Содание математических моделей, как способ развития абстрактного мышления.
методическая разработка по теме

Вострухова Н.А.

Составление математических моделей, как способ развития абстрактного мышления.

В разные возрастные периоды ведущее значение для общего психического развития человека приобретает какой-либо один из психических процессов. Так, в раннем детстве основное значение имеет развитие восприятия, в дошкольном возрасте - памяти.

Школьное мышление способствует развитию абстрактного мышления в доступных учащимся этого возраста формах.

Благодаря развитию нового уровня мышления, происходит перестройка всех остальных психических процессов, т. е. по словам Д. Б. Эльконина «Память становится мыслящей, а восприятие – думающим». Поэтому именно перестройка всей познавательной сферы в связи с развитием мышления составляет основное содержание умственного развития в  школьном возрасте.

Какая же сторона умственного развития обеспечивает дальнейшее совершенствование психики ребёнка в  школьном возрасте?

Психологические исследования показывают, что в этот период главное значение приобретает дальнейшее развитие мышления. Причём мышление ребёнка  школьного возраста находится на переломном этапе развития. В этот период совершается переход от мышления наглядно-образного, являющегося основным для данного возраста, к словесно-логическому, понятийному мышлению. Поэтому ведущее значение для данного возраста приобретает развитие именно мышления и максимального развития умственной активности: учить мыслить, самостоятельно обновлять и пополнять знания, сознательно использовать их при решение теоретических и практических задач.

Развитие умственной активности происходит в процессе усвоения знаний, однако не всякое усвоение обеспечивает эту активность. Необходима его особая организация, при которой учащиеся развивают свое мышление, интересы, склонности.

Развитие умственной активности при усвоении знаний – важный источник формирования личности ученика.

        Актуальность  заключается в том, что проблема развития абстрактного мышления должна иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу большого числа ошибок, допускаемых учащимися в усваиваемом содержании материала.

Ученик с первых дней занятий в школе встречается с задачей. Сначала и до конца обучения в школе математическая задача неизменно помогает ученику вырабатывать правильные математические понятия, глубже выяснять различные стороны взаимосвязей в окружающей его жизни, дает возможность применять изучаемые теоретические положения, то есть решение задач способствует развитию логического и его абстрактного мышления.

Чтобы облегчить решение текстовой задачи, строят вспомогательные модели. При этом используется такие операции, как анализ через синтез, сравнение, классификация, обобщение, которые являются операциями мышления, и способствует его развитию.

Мышление - высшая ступень познания человеком действительности. Чувственной основой мышления являются ощущения, восприятия и представления. Мышление - функция мозга, результат его аналитико-синтетической деятельности. При решении мыслительных задач в коре мозга происходит процесс преобразования  нервных связей. Нахождение новой мысли физиологически означает замыкание нервных связей в новом сочетании.

Мыслительная деятельность человека представляет собой решение разнообразных мыслительных задач, направленных на раскрытие сущности чего-либо. Мыслительная операция - это один из способов мыслительной деятельности, посредством которого человек решает.

 Напомним, что абстрагирование имеет двойственный характер: негативный (отвлекаются от некоторых сторон или свойств изучаемого объекта) и позитивный (выделяют определенные стороны или свойства этого же объекта, подлежащие изучению). Абстрактное мышление может проявляться в процессе обучения математике:

а) в явном виде. Например, рассматривая в курсе геометрии понятие геометрического тела, мы явно отвлекаемся от  всех свойств реальных тел, кроме формы, размеров и положения в пространстве.

б) в неявном виде. Например, при счете предметов конкретного множества мы неявно отвлекаемся от свойств каждого отдельного предмета, полагая, что все предметы одинаковы (тождественны).

Поэтому, абстрактным мышлением называют мышление, которое характеризуется умением мысленно отвлечься от конкретного содержания изучаемого объекта в пользу его общих свойств, подлежащих изучению.

Суждения образуются двумя основными способами:

непосредственно, когда в них выражают то, что воспринимается;

опосредствованно - путем умозаключений или рассуждений.

Умозаключение - это выведение из одного или нескольких суждений нового суждения. Типичный пример умозаключения — доказательство геометрических теорем.

         На третьей,  высшей,  ступени  развития  ведущую  роль  в  мыслительной деятельности  приобретает  отвлеченное,  абстрактно-теоретическое  мышление.

Мышление  выступает  здесь  в  форме  отвлеченных  понятий  и   рассуждений, отражающих существенные стороны  окружающей  действительности,  закономерные связи между ними. Овладение в ходе усвоения основ наук понятиями,  законами, теориями оказывает значительное влияние на умственное  развитие  школьников. Оно   раскрывает   богатые    возможности    самостоятельного    творческого приобретения знаний, их широкого применения на практике.

         Характеристика  стадий  мышления  позволила наметить  основную  линию  его  развития  —   от   практического   мышления, скованного конкретной ситуацией,  к  отвлеченному  абстрактно-теоретическому мышлению, безгранично расширяющему  сферу  познания,  позволяющему  выходить далеко за пределы непосредственного чувственного опыта.

    Под  влиянием  всевозрастающих  требований  к   школьному   образованию психологи  начали  исследовать   детей.   Была

поставлена задача выяснить, каковы  возможности  мышления  детей,  если  так изменить содержание и методы обучения,  чтобы  они  активизировали  развитие отвлеченного, абстрактно-теоретического мышления.

    Эксперименты блестяще  подтвердили  гипотезу  о  гораздо  больших,  чем считалось  ранее,  возможностях  интеллекта  детей.   Оказалось,   что   уже первоклассники могут оперировать отвлеченными символами,  решать  задачи  на основе формул, овладевать грамматическими понятиями и т. д.

    Вместе  с  тем  установка  на  более  раннее   развитие   отвлеченного, понятийного  мышления,  на  его  формировании   на   основе   движения   (от абстрактного  к  конкретному) на  практике  нередко  приводит   к недооценке роли  наглядности,  конкретизации  знаний,  а  также  к  значениям деятельности  и  других  видов  мышления.  Нельзя  забывать  о  том,  что  и отвлеченное, абстрактно-теоретическое мышление только  тогда  обладает  действенной  силой,  когда оно неразрывно  связано с  наглядно-чувственными  данными.  

        Итак, начиная с 5 класса, учащимся предлагаются задачи на составление математических моделей. Сначала буквенных выражений, затем, в 6 классе, уравнений. Далее, в 7 классе, кроме аналогичных задач добавляются геомеорические задачи на доказательство. В 8 классе, 9м, и т.д — это задачи на составление систем уравнений. Появляются первые задачи с параметром, решение которых как нельзя лучше подходит для развития истинно-математического типа мышления.

Рассмотрим некоторые примеры и способы решения текстовых задач на развитие абстрактного мышления.

Существует значительное множество такого рода задач. Однако что чаще всего наблюдается на практике? Ученикам предлагается задача, они знакомятся с ней и вместе с учителем анализируют условие и решают его. Но вытягивается ли из такой работы максимум пользы? Нет. Если дать эту задачу через день-два, то часть учеников может опять испытать затруднение при решении.

Наибольший эффект при этом может быть достигнут в результате применения разных форм работы над задачей.

Это:

1. Работа над решенной задачей. Многие ученики только после повторного анализа осознают план решения задачи. Это путь к выработке твердых знаний по математике. Конечно, повторение анализа требует времени, но оно окупается.

2. Решение задач разными способами. Мало уделяется внимания решению задач разными способами в основном из-за недостатка времени. Но это умение свидетельствует о достаточно высоком математическом развитии. Кроме того, привычка нахождения другого способа решения сыграет большую роль в будущем. Но я считаю, что это доступно не всем ученикам, а лишь тем, кто любит математику, имеет особенные математические способности.

3. Правильно организован способ анализа задачи – по вопросу или от данных к вопросу.

4. Представление ситуации, описанной в задачи (нарисовать "картинку"). Учитель обращает внимание детей на детали, которых нужно обязательно представить, а которые можно опустить.  Разбивка текста задачи на  части. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.

5. Самостоятельное составление задач учениками.

Составить задачу:

1) используя слова: больше на, столько,, меньше в, на столько больше, на столько меньше;

2) решаемую в 1, 2, 3 действия;

3) по данном ее плане решения, действиям и ответу;

4) по выражению и так далее

6. Решение задач с отсутствующими или лишними данными.

7. Изменение вопроса задачи.

8. Составление разных выражений по данным задачам и объяснение, которое помечает то или другое выражение. Выбрать те выражения, которые являются ответом на вопрос задачи.

9. Объяснение готового решения задачи.

10. Использование приема сравнения задач и их решений.

11. Запись двух решений на доске – одного верного и другого неверного.

12. Изменение условия задачи так, чтобы задача решалась другим действием.

13. Закончить решение задачи.

14. Какой вопрос и какое действие лишние в решении задачи (или, напротив, возобновить пропущенный вопрос и действие в задаче).

15. Составление аналогичной задачи с измененными данными.

Для развития мыслительных операций использую занимательные задачи (задачи “на соображение”, “на догадку”, головоломки, нестандартные, логические, творческие задачи) в качестве дополнительного, вспомогательного средства для тренинга мышления и формирования элементов творческой деятельности.

        Главной задачей обучения считаю не изучение основ математической науки, а общеинтеллектуальное развитие, формирование у детей в процессе обучения математических качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для адаптации человека в этом обществе.

Диагностика уровня интеллекта.

Способность классифицировать понятия, предметы, явления.

Эта методика также выявляет умение обобщать, строить обобщение на отвлеченном материале.

Вам даны пять слов. Четыре из них объединены одним общим признаком. Пятое слово к ним не подходит. Его надо найти и подчеркнуть. Лишним может быть только одно слово.

1. а) прямая, б) ромб, в) прямоугольник, г) квадрат, д) треугольник
2. а) тонна, б) центнер, в) масса, г) грамм, д) пуд
3. а) сложение, б) умножение, в) деление, г) слагаемое, д) вычитание
4. а) цилиндр, б) куб, в) многоугольник, в) шар, г) параллелепипед
5. а)сантиметр, б) миллиметр, в) дециметр, г) длина, д) километр.

Время выполнения – 3 мин. Если учащиеся выполняют только 2 и менее заданий, то это свидетельствует о том , что у них не сформирована такая мыслительная операция, как классификация.

Аналогия.
Даны три слова, первые два находятся в определенной связи. Между третьим и одним из предложенных пяти слов существуют такие же отношения. Необходимо найти четвертое слово.

1) Школа – обучение : больница - ?
а) доктор, б) ученик, в) лечение, г) учреждение, д) больной
2) Слагаемое – сумма : множители - ?
а) разность, б) делитель, в) произведение, г) умножение, д) деление
3) Лучи – угол : отрезки - ?
а) диагональ, б) точка, в) прямоугольник, г) хорда, д) линии
4) Квадрат – площадь : куб - ?
а) сторона, б) перпендикуляр, в) ребро, г) периметр, д) объем
5) Термометр – температура : циферблат - ?
а) минуты, б) секунды, в) время, г) стрелки, д) цифры.

Эта методика направлена на выявление у учащихся умения определять отношения между понятиями или связи между явлениями и понятиями:
• причина - следствие,
• противоположность,
• род – вид,
• часть – целое и др.

Подросткам можно предложить 5 заданий. На выполнение отводится 3 мин. Если выполнено 3 задания – удовлетворительная степень сформированности мыслительной операции.

Методика “Выделение существенных признаков математических понятий”.

Учащимся предлагается ряд математических терминов. Необходимо из пяти предложенных терминов выбрать два, которые наиболее точно определяют математическое понятие. На выполнение каждого задания дается 20 секунд.
1. Геометрия ( фигура, точка, свойства, уравнение, теорема)
2. Уравнение (корень, равенство, сумма, неизвестная, произведение)
3. Периметр (разность, сторона, сумма, фигура, прямоугольник)
4. Сумма (слагаемое, равенство, плюс, делитель, множитель)
5. Треугольник (вершина, катет, сторона, центр, перпендикуляр).

Подростки, которые правильно выполнили задание, умеют выделять существенные и несущественные признаки математических понятий, т.е. способны к абстрагированию.

Методика “Исключение лишнего” 

Диагностика способности к обобщению.

Подросткам предлагается ряд математических понятий, чисел, математических выражений. В каждом из заданий пять элементов, четыре из которых обладают общим свойством, а пятый не обладает этим свойством. Ученикам необходимо за 30 секунд исключить элемент, не относящийся к группе других элементов. Эта методика также выявляет умение классифицировать.

 
2. Делимое, частное, плюс, деление, делитель
3. 11, 3, 5, 18, 7
4. Десять, число, дробь, буква, пятнадцать
5. Точка, отрезок, прямая, уравнение, плоскость

Ученики, которые правильно справляются с заданием, умеют обобщать и классифицировать. Те, кто допустил ошибки, чаще всего не умеют отличать существенные и несущественные признаки, правильно выбрать основание для классификации. Удовлетворительный уровень выполнения задания – 3 из 5.

Методика “Логическое мышление”.

Цель: выявить наличие или отсутствие у подростков умения оперировать с логическими элементами.

Подросткам предлагается задание, где из двух истинных суждений необходимо сделать заключение об истинности или ложности, а также, возможно, и неопределенности третьего утверждения.

Задания:

1. –8 – отрицательное число.
- 8 – целое число.
Следовательно, все целые числа являются отрицательными числами?
2. Все прямоугольники – четырехугольники.
Трапеция – не прямоугольник.
Следовательно, трапеция – не четырехугольник?
3. Студент Орлов – отличник.
Некоторые отличники получают повышенную стипендию.
Орлов получает повышенную стипендию?
4. Если число оканчивается нулем или 5, то оно делится на 5.
Число 435 оканчивается цифрой 5.
Число 435 делится на 5?
5. Все десятичные дроби – числа.
1,5 – десятичная дробь.
1,5 – число?

Показатель способности оперировать с логическими понятиями – это умение быстро и правильно определять характер данных умозаключений. Поэтому те школьники, которые быстро справляются с заданием, обладают элементами логического мышления.

Способность к анализу и синтезу.

Цель: выявить наличие или отсутствие у школьников теоретического анализа и синтеза.

Учащимся предлагаются анаграммы (слова, преобразованные путем перестановки входящих в них букв). Учащиеся должны по данным анаграммам найти исходные слова.

1. и ч л с о
2. о к е р ь н
3. в к д а а р т
4. е м р т
5. а р н з с о ь т

Учащиеся в результате выполнения задания разделяются на 2 группы: 1 –я группа – решают каждую задачу, как новую. У них отсутствует теоретический анализ (способность мысленно выделять структуру слова), 2 –я группа – учащиеся быстро находят ответы, обнаружив общее правило: и ч л со – число (две соседних буквы переставлены местами). На эту деятельность и направлен их анализ.

Если 3 задания из 5 предложенных подросток выполняет – удовлетворительный уровень сформированности мыслительной операции.

Способность сравнивать понятия.

Цель: установить уровень развития у учащихся умения сравнивать предметы, понятия.

Учащимся предъявляются или называются какие – либо 2 предмета либо понятия.

Например,
Книга – тетрадь
Линейка – треугольник
Отрезок – луч
Солнце – луна
Квадрат – куб

Каждый подросток на листе бумаги должен написать черты сходства – слева, а справа – черты различия названных предметов или понятий.

На выполнение задания по одной паре дается 4 минуты. После этого листки собираются.
Обработка полученных результатов:
- составляется общий список сходства предметов;
- составляется общий список различий предметов;
- устанавливается, какую часть из этого списка сумел написать данный конкретный учащийся.

Доля названных учеником черт сходства и различия из общего числа черт в процентах – это уровень развития у подростков умения сравнивать. При индивидуальной работе взрослый также должен выполнять задание. Ответы подростка сравниваются с ответами взрослого.

Способность обобщать.

Даны два слова. Учащемуся нужно определить, что между ними общее.

школа – учитель
сумма – произведение
алгебра – геометрия
жидкость – твердое тело
окружность – круг.

Учащемуся предлагаются 5 пар слов. Время – 3 – 4 минуты.
Три верных ответа из пяти свидетельствует об удовлетворительной степени развития мыслительной операции.

Упражнения на развитие творческих способностей.

Анализ отношений.
1. Величина, количество, цифра, счет, номер.
Слово – буква.
Натуральное число - ?
2. Координата, начало, единичный отрезок, направление, шкала
Мороженое – порция.
Координатный луч - ?
3. Разность, умножение, произведение, деление, частное.
Слагаемое – сумма.
Множитель - ?
4. Шкала, сантиметр, прямая, длина, деления.
Весы – масса.
Линейка - ?
5. Минуты, секунды, время, стрелки, цифры.
Термометр – температура.
Циферблат - ?

Классификация.
1. Даны числа:
12, 0, 15, 1, 8, 5, 2, 3, 44.
Распределите их по следующим признакам:
• Однозначные числа
• Натуральные числа в порядке возрастания
• Целые числа
• Цифры

2. В каждом из четырех данных ниже списков подчеркните лишнее слово.
• Отрезок, прямая, луч, треугольник, фигура, квадрат.
• Сантиметр, миллиметр, дециметр, длина, метр.
• Тонна, центнер, масса, грамм, пуд.
• Треугольник, прямоугольник, многоугольник, квадрат, пятиугольник.

3. Дан ряд чисел. Укажите, по какому правилу составлен ряд чисел, и продолжите его еще на три числа в соответствии с этим правилом.
1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, …
4. Из данных ниже дробей укажите лишнюю:
а)
б)

Развитие внимания.
1. Найти ошибку.
а) 3,2 + 8,=4,0; б) 16,6 – 5,16,1; в) 21,7 – 3 =21,4;
г) 29 + 7,1 = 100; д) 25,16 + 0,4 = 25,56; е) 0,1 – 0,034 = 0,035.

Задачи на сравнение.
1. Что общего в этих фигурах и в чем их различие?

а) б)
2. В чем сходство и в чем различие геометрических фигур?

3. Какая их фигур лишняя и чем она отличается.

Развитие воображения.
Задачи со спичками.

Переложите две спички так, чтобы
корова смотрела в в обратную сторону

Провоцирующие задачи.
1. Задачи, побуждающие к выбору неверного способа решения.
• Тройка лошадей проскакала 15 км. Сколько километров проскакала каждая лошадь?
• У палки 2 конца. Если один из них отпилить, сколько концов получится?
• У куба 8 вершин, если одну из них отпилить, сколько вершин будет?
• Шесть рыбаков съедят 6 судаков за 6 дней. Сколько судаков съедят 12 рыбаков за 12 дней?

2. Задачи, вводящие в заблуждение из – за неоднозначности словесных оборотов, буквенных и числовых выражение.
• Чему равно: 2 в квадрате? 3 в квадрате? 5 в квадрате? Угол в квадрате?
• Как можно истолковать равенства: 8 + 9 =5, 3 – 5 =10.
• На листке бумаги написано число 606. Какое действие нужно совершить, чтобы увеличить его в полтора раза?

Литература.

1. Вертгеймер М. Продуктивное мышление. М., 1987.

   2. Колягин Ю. М., Оганесян В. А. Учись решать задачи.

   3. Крутецкий В. А. Основы педагогической психологии. М., 1972.

   4. Людмилов Д. С.  Некоторые  вопросы  проблемного  обучения  математике.

      Пермь, 1975.

   5. Матюшкин А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М., 1972.

   6. Пичурин Л. Ф. За страницами учебника алгебры. М., 1990.

  7. Якиманская И. С. Развивающее обучение. М., 1979.