Решение задач с практическим содержанием для актуализации математических знаний
методическая разработка на тему

Создание инновационной модели обучения

Инновационная модель обучения состоит из двухмодульной программы и интерактивного ситуационного метода обучения.

Модуль 1 - теоретический, направлен на получение фундаментальных математических знаний. Особо следует заметить, что многочисленные закономерности окружающего нас мира, производства являются конкретными моделями общих математических зависимостей.

Модуль 2 - практический, состоит из практических занятий: выполнение учебных проектов, решение задач, выполнение творческих заданий. Цель - закрепление знаний, полученных в первом модуле, приобретение ситуационного опыта. В отличие от этого восприятие через личностный опыт запоминается надолго. (Лабораторные, практические работы, эксперименты).

Переход на ФГОС нового поколения требует пересмотра содержания математического образовании. На первый план выходит не просто передача знаний, умений и навыков, а формирование математической компетентности, которая выражается в способности применять математический аппарат для решения любых практических задач.

Слова И. Л. Лобачевского: «Математике должны учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни» - раскрывают главную  мысль моей методической темы. (сл 1)
Наличие знаний не означает, что они являются активным запасом учащихся, что ученики способны применять их в различных конкретных ситуациях .

Новая жизнь требует новых знаний. Люди должны в принципе уметь считать свои налоги, понимать, как распоряжаться своими деньгами и как оценить свое имущество, то есть знать математику для экономики, для повседневной жизни. И в этом плане необходимы более глубокие знания, связанные с бытовой сферой.

Дети не очень принимают излишнюю рационализацию, схематизацию уроков математики. Иногда со стороны учащихся можно услышать и «провокационные» вопросы: а зачем нам все это надо? зачем решать десятки, сотни примеров и задач? к чему нужно знать так много математических фактов и формул, ведь они, скорее всего не пригодятся нам в жизни? Такие вопросы особенно волнуют тех, кому с трудом даются точные науки. Но в этих вопросах есть свой жизненный резон. Чувство неудовлетворенности таким положением дел в области преподавания математики сложилось и у меня. Поэтому считаю необходимым, как можно более полно раскрыть непосредственную связь математики с современной жизнью, межпредметные связи. Пытаюсь добиться этого , сама составляя задачи с практическим содержанием, включаю в эту работу детей. Мы вместе создаем проекты и презентации, выполняем творческие задания.

Моя задача – обеспечить приобретение школьниками таких знаний, на которые они смогут широко опираться в трудовой и общественной деятельности.(сл4)

Трудовой и жизненный опыт школьников помогает усвоению математических знаний, а приобретенные знания находят применение на практике. (сл5)

Эту двустороннюю связь представляется возможным наиболее широко осуществлять, решая на уроках математики  и применяя во внеклассной работе задачи с практическим содержанием.

К задачам с практическим содержанием предъявляются наряду с общими требованиями следующие дополнительные требования:

- познавательная ценность задачи и ее воспитывающее влияние на учеников;

- доступность школьникам используемого материала;

- реальность описываемой в условии задачи ситуации, числовых значений данных, постановки вопроса и полученного решения.(сл6)

В 5х классах я предложила ребятам составить задачи к устному счету, поработав фотокорреспондентами.  А материал к задачам они собирали в своей же школе . Они разбились на 3 группы и  составили следующие задачи:

«В нашей школе  учебники выдаются в библиотеке.  Срок годности каждой книги 5 лет. Скольким ребятам придется покупать новые учебники, если в каждом классе найдется ученик, который испортит хотя бы один учебник, если в школе 36 классов?»

«Вася постоянно забывает выключить свет в своей комнате, когда вечером на 2 часа убегает гулять. Сколько напрасно потратила семья на электричество в декабре, если 5 минут горения лампочки стоит десять копеек, а их в люстре пять?»

 Ценность этой работы и состоит в том, что малыши, сами того еще не осознавая , использовали все требования , предъявляемые к прикладным задачам: и познавательную ценность, и доступность материала , и реальность описываемой в задаче ситуации. Ну и конечно такого рода работа имела для них огромное воспитывающее влияние.

Решать задачи с практическим применением можно на разных этапах урока и во внеурочное время .(сл 9)

- Мотивировка введения новых математических знаний.

Предварение изучения математической теории постановкой практической задачи представляет хорошие возможности для использования на уроках математики элементов проблемного обучения, значимость которого трудно переоценить.

 Использование таких задач обеспечивает более осознанное овладение математической теорией, учит школьников самостоятельному выполнению учебных заданий, приемам поиска, исследования и доказательства. Для постановки проблемы перед изложением нового материала следует использовать задачи с практическим содержанием, отличающиеся ясностью и простотой решения.

В 5 классе перед введением понятия среднее арифметическое можно, разбив ребят на 3-4, не равные по кол-ву учеников,  группы, дать им задание на устный счет, проставить баллы за правильно выполненное задание и попросить подсчитать общее кол-во баллов в группах. Затем попросить оценить, чья же группа лучше всех справилась с заданием. Как правило, пятиклассники лучшими считают ту группу, где набрано наибольшее количество баллов, не обращая внимания на количество учеников в группах. Но, затем сами же начинают сомневаться в справедливости своего решения, обратив внимание, что той группе, где самое большое кол-во баллов, не все ученики правильно ответили на вопросы. Естественно возникает вопрос: а как справедливо выбрать победителя? – надо разделить кол-во набранных баллов на число учеников в данной группе. К этому выводу школьники приходят самостоятельно, что повышает внимание, желание осознанно изучать теоретический материал по данной теме. (сл10)

Перед введением понятия линейной функции в 7 классе я предлагаю учащимся такие задачи: 

• Трактор стоит 180000 руб, а годовая амортизация (износ) составляет 2800 руб. Выразите стоимость трактора в зависимости от времени его эксплуатации.

Если  обозначим время эксплуатации трактора через t лет, а фактическую его стоимость через у руб., то зависимость стоимости трактора от времени его эксплуатации выразится формулой

 у=180000 – 2800t

Или

• «Выразить зависимость расстояния, пройденного биатлонистом (у) от количества (х) штрафных баллов, если вся дистанция 5 км, а за каждый неверный выстрел ему приходится бежать еще 150 м »

 у= 5+0,15х

С подобными зависимостями ребята встречаются впервые, вид и свойства этих зависимостей им неизвестны.(сл11)

Обобщая данные формулы, я ввожу определение линейной функции и рассматриваю ее свойства. Здесь существенно подчеркнуть, что все рассмотренные примеры являются конкретными моделями линейной функции, имеющие все те свойства, которыми эта функция обладает.

Такой подход к введению математических понятий позволяет обусловить необходимость их введения потребностями практики. 

Трудно переоценить решение практических задач на нахождение экстремальных значений величин. То есть задач на нахождение наибольших и наименьших значений. Эти задачи имеют большое значение, как для математики, так и для ее приложений.(сл12)

• На стене висит картина. На каком расстоянии от стены она видна под наибольшим углом.
• На какой высоте надо повесить лампу, чтобы получить наибольшую освещенность.
• Из имеющих досок построить забор, чтобы огородить им прямоугольный участок земли, имеющий наибольшую площадь.

Во всех приведенных задачах, несмотря на их различие, мы находим общие черты: речь идет о том, как при разнообразных возможностях использования средств добиться наилучшего эффекта.

Перед человеком постоянно возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.)

Я знакомлю ребят и с самой древней экстремальной задачей,  известной как задача Дидоны.  (сл13)

• Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген.

Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. «И сегодня на уроке мы рассмотрим, как решаются такие задачи с помощью производной», - говорю я ребятам.

Иллюстрация учебного материала.(сл14)

Примеры из окружающей действительности позволяют раскрывать перед учащимися практическую значимость математики, широкую общность ее выводов. Эти примеры должны быть простыми, убедительными, доступными пониманию школьников.

Особо следует заметить, что многочисленные закономерности окружающего нас мира, производства являются конкретными моделями общих математических зависимостей.(сл15)

Так прямую пропорциональную зависимость, выраженную формулой у=kx, можно иллюстрировать зависимостями между длиной окружности и ее диаметром:

• С=пd, где С- длина окружности, d- диаметр;
• , между стоимостью товара и его количеством
• А=аn, где А- стоимость купленного товара,n- количество, а- цена;
• Между расстоянием при постоянной скорости и временем движения
• S=Vt, где S- путь, V – скорость, t – время.

Считаю полезным задать ученикам следующие вопросы:

являются ли прямо пропорциональными:

• масса сахарного песка и его стоимость;
• масса медного провода и его длина;
• рост человека и его возраст?

 Также считаю полезным некоторые задачи учебника, которые не вызывают интерес у детей иллюстрировать практическими задачами, которые все ребята с интересом решают. При составлении я применяю различные формулировки задач: формулировки – рассказы, задачи – расчеты и др. То есть стараюсь избегать шаблонов и однообразия.(сл16)

Тема: «Длина окружности» 6 класс

• Даны две концентрические окружности. Длина одной 62,8 см, а радиус другой больше радиуса первой на 60 см. Вычислить длину второй окружности.

 Я предлагаю решить такую задачу:

• Чтобы сделать выкройку юбки «солнце» для девочки , построили две концентрические окружности. Длина одной из них равна длине «окружности талии» - 62,8 см., а радиус другой больше радиуса первой на (длину юбки) 60 см. Вычислить длину каймы, которая понадобится для того, чтобы подшить нижний край юбки.

Или задачу на тему «Площадь круга»

• Диаметр одного круга 2мм, а другого 6 мм. Во сколько раз площадь первого круга меньше площади второго?

я заменяю

• Зрачок человеческого глаза в зависимости от степени яркости света изменяется в размере от 2мм до 6мм. Во сколько раз площадь расширенного зрачка больше площади суженого?

При решении задач на нахождение экстремальных величин задачу

• «Периметр участка Р км. Какую длину должны иметь стороны участка, чтобы площадь была наибольшей.»

я заменяю сказочной задачей

• «В старинной русской сказке барин говорит крестьянину: “ Какой участок земли успеешь обежать с восхода до захода Солнца, он твой”»

 Закрепление и углубление знаний(сл17)

Различны формы использования задач с практическим содержанием для закрепления и углубления знаний. Эти задачи могут быть применены и в работе со всем классом, и для индивидуальной работы, и в качестве творческих заданий.

2 года назад в нашей школе был создан экологический лагерь.(сл18)

В настоящее время остро стоит проблема экологического образования населения, необходимо непосредственное общение человека с природой, изучение ее законов. Особенность школьного экологического лагеря состоит в том, что совместно с отдыхом и   оздоровлением детей идет непринужденное усвоение информации непосредственно в природном окружении, проводится исследовательская и научная работа в интересной, доступной форме для детей. (сл 20-22)

На уроках геометрии в 11 классе я знакомлю ребят с геометрическими телами и их объемами. Основную часть урока после вывода формулы вычисления объема конуса, например, решаю задачи с практическим содержанием, связанных с конусом. Сначала обсуждается одна из ситуаций, в которой фигурирует объект, имеющий форму конуса (это куча щебня), ищется решение проблемы измерения необходимых для решения задачи величин.

• «Найти объем кучи щебня.»(сл22)

-Будем считать, что куча щебня имеет форму конуса. Какие элементы конуса необходимо знать, чтобы вычислить объем?

- Объем конуса вычисляется по формуле V=1/3пR2h, значит надо знать радиус основания и высоту конуса.

- Радиус и высоту невозможно найти непосредственным измерением. Как найти радиус основания в этом случае?

- мы можем измерить длину окружности основания кучи щебня и разделить ее на 2п.

- Каким образом можно найти высоту конуса?

- Сначала необходимо , перекинув измерительную ленту через вершину кучи щебня, измерить длину двух образующих и разделить ее на 2. Затем , зная радиус и длину образующей, вычислим по теореме Пифагора высоту кучи щебня.

- после измерений получили: длина окружности кучи щебня равна 7,2м. длина двух образующих 2,6м. найдите объем этой кучи, считая п=3.

1)R=7,2/6=1,2м

2)L=2,6/2=1,3м

3) h2=1,69-1,44

h=0,5м, тогда V=0,72м3.

Далее я предлагаю ребятам решить следующие задачи(сл23)

• №1 В романе «Мальчик-моряк» Майн Рид повествует о юном любителе морских приключений, который неожиданно оказался закупоренным в трюме на все время морского перехода. Роясь в багаже, он наткнулся на ящик сухарей и бочку воды. «Мне необходимо было установить дневную порцию воды. Для этого нужно было узнать, сколько ее содержится в бочке, а затем разделить на порции. Я знал, что бочку можно рассматривать как два усеченных конуса, сложенных своими большими основаниями». Что удалось вычислить мальчику, и как он нашел объем бочки?
• №2 Вы - руководитель предприятия. Поставщик, указывая на кучу угля, имеющую коническую форму, предлагает вам ее вывезти, утверждая, что в ней такое-то количество куб метров угля. Какие измерения вы можете произвести, чтобы узнать объем этого груза и убедиться, что вас не вводят в заблуждение?

При изучении темы «Диаграммы» 5 класс данные для диаграмм беру прямо из классного журнала, предлагая ребятам выполнить творческие задания, построить диаграммы успеваемости класса по различным предметам. (сл24)

Д. Пойа говорил: “Математический опыт учащегося нельзя считать полным, если он не имел случая решать задачу, изобретенную им самим”.(сл25)

Ребята с большим удовольствием составляют задачи, причем очень часто материал для них берут из энциклопедий , в справочниках, в интернете. Мы выпустили  электронный сборник задач «СиР» (составь и реши). В него вошли задачи, придуманные обучающимися разных классов, с иллюстрациями самих авторов .

 В этом сборнике много задач экологических. Вот одна из них(сл26)

• Брошенная на землю кожура от банана в нашем климате разлагается около 2 лет. Брошенный окурок сигареты разлагается на два года дольше. Пластиковый пакет разлагается на восемь лет дольше чем окурок. Сколько лет потребуется для того чтобы разложился пакет? На сколько лет раньше разложится кожура от банана? (12 лет, на 10лет).

В сборнике много задач, составленных учениками пятых – шестых классов по теме «Действия с рациональными числами», так как эта тема вызывает наибольшее затруднение у школьников, а составление задач  помогает ученикам устранить пробелы в знаниях.

• На содержание лошади заводчик расходует 600 рублей в день. На соревнованиях лошадь заняла первое место и принесла прибыль 5000 рублей. Принесет ли лошадь прибыль заводчику, если она за месяц выиграет  3 соревнования?

• Почтальон Печкин пошел на пенсию и решил выращивать цветы для продажи. Он купил 15 луковиц лилий по 100 рублей, но взошло только 12 из них. Получит ли Печкин прибыль, если эти лилии он продаст по  150 рублей за цветок?

• Численность постоянного населения Якутии (в 1999г) 1000,7 тыс. человек. Площадь территории Якутии равна 3103,2 тыс. кв. км. Сколько кв.км приходится на одного человека. Ответ округлите до десятых и  выразите в га.(3,1 кв. км; 310 га). 

• Площадь нашего Красногорского района 220 кв. км, а живет в  районе постоянно 150,25 тыс. человек. Какая площадь приходится на одного нашего земляка?(0,001464 кв.км; 1464 кв. м)

Задачи экономического содержания (сл27)

 Среди практических задач существенно выделить задачи с экономическим содержанием. Их значимость обусловлена тем вниманием, которое уделяется в настоящее время проблеме экономического воспитания и образования.

Умение выполнять процентные вычисления - безусловно, одна из самых необходимых математических компетенций. На ЕГЭ только пятая часть выпускников справляются с такими задачами. Это говорит о том, что задачи на проценты надо решать не только в 5-6 классах, где изучается эта тема, но и на протяжении всех лет обучения в школе. Особый интерес представляют задачи не из задачника, а прямо с газетной полосы. (сл29)

На газетных публикациях можно построить целый урок. Но сам по себе газетный текст никакой задачи не содержит. Ее надо «увидеть». При этом придуманный учителем вопрос должен быть естественным и актуальным. (Сл.30)

Задача №1. (Р.Г., 16.10.09 г.)

• «Мировой финансовый кризис может крепко ударить по российским туристам. Если, например, в прошлом году перелет  в Таиланд стоил 700$, то уже в этом году уже 1000$». На сколько процентов подорожал перелет до Таиланда? На сколько процентов в прошлом году он был дешевле?

Задача №2. (К.П. 13.01.09 г.)

• Инфляция за последние годы: 2006 – 9%, 2007 – 11,9%, 2008 – 13,3%. На сколько процентов выросли цены за эти 3 года?

Задача №3. (К.В. 20.01.10 г. )

• «Средний размер пенсий увеличился за год на 17%, а цены поднялись на 12%. В результате реальный размер пенсий вырос всего на … процентов». Что написано вместо многоточия?

Много интересных практических экономических задач составлено и для подготовки старшеклассников к ЕГЭ. Считаю необходимым использовать их и на уроках математики в средней школе. Например: (сл31)  

№1 Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интернет) предлагает три тарифных плана.

Пользователь планирует, что его трафик составит 600 Mb и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Mb?

№2 Телефонная компания предоставляет на выбор три тарифных плана. 

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из предположения, что общая длительность телефонного разговора составляет 900 минут в месяц. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 900 мин? Ответ дайте в рублях.

№3 При строительстве сельского дома можно использовать один из двух типов вариантов фундамента: каменный или бетонный. Для каменного фундамента необходимо 9 тонн природного камня и 10 мешков цемента. Для бетонного фундамента необходимо 8 тонн щебня и 57 мешков цемента. Тонна камня стоит 1650 рублей, щебень стоит 610 рублей за тонну, а мешок цемента стоит 220 рублей. Сколько рублей придется заплатить за материал для фундамента, если выбрать самый дешевый вариант?

Обычно на учащихся производят впечатление выполнение расчетов, связанных с вычислением затрат государства на обучение в школе.(сл32)

Особого внимания заслуживает воспитание у школьников бережного отношения к главному богатству страны – хлебу.(сл32)

Решение задач связанных с выполнением таких расчетов, а также ориентированных на бережное отношение к школьному имуществу, технике и другим материальным ресурсам, формирует у учеников активную жизненную позицию, воспитывает уважение к труду взрослых.

На более высоком уровне применение математических методов в экономике может быть рассмотрено в старших классах при решении задач на оптимизацию. Например :

• На какой высоте нужно повесить электрический фонарь в центре площади ,чтобы осветить возможно сильней края площади?(сл33-38)

Несмотря на то, что задачи с практическим содержанием не могут составить единой самостоятельной дидактической системы задач, которые необходимы для закрепления всего теоретического материала, но применение их на практике дает положительный результат. Результаты сдачи ОГЭ и ЕГЭ обучающихся стабильно выше результатов аттестации по району и области.

Многие учащиеся активно участвуют в различных олимпиадах и конкурсах по математике («Математика и проектирование», «Кенгуру», муниципальная научно - практическая конференция «Математика – это интересно» и т.д). Есть победители и призеры.

Данная методика доказывает, что применение ранее приобретенных знаний в новых условиях, решение практических задач на уроках математики способствует качественному изменению знаний и повышает уровень математической культуры учеников, компетентности обучающихся, что является необходимым требованием ФГОС нового поколения.