Изучение нового материала на уроках математики
статья на тему

 Изучение нового материала

 на уроках математики

Ключевым элементом в структуре многих уроков является изучение нового материала. С опорой на него или во взаимосвязи с ним решаются на уроках остальные вопросы: закрепление, контроль и т.д. В процессе обучения математике оно чаще всего связано с решением проблем, возникающих, при изучении математических понятий, предложений и доказательств. При этом можно выделить три основных этапа:

- подготовка к восприятию,

- введение нового материала,

- первичное осмысление этого материала.

Этап подготовки к восприятию нового материала во многом связан с формированием опорных знаний. Этого, однако, может оказаться недостаточным для обеспечения готовности учащихся к получению новых знаний. Подобное чаще всего наблюдается в тех случаях, когда в процессе преподавания не уделяется должного внимания мотивировке изучения нового или актуализации опорных знаний.

Рассмотрим на конкретных примерах некоторые способы решения данной проблемы.

1. Подготовка к изучению, например, понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников через выявление их существенных признаков и актуализацию опорных знаний может быть осуществлена после рассмотрения теоремы о сумме углов треугольника в процессе предварительного решения следующей системы упражнений:

- Какой угол называется острым, прямым, тупым?

- Изобразите какой-ни6удь острый, прямой и тупой углы.              

- Если один из углов треугольника прямой, то чему равна сумма двух других углов?

- Верно ли, что, если из углов треугольника прямой, то два других угла будут острыми?

- Если один из углов треугольника тупой, то будет ли сумма двух других углов меньше 90°?

- Почему два угла треугольника будут острыми, если третий угол тупой?                  

- Если все углы треугольника равны, то чему равен каждый из них?

- Могут ли все углы треугольника быть острыми?

- Изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол тупой.

- Изобразите какой-нибудь треугольник, у которого один угол прямой.

- Изобразите какой-нибудь треугольник, у которого все углы острые.

- Как бы вы назвали каждый из трех изображенных треугольников?

При подготовке к изучению других определяемых понятий можно также использовать практические примеры, показывающие целесообразность их изучения, соответствующие наглядные пособия, приводить краткие исторические справки т.п. А перед введением основных понятий желательно мотивировать факт невозможности определения всех математических понятий. Действительно, определяя некоторое математическое понятие, мы сводим его к более общему, которое, в свою очередь, при определении сводится к ещё более общему понятию и т.д. Но этот процесс не может быть бесконечным. Таким образом мы придём к понятиям, не сводимым к другим, которые в математике принято называть основными или неопределяемыми.         

2. В ходе подготовки учащихся к восприятию аксиом (о чем начата речь в предыдущем пункте) - математических предложений, описывающих свойства неопределяемых (основных) понятий и потому принимаемых без доказательств, - нельзя упустить главного. Оно отражается и в значении греческого слова аксиос, от которого произошло слово аксиома - это утверждение, не вызывающее сомнений. Иначе говоря, к восприятию содержания аксиом - будь то аксиомы арифметики, алгебры или геометрии - учащиеся должны быть подготовлены заранее. В том числе и через многократное выполнение разнообразных упражнений: рассмотрение и обсуждение частных случаев, моделей и т.д.

Для подготовки учащихся к восприятию формулировок теорем следует организовать совместно с ними деятельность но выдвижению гипотез. Например, перед изучением теоремы о сумме внутренних углов треугольника можно заготовить несколько бумажных моделей различных треугольников.

Предварить изучение других математических предложений - следствий, свойств, признаков, формул и т.д. - возможно также  через целенаправленное формирование вспомогательных навыков. Так, к моменту изучения формулы, разности квадратов двух выражений все учащиеся должны научиться находить, читать и записывать:

- сумму двух данных выражений;

- их разность;

- произведение суммы двух выражений и их разности;

- квадраты данных выражений;

- разность квадратов двух выражений;

-разность квадратов двух выражений и квадрат разности двух выражений.

Достигается это путём планомерного выполнения на нескольких уроках подряд соответствующих упражнений до формирования у учащихся устойчивых навыков по распознаванию, чтению и записи отмеченных выражений.

3. Чтобы подготовить учащихся к восприятию доказательств математических предложений, желательно там, где это возможно, предварительно реализовать идею доказательства на частных случаях если этого не сделано в используемом учебнике. Например, перед доказательством предложения о том, что графиком квадратичной функции y = ах2 + Ьх + с является парабола, можно сначала решить задачу на построение графика функции у == Зх2- 6х + 5. В ходе её решения выделить полный квадрат, и тогда исходная формула приводится к виду у = 3(х - I)2 + 2, откуда следует, что графиком функции у = Зx2- 6х + 5 является парабола. Затем эта же идея реализуется в общем виде при обосновании рассматриваемого предложения.

Облегчить изучение доказательств может и предварительное выделение из них подзадач, решение которых рассматривается заранее.

Не менее важно готовить учащихся к выбору тех или иных дополнительных построений, используемых при доказательствах теорем. Вернемся к примеру об использовании бумажных моделей при подготовке к изучению теоремы о сумме углов треугольника. Надо заранее заготовить два равных треугольника и один из них использовать для демонстрации, а другой, для вырезания необходимых элементов. Вместе с учащимися выясняем, что можно было бы вырезать только два «угла» треугольника, а потом сложить их с оставшимся. Сначала каждый из двух вырезанных «углов» совмещается с соответствующим углом демонстрационного треугольника, чтобы убедиться в их равенстве.

В этом случае, выдвигая гипотезу о сумме углов треугольника, обращаем внимание ещё и на то, что полученная прямая при одной из вершин треугольника оказывается параллельной противолежащей стороне. Впоследствии же такое дополнительное построение может быть использовано при доказательстве теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Среди различных способов ознакомления с новым материалом выделим три — новый материал объясняется:

- самим учителем,

- в ходе совместной деятельности с учащимися,

- отрабатывается учащимися самостоятельно.

Выбор каждого из этих способов зависит прежде всего от того, каким временем располагает учитель на уроке для изложения нового, от степени готовности учащихся к его восприятию и от содержания вводимых понятий, предложений и доказательств. Последнее рассмотрим подробнее на примерах.

1. Изучение новых понятий связано, как правило, с введением соответствующих определений, терминов и символов, их обозначающих. Вместе с тем важно выявить в определениях (вне зависимости от способа определения понятий) определяющее (родовое) понятие и существенные свойства (видовые отличия) определяемого понятия. Без этого не только осмысление, но и дальнейшее использование вводимых понятий становится проблематичным. Последовательность же реализации рассмотренных этапов введения математических понятий может быть различной.

 Так, выполнение приведённой выше системы упражнений по подготовке к изучению видов треугольников в зависимости от величины их углов можно завершить, введя соответствующие термины и констатируя следующие положения:

- в каждом случае мы рассматривали треугольники (устанавливается определяющее понятие);

- в остроугольном треугольнике все углы острые, в прямоугольном— один из его углов прямой, в тупоугольном - один из его углов тупой (устанавливаются существенные признаки определяемого понятия).

Тогда последующее формулирование определений понятий остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольников не вызывает затруднений у учащихся. В таких случаях им можно предложить самостоятельно изучить соответствующий материал по учебнику.

   Можно использовать несколько иной подход, который заключается в том, что учитель сразу показывает учащимся возможный способ построения определяемого объекта и знакомит их с термином, его обозначающим. После этого формулирование определения нового понятия можно провести совместно с учениками.

   Иной путь может быть предложен, если новое понятие вводит сам учитель (скажем, в целях экономии времени). Проиллюстрируем его на примере введения понятия линейной функции:

- учитель сразу формулирует определение нового понятия (линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида у = kх + b, где х -независимая переменная,ka и b - некоторые числа);

- мотивирует обозначение его соответствующим термином, а там, где требуется это, то и символом (сообщает, что термин «линейная» связан с графиком функции у =kх + b, который будет рассмотрен позднее);

- выделяет в определении определяющее  понятие (функция) и существенные свойства определяемого понятия (ее можно задать формулой у = kx + Ь, где х — независимая переменная.k  и b - некоторые числа);  

   - иллюстрирует введенное понятие конкретными примерами (у = 2х - 3, у = - х, у = 8).

2. При любом способе введения математических предложений учащимся должны быть тщательно разъяснены их формулировки. Особые трудности здесь возникают в тех случаях, когда этап подготовки к их изучению не был эффективно использован.

Иначе говоря, не понимая смысла понятий и отношений, используемых в формулировках математических предложений, учащиеся не в состоянии уяснить их содержания в целом. Последнее же сводится к тому, чтобы по данным формулировкам математических предложений установить их условие и заключение. Так, если речь идёт о теореме, то следует выделить и уяснить по её формулировке, что «дано» и что «требуется доказать». К тому же и переход к доказательству теоремы, как правило, осуществляется лишь после того, когда будут выделены её условие и заключение.

Казалось бы, выделение условия и заключения теоремы по её формулировке не должно, вызывать затруднений у учащихся. На самом же деле они не всегда в состоянии отделить их, особенно в тех случаях, когда формулировка теоремы дана в категоричной форме. Приведем пример такой формулировки теоремы: «вертикальные углы равны»

Пытаясь выяснить у учащихся, что «дано» , что «требуется доказать» в этой теореме, мы можем поставить их в весьма затруднительное положение. Как выйти из подобной ситуации? Чтобы выйти из подобной ситуаций, следует переформулировать теорему из категоричной формы в условную. В рассматриваемом примере, перехода к условной формулировке теоремы, имеем: «Если два угла - вертикальные, то они равны.»,

В этой формулировке теоремы появились явные ориентиры: её условие заключено между союзами «если» и «то», а заключение - за союзом «то», что позволило преодолеть отмеченные трудности.

Конечно же вводить в употребление термины «категоричная» и «условная» формулировки теорем не следует. Однако умение переводить формулировки теорем из категоричной в условную и наоборот, может понадобиться, в частности, и, при выдвижении гипотез перед введением теорем, и при «открытии» теорем.

3. Объяснение учителем доказательств математических предложений не должно сводиться лишь к более подробному изложению соответствующего текста учебника. В противном случае могут сместиться акценты в обучении: тогда оно будет содействовать формальному заучиванию учащимися текстов доказательств без должного развития умений рассуждать и доказывать.

 Осмысленному восприятию способствует первоначальное выделение идеи (плана) доказательства с последующей её детализацией. Например, выяснив условие и заключение одного из признаков параллелограмма (если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник - параллелограмм), можно сначала наметить идею доказательства.

Правда и при этом ряд вопросов остаётся открытым. Как научиться, например, догадываться и проводить нужные дополнительные построения, выявлять идею или находить само доказательство? Заметим, что эти недостатки являются типичными для синтетического доказательства математического предложения (доказательства, ведущего в направлении от его условия к заключению). Применяя  в обучении только синтетические доказательства, мы обрекаем учащихся на пассивное наблюдение за ходом их проведения, так как выбираемая в ходе проводимого доказательства последовательность рассуждений становится им понятной, как правило, лишь после его завершения.

Возможен другой путь решения этой проблемы, при котором применяется аналитическое доказательство математического предложения {доказательство, ведущееся в направлении от его заключения к условию). (Пример)

На этом примере можно убедиться в том, что аналитический метод позволяет мотивировать выполнение дополнительных построений и всей последовательности рассуждений при проведении доказательств. Однако даже в рассмотренном аналитическом доказательстве выбранная последовательность рассуждений на отдельных этапах могла не привести к цели. Поэтому более универсальным представляется применение аналитико-синтетических доказательств с использованием как цепочек выводов, идущих от условия, так и цепочек выводов, ведущих к заключению. Затем, после замыкания этих цепочек, прослеживается всё доказательство от условия до заключения

Данная методика может быть с успехом использована не только для вовлечения учащихся в совместную с учителем деятельность по отысканию доказательств, но и для самостоятельного «открытия» ими теорем.

«Открытие» теорем учащимися возможно и в ходе специально организованной деятельности. Так, приступая к изучению теоремы. Виета, учитель сначала предлагает учащимся выполнить следующую систему заданий:

- Вспомните, какие квадратные уравнения называют  приведёнными и .приведите примеры.

- Запишите приведённое квадратное уравнение (х2 + рх + д = 0) и найдите значение его дискриминанта.

- Составьте формулы корней х1 и х2 приведённого квадратного уравнения.

- Найдите сумму корней х 1 и х 2 сделайте вывод.

- Найдите произведение корней х1 и х 2 и сделайте вывод.

   - Обобщая полученные результаты, учитель сообщает, что учащиеся «открыли» теорему Виета, и разъясняет, почему она была так названа.  

 Наконец, доказательства вводимых математических предложений могут быть даны учащимся для самостоятельного изучения. Предлагаемый при этом материал должен быть посильным для них, а в случае необходимости учащиеся обязательно должны получать исчерпывающие разъяснения учителя по возникающим вопросам. Разумеется, ребят надо готовить к самостоятельному изучению доказательств математических предложений. Например, если выделенные из доказательства теоремы Пифагора подзадачи,  были заранее решены, то при самостоятельном изучении этой теоремы по учебнику основные трудности будут сняты. В самом деле, учащимся в этом случае остаётся разобраться только в том, как находить сумму квадратов катетов.

Конечно же, мы отчасти затрагиваем здесь и вопросы, связанные с решением более общей проблемы - формирования готовности учащихся к самообразованию.

Первичное осмысление учащимися нового материала в большей степени связано с необходимостью осознать определения вводимых понятий, формулировки математических предложений и осуществлённые доказательства.

Осознание учащимися определений математических понятий достигается главным образом в процессе формирования у них умений:

- выделять в определениях родовые (определяющие) понятия и видовые отличия (существенные свойства) определяемого понятия;

- устанавливать принадлежность рассматриваемого объекта к введённому понятию с помощью определения, т.е. выяснять, относится ли он к родовому понятию и обладает ли видовыми отличиями;

- устанавливать в случае принадлежности объекта к введённому понятию совокупность свойств, которыми он обладает по определению, - она состоит из всех известных свойств родового понятия и видовых отличий.

Осмысление же учащимися математических предложений и доказательств достигается прежде всего в ходе овладения ими умений:

 - устанавливать по предложенным формулировкам математических предложений их условия и заключения;

- выявлять идею (план) выполненного доказательства математического предложения;

- применять введённое математическое предложение в простейших случаях.

Управление деятельностью учащихся ври изучении нового материала должно осуществляться и с учётом психолого-дидактических закономерностей. При этом следует обратить особое внимание на то, что при пассивном участии многое ускользает от внимания обучающегося. К более же полному, богатому восприятию приводит активная мыслительная деятельность, которая по ходу ознакомления с материалом возрастает, если соблюдаются следующие условия:

- учащийся, знакомясь с материалом, одновременно выполняет конкретное задание, помогающее глубже понять данный материал;

- это задание направляет усилия учащегося на использование определённого приёма мыслительной деятельности (сравнения, конкретизации и т.п.);                 •

- данный приём соответствует содержанию материала, и чем в большей мере, тем сильнее активизируется деятельность;

- учащийся обладает знаниями, необходимыми для выполнения задания, и навыками применения данного е приёма;

- материал не является чрезмерно лёгким.

В конечном счёте, реализуя таким образом идеи деятельностного подхода к обучению, надо обеспечить «ориентировку» в новом материале, которая достигается фиксированием его основного содержания, подлежащего усвоению, и способов работы с ним. Данная система ориентиров («ориентировочная основа действий») должна быть представлена в таком виде, чтобы ученик мог правильно: воспользоваться ими с первого, же раза, пусть даже поначалу и медленно. В этих целях употребляются краткие схематические записи; соответствующие образцы применения нового материала при решении задач и т.д.

Между тем, для успешной реализации рассматриваемых вопросов методики изучения нового материала необходимо выбрать соответствующую конструкцию урока, прежде всего, из числа уроков базовой системы, которую мы называли системой уроков основных типов. Так, методические концепции, заложенные в школьных учебниках, как правило, ориентированы на введение математических понятий в рамках уроков ознакомления с новым материалом. При укрупнении дидактических единиц в ходе изучения нового материала более подходящими являются уроки-лекции. Если новый материал равномерно распределяется в системе уроков по учебной теме, то лучше воспользоваться комбинированными уроками. Для овладения ведущими идеями изучаемых тем больше подходят уроки обобщения я систематизации знаний. Если в ходе изучения нового материала привлекаются результаты его анализа и знания других учебных предметов, то лучше это сделать в рамках интегрированных уроков. Вопросы же изучения исторических сведений, установления связи теории с практикой могут успешно решаться на уроках-экскурсиях.

Безусловно, при изучении нового материала лишь начинают решаться вопросы, связанные с его усвоением, т.е. пониманием, запоминанием, умениями его применять. Дальнейшее же развитие эти процессы получают при закреплении изученного.