Технологическая карта урока: "Нахождение оптимального результата с помощью производной в практических задачах"
методическая разработка по математике (10, 11 класс)

Дисциплина

Математика

Специальность / профессия

46.02.01. Документационное обеспечение управления и архивоведение

Тема занятия

Нахождение оптимального результата с помощью производной в практических задачах

Содержание темы

Наибольшее и наименьшее значение функции, экономический смысл производной

Тип занятия

Практическая работа

Формы организации учебной деятельности

Фронтальная, индивидуальная

Этапы занятия

Деятельность

преподавателя

Деятельность

студентов

Планируемые образовательные результаты

Типы оценочных мероприятий

1. Организационный этап занятия

Создание рабочей обстановки, актуализация мотивов учебной деятельности

Приветствует обучающихся, мотивирует на активную работу.

Предлагает определить тему урока с помощью наводящих вопросов.

Предлагает определить цель урока.

Концентрирует внимание обучающихся.

В профессиональной

 деятельности часто приходится сталкиваться с самостоятельным поиском и использованием экономической информации, при обработке которой требуется нахождение оптимального

  результата, получить который можно с помощью производной.

Демонстрируют готовность к активной работе;

Формулируют тему урока, записывают;

Формулируют цель урока, записывают

ПК -1.2, ПК- 1.3

Беседа

Актуализация содержания, необходимого для выполнения практической работы

В чем состоит экономический смысл производной?

Что такое производная функции?

Как находить наибольшее и наименьшее значения функции?

Отвечают на вопросы

ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07

Устный опрос

2. Основной этап занятия

Осмысление содержания заданий практической

работы, последовательности выполнения действий при выполнении заданий

Предлагает студентам решить задачу: Антон является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t 2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Антон платит рабочему 250 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — 200 рублей. Антон готов выделять 900 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

Решение задачи сводится к отысканию производной и нахождению минимума и максимума функции.

Предлагает выполнить практическую работу по вариантам:

1 вариант- Исследовать оборот предприятия за истекший год, если он описывается через функцию

U(t) = 0,15t3 - 2t² + 200,

где t - месяц, U – миллионы. Проанализируйте полученный результат и сделайте выводы.

2 вариант - Вычислите производительность труда и скорость ее изменения в момент t=1 и t=4, если объем продукции, произведенной цехом, может быть описан уравнением:

u (t) = - t3+5t2+120t+10, где 1≤t≤8 — рабочее время (ч).

Проанализируйте полученный результат и сделайте выводы.

Решают задачу по алгоритму.

Получают задание по вариантам и приступают к выполнению

ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07, ПК- 1.2, ПК -1.3

Практическая работа

Перенос приобретенных знаний и умений, первичное применение

Предлагает вместе рассмотреть этапы предстоящей работы.

-Найти производную функции, если необходимо, найти вторую и третью производные

-сделать выводы

Работают фронтально, задают вопросы на уточнение

ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07, ПК- 1.2, ПК -1.3

Практическая работа

Самостоятельное выполнение заданий в соответствии с инструкцией

Контролирует деятельность обучающихся, консультирует при необходимости

Оформляют работу, выполняют необходимые вычисления.

1 вариант. Исследуют оборот предприятия с помощью производной:

U´(t) = 0,45t² - 4t,

U´´(t) = 0,9t - 4,

U´´´(t)=0,9.

Момент наименьшего оборота U´(t) = 0 при t = 8,9 (наименьший оборот был на 9 месяце).

Первая производная показывает экстремальное изменение оборота.

Из U´´(t) = 0 следует, что t = 4,4

Так как U´´´(t)>0, на пятом месяце имеется сильное снижение оборота.

2 вариант. Производительность труда найдем по формуле:

z(t) = u' (t) = -3t2+10t+120 (eд./ч).

Скорость изменения производительности труда вычислим как производную: z'(t) = -6t+10 (ед./ч 2 )

Тогда в заданные моменты времени имеем:

z(1) =128 (ед./ч 2 ),

z'(1)= 4 (ед./ч 2 );

 z(4) = 112 (ед./ч 2 ),

z'(4) = -14 (ед./ч 2 )

ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07, ПК- 1.2, ПК- 1.3

Наблюдение

Обобщение и систематизация результатов выполнения

Предлагает представить продукт практической работы

Представляют необходимые расчеты, делают выводы.

1 вариант. Вывод: Момент наименьшего оборота U´(t) = 0 при t = 8,9 (наименьший оборот был на 9 месяце). Точки перегиба важны в экономике, так как именно по ним можно определить, в какой конкретно момент произошло изменение.

В начале исследуемого периода у предприятия было снижение оборота. Предприятие пыталось выйти из этого состояния и для этого использовало определенные средства. На девятом месяце предприятием были предприняты меры по повышению производительности труда и предприятие стало выходить из кризиса.

2 вариант. Вывод:

Производительность труда к концу рабочего дня снижается. При этом изменение знака в z'(t) свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня смещаются ее снижением в последующие часы. Такой результат является следствием усталости работников, ухудшением условий в помещении множество других факторов, влияющих на производительность труда, а также и на уровень заработной платы работников. Таким образом, важно не только получить ответ при помощи производной, для экономистов важен анализ полученного результата и соотнесения его с реальностью.

Защита работ

3. Заключительный этап занятия

Подведение итогов работы; фиксация достижения целей (оценка деятельности обучающихся); определение перспективы дальнейшей работы

Предлагает вернуться к цели учебного занятия, определить компоненты ее достижения;

Благодарит за активную работу

Анализируют компоненты достижения цели учебного занятия;

Оценивают работу друг друга, аргументируют свои ответы

ПК -1.2, ПК- 1.3

Устный опрос, взаимооценка

4.Задания для

 самостоятельного выполнения

Составить и решить две задачи на максимум или минимум экономических или финансовых показателей.

Предъявить результат своей деятельности.

ОК-01, ОК-02, ОК-03, ОК-04, ОК-05, ОК-06, ОК-07, ПК- 1.2, ПК -1.3

Индивидуальная работа