Методика работы над математическими терминами, определениями, теоремами.
статья ( класс) по теме

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя образовательная школа № 2 с углубленным изучением иностранных языков» муниципального образования город Ноябрьск

Методика работы над математическими терминами, определениями, теоремами.

                                                                                        Подготовила:

                                                                                        Филиппова Ирина Витальевна,

                                                                                        учитель математики I категории

                                                                                        МАОУ  СОШ №2.                                                                          

г. Ноябрьск, 2016 год

 Математические понятия – важнейшая неотъемлемая часть науки и учебного предмета математики. Каждая математическая наука и учебная дисциплина начинается с первичных, основных неопределяемых понятий. Все другие определяются и называются определяемыми, выводными или производными. Это можно сделать в систематических курсах математических дисциплин, т.е. на определенном уровне развития учащихся.

Методика введения математических понятий.

      Организация введения понятий может быть реализована в рамках различных методов обучения: объяснительно-иллюстративного, когда учитель сам вводит новое понятие, и в рамках частично-поискового, когда учащиеся привлекаются к поиску нового определения. Эти методы получили названия соответственно абстрактно-дедуктивного и конкретно-индуктивного.

     Абстрактно-дедуктивный метод применяется обычно в тех случаях, когда введение понятия хорошо подготовлено предшествующим обучением. Например, после введения понятия параллелограмма вводится понятие прямоугольника.

     При том и другом методах содержанием обучения является выделение существенных свойств понятия и отделение их от несущественных. Конкретно-индуктивный метод требует больше учебного времени при своем использовании на уроке, но обеспечивает большую активность учащихся и обратную связь, на основании которой учитель делает выводы об эффективности работы по изучению понятий.

     Рассмотрим пример урока по теме «Смежные углы». Определение смежных углов имеет два существенных свойства: наличие у обоих углов общей стороны и то, что вторые стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. Эти свойства связаны между собой конъюнктивно. Объект подпадает под понятие, если имеет место каждое свойство. Это значит, что контрпримеров этому понятию можно привести три: когда отсутствует первое или второе или оба свойства сразу. Какими несущественными свойствами обладает это понятие, то есть какие свойства допускают вариации? Это соотношения между величинами углов, произвольность расположения на плоскости.

      Классу представлены следующие рисунки:

     а)                    б)                      в)                     г)                     д)

      Далее процесс восприятия и осознания направляется вопросами учителя к предложенным рисункам:

- назовите рисунки, на которых изображены два угла, имеющие одну общую сторону;

-назовите рисунки, на которых сторона одного угла является дополнительной полупрямой для стороны другого угла;

- на каких рисунках изображены углы, которые одновременно удовлетворяют двум предъявленным требованиям?

     В беседе роль учащихся может быть усилена, а вопросы можно поставить так, что уровень самостоятельности учащихся повысится:

- что общего на рисунках а), б) и г)?

- что общего на рисунках б), в) и г)?

-назовите рисунки, изображения на которых удовлетворяют двум выделенным требованиям.

     Далее учитель сообщает термин «смежные углы» и просит учеников сформулировать соответствующее определение. Для закрепления выделенных существенных свойств учитель дает задание обосновать, почему углы на рисунках а), в) и д) не являются смежными. Далее рассматривается, чем различаются смежные углы на рисунках б) и г) и чем вообще могут отличаться друг от друга пары смежных углов.

     Психологи (В.И. Зыкова, М.А. Холодная) считают, что при изучении всякого понятия должно быть установлено соответствие нового знания личному интеллектуальному опыту учащихся, в котором могут содержаться противоречия с новыми знаниями. С отношением «быть смежными» учащиеся сталкивались в быту: смежные - соседние участки земли, помещения. Необходимо подчеркнуть сходство и различие вновь вводимого понятия с имеющимися.

       Интересным для учащихся может оказаться перевод на русский язык различных математических терминов: радиус - спица колеса, хорда - струна, диаметр - поперечник (с греч.) и т. д., что раскрывает первоначальный смысл понятий, их происхождение и связь математики с окружающей действительностью.

       Применению всякого понятия на практике при решении задач предшествует узнавание его в некоторой конкретной ситуации, где оно может быть представлено в более или менее скрытой форме. За этим при решении задач следуют обоснование узнавания (подведение под понятие) и выведение следствий (использование понятия).

       В методике преподавания математики принято в качестве первых упражнений на закрепление вновь вводимых понятий предлагать упражнения на узнавание объектов с дальнейшим подведением под определение. Например, такими упражнениями на узнава- ние смежных углов могут быть задания выделить смежные углы на рисунке и обосновать свои утверждения.

       Это же понятие смежных углов может быть введено по-другому. Например, учитель просит учащихся построить в тетради и на доске любой угол, а затем продолжить одну из его сторон - построить дополнительную полупрямую. Далее с помощью учащихся выясняется, какими существенными свойствами обладают два полученных угла, рассматриваются различные чертежи из тетрадей учеников в качестве вариаций несущественных свойств, затем рассматриваются контрпримеры.

       Дальнейшее усвоение понятия «смежные углы» проходит на этапе применения понятия.

       Применение понятий и их определений.

            Знание определения еще не гарантирует усвоения понятия. Некоторые учащиеся, зная точную формулировку определения, не распознают определяемый объект в различных ситуациях, где он встречается. В практике решения задач при оперировании понятиями и их определениями актуальными являются умения: 1) подведение под определение; 2) подведение под понятие; 3) выделение «зоны поиска»; 4) выведение следствий из определения.

        Названные умения можно формировать в рамках приемов умственной деятельности - совокупности мыслительных операций, направленных на решение задач определенного типа.

        Следующий этап- процесс решения задач, в ходе которого формируется понятие.

В изучении любого учебного предмета, и особенно математики, важен этап систематизации материала, когда выясняется место данного понятия в системе других понятий. Это достигается следующими путями:

-установление связей между отдельными понятиями, теоремами;

-разноплановой систематизацией материала по различным основаниям;

-обобщением понятия; конкретизацией понятия.

        Можно сделать выводы.

1. При введении математических понятий учащиеся должны понимать, что существуют различные их определения. В учебнике выбирается одно из них из методических соображений.

2. Не обязательно сразу давать учащимся определение в законченной форме. Полезна деятельность школьников по отысканию правильной формулировки, ее уточнению, отбрасыванию лишних слов.

3. При повторении определения на последующих уроках следует на примерах показывать ошибочность определений учащихся, либо подтверждать приемлемость определений.

4. Необходимо вести систематическую работу по выработке навыков подведения под определение.

       Уровни усвоения учащимися понятий можно представить в виде следующей последовательности. Учащийся:

- узнает понятия;

- знает формулировку определения;

- понимает значение каждого слова, каждой составной части определения, отделяет существенные свойства от несущественных;

- может привести собственные примеры объектов, подходящих под определение;

- может доказать, почему некоторый объект подходит под определение, а другой - нет;

- может использовать понятия в явных ситуациях при решении задач;

- может использовать понятия в неявных ситуациях, при решении нестандартных задач.

        Перечисленные уровни - конкретные дидактические цели изучения понятий.

        Какие цели развития учащихся может ставить учитель при изучении определений? Это - учить правильно формулировать определения, отделять существенные свойства от несущественных, понимать зависимость между существенными свойствами в определении, осознавать приемы, которые используются при решении задач: подводить под определения, классифицировать, устанавливать связи между понятиями. Эти умения относятся к общим интеллектуальным умениям, так как используются в различных науках и школьных предметах. Эти умения являются умениями развитого понятийного логического мышления.

Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам.

      Доказывать, обосновывать свою точку зрения необходимо уметь каждому культурному человеку не только в математике, но и в жизни вообще. При обучении учащихся доказывать ту или другую теорему учителем ставятся цели развития учащихся (общие учебные задачи) - развитие творческого мышления (обучение поиску доказательства) и развитие логического мышления.

     При доказательстве теорем решаются следующие методические задачи:

- знакомство с содержание теоремы и ее доказательством вооружает учащихся материалом, который используется при изложении дальнейшего теоретического материала и решении разнообразных задач;

- доказательство развивает навыки логических рассуждений (неосознанного использования законов логики и правил вывода, умения различать прямую и обратную теорему, свойства и признаки понятий, необходимые и достаточные условия, формулировать предложения в различных формах и т.д.);

- доказательство приучает учащихся обосновывать свои суждения, использовать аналитико-синтетический метод в рассуждениях, рационально записывать ход рассуждений;

- доказательство теорем дает возможность осознать дедуктивный характер математики;

- в ходе доказательств теорем у учащихся развиваются умения проводить доказательство вообще, выделять тезис-требование и условия, в которых оно доказывается, расчленять рассуждения на отдельные логические шаги и обосновывать каждый шаг, получать следствия, анализировать формулировку теоремы, умения, связанные с поиском доказательства, с исследованием математических ситуаций и др.

       Таким образом, умение проводить доказательства теорем способствует сознательному и глубокому изучению учащимися математики на продолжении всего периода обучения.

       Принципы подхода к обучению учащихся теоремам и их доказательствам следуют из двух соображений. Во-первых, теорема – это новый материал, подлежащий изучению, и с этой точки зрения в изучении теоремы можно выделить следующие этапы: подготовка к изучению нового (пропедевтика), мотивация изучения нового материала, введение нового – организация его восприятия, понимания, закрепление, применение. Во-вторых, теорема является задачей на доказательство, выражающей некоторое важное отношение, свойство, и поэтому на методику изучения теорем распространяются рекомендации, относящиеся к различным этапам решения задач, таким как обучение поиску закономерности, идеи доказательства, обучение анализу условия и исследованию полученного решения.

       При обучении учащихся теоремам могут иметь место различные методы: объяснительно-иллюстративный, эвристический, исследовательский. Выбор метода обучения диктуется содержанием теоремы, методом ее доказательства, конкретными возможностями учащихся. Выбор метода осуществляется при логико-математическом анализе материала, подлежащего изучению. Как при объяснении нового материала учителем, так и при организации поисковой деятельности учащихся имеют место все перечисленные ранее этапы изучения нового материала, которые далее будут рассмотрены на конкретных примерах.

       Пропедевтика заключается в актуализации необходимых знаний. Например, перед доказательством формулы площади параллелограмма целесообразно вспомнить основные свойства площадей простых фигур, формулу для нахождения площади прямоугольника, признаки равенства треугольников.

      Для того чтобы повысить интерес к изучаемой теореме, чтобы ее изучение стало лично значимой целью (мотивация изучения нового материала), полезно перед изучением теоремы предъявлять интересные задачи, желательно практического содержания, которые для своего решения требуют изучения нового материала. Отсутствие необходимых знаний побуждает к поиску.

      Пример: как построить медиану равнобедренного треугольника, проведенную к его основанию, если вершина треугольника недоступна - задание, предъявляемое перед изучением соответствующего свойства равнобедренного треугольника.

      Очень часто приходится встречаться с таким фактом, когда учащиеся заучивают формулировки теорем, не осознавая полностью их смысла. Если ученик сам находит закономерность, сам формулирует теорему, то это позволяет избавиться от формализма в знании формулировок. Для самостоятельного получения формулировок теорем учащиеся могут использовать различные построения, вычисления, измерения, модели.

       Приведем примеры. Перед изучением теоремы Фалеса учащихся просят построить произвольный угол, отложить на одной стороне угла равные отрезки, через их концы провести параллельные прямые и измерить получившиеся отрезки на другой стороне угла. Сопоставление результатов, полученных разными учениками, приводит к гипотезе о существовании определенного отношения.

       Ошибки в формулировках теорем выявляются с помощью приведения контрпримеров. Эту работу можно отнести к этапу закрепления формулировки теоремы.

Например, если учащимися предлагается следующая формулировка теоремы: «Против большего угла лежит и большая сторона», то можно предложить рассмотреть в качестве контрпримера два неравных треугольника, для которых сформулированное предложение неверно.

       Для понимания формулировки и доказательства теоремы, для снятия трудностей в ее использовании необходимо выделять в формулировке условие и заключение, данные и требование. Это выполнить труднее, если теорема сформулирована в категоричной, а не условной форме. Поэтому категоричную форму полезно переделывать в условную и наоборот, что не всегда легко осуществляется. Задания для учащихся при этом могут выглядеть следующим образом:

1. Сформулировать в условной форме: а) теорему Пифагора; б) теорему о сумме углов треугольника; 3) теорему Виета; г) теорему о средней линии трапеции.

2. Сформулировать в категоричной форме: а) признаки равенства треугольников; б) признаки параллельности прямых и т. д.

       При формулировании теоремы учащиеся часто вместо требуемой теоремы произносят ей обратную. Этой логической ошибки можно избежать, изучая вопрос об обратных теоремах, формируя умения различать свойства и признаки понятий. Поэтому понятие об обратной теореме рассматривается в начале курса геометрии. При этом необходимо научить ученика строить предложение, обратное данной теореме, и определять его истинность. Рассмотрение ситуаций, когда предложение, обратное некоторой теореме, не является верным, способствует разграничению двух понятий: прямой и обратной теоремы и правильному их использованию.

      Краткая запись формулировки теоремы.

Переход от правильной формулировки к правильной схематической записи условия и заключения является работой, требующей достаточно развитого логического мышления. Записи условия и заключения теоремы должны быть настолько подробными, чтобы по записи можно было полностью восстановить текст формулировки теоремы. И в то же время запись условия не должна содержать ничего лишнего.

      Доказательство теоремы учащиеся могут получить с большой долей самостоятельности, если это доказательство предъявлено ученикам в виде последовательности задач, доступных для самостоятельного решения. Например, чтобы доказать свойство вписанного в окружность угла, достаточно предъявить учащимся три задачи с конкретными числовыми данными на нахождение числового значения величины вписанного угла по значению величины центрального угла в случаях, когда центр окружности лежит на стороне вписанного угла, внутри и вне угла.

       После получения и осуществления идеи доказательства теоремы, после записи доказательства теоремы необходим этап закрепления полученного доказательства. Этот этап является закреплением самого доказательства и предшествует закреплению и применению формулировки теоремы.

        Этап закрепления доказательства в изучении теоремы предполагает работу по выявлению, поняты ли идея, метод доказательства и отдельные его шаги. При осуществлении этапа закрепления полученного доказательства можно с помощью вопросов, обращенных к учащимся, снова «пройтись» по всему доказательству, можно попросить объяснить отдельные шаги доказательства, перечислить все аксиомы, теоремы и определения, которые используются в доказательстве, выяснить, где используется какое-либо данное, все ли условия оказались использованными, какое и почему дополнительное построение оказалось полезным при поиске доказательства, в чем заключается основная идея доказательства, что оказалось несущественным для доказательства и что может быть изменено, нет ли других способов доказательства рассматриваемой теоремы, всегда ли полученное доказательство имеет смысл.

       Повторение доказательства приобретает большую ценность, если оно варьирует обозначения на неизменном чертеже, а также сам чертеж. Например, если теорема о сумме углов треугольника изучается по чертежу, представленному на рис. а, то закрепление полезно провести по другому чертежу (рис. б).

       Все рассмотренные этапы изучения теоремы имеют место при любом методе изучения, как при частично-поисковом, так и при объяснительно-иллюстративном. Разница – в уровне активности и самостоятельности учащихся при получении доказательства теоремы.

       Следующий этап изучения теоремы – закрепление и применение формулировки теоремы. На этапе закрепления теоремы возможна работа над формулировкой теоремы, над ее запоминанием, обучением узнаванию изученной теоремы в различных ситуациях и применением в простейших случаях и в различных комбинациях.

       Поэлементной отработке каждого слова формулировки и ее запоминанию способствует компактный метод, когда формулировка теоремы, как и ранее рассмотренные формулировки определений, разбиваются на составные части и произносятся вслух и используются по частям. Такая работа способствует и осознанию, и запоминанию теорем.

       Узнаванию теорем в практических ситуациях, в частности теоремы о трех перпендикулярах, будет способствовать выполнение задания: выяснить, какие условия несущественны для применения теоремы, что можно варьировать в условиях задач, решаемых с помощью рассматриваемой теоремы.

        Еще один этап, рассматриваемый как этап изучения теоремы, - этап систематизации знаний. Известно, что никакой факт нельзя считать усвоенным, пока он не занял определенного места в имеющейся системе знаний. Понимая взаимосвязи между теоремами, ученик может восстановить самостоятельно забытые формулировки теорем, формулы. Для систематизации теорем важно выяснить место теоремы в системе других сведений: признаком или свойством некоторого понятия является теорема, следствием каких теорем она является и что является ее следствиями. Например, нельзя считать знание теоремы косинусов систематизированным, если учащиеся не понимают, что теорема Пифагора – частный случай этой теоремы. Такая работа, особенно на начальных этапах обучения геометрии, способствует пониманию дедуктивного характера построения самой геометрии.

        Наличие всех рассмотренных этапов при обучении каждой теореме требует большого расхода времени. И в полном, развернутом виде все этапы могут быть представлены лишь в отдельных, удобных для этого случаях. А в различных конкретных ситуациях на первый план выдвигается то один, то другой этап, предпочтение отдается то поиску формулировки, то обучению записи полученного доказательства, то поиску идеи доказательства, то исследованию – в зависимости от требований ситуации.

        Выделим возможные уровни усвоения учащимися теорем. Учащийся:

 1) правильно формулирует теорему, понимает каждое слово в формулировке;

 2) может привести свой пример на применение формулировки;

 3) может повторить доказательство;

 4) понимает идею и план доказательства, может варьировать обозначения, чертеж, метод доказательства;

 5) узнает и применяет теорему в знакомой ситуации;

 6) узнает и применяет теорему в незнакомой ситуации.

         Приведенные уровни усвоения теоремы являются перечислением дидактических целей – целей обучения, которые учитель ставит на отдельных уроках по изучению той или иной теоремы. В соответствии с выделенными целями строится урок – выбираются методы и формы работы, строятся системы упражнений.

Литература:

      1. Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики /Я.И Груденов. – М.: Просвещение, 1990.

2. Метельский , Н. В. Дидактика математики: Общая методика и ее проблемы: Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. / Н. В. Метельский. — Минск, 1982.

3. Саранцев, Г.И. Формирование математических понятий в средней школе /Г.И.Саранцев //Математика в школе. – 1998. -№6.

4. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец. 2104 «Математика» и 21056 «Физика» /А. Я. Блох, Е. С. Канин и др.; Сост. Р. С. Черкасов, А. А. Столяр. — М., 1985.