«Технология совершенствования устных вычислительных навыков на уроках математики»
методическая разработка по теме

 «Технология совершенствования устных вычислительных навыков на уроках математики»

             Математика – это мощный фактор интеллектуального развития ребёнка, формирования его познавательных и творческих способностей. Освоение вычислительными навыками развивает его память, быстроту реакции, воспитывает умение сосредоточиться. Навыки устных вычислений являются важным элементом общего и математического развития. Поэтому одной из основных задач обучения школьников математике является задача повышения вычислительной культуры учащихся, начиная с начальной школы. Из своей практики мы знаем, что в каждом классе есть учащиеся, для которых достижение уровня обязательной подготовки, определенного стандартом математического образования – непростая задача, во многом из-за низкого уровня вычислительной культуры школьников. Такие школьники, при отсутствии своевременной помощи учителя, обречены на неуспеваемость в обучении. Даже если они хорошо разберутся в новой теме, то все равно при выполнении заданий будут допускать ошибки при вычислениях и в лучшем случае за свой ответ получат отметку «удовлетворительно». Поэтому важнейшая задача учителя: совершенствовать вычислительные навыки учащихся. Решение этой задачи поможет школьникам более успешно учиться в дальнейшем, и не только по математике, но и по смежным предметам. 
Заметим, что полноценный вычислительный навык характеризуется: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью. · Правильность – это когда ученик правильно выбирает и выполняет операции, правильно находит результат арифметического действия над данными числами. · Осознанность – ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решил пример и почему так решил. · Рациональность – ученик выбирает для данного случая более рациональный прием, то есть выбирает те операции, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату. · Обобщенность – ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, то есть он способен перенести прием вычислений на новые случаи. · Автоматизм – ученик выделяет и выполняет операции быстро. · Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время. Счёт в уме (устные вычисления) является самым древним и простым способом вычислений. Устному счёту уделял большое внимание известный русский деятель в области просвещения доктор естественных наук, профессор ботаники Московского университета Сергей Александрович Рачинский (1832-1902). В 1872 г. он переехал из Москвы в своё имение, село Татево Смоленской губернии. Там организовал начальную школу и сам преподавал в ней, стремясь развить у крестьянских детей математические способности и привить им интерес к математике. Всем известна картина Н. П. Богданова-Бельского "Устный счёт”. На ней изображён С. А. Рачинский со своими учениками. Обратимся к картине. На доске записан пример для устного счёта: . Мальчик, конечно же, догадается, что сумма квадратов первых трёх натуральных чисел равна сумме квадратов следующих чисел, т.е. . Таким образом, данное на картине числовое выражение равно 2. Под силу ли эта задача нашим нынешним ученикам начальных классов? Скажем сразу: нет! Не под силу эта задача и среднему звену современных учащихся. Но дело не только в отсутствии времени, а в общем падении интереса к умственной вычислительной работе. В настоящее время бытует мнение, что вычислительная работа должна стать уделом компьютеров, а человек может отойти от этого рутинного занятия. При этом мы не замечаем, что всё более и более освобождая ученика от вычислений, фактически освобождаем его от умственного развития. "Развитие навыков должно предшествовать развитию ума”. Это сказал Аристотель 25 веков назад. На мой взгляд, в этой цитате навыки рассматриваются как необходимое условие развитие ума, а их совершенствование как важная составляющая развития детей. Сегодня всё больше и больше возрастает число ошибок учащихся в определении порядка действий (от 15% до 20% учащихся), хуже становится умение решать текстовые задачи (в частности и за счёт ухудшения техники чтения, и за счёт вычислительных умений). В последнее время анализ контрольных работ, домашних заданий, экзаменационных работ показывает, что большинство учащихся допускают ошибки в вычислениях. У них возникают затруднения при умножении, делении десятичных и простых дробей, при сложении и вычитании смешанных дробей с разными знаменателями, много встречается ошибок при нахождении процента от числа и числа по его процентам, не правильно определяют порядок действий в вычислительных примерах. Учащиеся выполняют с ошибкой деление многозначного числа на двузначное, когда в частном есть нули. Часто встречаются ошибки в умножении нуля на число. Все это оказывает отрицательное влияние на усвоение учащимися курса математики. Из-за отсутствия должного внимания к вычислительным навыкам, к вычислениям учащихся, ученики, решив задачу, не могут сравнивать полученные результаты с реальностью, интерпретировать решения (как в мультфильме «В стране невыученных уроков»). Чтобы довести умения до уровня навыка, надо, чтобы каждый ученик выполнил примерно 600 упражнений в течение месяца. 25 учеников в классе – 15 тысяч упражнений. А сколько времени надо потратить на их подбор и проверку! Всем известно, что "сильные” ученики опережают "слабых” в формировании умений и навыков. Если работать на "слабых”, стараясь не упустить их, "сильные” дети буквально будут томиться на уроках, тормозится их развитие. Если наоборот, то у "слабых” упадёт самооценка, накопятся с катастрофической скоростью пробелы, совсем упадёт интерес к учению. Как быть? За кого хвататься?

1) Технология совершенствования вычислительных умений Всеволода Николаевича Зайцева. Это технология, способная за короткий срок подтянуть детей, ускорить процесс формирования у них вычислительных навыков. Привлекает она учителей тем, что результат достигается за очень короткий промежуток времени, путь к увеличению скорости вычислений лежит через уменьшение количества ошибок, на уроке тренаж занимает всего минуту. Технологическая система упражнений для учащихся направлена для их качественного освоения таблицы умножения; технологического треножа, позволяющего совершенствовать вычислительные умения. Для достижения качественного усвоения таблицы умножения необходимо: 1. «Переключить» канал восприятия со слухового на зрительный (таблица умножения, как правило заучивается вслух, а при решении примеров цифры воспринимаются зрительно). Для этого изготавливаются демонстрационные карточки размером 15x15 см, на каждой из них крупно написана одна из цифр от 2 до 9. Учитель берет две любые карточки, например, с цифрами 7 и 8, и спрашивает, не называя цифр, а лишь показывая их ученикам: «Сколько?». Вопрос задается кратко, т.к. ученики должны воспринимать цифры не на слух, а зрительно. Отвечают хором: «56», то есть тоже в краткой форме. Если кто-то собьется, это будет слышно, тогда надо повторит правильный результат. За минуту тренировки можно десяток раз предложить упражнение. Через 2- 3 дня дети будут воспринимать цифры не только на слух, но и зрительно. 2.Проводить индивидуализацию усвоения: коллективная работа с демонстрационными карточками перестает быть эффективной по мере того, как ученики осваивают большую часть таблицы умножения. Когда у каждого ребенка остается не больше 10 неосвоенных элементов, работа должна быть индивидуализирована – ведь один, не знает сколько будет 6*7, а другой 9*6, третий – еще какой-либо элемент таблицы. Теперь каждый должен повторять только свою часть таблицы – не освоенные им элементы. Для этого надо выписать каждому ученику не освоенные элементы таблицы на последней странице своей тетради по математике. Теперь на каждом уроке надо 1 – 2 минуты отводить на повторение: «Откройте тетрадь на последней странице, будем повторять таблицу умножения», - и каждый ученик при этом будет работать экономно, не тратя времени на то, что он уже освоил. Тренировка идет 2-3 минуты в течение 3-4 дней. Можно разнообразить эту работу взаимопроверкой усвоения. Возникает организационная трудность: при первой проверке элементы таблицы надо предлагать вразброс, для этого можно использовать сборники: на одной стороне которых элементы таблицы (7*8), а на другой – результат (56). Перетасовав колоду карточек, вы показываете ученику каждую, он называет результат. При правильном ответе карточка сдвигается в одну сторону, а при неправильном - в другую. Затем ученик записывает в тетради те элементы таблицы, которые он не знает. Даже при столь технологической проверке затраты времени будут большие – до 8 минут на одного ученика, что составит на весь класс 5-6 уроков. Поэтому при массовой проверке всех учеников надо иметь несколько помощников (из числа, например, сильных учеников). 6 помощников уменьшат затраты времени до одного урока. 3.Выполнять упражнения с сборниками: после нескольких дней целенаправленной тренировки почти все ученики осваивают таблицу умножения. Остаются несколько ребят с ослабленной памятью, для которых можно рекомендовать увеличение частоты упражнений. Сборники для усвоения таблицы умножения изготавливаются учеником по числу неосвоенных им элементов таблицы, обычно 4-5 карточек, иногда до 10. На переменах ученику предлагается играть: «Угадал, не угадал?» Постепенно число неосвоенных элементов уменьшается, и ученик с ослабленной памятью осваивает таблицу. Выполнение упражнений на умножение в течение двух недель (ежедневно) позволяет повысить скорость вычислений до 30-40 цифр в минуту у большинства учеников. Рекомендации для пятиклассников (скорость вычисления): Для отличников – 40, для хорошистов – 30, для троечников – 20 цифр в минуту.

2) Различные методические приемы и формы

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа ее закладывается в первые 5-6 лет обучения. В этот период школьники обучаются именно умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения алгебры, физики, химии, черчении и других предметов. Но чтобы ребенок быстро считал, выполнял простейшие преобразования, необходимо время для их отработки. 5-7 минут устного счета на уроке недостаточны не только для развития вычислительных навыков, но и для их закрепления, если нет системы устного счета. Устные упражнения должны применяться также во всех подходящих случаях не только на небольших числах, но также и на больших, но удобных для устного счета. Задача учителя состоит в том, чтобы найти максимум педагогических ситуации, в которых ученик стремится производить в уме арифметические действия. Для развития у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков многие учителя используют различные методические приемы и формы, например, устный счет, игры. Хорошо развитые у учащихся навыки устного счёта – одно из условий их успешного обучения в старших классах. Учителю математики надо обращать внимание на устный счёт с того самого момента, когда учащиеся переходят к нему из начальной школы. Именно в пятых-шестых классах мы закладываем основы обучения математике наших воспитанников. Не научим считать в этот период – будем и сами в дальнейшем испытывать трудности в работе, и своих учеников обречём на постоянные, обидные промахи. В работе следует применять следующие формы устного счёта: Магические квадраты, Конь, Кто быстрее, Лучший счётчик, Лабиринт сомножителей, Индивидуальное лото, Светофор, Цветок, Солнышко, Кто быстрее достигнет флажка, Числовая мельница, Числовой фейерверк, Кодированные упражнения, Беглый счёт, Равный счёт, Счёт-дополнение, Лесенка, Молчанка, Эстафета, Торопись, да не ошибись, Не зевай, Устная контрольная работа. Применение игр в первую очередь предназначено для того, чтобы заинтересовать наиболее пассивную часть класса, редко принимающую участие в работе на уроке при традиционном его проведении. 
На современном этапе также осознана внутренняя потребность и социальная необходимость вести преподавание на принципах проблемного, развивающего и опережающего обучения, что способствует усвоению материала всеми учащимися на максимально для них возможном уровне. Совершенствование вычислительных навыков не останавливается на периоде изучения темы, а сопровождает ученика на протяжении всего курса математики и алгебры. Применение технологии совершенствования вычислительных навыков позволяет ученику выполнить большой объём вычислений за небольшое время. Вычислительные умения, а в особенности навыки, без систематического к ним обращения ослабевают. Приходилось ли вам наблюдать, как люди с природными способностями к счету, бывают восприимчивы, можно сказать, ко всем наукам? Даже все те, кто туго соображает, если они обучаются этому и упражняются, то хотя бы они не извлекали из этого для себя никакой иной пользы, все же становятся более восприимчивы, чем были раньше. (Платон)

3) Способы быстрых вычислений

Повышению вычислительной культуры способствуют и способы быстрых вычислений. Они развивают память учащихся, быстроту их реакции, воспитывают умение сосредоточиться. Вот некоторые из них. Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится. Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть . Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число, то есть . Сложение столбцами. Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы. Сложение с перестановкой слагаемых. 72+63+28=? Третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно переставим слагаемые. Сложим их 72+28+63=163. Соединяем слагаемые попарно: (3013+2118)+(74+126)=5200+200=5400. Сложение десятичных дробей. Складывать устно десятичные дроби следует подобно целым числам, то есть, начиная с высших разрядов: сначала поразрядно сложить целые части, затем – дробные десятичные доли. Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел. Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности. Примеры: 8•318=8• (310+8)=2480+64=2544 
7•196=7• (200-4)=1400 - 28=1372. Умножение методом Ферроля. Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот, и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Этот способ умножения следует из тождества . Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20. Можно умножать и трёхзначное число на двузначное. Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10. Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве . Умножение чисел на 11. Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9. Умножение на числа вида . Умножить данное число на , потом на 11. Умножение двузначного числа на 111. Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1. Умножение однозначного или двузначного числа на 37. Способ основан на равенствах 2• 37=74, 3• 37=111. Умножение на 5, 25, 125. Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125. Умножение на 9, 99, 999. К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель. Умножение на 75. Нужно число разделить на 4 и результат умножить на 300. Умножение на 101. Чтобы умножить двузначное число на 101, надо к этому числу приписать справа это же число. Умножение на 1001. Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число. Умножение чисел, близких к 100 и 1000 Примеры. 245•998=245•(1000-2)=245000-490=244510 
375•999=375• (1000-1)=375000-375=374625 
225•999=225• (1000-3)=222000-675=224325. Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10 Примеры: 83•87=8•9•100+3•106=10••207=20•21•100+3•7=42021 Умножение двух рядом стоящих чисел Правило. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц. Умножение чисел, оканчивающихся на 1 Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ. Деление на 5, 25, 125 Умножить числа соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000. Умножение чисел, оканчивающихся цифрой 5 При умножении чисел, оканчивающихся цифрой 5 (одна цифра десятков – чётная, а другая – нечётная), надо к произведению цифр десятков прибавить целую часть половины суммы цифр десятков. Получим число сотен, и тогда к числу сотен следует приписать 75.

               Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или другое решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учёбы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее, калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой, и бывает достаточно определить лишь примерный результат. Многие навыки, сопутствующие вычислениям, неизбежно требуются и в быту, и в школьной практике. Так, нередко может потребоваться замена числа близким ему числом, однако результаты проверки знаний учащихся, проводимых Центром оценки качества образования ИСМО РАО в различных регионах нашей страны, не радуют: ü Почти четверть детей, окончивших начальную школу , ошибаются при вычислении значений числовых выражений, (например, таких: 960 • 60; 5706:18; (120+24):(4 • 3)) ü Около 40% шестиклассников не могут округлять натуральные числа и десятичные дроби; около 20% не осиливают вычислений с дробями, например 10,3 -3 (0,4 + 2,8); ü Почти 30% семиклассников неправильно определяют наименьшую среди данных дробей, например, среди таких: ;0,7; ; 0,8; ошибаются в вычислениях, например ; Наблюдения на уроках за работой учащихся 8-9-х классов показывают, что они испытывают трудности в переводе числовой информации из одной формы в другую, например, ( ; — это примерно 33%; = 0,00007); редко используют потенциал преобразования числовых выражений (свойства арифметических действий, основное свойство дроби.) Учащиеся недостаточно уверенно владеют вычислительными стратегиями (сочетанием устных, письменных и инструментальных вычислений), пренебрегают промежуточным контролем и проверкой правдоподобия результата. Ошибки в расчётах сбивают с пути, намеченного для достижения результата, а внимание, сосредоточенное на осмыслении хода решения задачи, переносится на преодоление трудностей, связанных с вычислениями. Нельзя не заметить, что обучение вычислениям вносит специфический вклад в развитие основных психических функций учащихся, способствуя развитию скорости мышления, внимания, памяти. Вычисления – основа для формирования умения пользоваться алгоритмами, логическими рассуждениями. Все это говорит о том, как важно в процессе обучения математике в 5—6 классах формировать у учащихся, а в 7-9 классах развивать: — опыт и сноровку в простых вычислениях наряду с отработкой навыков письменных и инструментальных вычислений, умение выбрать наиболее подходящий способ получения результата; — умение пользоваться приемами проверки и интерпретации ответа; — предвидение возможностей использования математических знаний для рационализации вычислений.