Решение текстовых задач прикладного характера. Задачи на движение
учебно-методический материал по математике (6, 7, 8, 9 класс)

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №29 Р. П. ЧУНСКИЙ

Решение  текстовых задач прикладного характера.

Задачи на движение.

(методические рекомендации)

Автор: Клименко Татьяна Николаевна,

             учитель математики

             первой  квалификационной категории

р.п. Чунский

2023

Программно-методический материал

Решение  текстовых задач прикладного характера.

Задачи на движение.

           Стратегия модернизации содержания общего образования России одним из направлений обновления образования называет «компетентностный подход». Центральным моментом в организации обучения в духе компетентностного подхода является поиск и освоение таких форм обучения, в которых акцент ставится на самостоятельной и ответственной учебной деятельности самих учащихся. Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов задач прикладного характера, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе. Однако, статистические данные анализа результатов государственной итоговой аттестации за курс основной школы и ЕГЭ говорят о том, что решаемость текстовых задач прикладного характера составляет очень малый процент. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач прикладной направленности и не умеет за их нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. Необходимость рассмотрения техники решения текстовых задач прикладного характера обусловлена тем, что умение решать задачу является высшим этапом в познании математики и развитии учащихся. С помощью текстовой задачи формируются важные общеучебные умения решения, проверкой полученного результата и, наконец, развитием речи учащегося. В ходе решения текстовой задачи прикладного характера формируется умение переводить ее условие на математический язык уравнений, неравенств, их систем, графических образов, т.е. составлять математическую модель. Решение задач способствует развитию логического и образного мышления, повышает эффективность обучения математике и смежным дисциплинам.                                                                                                                                                   Научить решать текстовые задачи прикладного характера – значит, научить такому подходу к задаче, при котором она выступает как объект тщательного изучения, а её решение – как объект математического моделирования.  Умение производить процентные расчёты в настоящее время становится необходимым в силу неоднозначности  в восприятии различных проблем, часто им необходимо дать оценку с точки зрения математических знаний. Прикладное значение этой темы затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.

       Можно выделить семь вопросов, которые дают верное направление решению задач разных типов.

1. О каком процессе идёт речь? Какими величинами характеризуется этот процесс?
2. Сколько процессов в задаче?
3. Какие величины известны? Что надо найти?
4. Как связаны величины в задаче?
5. Какую величину (величины) удобно выбрать в качестве неизвестной или неизвестных?
6. Какие условия используются для составления “модели”?
7. Легко ли решить полученное? (Если решить сложно, ввести новые переменные, использовать другие соотношения).

    При решении задач на движение двух тел часто очень  удобно считать одно тело неподвижным, а другое — приближающимся к нему со скоростью, равной сумме скоростей  этих тел (при движении навстречу) или разности скоростей  (при движении вдогонку).

1. Основная формула: S=ν⋅t

Чтобы легче запомнить эту формулу, подумай, что ты ответишь на такой вопрос: «Сколько километров я проеду на велосипеде за 2 часа, двигаясь со скоростью 13 км/ч?»                                                                                   Ты, не задумываясь, ответишь – 26 км.                                                         Расстояние есть скорость, умноженная на время движения.

Очень многим запомнить формулу помогает вот такая пирамидка:

Из нашей формулы легко выразить все ее составляющие:

Формулу для скорости: ν=St

Формулу для времени: t=Sν

2. Алгоритм решения задач на движение подразумевает выполнение двух больших этапов: составление и решение уравнения (системы уравнений).

В задачах на движение обязательно необходимо рисовать чертеж. Тела могут двигаться навстречу друг другу, в противоположные стороны и догонять друг друга.

Все цифры нужно привести в единой размерности – только км или только м; только часы или минуты, и т.д.

Решая задачи, удобно записывать данные в виде таблицы с обязательными графами – путь, скорость и время.

За x можно брать как то, что нужно найти в задаче, так и другое неизвестное.

Внимательно читай, что спрашивается в задаче! Найденное значение x – не всегда ответ. Кроме этого, в ответе могут попросить указать величину в другой единице измерения (не в той, которая вышла у тебя, решая уравнение).

Задачи на движение по течению (или против) решаются в две формулы: разности и суммы скоростей соответственно.

3. Относительное движение

Если какие-то тела движутся друг относительно друга, часто бывает полезно посчитать их относительную скорость. Она равна:

а) сумме скоростей, если тела движутся навстречу друг другу;

б) разности скоростей, если тела движутся в одном направлении.

4. Хитрости при решении задач на движение

Правило трёх «Р» - размерность, разумность, расчёт.

Размерность. Далеко  не всегда в задачах даётся одинаковая размерность для каждого участника движения. Например, тела двигались определённое количество минут, а скорость их передвижения указана в км/ч.

Единицы измерения длины:

• 1 сантиметр = 10 миллиметров
• 1 дециметр = 10 сантиметров = 100 миллиметров
• 1 метр = 10 дециметров = 100 сантиметров = 1000 миллиметров
• 1 километр = 1000 метров                            

                                                                                                                                        Единицы измерения времени:

• 1 минута = 60 секунд
• 1 час = 60 минут = 3600 секунд
• 1 сутки = 24 часа = 1440 минут = 86400 секунд

Переводя единицы измерения, связанные с временем (минуты в часы, часы в секунды и т.д.) представь в голове циферблат часов. Невооруженным глазом видно, что 15 минут это четверть циферблата, т.е. 0,25 часа, 20 минут это треть циферблата, т.е. 1/3 часа, а 1 минута это 1/60 часа.

Разумность.  Скорость  машины не может быть 300 км/ч, если речь, конечно, идет не о спортивном болиде? И уж тем более, она не может быть отрицательной. Так вот, разумность, это об этом.

Расчет. Посмотреть, «проходит» ли  решение на размерность и разумность, и только потом проверить  расчеты. Логично же – если с размерностью и разумностью получается несостыковочка, то проще все зачеркнуть и начать искать логические и математические ошибки.

5.Движение по замкнутой трассе похоже на движение в догонку:

Если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями соответственно v1 и v2 (v1 > v2), то первый бегун приближается ко второму бегуну со скоростью v1 – v2. В момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, первый бегун проходит на один круг больше второго.

Время считается по формуле: t = S/(v1 – v2).

Задачи на вычисление средней скорости.  Если весь путь состоит из двух участков, то среднюю скорость можно вычислить по формуле:

Vсред = 

6.Задачи на движение по реке. 1. Если объект движется в стоячей воде (озере), то его скорость называют собственной скоростью объекта - Vс

2. Плот по течению реки поплывёт со скоростью течения реки - Vтеч

3. Если объект движется по течению реки, то скорость его движения определяют как сумму собственной скорости объекта и скорости течения реки: Vпо теч.= Vс + Vтеч

4. Если объект движется против течению реки, то скорость его движения определяют как разность собственной скорости объекта и скорости течения реки: Vпрот. теч.= Vс  - Vтеч

7.Задачи на движение протяжных тел. Важно: поезд проходит мимо точки расстояние равное длине поезда (от «головы» до «хвоста»). Поезд проходит расстояние мимо протяженного объекта, например, моста,  расстояние, равное сумме длин моста и поезда.

Протяженными будем считать тела, длина которых соизмерима с расстоянием, которое они проезжают.

В задачах на движение протяженных тел обычно требуется определить длину одного из них. Наиболее типичные ситуации, предлагаемые в таких задачах, - определить длину поезда проезжающего мимо:

• придорожного столба;
• идущего параллельно путям пешехода;
• лесополосы определенной длины;
• другого двигающегося поезда.

Если поезд движется мимо столба, то он проходит расстояние равное его длине.

Если поезд движется мимо протяженной лесополосы (платформы), то он проходит расстояние равное сумме длины самого поезда и лесополосы.

Если поезд движется мимо движущегося человека, то учитываем направление движения человека. Если он движется навстречу, то скорости складываются, если в одну сторону, то находим разность скоростей.

Если поезд движется мимо движущегося поезда, то учитываем направление движения второго поезда. Если он движется навстречу, то скорости складываются, если в одну сторону, то находим разность скоростей. 

Литература

1. Задачи на движение. [Электронный ресурс]. –http://prezentacii.com/po-fizike/1352-zadachi-na-dvizhenie.html.

2. Кадяева Г. Г. Решение задач на движение. [Электронный ресурс]. –  http://nsportal.ru/nachalnaya-shkola/matematika/2012/08/14/urokmatematiki-v-4-klasse-reshenie-zadach-na-dvizhenie.  

3. Шевкин А.В. Текстовые задачи. 7-11 классы, Москва ИЛЕКСА, 2011 г.