Технологическая карта урока по теме "Прямая и обратная пропорциональные зависимости". Математика, 6 класс.
план-конспект урока по математике (6 класс)

Учитель

Костишина Инна Геннадьевна

Предмет

математика

Класс

6

Тип урока

усвоение новых знаний

Технология построения урока

проблемно-диалогическая, групповая технологии

Тема

Прямая и обратная пропорциональность

Цели

Предметная:

создание условий для выявления обучающимися различия между прямыми и обратными зависимостями двух величин и возможностью применять их при решении задач.

Метапредметная:

Развитие умение понимать и использовать взаимосвязь двух величин: цены и стоимости, скорости и времени, количество объектов и время работы.

Личностная:

развитие познавательного интереса и любви к предмету, умения работать в группе и коллективно, воспитание внимательности друг к другу, способность к эмоциональному восприятию математических объектов, умение ясно и точно излагать свои мысли.

Основные термины, понятия

Пропорция, основное свойство пропорции, прямо пропорциональные величины, обратно пропорциональные величины.

Планируемый результат

Предметные умения:

сформулировать понятия прямо пропорциональных и обратно пропорциональных величин, научиться применять эти понятия для составления пропорций при решении задач.

Личностные УУД:

- устанавливать связь между целью учебной деятельности и ее мотивом;

- определять общие для всех правила поведения;

- определять правила работы в группах;

- оценивать усваиваемое содержание (исходя личностных ценностей);

- устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.

Регулятивные УУД:

- определять и формулировать цель деятельности на уроке;

- обнаруживать и формулировать учебную проблему, составлять план выполнения работы, работать по плану;

- высказывать свое предположение на основе учебного материала;

- отличать верно выполненное задание от неверного;

- осуществлять самоконтроль;

- совместно с учителем и одноклассниками давать оценку деятельности на уроке.

Познавательные УУД:

- ориентироваться в учебнике, тетради;

- ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания, незнания);

- находить ответы на вопросы в тексте, иллюстрациях, используя свой жизненный опыт;

- умение выделять закономерность;

- проводить анализ учебного материала.

Коммуникативные УУД:

- слушать и понимать речь других; принимать коллективные решения;

- уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

-владеть диалогической формой речи в соответствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

Организация пространства

Формы работы

Ресурсы

Фронтальная

Работа в парах

Индивидуальная

Книгопечатная продукция:

Н.Я.Виленкин, В.И. Жохов, А.С.Чесноков, С.И. Шварцбурд. Математика. 6 класс. – М.: Мнемозина, 2024.

В.И. Жохов, В.Н. Погодин. Математический тренажёр. Выпуск 2: Пособие для учителей и учеников. – М.: Вербум-М, 2024.

В.Н. Рудницкая. Тесты по математике: 6 класс: к учебнику Н.Я. Виленкина и др. «Математика. 6 класс». – М.: Издательство «Экзамен», 2024.

Этапы урока

Дидактические задачи

Организационный

(этап мотивации)

Приветствие. Настрой на урок: выработка на личностно значимом уровне внутренней готовности выполнения нормативных требований учебной деятельности.

Актуализация опорных знаний и умений

Активизация соответствующих мыслительных операций и познавательных процессов.

Постановка учебной проблемы

Обеспечение мотивации для принятия обучающимися цели учебно-познавательной деятельности.

Формулирование проблемы, планирование деятельности

Создание условий для формулировки цели урока и постановки учебных задач.

Открытие нового знания

Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний, связей и отношений в объекте изучения.

Первичная проверка понимания

Установление правильности и осознанности усвоения учебного материала, выявление пробелов, неверных представлений, их коррекция.

Применение новых знаний

Обеспечение усвоения новых знаний и способов действий на уровне применения в измененной ситуации.

Рефлексия учебной деятельности

Анализ и оценка успешности достижения цели; выявление качества и уровня овладения знаниями.

Этапы урока

Формируемые умения

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Организационный

Метапредметные (УУД):

регулятивные:

- эмоциональный настрой на урок;

-осуществлять самоконтроль, коррекцию;

коммуникативные:

- слушать и понимать речь других;

- уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Приветствие.

Проверка готовности к уроку,

Настрой учащихся на работу: (создать благоприятный психологический настрой на работу).

- нарисуйте ваше настроение (смайлик) в тетради, покажите его соседу по парте.

Обучающиеся проверяют правильность расположения учебников и школьных принадлежностей. Готовят тетради к работе.

Актуализация знаний

Предметные:

- выполнять вычисления; работать с единицами измерения; сравнивать величины;

- распознавать математические объекты и их характеризовать;

- выполнять сокращение дробей;

Метапредметные (УУД):

познавательные:

- выполнять анализ;

- ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания, незнания);

регулятивные:

- контроль, коррекция своих действий, оценка успешности

Разминка:

№1. Математический диктант

1. Какую часть от числа 11составляет число 3?
2. Найдите отношение чисел 0,18 к 9;
3. Найдите отношение величин: 19 мин

к 3 ч;

1. Запишите пропорцию и определите ее крайние и средние члены 2:3 = 16:24;
2. Верна ли пропорция

0,45:0,6 = 0,106:0,18?

1. Найти неизвестный член пропорции 3:х=7:

№2. Игра « Наборщик»:

переставляя буквы в термине «пропорциональность», составьте новые слова (существительное в единственном числе)

№1.

Выполняют задания, делая необходимые записи в тетради, осуществляют взаимопроверку с соседом по парте, оказывают взаимопомощь (работа в группах).

Правильные ответы оцениваются.

2. 0,02
4. 2 и 24 – крайние, 3 и 16 – средние члены пропорции
5. Так как 0,45  0,18=0,081, а

0,6  0,106 = 0,0636, то пропорция неверна.

1. х=(3):7; х = 

№2. Составляют слова:

спорт, рост, трос, наст, лось, спина, сон, сила, полоса, топор, тир, трон и другие

Взаимопроверка в парах.

Актуализация знаний

выполнения заданий;

- волевая саморегуляция;

коммуникативные:

слушать и понимать речь других;

- контроль, коррекция, оценка действий одноклассников; умение работать в группе;

- уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

- владеть диалогической формой речи.

№3.

Индивидуальные задания по карточкам:

Задание:

Решите уравнение а) х: = : ;

б)  = 

4-5 человек работают самостоятельно (время на выполнение задания: 6-7 минут),

затем сдают свои решения на проверку ученику – консультанту.

а)  = 

 = 

 = 

Ответ:  = 

б) 

x 

x = 7,5

Ответ: x = 7,5

Постановка учебной проблемы

Предметные:

- выполнять вычисления по формуле пути и находить скорость, время и расстояние.

Метапредметные (УУД):

познавательные:

-ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания, незнания);

регулятивные:

-высказывать свое предположение;

коммуникативные:

-точно и полно выражать свои мысли;

- коррекция ответов одноклассников.

Рассмотрим ситуацию:

Автомобиль за 2 ч проехал 160 км. За какое время автомобиль проедет вдвое большее расстояние, если будет двигаться с той же скоростью?

 
Итак, к какому выводу мы пришли?
Время прямо пропорционально расстоянию!

Рассмотрим другие примеры прямо пропорциональных величин:

1. Периметр квадрата и длина стороны квадрата – прямо пропорциональные величины. 

2. Если производительность труда постоянна, то объём выполненных работ и время – прямо пропорциональные величины. 

А какие вы еще примеры прямо пропорциональных величин можете привести?
 

 Рассмотрим следующую ситуацию:

Автомобилю, двигающемуся со скоростью 60 км/ч, потребовалось  3 часа на прохождение пути. За какое время автомобиль проедет  
это же расстояние, если будет двигаться с вдвое большей скоростью?

Итак, к какому выводу мы пришли?

Время обратно пропорционально скорости!

Пример обратно пропорциональной зависимости: Если производительность труда постоянна, то объём выполненных работ и время – обратно пропорциональные зависимости.

Предлагают найти вдвое большее расстояние:

160  2 = 320 (км).  
Затем вычислить скорость автомобиля: 

160 : 2 = 80 (км/ч).

 Находят время, требующееся на 320 км:      

320 : 80 = 4 (ч). 

Формулируют ответ:
 автомобилю потребуется  вдвое большее время (4 часа) для прохождения вдвое большего расстояния. 

 
Приходят к выводу:
 во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время.  

Предлагают свои варианты:

1. Если скорость движения постоянна, то пройденный путь и время – прямо пропорциональные величины. 

2. Выручка кассы кинотеатра прямо пропорциональна количеству проданных билетов при одинаковой цене. И т.д.

Учащиеся предлагают найти расстояние:

3•60=180(км).

Находят вдвое большую скорость:

 60 • 2 = 120 (км/ч).  

Затем определяют время, необходимое для прохождения этого расстояния:

180 : 120 = 1,5(ч).

Формулируют ответ:

автомобилю потребуется   вдвое меньшее время  (1,5 часа) для прохождения  

расстояния с вдвое большей скоростью.
          

             

     потребуется   вдвое меньшее время   ( 3 часа )  
                            для прохождения   расстояния с вдвое большей скоростью.  

Личностные:

- устанавливать связь между целью учебной деятельности и ее мотивом.

– Итак, что мы выяснили?

В первом случае, с увеличением одной величины в несколько раз, увеличивается и вторая величина во столько же раз , а во втором случае с увеличением одной величины в несколько раз, вторая величина уменьшается во столько же раз!

Тогда давайте попытаемся определить тему нашего урока («Прямая и обратная пропорциональная зависимость»).

Ученики приходят к выводу:

во сколько раз увеличится скорость, при том же расстоянии, во столько же раз уменьшится время. 

Формулируют общий вывод к двум рассмотренным случаям:

"Время прямо пропорционально расстоянию" и "Время обратно пропорционально скорости".  

Ученики называют несколько версий, которые с корректировкой учителя выводят тему урока.

Тема урока «Прямая и обратная пропорциональная зависимость » (записывают тему урока в оставленном для нее месте в начале урока)

Формулирование проблемы,

планирование

Метапредметные (УУД)

регулятивные:

-определять и формулировать цель деятельности на уроке;

- под руководством учителя планировать свою деятельность на уроке;

-определять последовательность действий на уроке.

- Исходя из темы, сформулируем цель нашего урока (чему мы должны научиться)

- Давайте, сформулируем точное определение прямой и обратной пропорциональной зависимостей. Найдите определения в учебнике и прочитайте про себя.

Прямо пропорциональная зависимость – зависимость, в которой с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз, увеличивается (уменьшается) вторая величина во столько же раз.
Обратно пропорциональная зависимость – зависимость, в которой с увеличением (уменьшением) одной величины в несколько раз, уменьшается (увеличивается) вторая величина во столько же раз.

Ученики формулируют цель:

1.Нам нужно научиться различать прямую

и обратную пропорциональную зависимости.

2. Выяснить, как можно решать задачи

с помощью пропорций.

Открытие нового знания

Предметные:

- вывести алгоритм решения задач с помощью пропорций;

- уметь составить краткую запись и определить вид пропорциональности.

Личностные:

- определять общие для всех правила поведения;

- определять правила работы в коллективе;

- оценивать содержание усваиваемого материала (исходя личностных ценностей).

Метапредметные (УУД)

регулятивные:

- работать по плану, корректировать план;

- отличать верно выполненное задание от неверного;

- осуществлять коррекцию, оценку и самооценку;

познавательные:

- развитие исследовательских навыков;

- ориентироваться в своей системе знаний (определять границы знания, незнания);

- слушать и понимать речь других, уважить в общении и сотрудничестве партнера и самого себя;

- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли;

Итак, для решения задач с помощью пропорции нам необходимо иметь алгоритм. Попробуем сформулировать его вместе?

Алгоритм решения задач.

1. Составить краткую запись и определить вид пропорциональности. (Одноименные величины записываются друг под другом)

2. Составить пропорцию.

*Если две величины прямо пропорциональны, то отношения двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

*Если две величины обратно пропорциональны, то отношения двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

3. Найти неизвестный член пропорции.

4. Проанализировать полученный результат и записать ответ.

Учащиеся предлагают разные пути решения проблемы, которые с корректировкой учителя выводят на нужный алгоритм. Анализируют полученный результат.

Первичное усвоение новых знаний

Предметные:

знать основное свойство пропорции;

- уметь применять свойство.

Метапредметные (УУД)

регулятивные:

- отличать верно выполненное задание от неверного;

- осуществлять контроль и самоконтроль, коррекцию, оценку своей деятельности;

познавательные:

- осуществлять анализ учебного материала;

коммуникативные:

- слушать и понимать речь других;

- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, аргументировать свой ответ.

Рассмотрим теперь решение предыдущих задач с помощью пропорций (применяем алгоритм):

-Ребята, при составлении краткой записи очень важно одноименные величины записывать друг под другом!

-При записи решения, обратите внимание на оформление.

-Какое свойство мы можем применить при решении уравнения? (основное свойство пропорции: в верной пропорции произведение крайних членов пропорции равно произведению средних).

-При составлении пропорции важно помнить, что если две величины прямо пропорциональны, то отношения двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.

Если две величины обратно пропорциональны, то отношения двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Ученик у доски решает задачу с комментированием. Составляет краткую запись и определяет вид пропорциональности (прямая пропорциональность):

Задача №1.

За 2 часа – 160 км

За х часов – 320 км

Составляет пропорцию, обозначая неизвестный член пропорции за х.

Ребята записывают решение, обращая внимание на оформление:

2 : х =160 : 320

2  320 = х 160

х = 640 : 160

х = 4

Ответ: за 4 часа.

Учащиеся делают необходимые записи в тетради, осуществляют взаимопроверку с соседом по парте, оказывают взаимопомощь (работа в группах).

Задача №2.

Если 60 км/ч – то за 3 часа

если 120 км/ч – то за х часов

Определяет вид пропорциональности (обратная пропорциональность):

60 : 120 = х : 3

60  3 = 120  х

х = 180 : 120

х = 1,5

Ответ: за 1,5 часа.

На примере решения задач ученики понимают удобство применения алгоритма.

Первичная проверка понимания

Предметные:

- знать определения прямой и обратной пропорциональной зависимости;

- уметь различать прямую и обратную пропорциональную зависимости;

Метапредметные (УУД)

регулятивные:

- отличать верно выполненное задание от неверного;

- осуществлять контроль и самоконтроль, коррекцию, оценку своей деятельности;

познавательные:

- осуществлять анализ учебного материала;

коммуникативные:

- слушать и понимать речь других;

- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, аргументировать свой ответ.

Динамическая физкультминутка-тренажер:

«Пальчиковая гимнастика для мозга»

Сложите пальцы на правой руке в знак

«мир» , на левой — «ок». Ваша задача заключается в том, чтобы одновременно менять положение пальцев на обеих руках. То есть на правой был «мир» — стал «ок» , на левой — был «ок» — стал «мир». Повторяйте упражнение 10-15 раз.

(Польза упражнения для ума:

Включает одновременное взаимодействие правого и левого полушария, повышает способность быстро переключаться с одной задачи на другую, а также тренирует внимательность):

Игра « Истина или ложь?»

Если зависимость между величинами является прямо пропорциональной, то хлопните в ладоши и кивните головой в знак согласия. Если зависимость обратно пропорциональная, то встаньте и покачайте головой:

1. Во сколько раз больше длина стороны квадрата, во столько раз больше его периметр.

2. Во сколько раз больше купили товара, во столько же раз больше надо за него заплатить.

3. Во сколько раз больше груза может перевести грузовик за один рейс, во столько же раз меньше рейсов ему

нужно сделать.

При выполнении пальчиковой гимнастики ребята внимательно слушают задания и стараются одновременно менять положение пальцев на обеих руках, увеличивая постепенно темп выполнения упражнения. Корректируют ошибки.

Во время игры « Истина или ложь»? используют определения прямой и обратной пропорциональной зависимости, чтобы верно различать прямую и обратную пропорциональность.

Взаимопомощь в группах по устранению ошибок.

Первичная проверка понимания

4. Во сколько раз больше сошьют костюмов, во столько раз больше будет потрачено ткани.

5. Во сколько раз уменьшится ширина прямоугольника, во столько же раз увеличится его длина при постоянной площади.

6. Во сколько раз больше время движения, во столько же раз больше пройденный путь.

А сейчас я предлагаю вам самостоятельно решить задачу (2 ученика приглашаются провести решение на обороте доски). Решения затем обсуждаются и оцениваются всеми одноклассниками.

Задача:

Изготавливая по 42 детали в час, рабочий трудился 8 часов. Сколько времени ему понадобилось бы на эту же работу, если бы он делал в час по 48 деталей?

Составьте план работы над этой задачей: (схема, вид зависимости между величинами, пропорция, решение уравнения, интерпретация полученного значения, ответ). - Какие дополнительные вопросы по теории вы могли бы задать этим ребятам, чтобы оценить их знания?

После сдачи ответов:

поделитесь информацией с соседом и проверьте правильность выполнения заданий друг другом.

Дополнительные задания: № 462, № 409 (на развитие).

Рефлексия: что не получилось? Какие затруднения? Что удалось?

Если все получилось правильно – поднимите зеленую карточку; есть ошибки, но что-то было верным – красную.

Ученики за доской решают задачу. Составляют схему по условию и определяют вид пропорциональности

(обратная пропорциональность). Раскрывают доски и показывают свое решение классу:

42 детали в час - 8 часов.

48 деталей в час -  х часов.

Это обратно пропорциональная зависимость: во сколько раз больше деталей в час рабочий будет изготавливать, во столько же раз меньше ему потребуется времени на одну и ту же работу. Используя свойство обратной пропорциональности, запишем:

42:48= х:8

42• 8=48•х

х=336:48

х=7

Ответ: рабочий выполнит ту же работу за 7 часов.

Одноклассники предлагают ответить на вопросы (определение пропорции, основное свойство пропорции и другие)

Применение нового знания

Предметные:

- знать определения прямой и обратной пропорциональной зависимости;

- уметь различать прямую и обратную пропорциональную зависимости;

Метапредметные (УУД)

регулятивные:

- отличать верно выполненное задание от неверного;

- осуществлять контроль и самоконтроль, коррекцию, оценку своей деятельности;

познавательные:

- осуществлять анализ учебного материала;

коммуникативные:

- слушать и понимать речь других;

- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, аргументировать свой ответ.

Выполнение заданий к п.22 на стр.130 - 131 учебника (работа в группах)

№784, №785, №787.

Дополнительно: №790, №793

Обучающиеся под руководством учителя анализируют условия задач, обсуждают план решения, делают необходимые записи в тетради, осуществляют взаимопроверку с соседом по парте, оказывают взаимопомощь (работа в группах).

Решения проверяются, оцениваются.

Рефлексия учебной деятельности

Личностные:

- устанавливать связь между целью деятельности и ее результатом.

Метапредметные (УУД):

регулятивные:

- осуществлять самоконтроль;

- совместно с учителем и одноклассниками давать оценку деятельности на уроке;

- выделять и осознавать то, что уже усвоено и что нужно еще усвоить;

-Подведем итоги урока и обсудим домашнее задание:

Домашнее задание: 1) п.22, выучить определения прямой и обратной пропорциональной зависимости;

2) №811, №812;

3) придумать свою задачу на прямую или обратную пропорциональную зависимость величин.

Рефлексия учебной деятельности

коммуникативные:

- умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Рефлексия:

- А какие цели мы ставили перед собой на уроке?

-Какие виды прямой и обратной пропорциональной зависимости мы сегодня с вами разобрали?

- В каких жизненных ситуациях вам могут пригодиться эти знания?

Оцените свою работу в парах.

Поднимите руки учащиеся той пары, у которой все задания выполнены правильно.

А какой паре ещё необходимо почитать учебник?

- Все ли получилось? Какие были трудности? Над чем еще предстоит поработать?

- Кого бы вы отметили как самого активного ученика?

Нарисуйте свое настроение (смайлик) в тетради. Покажите его всем, улыбнувшись! Спасибо за урок!

- Нам нужно было научиться различать прямую и обратную пропорциональную зависимости величин;

- Выяснить, как можно применять полученные знания при решении задач.

-Умение пользоваться пропорциями может нам помочь в повседневной жизни. Например, когда нужно рационально составить меню для семьи и верно распределить деньги на приобретение продуктов, в поездках за город рассчитать скорость и время, а также во многих других ситуациях

Обучающиеся осуществляют самооценку собственной учебной деятельности, соотносят цель и результаты, степень их соответствия.

Выставляются оценки за урок.