Статья Фракталы-геометрия природы и исскуство
творческая работа учащихся (8 класс) на тему

Гузев Константин

8 класс, МОУ « Лицей №5»

Руководитель: Дружинина И.И.,

учитель математики,

 «Фракталы - геометрия природы и искусство»

Я не ищу гармонии в природе.

Разумной соразмерности начал

Ни в недрах скал, ни в ясном небосводе

Я до сих пор, увы, не различал.

Как своенравен мир ее дремучий!

В ожесточенном пении ветров

Не слышит сердце правильных созвучий,

Душа не чует стройных голосов.

Николай Заболоцкий

Введение

В современном мире всё стремительно меняется. Это касается и самой «старой» науки – математики. Меня заинтересовало одно из открытий тридцатилетней давности – открытие фракталов – удивительно красивых и таинственных геометрических объектов.

На уроках геометрии мы изучаем окружности, параллелограммы, треугольники, квадраты и т.д. Однако в природе большей частью объекты «неправильные» - шероховатые, зазубренные, изъеденные ходами и отверстиями. По этому поводу родоначальник фракталов Б. Мандельброт в своей книге «Фрактальная геометрия природы» замечает следующее:

«Почему геометрию часто называют «холодной» и «сухой»? Одна из причин заключается в её неприспособленности описать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака – не сферы, горы – не конусы, береговые линии – не окружности, древесная кора не гладкая, а молния распространяется не по прямой. В более общем плане я утверждаю, что многие объекты в Природе настолько иррегулярны (от латинского неправильный, не подчинённый определённому положению, порядку) и фрагментированы, что по сравнению с Евклидом – термин, который в этой работе означает всю стандартную геометрию, - Природа обладает не просто большей сложностью, а сложностью совершенно иного уровня. Число различных масштабов длины природных объектов для всех практических целей бесконечно».

В своей работе я уделил основное внимание различным определениям фрактала, классификации фракталов, связи фракталов, природы и искусства, применение фракталов.

Цель работы: исследование фракталов.

Задачи: 

1. узнать, что такое «фракталы»;
2. изучить историю возникновения и развития фрактальной геометрии;
3. ознакомиться с биографией создателя фракталов – Бенуа Мандельброта;
4. показать применение фракталов в разных областях жизни.

Методы исследования: изучение и анализ источников информации.

Научная значимость данной работы состоит в оптимизации и упорядочивании существующей научно-методической базы по исследуемой проблематики- ещё одним независимым авторским исследованием.

Термин фрактал принадлежит Бенуа Мандельброту. Он дал следующее определение: «фрактал - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно). Фрактал - это такой объект, для которого не важно, с каким усилением его рассматривать в увеличительное стекло, но при всех его увеличениях структура остается одной и той же». Но существует и другое определение. Фрактал – геометрическое образование, представляющее собой систему самоподобных фигур, расположенных относительно друг друга закономерным образом. Как форма и размер отдельных элементов, так и их взаимное расположение может быть описано формулой.

Существует несколько разновидностей  фракталов, которые отличаются друг от друга не только способами построения, но и областями использования и самой сущностью этих фракталов.  

Самые большие группы это:

1. геометрические фракталы
2. алгебраические фракталы
3. системы итерируемых функций
4. стохастические фракталы

К геометрическим фракталам относят такие, как снежинка Коха и коврик Серпинского. Снежинка Коха строится на основе равностороннего треугольника. Каждая линия этого треугольника ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длинны.

Для построения коврика Серпинского из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника.

К алгебраическим фракталам относится множество Мандельброта. Фракталы данного типа получили такое название из-за того, что их строят на основе каких-либо алгебраических формул. Например, множество Мандельброта возникло в результате исследования преобразования комплексной плоскости, заданного формулой типа Z->Z2+C или Zn+1=f(Zn).

Типичный представитель стохастических фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив.

Фракталы и природа.

Фракталы окружают нас всюду: это деревья, горы, облака. Форму фрактала имеют легкие человека, мозг, кровеносная система и др. Причудливые очертания береговых линий и замысловатые извилины рек, изломанные поверхности горных хребтов и причудливые очертания облаков, раскидистые ветви деревьев и разветвлённые сети кровяных сосудов и нейронов, робкое мерцание свечи и вспенённые турбулентные (беспорядочные) потоки горных рек – всё это фракталы.

Фракталы и искусство.

Многообразие фракталов превосходит фантазию любого художника. Чего здесь только нет: листья «папоротника», расходящиеся причудливые узоры, невероятные изгибы и закрутки. Многоцветие, динамика и разрастание множеств поражает и завораживает. В этих современных математических картинах безраздельно властвует цвет, форма, богатейшая фантазия и тонкий композиционный расчёт. Все слито воедино. Компьютер, как мастистый и самобытный художник, создаёт прекрасные, радующее глаз, полотна.

Применение фракталов.

1. Наиболее полезным использованием фракталов в компьютерной науке является фрактальное сжатие данных. В основе этого вида сжатия лежит тот факт, что реальный мир хорошо описывается фрактальной геометрией.

2. Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы

4. Фракталы помогают геофизикам определять форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее слоях различных химических элементов, а астрономам – моделировать формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и космической пыли.

5. На сегодняшний день исследования в области фракталов получили широкое применение в таком важном разделе медицины как кардиология.

Таким образом, выяснилось, что фракталы окружают людей в их повседневной жизни постоянно. Фрактальная графика может применяться во многих областях естественных наук. Фракталы помогают геофизикам определять и предсказывать форму и характер растрескиваний земной коры, а астрономам – характер рассеивания лучей и космической пыли. Можно предположить, что форма и структура природных объектов, в том числе  и биологических, определяются всеобщими математическими закономерностями. С помощью фракталов можно определить поведение цен на рынке, характер распределения химических элементов в земной коре, создавать географические карты, моделировать формирование планетных систем и галактик.

Заключение

Фрактальная наука ещё очень молода, и ей предстоит большое будущее.

Задачи, которые открываются перед новой областью математики – фрактальной геометрией, - сложны и многообразны.

Но я убедился, что тем, кто занимается фракталами, открывается прекрасный, удивительный мир, в котором царят математика, природа и искусство.

Я думаю, что после знакомства с моей работой, вы, как и я, убедитесь в том, что математика прекрасна и удивительна.

В заключение хочется сказать, что после того как были открыты фракталы, для многих учёных стало очевидно, что старые, добрые формы евклидовой геометрии сильно проигрывают большинству природных объектов из-за отсутствия в них некоторой нерегулярности, беспорядка и непредсказуемости. Возможно, что новые идеи фрактальной геометрии помогут изучить многие загадочные явления окружающей природы. Как я показал, в настоящие время фракталы стремительно вторгаются во многие области физики, биологии, медицины, социологии, экономики.