В мире фракталов
презентация к уроку по теме

Калашник Наталья Ивановна

Уважаемые гости моего мини-сайта, вашему вниманию предлагаю выступление учителя математики  о фракталах на общешкольном родительском собрании. Цели этого сообщения: раскрыть перед родителями малознакомую часть математики, ее красоту ,неповторимость; показать что эта наука не"сухая"- наполненная цифрами и формулами. а сродни искусству - ею можно украшать оффисы.квартиры,ею можно любоваться и восхищаться; воспитывать у родителей желание узнать самим и научить своих детей новому, современному, идти в ногу с современными технологиями.  

Скачать:


Предварительный просмотр:

ОБЩЕШКОЛЬНОЕ РОДИТЕЛЬСКОЕ СОБРАНИЕ.

14 сентября, 2012

                                          ФРАКТАЛЫ

Начну свое выступление с просмотра красивейших картин, имеющих прямое отношение к математике. Рассматривая эту красоту помните, что созданы они при помощи формул и хочется чтобы в конце моего выступления вы сказали: « А математика не такая «сухая» наука, как я думал!» (сл1-8)

. Фракталы вещь черезвычайно красивая, математическая.  Стоит присмотреться и можно обнаружить их повсюду.   Это геометрические  объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его уменьшенная копия.  (СЛ.9-10)

В математике существует понятие фрактала – геометрического образования, представляющего собой систему самоподобных фигур, расположенных относительно друг друга закономерным образом. Как форма и размер отдельных элементов, так и их взаимное расположение может быть описано математической формулой. (СЛ11)

Нравится ли вам смотреть на ночные молнии или представлять синии всполохи ветвящихся разрядов электрического оружия наноробота, разглядывать морозные узоры на окне или, может, вы любите ловить так непохожие друг на друга снежинки и рассматривать их неповторимую форму? Если да, то вам, несомненно, понравятся и фрактальные структуры.(СЛ12)

  Понятия фрактал и фрактальная  геометрия, появившиеся в конце  70-х, с середины 80-х прочно  вошли в обиход математиков и  программистов. Слово фрактал образовано от  латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. (СЛ13)

  А сходные структуры знали уже    древние греки, использовавшие для обозначения подобных фигур термин «гномоны». Гномоном называли рамку плотника, которой меряли прямые углы. Такая рамка, если ее приложить к квадрату, образует квадрат большего размера. То же название, гномон, получила у Герона Александрийского и геометрическая форма, дополняющая квадрат до квадрата большей площади. (СЛ14)

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому" (СЛ15)

 Почему же фракталы так красивы?...Так сказочно, обворожительно, волнующе красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature"-"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."Фрактальная графика - это не просто множество самоповторяющихся изображений, это модель структуры и принципа любого сущего.(сл 16)

 Вся наша жизнь представлена фракталами. Взять, к примеру, ДНК, это всего лишь основа, одна итерация, а при повторении… появляется человек! И таких примеров много. Нельзя не отметить широкое применение фракталов в компьютерных играх, где рельефы местности зачастую являются фрактальными изображениями .Фрактальная графика необходима везде, и развитие "фрактальных технологий" - это одна из немаловажных задач на сегодняшний день. Фракталы вокруг нас повсюду.Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции.(СЛ17)

 Классификация фракталов...

Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Существует три класса фракталов-1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ. Фракталы этого класса самые наглядные, их получают с помощью ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры получается геометрический фрактал. (СЛ 18-20) 2.АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ФРАКТАЛЫ. Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры. (СЛ 21-22)  3. Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы.(сд 23)

Я ПРЕДСТАВЛЯЮ ВАШЕМУ ВНИМАНИЮ ГАЛЛЕРЕЮ ФРАКТАЛОВ, СОБРАНЫХ МНОЮ В ИНТЕРНЕТЕ. (ЭТО ЛИШЬ КРОШЕЧНАЯ ЧАСТЬ ТОЙ КРАСОТЫ, КОТОРУЮ ПРЕДСТАВЛЯЮТ ФРАКТАЛЫ).(СЛ 24-46)

О применении фракталов...Прежде всего, фракталы - область удивительного математического искусства, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты и сложности! В контурах построенных изображений нередко угадываются листья, деревья и цветы. Одни из наиболее мощных приложений фракталов лежат в компьютерной графике. Во-первых, это фрактальное сжатие изображений, и во-вторых построение ландшафтов, деревьев, растений и генерирование фрактальных текстур. Современная физика и механика только-только начинают изучать поведение фрактальных объектов. И, конечно же, фракталы применяются непосредственно в самой математике. Достоинства алгоритмов фрактального сжатия изображений - очень маленький размер упакованного файла и малое время восстановления картинки.. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении. Нельзя обойти стороной и применения фракталов в самой математике. В механике и физике фракталы используются благодаря уникальному свойству повторять очертания многих объектов природы. Фракталы позволяют приближать деревья, горные поверхности и трещины с более высокой точностью, чем приближения наборами отрезков или многоугольников. Роль фракталов в машинной графике сегодня достаточно велика. Они приходят на помощь, например, когда требуется, с помощью нескольких коэффициентов, задать линии и поверхности очень сложной формы. С точки зрения машинной графики, фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале.

(47-52 слайд)Вашему вниманию фракталы в природе                                       (53-58 слайд)Применение фракталов в жизни человеком.                                      И в конце хочу подитожить:                                                                        Фрактальная наука еще очень молода, и ей предстоит большое будущее. Красота фракталов далеко не исчерпана и еще подарит нам немало шедевров - тех, которые услаждают глаз, и тех, которые доставляют истинное наслаждение разуму. Демонстрируя  необъятность этой темы послушайте  цитату: ”Такие фрактальные композиции или мандалы могут использоваться как в виде картин, элементов дизайна жилого и рабочего помещения, носимых амулетов, в форме видеокассет, компьютерных программ…” В общем, тема для исследования фракталов просто огромнейшая. Одно я могу сказать точно, мир гораздо разнообразнее и богаче, чем убогие представления нашего ума о нем.    (сл 59)

Литература:

  • Бенуа Мандельброт Фрактальная геометрия природы. 

  • А. Морозов Введение в теорию фракталов. 

  • Пайтген Х.О. Рихтер П.Х. Красота фракталов. 

  • Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. 

  • Божокин С.В. Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. 

  • K.J. Falconez Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. 

  • Федер Е. Фракталы. — С. 254, МИР, 1991. ISBN 5-03-001712-7. 

  • fractalsЛандэ Д.В. Фракталы и кластеры в информационном пространстве // Корпоративные системы 6'2005. - С. 35-39

В.Т. Гринченко, В.Т. Маципура, А.А. Снарский Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. — С. 264, Изд.ЛКИ, 2007



Подписи к слайдам:

Мир Фракталов.
ФРАКТАЛЫ
Фракталы вещь черезвычайно красивая, математическая.  Стоит присмотреться и можно обнаружить их повсюду.
ФРАКТАЛЫ
—  это геометрические  объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его уменьшенная копия.

Математика, если на нее правильно посмотреть, отражает не только истину, но и несравненную красоту. Бертранд Рассел.
Нравится ли вам смотреть на ночные молнии или представлять синии всполохи ветвящихся разрядов электрического оружия наноробота, разглядывать морозные узоры на окне или, может, вы любите ловить так непохожие друг на друга снежинки и рассматривать их неповторимую форму? Если да, то вам, несомненно, понравятся и фрактальные структуры!


Подписи к слайдам:

Понятие "фрактал".
Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'.
Из истории фракталов
А сходные структуры знали уже древние греки, использовавшие для обозначения подобных фигур термин «гномоны». Гномоном называли рамку плотника, которой меряли прямые углы. Такая рамка, если ее приложить к квадрату, образует квадрат большего размера. То же название, гномон, получила у Герона Александрийского и геометрическая форма, дополняющая квадрат до квадрата большей площади.
Одним из основных свойств фракталов является самоподобие. В самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию о всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому"
Красота фракталов
Почему же фракталы так красивы? Так сказочно, обворожительно, волнующе (какие еще есть эпитеты?) красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature" "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."
Интересный факт: Фрактальную форму имеет схема линий парижского мертополитена.
Геометрические фракталы
. Геометрические фракталыИменно с них и Начиналасьистория фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений.
Треугольник Серпинского
Для построения из центра равностороннего треугольника "вырежем" треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.


Снежинка Коха
Из геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Строится она на основе равностороннего треугольника.
Алгебраические фракталы
.Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов представляет собой многократный (итерационный) расчет функции Zn+1=f(Zn), где Z - комплексное число, а f некая функция.
Чтобы проиллюстрировать алгебраические фракталы обратимся к классике - множеству Мандельброта.
Все множество Мандельброта в полной красе у нас перед глазами
Справа-небольшой участок множества Мандельброта, увеличенное до размеров предыдущего рисунка.
Множество Жюлиа.
Программирование фракталов
На рисунке приведено несколько примеров фрактальных структур, построенных при помощи этой программы Псевдокод, описывающий общий принцип фрактала выглядит так.Объект рисуется в достаточно большом масштабе .Части этого объекта заменяются меньшими копиями этого объекта те заменяются еще меньшими и т. д...


Подписи к слайдам:

Мир Фракталов.
Мир Фракталов.
Мир Фракталов.
 Фракталы в народном творчестве
Фракталы на кухне
Фрактальные морские животные
Фракталы морского царства
Фракталы в квиллинге
Посмотрев очередной мастер-класс по квилингу, не осталось даже сомнений в фрактальности квиллинга. Ведь для изготовления различных элементов для поделок из квиллинга используется специальная линейка с окружностями разного диаметра. При всей красоте и неповторимости изделий, это - невероятно простая техника.
Фракталы в дизайне мебели
ИНТЕРЕСНО СТИХОТВОРЕНИЕ «ЧЕТЫРЕ ЧЕРВЯЧКА», ЗАНЯВШЕЕ ПЕРВОЕ МЕСТО В ИНТЕРНЕТ-КОНКУРСЕ БЕСКОНЕЧНЫХ СТИХОТВОРЕНИЙ:
ФРАКТАЛЫ В ЛИТЕРАТУРЕ
Четыре червячка Весеннею порою Обедали с грачом, И их осталось трое.   Три червячка встречали Экспресс на Бологое, Перебегали путь, И их осталось двое.  
Два червячка гуляли Среди прибрежных ив, Один ушел рыбачить, Один остался жив.   Один червяк не вынес Несовершенства в мире, Метнулся под лопату… И стало их четыре.   Четыре червячка…

«Под микроскопом он открыл, что на блохе Живет блоху кусающая блошка; На блошке той блошинка-крошка, В блошинку же вонзает зуб сердито Блошиночка, и так ad infinitum» Д.Свифт.
Фракталы и древние мандалы
Это мандала для привлечения денег. Утверджают, что красный цвет работает как денежный магнит. А витиеватые узоры вам ничего не напоминают? Мне они показались очень знакомыми и я занялась исследованием мандал в качестве фрактала.
Итог :
Демонстрирую необъятность этой темы цитатой: ”Такие фрактальные композиции или мандалы могут использоваться как в виде картин, элементов дизайна жилого и рабочего помещения, носимых амулетов, в форме видеокассет, компьютерных программ…” В общем, тема для исследования фракталов просто огромнейшая. Одно я могу сказать точно, мир гораздо разнообразнее и богаче, чем убогие представления нашего ума о нем.
Литература
Бенуа Мандельброт Фрактальная геометрия природы.А. Морозов Введение в теорию фракталов.Пайтген Х.О. Рихтер П.Х. Красота фракталов.Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах.Божокин С.В. Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы.K.J. Falconez Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.Федер Е. Фракталы. — С. 254, МИР, 1991. ISBN 5-03-001712-7.Ландэ Д.В. Фракталы и кластеры в информационном пространстве // Корпоративные системы 6'2005. - С. 35-39В.Т. Гринченко, В.Т. Маципура, А.А. Снарский Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. — С. 264, Изд.ЛКИ, 2007.
Xaos Dmoz.org: Chaos and Fractals Dmoz.org: Chaos and Fractals: Software Сайт "Хаос. Неленійна динаміка". — Розділ "Фрактали".
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
ПРЕЗЕНТАЦИЮ ПОДГОТОВИЛА учитель математикиНовоэкономической ОШКалашник Наталья Ивановна2012 г.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Геометрия фракталов. Множество Б. Мондельброта.

В статье раскрываются особенности построения фракталов...

Урок по теме "Фракталы"

конспект урока...

Статья Фракталы-геометрия природы и исскуство

Статья Фракталы-геометрия природы и исскуство...

Мир пластичной красоты.Фракталы

         На уроках геометрии мы изучаем окружности, параллелограммы, треугольники, квадраты ,т.е геометрию «Евклида». Однако в природе большей частью объекты «неп...

Более подробно о фракталах

Итоговый  урок  по проекту «Фракталы – это наука или красота?»  ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:•Расширить знание учащихся по теме “Фракталы ”;•показать области применения  фракталов  в жиз...