаммед аль-Хорезми (IX в.). Он написал книгу «Китабаль – Джебр Валь-Мукабала», что означает «Книга о восстановлении и противопостановлении». Это был первый в мире учебник алгебры. С этого времени алгебра становится самостоятельной наукой. Само слово «алгебра» произошло от слова «аль-фкебр» – восполнение: так аль-Хорезми называл перенос отрицательных слагаемых из одной части уравнения в другую с переменой знака.

В дальнейшем проблема решений уравнений занимала умы всех  математиков. О них вы узнаете в старших классах .

"Мне приходится делить своё время между политикой и……...

 Однако ……..по-моему, гораздо важнее, потому что политика существует только для данного момента, а ………будут существовать вечно"

Проблемный вопрос .

1 вариант.В чём отличие данных  записей:  3х+7  , (2-х)-24 , 2х+14=3х-5,  (3-х)+23=16 .

Какие значения  может принимать буква в этих записях?

ИЛИ

2. вариант. По таблице выясните какая запись лишняя и почему?

 Цель2.0

№1.

Сформулируйте определения :

 Уравнением называется……

Корнем уравнения называется…..

Решить уравнение значит…

Корни уравнения не изменятся , если обе части уравнения…..

Корни уравнения не изменятся если перенести слагаемые  из……..

№2.Выберите из данных чисел корень уравнения

-2х+8=4

1;-2; 2

№3Решите уравнение. а)-2х=6 ; б) –х=7;в) 1\4 а=-2.

№4.Решите уравнение. а) 2х-3= х ;б) 5-х=3х-3 ; в)4а+7=3а+8

№5. Перенесите слагаемые с переменной в правую часть , а числовые слагаемые в  левую часть равенства.

-6х-12+2х=5х-13-2х+4

№6   Перенесите слагаемые с переменной в левую часть , а числовые слагаемые в  правую часть уравнения.

23+7у-3у=-4у+21+5у.

№7

Какие уравнения имеют одинаковые корни: а)3х+9=-6х+27; а=2

б)15-3а=2а+5; а=2

в)-3р-1=4р+6; р=-1

г)-4у+2=-5у+3 у=-1

№8 Решите задачу с помощью уравнения.

Первое число на  12 больше второго, а их сумма  равна 48. Найдите эти числа.

№9. Решите задачу с помощью уравнения.

Первоначально у мальчика было 120 рублей. Он потратил на 10 рублей больше, чем у него осталось . Сколько  он потратил?

№10. Решите задачу с помощью уравнения.

В двух командах 315 спортсменов. В первой в 2 раза больше, чем во второй. Сколько спортсменов в первой команде?

№11 Решив уравнение, сопоставьте корень и утверждение о нём

1)-3х+2=6+х    А) корень-натуральное число

2)5х-5=3х-3     Б) корень- рациональное  число

3)1/4х= - 1/2        В) корень-целое число

12) Сколько решений имеет уравнение?

а)2х+5=7+2х.

б) х+5= - х+5.

в)- х+1=1.

13. Работа в парах :

а)Составьте  по уравнению условие задачи 4х – х=90.

б) Решите эту задачу.

Работа в  группах.

Задание для группы№1

1. Решите уравнения в следующем порядке:                                                                        

  1) уравнение, в котором не надо ни раскрывать скобки, ни переносить слагаемые из одной части уравнения в другую;

  2) уравнение, в котором не надо раскрывать скобки, но надо переносить сла -

гаемые из одной части уравнения в другую;

        3) уравнение, в котором обязательно раскрывать скобки, но не надо переносить

слагаемые;

         4) уравнение, в котором надо и раскрывать скобки, и переносить слагаемые.

а) 6х-(3+х)=1+3х;

б) 5(m-3)-4(m-2)=2;

в) -8x+62=122-2x;

г) -15в=45.

Задание для группы№2

1. Решите уравнения в следующем порядке:                                                                        

  1) уравнение, в котором не надо ни раскрывать скобки, ни переносить слагаемые из одной части уравнения в другую;

  2) уравнение, в котором не надо раскрывать скобки, но надо переносить сла -

гаемые из одной части уравнения в другую;

        3) уравнение, в котором обязательно раскрывать скобки, но не надо переносить

слагаемые;

         4) уравнение, в котором надо и раскрывать скобки, и переносить слагаемые

а)  -2(х+1)+3(х-2)=2;

б)  4(х-5)=5х+12;

в) 12 m=-60;

г ) 31=111-х-7х.

Задание для группы№3

1. Решите уравнения в следующем порядке:                                                                        

  1) уравнение, в котором не надо ни раскрывать скобки, ни переносить слагаемые из одной части уравнения в другую;

  2) уравнение, в котором не надо раскрывать скобки, но надо переносить сла -

гаемые из одной части уравнения в другую;

        3) уравнение, в котором обязательно раскрывать скобки, но не надо переносить

слагаемые;

         4) уравнение, в котором надо и раскрывать скобки, и переносить слагаемые

а)  3(х-3)=4х+6;

б)  7у+55=2у;

в)  -4х=-16;

г)  4(х+2)-3(х+1)=0;

Задание для группы№4

1. Решите уравнения в следующем порядке:                                                                        

  1) уравнение, в котором не надо ни раскрывать скобки, ни переносить слагаемые из одной части уравнения в другую;

  2) уравнение, в котором не надо раскрывать скобки, но надо переносить сла -

гаемые из одной части уравнения в другую;

        3) уравнение, в котором обязательно раскрывать скобки, но не надо переносить

слагаемые;

        4) уравнение, в котором надо и раскрывать скобки, и переносить слагаемые

а) -3х+9=-7х-11;

б) -22а=-44;

в) 5(х-2)=6х-1;

г) 3(х-7)-2(х+3)=0.

Задание для группы№5

1. Решите уравнения в следующем порядке:                                                                        

  1) уравнение, в котором не надо ни раскрывать скобки, ни переносить слагаемые из одной части уравнения в другую;

  2) уравнение, в котором не надо раскрывать скобки, но надо переносить сла -

гаемые из одной части уравнения в другую;

        3) уравнение, в котором обязательно раскрывать скобки, но не надо переносить

слагаемые;

         4) уравнение, в котором надо и раскрывать скобки, и переносить слагаемые

а)  2(12-4х)+6(х-5)=0;

б)  9х=-27;

в)  х-(5-х)=3+4х;

г) 2х-16=4х+20.

Цель 3.0

№1 Решите уравнения. Опишите каким свойством вы пользовались?

а)7х-13=3х+11,

б) 6а+2=7а+9,

в)12у-3=10у-3,

г)6-3с=9-4с.

№2Найдите корень уравнения, применив свойства умножения  или дедения обеих частей на число, отличное от нуля.

а)2/3у-1/у+2=1/у-3;

б)1/2х+1/6х+5=х;

в)-40(-7х+5)=-1600;

г)-3(2-15х)=-6.

№3. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции:

а)-5: (2х+3) = 5:6 ;  б) (х+7):3=(2х-3):5.

№4  Решите задачу. В большой коробке  на 6 карандашей больше, чем маленькой. В трёх маленьких коробках  карандашей столько же, сколько в двух больших. Сколько карандашей в одной большой коробке?

№5 На одном участке было в 5 раз больше саженцев смородины, чем на втором. После того как с первого участка увезли 50 саженцев, а на втором посадили еще 90, на обоих участках кустов стало поровну.  Сколько саженцев смородины было на каждом участке первоначально?

№6Турист преодолел 600 км - сначала летел на самолете, а оставшуюся часть пути проехал на автобусе. Путь на самолете в 19 раз больше, чем на автобусе. Сколько километров турист проехал на автобусе?

№7. За 6 ч ученик токаря сделал столько деталей, сколько сам токарь за 4 ч. Известно, что токарь делает за 1 ч на 5 деталей больше, чем ученик. Сколько деталей за 1 ч изготовлял ученик?

№8 От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 3 ч. Пешком он мог бы пройти это расстояние за 7 ч. Известно, что скорость пешком у него на 8 км/ч меньше, чем на велосипеде. С какой скоростью ехал турист и чему равно расстояние от турбазы до станции?

№9. Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день прошел  всего пути, во второй день – 0,6 оставшегося пути, а в третий день – остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня.

№10.В трех гаражах 460 машин. Число машин в первом гараже составляет 75% числа машин во втором гараже, а в третьем гараже в 1,5 раза больше машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом гараже?

11.Три класса школьников сажали деревья. Первый класс посадил 0,35 всех деревьев, второй класс - оставшихся деревьев, а третий класс – остальные 260 деревьев. Сколько всего деревьев посадили три класса?

12. Из резервуара с керосином отлили сначала 40%, потом оставшегося керосина и после этого в резервуаре осталось 16 тонн керосина.  Сколько керосина было в резервуаре первоначально?

13. Ученик Коля   Петров купил  в столовой 3 булочки и 2 сока ,потратив все деньги, причём сок  был дешевле  булочки на 20 рублей, а в другой  день он купил на ту же сумму денег  2 булочки  и один сок, цена которого была дороже  первого на 20 рублей. Сколько стоит одна булочка, если каждый день мама даёт сыну одну и ту же сумму денег.

1.Составьте математическую модель к задаче.

2. Составьте уравнение к задаче  по данной модели.

3.Обсудите в паре ,  можно ли было  найти стоимость булочки, если бы  мама каждый раз давала  разное количество денег?

14.В конце 18 века в городе Ельце появились первые кружева. Елецкие мастерицы постоянно являются участницами международных ,всероссийских конкурсов и выставок. На выставке в Монреале елецкие кружевницы представили 270 новых работ, причём 2 части приходились  на кружевные скатерти, 4 части на  воротнички, 3 части  на косынки и платки. Сколько  кружевных воротничков было представлено  на выставке?

15. На протяжении многих лет  в Липецкой области ведется большая работа по реставрации  памятников культуры и  исторических объектов. С 2005 по 2010 год была активно начата  работа по реставрации объектов, в 2010 по 2015 год   отреставрировали на 10 объектов  больше, чем в предыдущий период ,а с 2015 по 2020  на 12 объектов больше, чем за предыдущие 10 лет. Сколько объектов получили возможность для дальнейшего существования  в период с 2015 по 2020 год , если всего  с 2005 года было отреставрировано 622 объекта ?

16. Елецкий купец Василий Никифорович Валуйский известен тем , что в 1720 году  благодаря ему был открыт  в г. Ельце первый кожевенный завод. В 1725 году на этом заводе было  переработано  в 2 раза больше заготовок, чем в 1726 году, а в 1727 году  в 3 раза больше  , чем за предыдущие два года. Сколько заготовок  было обработано  в 1726 году , если за эти три года было  выпущено  18000 штук  готового материала?

Купеческая семья Валуйских внесла огромный вклад в развитие  еще  важнейшего вида деятельности в г. Ельце. Найдите информацию об этом факте и как называется этот вид деятельности?

17.В заповеднике « Галичья гора» насчитывается  около 248 видов  водной растительности; водные травы, мхи, крупные грибы Известно, что  разновидностей мхов в 7,5 раз больше, чем   видов водных трав, а  видов крупных грибов   в 3 раза больше чем, мхов. Сколько видов водных трав находится в заповеднике?

Цель4.0.

№1. Придумайте  несколько задач, связанных с историей города Ельца, решаемых с помощью уравнения , с применением свойств.

№2.Выполните рисунок Разбейте его на секторы , заполните уравнениями  и закодируйте  ответ цветом. ( Одинаковые ответы соответствуют одному и тому же цвету).