УЧЕБНОЕ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ "Числовые ряды"
методическая разработка по математике (10, 11 класс)

Улан-Удэнский институт железнодорожного транспорта -

филиал ФГБОУ ВПО «ИрГУПС»

УЧЕБНОЕ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по теме«Ряды»

               дисциплина «Математика»

Стогова О.О.

Улан-Удэ

2015

Данное методическое пособие разработано для студентов 2 курса, с целью оказания теоретической и практической помощи при изучении раздела «Ряды» по дисциплине «Математика».

Автор –Стогова О.О., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта.

Рецензенты – Мартынова Т.Ю., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта, методист.

Содержание

Пояснительная записка

Учебное пособие составлено на основе программы учебной дисциплины математика, для всех специальностей СПО, утвержденной 07.06.2011г.

Данное методическое пособие разработано для студентов 2 курса, с целью оказания теоретической и практической помощи при изучении раздела «Ряды» курса математики.

Пособие может оказать существенную помощь преподавателям при рассмотрении раздела «Ряды», так как в пособии сконцентрирована теоретическая и практическая информация по данной теме.

Учебное пособие дает возможность самостоятельно изучить теоретический и практический материал по всему разделу. Каждая тема имеет краткую теоретическую часть, содержит указания и решения к некоторым из заданий, подобраны вопросы и задания для закрепления изучаемой темы, а так же приводится контрольная задания для  проверки полученных знаний по данному разделу. Наличие приведенных примеров решения задач представляется совершенно необходимым в связи с неизбежным   увеличением роли самостоятельной работы студентов и необходимостью предоставления студентам возможности самообразования.

Учебное пособие содержит необходимый теоретический и практический материал, необходимый для усвоения, закрепления и развития знаний, умений и навыков обучающихся.

1. Бесконечные числовые ряды

      Возьмем отрезок  и разобьем его пополам. Правую половину отрезка снова разобьем пополам. После этого разобьем пополам отрезок, то есть правую половину отрезка  и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим разбиение отрезка  на бесконечное множество отрезков ,,

     Естественно считать, что сумма длин  всех отрезков, на которые разбит отрезок ,равна длине разбиваемого отрезка, то есть 1.Естественно считать верным равенство:  + …= 1

     Если разбить отрезок  на три равные части, потом разбить на три части отрезок  и продолжить этот процесс до бесконечности, то получим верное равенство: .

    В левых частях получившихся равенств стоят суммы, состоящие из бесконечного числа слагаемых,   какой смысл имеет понятие суммы для бесконечного множества слагаемых?

  2.Основные определения

  Числовым рядом называют бесконечную последовательность чисел, соединенных знаками  сложения:        

 Например :
1 +2 +3 +4 +…+n +…;

;

,

1+3+5+7+9+…+ (2n-1) +…

  Общий член последовательности  называют в этом случае общим членом ряда. Если задано выражение  через n , то можно выписать сколько угодно членов ряда.

Например: , то , , 

Ряд с общим членом  записывается кратко в виде

Контрольные  задания

1.Запишите первые четыре члена следующих рядов:

а) ;  б);  в) ;  г) ;  д).

е);  ж).
2.Запишите формулу общего члена для следующих рядов:

а)1+                    б)

в)    г)1-

3.Пусть  Чему равны   ;

4. Второй член числового ряда   равен…

Варианты ответов:

5. Четвертый член числового ряда  равен…

Варианты ответов:

3.Сходящиеся и расходящиеся ряды.

Определим понятие суммы бесконечного ряда. Так как мы не умеем  складывать бесконечно много слагаемых, сведем понятие суммы бесконечного ряда к сумме конечного числа слагаемых. Для этого  рассмотрим  так  называемые  частичные суммы ряда:  S1 =, S2=

S3=… Sn=. Эти частичные суммы образуют последовательность S1,S2,S3…Sn, …    (1)

Если она имеет предел, то говорят, что ряд сходится, а ее предел называют суммой ряда: S= .  Если  последовательность (1) не имеет предела, то говорят, что ряд расходится и не имеет суммы.

 Суммой ряда называют предел последовательности его частичных сумм.

Примером расходящегося  ряда является 1-1+1- 1+…+(-1)n-1+…  , так как

S1=1,  S2=0,  S3=1, S4=0…Эта последовательность не имеет предела

Контрольные  задания

1. Дан числовой ряд. Установите соответствие между частичными суммами  и их значениями.

2.Дан числовой ряд .   Установите соответствие между частичными суммами  и их значениями.

3. Найдите частичны суммы S5  S6   S7 для  следующих рядов:

а)   б);  в);

4. Установите соответствие между общими членами   числовых рядов  и их  четвертыми членами

4.Свойства сходящихся рядов.

Так как сумма сходящегося ряда есть не что иное, как предел последовательности частичных сумм, то каждому свойству предела последовательности соответствует некоторое свойство суммы ряда. Рассмотрим эти свойства.

1)Числовой ряд не может иметь двух различных сумм (следует из того, что последовательность не может иметь двух различных пределов).

2)Если ряд    (1)  сходится, то сходится и ряд, полученный  из (1) любой расстановкой скобок, например,

   .

3)Пусть ряды   (2)

               и            (3)

сходятся и их суммы равны соответственно s и S. Тогда и ряд

  полученный почленным сложением этих рядов, также сходится и его сумма равна s+S.

4) Если ряд   сходится и его сумма равна s, то сходится и ряд    и его сумма равна As.

Это следует из того, что

5. Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Пример1. Исследовать  сходимость  рядов:

а)+… ;

б)2 +22+23+…+2n+… .

Решение.1) Данный ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Так как ,то ряд сходится.

2) Данный ряд есть бесконечно возрастающая геометрическая прогрессия. Так как -2) = ∞ следовательно, ряд  расходится.

Пример 2. Найти сумму ряда с общим членом .

Решение. Пусть n = 1,2,3,…; тогда получим ряд

++…= .Чтобы найти сумму ряда, надо найти предел при n его n-й частичной суммы

 +   (1).

Запишем общий член ряда в виде  подставляя в это равенство последовательно 1,2,3,…n и используя равенство (1), получим

. Все члены ряда, кроме первого и последнего, уничтожаются. Поэтому = , откуда

. Следовательно ряд сходится и его сумма равна1.

Пример 3.Сходится ли ряд  

Решение. Ряд сходится , так как .

Пример 4. Выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда

 +…?

Решение. Найдем , то ряд расходится, так как не выполняется необходимое сходимости ряда.

Пример2. Исследовать сходимость ряда: .

Решение. , необходимый признак не выполняется и данный ряд расходится.

Контрольные  задания

1. Установите, выполняется ли для заданных рядов необходимый признак сходимости: а)

 б)

2.Найдите суммы следующих рядов: а);  б).

6.Признаки сходимости числовых рядов.

Для числовых рядов с положительными членами (, при исследовании их сходимости, используются достаточные признаки сходимости: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши, радикальный признак Коши.

а) Признак  сравнения  рядов.

Пусть даны два ряда с положительными членами:

  ,  (1)

   (2)

 и пусть   Тогда,

если сходится ряд(2), то сходится и ряд(1);

 и если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

При  использовании этого признака исследуемый ряд часто сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией  которая при сходится, а при расходится, или сравнивают с гармоническим рядом .

Пример1.При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд  . (3)

Решение. Выбираем для сравнения известный ряд  (4)

Этот ряд сходится, так как его члены являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем .Сравним члены исследуемого ряда (3) с рядом (4):

Таким образом, начиная со второго члена члены ряда(3) остаются  меньше соответствующих членов сходящегося ряда(4). Следовательно, ряд (3) тоже сходится, так как ,выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Пример 2. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд     (5)

Решение. Необходимый признак сходимости ряда (выполняется, так как

Исследуем ряд(5) по достаточному признаку сходимости при помощи сравнения рядов.

 Выберем для сравнения известный ряд   . (6)

Этот ряд сходится, так как его члены являются членами бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем  Сравниваем члены исследуемого ряда(5) с соответствующими членами ряда (6):

 Члены ряда (5)  остаются не больше соответствующих членов сходящегося ряда(6).Следовательно, исследуемый ряд (5) тоже сходится.

Пример 3. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд   .

Решение. Сравним исследуемый ряд с гармоническим рядом

. Каждый член данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена  гармонического ряда:

 , и так как гармонический ряд расходится, то согласно признаку сравнения, исследуемый ряд будет также расходиться.

Пример 4. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд  .

Решение. Каждый член  исследуемого ряда, начиная с третьего, меньше  соответствующего члена  бесконечной геометрической прогрессии, которая представляет сходящийся ряд, так как ее знаменатель  Поэтому, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд тоже сходится.

Пример 5. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд  .

Решение. Каждый член  исследуемого ряда, начиная с третьего, больше соответствующего члена  гармонического ряда: . Поэтому, согласно признаку сравнения , исследуемый ряд расходится.

Контрольные  задания

1.Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:

   а)   б)  в)   г);  д) .

2. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд:

   а)

   б)

   в);

   г).

б) Признак сходимости Даламбера.

Пусть   - числовой ряд с положительными членами и пусть существует предел  D = .

Тогда если D 1, то ряд сходится,  если D, то ряд расходится, а если D=1, то  возможна как сходимость, так и расходимость ряда.

Пример1. Исследовать на  сходимость ряд

 +.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Находим =  e  1. Следовательно, ряд  сходится.

Пример 2. Исследовать на  сходимость ряд

 .

Решение. Так  как =  = , то ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на  сходимость ряд

+

Решение., то ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на  сходимость ряд

 .

Решение., то ряд расходится.

Пример 5. Исследовать ряд на сходимость .

Решение.

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Контрольные  задания

2.Исследовать  по признаку Даламбера  на сходимость следующие ряды:

а)                         б)

в)            г)

д);   е)

ж)       з)

в) Радикальный признак Коши.

Если для ряда с положительными членами  

величина   при n имеет конечный предел равный D, т.е.

Тогда если D 1, то ряд сходится,  если D, то ряд расходится, а если D=1, то  возможна как сходимость, так и расходимость ряда.

Пример1. Исследовать на сходимость ряд  .

Решение. Так как =

Пример2. Исследовать на сходимость ряд  .

Решение. Так как =

Пример3. Исследовать на сходимость ряд  

Решение. ==

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд   .

Решение.

Таким образом, исследуемый ряд расходится. Примечание: Здесь основание степени , поэтому  

Контрольные  задания

1. Исследовать  (по признаку Коши ) на сходимость следующие ряды:

а);   б);  в) г);

д)

г) Интегральный признак Коши.

Ряд с положительными убывающими членами  сходится или расходится, смотря по тому, сходится или расходится несобственный интеграл где - непрерывная убывающая функция.

 Этим признаком можно пользоваться, когда выражение общего члена  имеет смысл не только для целых положительных значений n, но и для всех n, больших некоторого положительного числа m.

Пример1. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда

номер n непрерывной переменной  х и убеждаемся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х.Затем находим  несобственный интеграл отс бесконечным верхним пределом dx =. Несобственный интеграл расходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и исследуемый ряд также расходится.

Пример2.  Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда

номер n непрерывной переменной  х и убеждаемся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х.Затем находим  несобственный интеграл отс бесконечным верхним пределом

 =  - 1) =+. Несобственный интеграл расходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и исследуемый ряд также расходится.

Пример3.Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда номер n непрерывной переменной  х и убеждаемся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х.Затем находим  несобственный интеграл отс бесконечным верхним пределом   Несобственный интеграл сходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и исследуемый ряд также сходится.

Пример 4. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда  номер n непрерывной переменной  х и убеждаемся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х. Затем находим  несобственный интеграл отс бесконечным верхним пределом

      Несобственный интеграл сходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и исследуемый ряд также сходится.

Контрольные  задания

1. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

   а)  б)   в) г)

7.Абсолютно и условно сходящиеся  ряды.

а)Признак Лейбница.

Знакочередующимся(знакопеременным) называется ряд, члены которого поочередно то положительны, то отрицательны.

Например, ряд  есть ряд знакочередующийся.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов:

Если члены знакочередующегося ряда   ,

таковы, что и  то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

    .

Решение.  Воспользуемся признаком Лейбница, так как

и   то заданный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как 1 и по признаку Лейбница ряд сходится.

Контрольные  задания

1.Исследуйте на сходимость следующие ряды:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

2. Применим  ли признак Лейбница к ряду: …

б) Абсолютная сходимость

Пусть дан ряд  +++…++…(1)   с произвольными членами. Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1), т.е ряд:

|  (2), то исходный ряд (1) тоже сходится.

Ряд (1), для которого выполняется данное  условие , называется абсолютно сходящимся.

Если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся рядом.

Всякий абсолютно сходящийся ряд, есть ряд сходящийся.

Знакочередующийся ряд  сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремятся к нулю, т.е. если  и

При практическом использовании рядов(сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка(остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов: ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда( с убывающими по абсолютному значению членами) суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

Пример1. Установить, сходится ряд:   (3)

абсолютно или условно.

Решение. Напишем ряд члены которого являются абсолютными величинами рядов данного ряда (3): |(4)

Исследуем используя признаки сходимости, ряд (4) сходится так как его члены являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии  Так как сходится ряд (4), то ряд (3), по определению, является абсолютно сходящимся рядом.  Ответ. Ряд сходится абсолютно.

Пример2.Определить, является ли  абсолютно сходящимся,  неабсолютно (условно) сходящимся или расходящимся ряд: .

Решение. Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:     1

Поэтому согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или неабсолютно, исследуем ряд  с положительными членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда. Применяя интегральный признак

   , заключаем, что ряд с положительными членами расходится. Следовательно, данный ряд сходится неабсолютно.

Пример3. Установить сходимость ряда (1)

Решение. Запишем ряд, члены которого являются абсолютными величинами данного ряда:,   (2)

т.е. ряда с положительными членами

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера:

  Ряд (2) сходится, а, следовательно ряд (1), по определению, является абсолютно сходящимся рядом.

Контрольные задания

Установите, какие из рядов сходятся абсолютно и какие сходятся неабсолютно:

a)

б)

8.Функциональные ряды

Выражение вида   u1(x)+u2(x)+u3+…+un(x)+…,

где u1(x), u2(x), …, un(x), … - функции одной и той же переменной, определенные в какой-либо области, называется функциональным рядом.

Областью сходимости функционального ряда называется множество всех значений аргумента, при которых этот ряд сходится.

При различных значениях x из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Совокупность значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Для определения сходимости функционального ряда можно пользоваться признаками сходимости числовых рядов.

Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее  употребительными являются степенные ряды вида  

  (1) или более

общего вида    (2)

Областью сходимости всякого степенного ряда является один интервал числовой оси, симметричный относительно точки х=0 (для ряда1) или  х= 

Если степенной ряд обращается в сходящийся числовой при каждом значении(х)R, то интервал (-R; R)  называется интервалом сходимости, а R-радиусом сходимости степенного ряда.

Если все ≠ 0, то радиус сходимости определяется формулой

R= .  Если R = 0,то х = 0- единственная точка сходимости степенного ряда и ряд называется всюду расходящимся.

Сходимость степенного ряда при R = х и х= - R исследуется отдельно: в данный степенной ряд подставляются значения R= х и х = -R, полученные таким образом числовые ряда исследуются на сходимость.

Пример1. Найти радиус и интервал сходимости ряда

        (1)

Решение: По условию  и . R=  

=  =  =  

R =   и интервал сходимости   (

Подставим x =  в ряд (1). Получаем ряд

+++…++…, или  (2)

Проверяем, выполняется ли необходимый признак :

, следовательно, необходимый признак выполняется.

Исследуем ряд (2) по достаточному признаку сходимости при помощи сравнения рядов. Для сравнения возьмем ряд

 (3)

Ряд(3)расходится, так как его члены являются членами гармонического ряда, умноженными на :

.

Сравним члены ряда (2) и ряда (3):

 …      

Таким образом, начиная с первого члена, члена ряда (2) больше соответствующих членов расходящегося ряда (3), следовательно, ряд (2) расходится (по достаточному признаку сходимости рядов, установленного сравнением рядов).

Подставив x= -  в ряд (1), получаем:

   (4)

Ряд(4)-знакочередующийся, проведем его исследование по теореме Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов:

 при ;  Оба условия выполняются, ряд (4) сходится.

Пример2. Найти радиус  сходимости степенного  ряда:

Решение: Для степенного ряда  радиус определяем по

R= ;  . R=

=

Контрольные задания

1.Найти радиус  сходимости степенного  ряда:

б)

в);

г).

9.Разложение функции в степенные ряды

Если функция  может быть разложена в промежутке  в степенной ряд, то этот ряд есть обязательно ряд  Маклорена данной функции.

Ряд Маклорена

 ,(1)

где   (2)

Ряды  Маклорена  для некоторых элементарных функций:

(сходится при любом x);

ln(сходится при -1

=1+ +++… (сходится при -1

Sin x=x- + - +…(сходится при любом x);

Cos x=1- + - +…(сходится при любом x).

Пример1. Разложить в ряд Маклорена функцию cos.

Решение. Первый способ. Используем разложение в ряд Маклорена функцию cos z.

cos z=1- +-+…  Положим z = . Тогда  cos=1-+ - +…

Второй способ. Найдем коэффициенты ряда Маклорена по формуле (2):

f(x)=cos;   f(0)=1;   (x)= - sin;   (0)=0;  (x)=-cos;   (0)= -

(x)=sin;   (0)=0;    =cos;   (0)=; (x)=-sin;   (0)=0;

(x)= -cos;   (0)=-

Производные нечетного порядка содержат множитель sin, а поэтому при x=0 равны нулю: (0)=0, если n-нечетное число.

Производные четного порядка содержат множитель cos . Так как cos 0=1 и , то .

Знаки производных (начиная с первой производной) чередуются так: два минуса, два плюса, два минуса, два плюса, … Так как при x=0 производные нечетного порядка равны нулю, то знаки частных значений производных при x=0 чередуются так: минус, плюс, минус, плюс, …

Поэтому  cos =1-

Ответ. cos  = 1-

10. Ряды Фурье

Тригонометрический ряд   +, построенный по этим формулам, называется рядом Фурье.

Коэффициенты Фурье определяются по формулам:

.

Функция, заданная на отрезке [0; 2π], график которой симметричен относительно точки (π; 0), раскладывается в ряд Фурье только по синусам. Коэффициенты ряда определяются по формулам:

   (n = 1,2,3,…)

Функция, заданная на отрезке [0, 2π], график которой симметричен относительно прямой  x = π, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x)=   на отрезке [0; 2π]; f (x+2π)=f (x).

Решение.

;

При n-четном ; при n-нечетном .

Действительно, данная функция разлагается в ряд Фурье только по синусам (, так как график ее симметричен относительно точки (π; 0).

Ответ. f (x)=

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте определение числового ряда.

2. Какое выражение называется общим членом ряда?

3. Приведите примеры частичных сумм ряда.

4. Какой ряд называется сходящимся? Расходящимся?

5. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

6. Сформулируйте достаточные признаки сходимости ряда.

7. Какой достаточный признак сходимости рядов с положительными членами вытекает из сравнения рядов между собой?

8. В чем заключается достаточный признак сходимости рядов положительными членами (Даламбера)?

9. Какой ряд называется абсолютно сходящимся и какой условно сходящимся?

10. Какой ряд называется функциональным?

11. Что называется областью сходимости функционального ряда?

12. Что называется областью расходимости функционального ряда?

13. Какой ряд называется степенным?

14. По какой формуле определяется радиус сходимости степенного ряда?

15. Сформулируйте теоремы об интегрировании и дифференцировании рядов.

16. По какой формуле вычисляются коэффициенты ряда Маклорена?

17. Напишите ряд Маклорена в общем виде.

18.Напишите ряды Маклорена для функций:   ; ln(1+x); sin x; cos x;  .

19. По каким формулам определяются коэффициенты Фурье для функций периода ?

Контрольные задания

1. Разложить в степенные ряды функции:

a) f(x) = cos 4x;    б) f(x) = sin ;

2. При помощи сравнения рядов установить, сходятся или расходятся ряды:

а) ++++…++…;

б) +++…++….

3. Исследовать по признаку Даламбера сходимость рядов:

а) 2 ++++…++…;

б) + ++…++….

4. Установить, какие из рядов сходятся абсолютно и какие сходятся неабсолютно:

а) -  + - +…+-…;

б) - + - …--….

5. Найти интервал и радиус  сходимости ряда:

а) 3x ++ ++…++…;

  ; ln(1+x); sin x; cos x;  .

6. При помощи сравнения рядов установить, сходятся или расходятся ряды:

а) ++++…++…;

б) +++…++….

Приложение

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие. Просвещение 2010.

2. Г.Н.Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу

Учебное пособие для студентов вуз

3. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа.10-11классы.Ч.1.Учебник. 2011.

4. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа.10-11классы.Ч.2.Задачник.2011.

5. Г.Н. Яковлев Алгебра и начала анализа (часть2) математика для техникумов Учебник

Улан-Удэнский институт железнодорожного транспорта -

филиал ФГБОУ ВПО «ИрГУПС»

УЧЕБНОЕ МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по теме«Ряды»

               дисциплина «Математика»

Стогова О.О.

Улан-Удэ

2015

Данное методическое пособие разработано для студентов 2 курса, с целью оказания теоретической и практической помощи при изучении раздела «Ряды» по дисциплине «Математика».

Автор –Стогова О.О., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта.

Рецензенты – Мартынова Т.Ю., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта, методист.

Содержание

Пояснительная записка

Учебное пособие составлено на основе программы учебной дисциплины математика, для всех специальностей СПО, утвержденной 07.06.2011г.

Данное методическое пособие разработано для студентов 2 курса, с целью оказания теоретической и практической помощи при изучении раздела «Ряды» курса математики.

Пособие может оказать существенную помощь преподавателям при рассмотрении раздела «Ряды», так как в пособии сконцентрирована теоретическая и практическая информация по данной теме.

Учебное пособие дает возможность самостоятельно изучить теоретический и практический материал по всему разделу. Каждая тема имеет краткую теоретическую часть, содержит указания и решения к некоторым из заданий, подобраны вопросы и задания для закрепления изучаемой темы, а так же приводится контрольная задания для  проверки полученных знаний по данному разделу. Наличие приведенных примеров решения задач представляется совершенно необходимым в связи с неизбежным   увеличением роли самостоятельной работы студентов и необходимостью предоставления студентам возможности самообразования.

Учебное пособие содержит необходимый теоретический и практический материал, необходимый для усвоения, закрепления и развития знаний, умений и навыков обучающихся.

1. Бесконечные числовые ряды

      Возьмем отрезок  и разобьем его пополам. Правую половину отрезка снова разобьем пополам. После этого разобьем пополам отрезок, то есть правую половину отрезка  и т. д. Продолжая этот процесс до бесконечности, получим разбиение отрезка  на бесконечное множество отрезков ,,

     Естественно считать, что сумма длин  всех отрезков, на которые разбит отрезок ,равна длине разбиваемого отрезка, то есть 1.Естественно считать верным равенство:  + …= 1

     Если разбить отрезок  на три равные части, потом разбить на три части отрезок  и продолжить этот процесс до бесконечности, то получим верное равенство: .

    В левых частях получившихся равенств стоят суммы, состоящие из бесконечного числа слагаемых,   какой смысл имеет понятие суммы для бесконечного множества слагаемых?

  2.Основные определения

  Числовым рядом называют бесконечную последовательность чисел, соединенных знаками  сложения:        

 Например :
1 +2 +3 +4 +…+n +…;

;

,

1+3+5+7+9+…+ (2n-1) +…

  Общий член последовательности  называют в этом случае общим членом ряда. Если задано выражение  через n , то можно выписать сколько угодно членов ряда.

Например: , то , , 

Ряд с общим членом  записывается кратко в виде

Контрольные  задания

1.Запишите первые четыре члена следующих рядов:

а) ;  б);  в) ;  г) ;  д).

е);  ж).
2.Запишите формулу общего члена для следующих рядов:

а)1+                    б)

в)    г)1-

3.Пусть  Чему равны   ;

4. Второй член числового ряда   равен…

Варианты ответов:

5. Четвертый член числового ряда  равен…

Варианты ответов:

3.Сходящиеся и расходящиеся ряды.

Определим понятие суммы бесконечного ряда. Так как мы не умеем  складывать бесконечно много слагаемых, сведем понятие суммы бесконечного ряда к сумме конечного числа слагаемых. Для этого  рассмотрим  так  называемые  частичные суммы ряда:  S1 =, S2=

S3=… Sn=. Эти частичные суммы образуют последовательность S1,S2,S3…Sn, …    (1)

Если она имеет предел, то говорят, что ряд сходится, а ее предел называют суммой ряда: S= .  Если  последовательность (1) не имеет предела, то говорят, что ряд расходится и не имеет суммы.

 Суммой ряда называют предел последовательности его частичных сумм.

Примером расходящегося  ряда является 1-1+1- 1+…+(-1)n-1+…  , так как

S1=1,  S2=0,  S3=1, S4=0…Эта последовательность не имеет предела

Контрольные  задания

1. Дан числовой ряд. Установите соответствие между частичными суммами  и их значениями.

2.Дан числовой ряд .   Установите соответствие между частичными суммами  и их значениями.

3. Найдите частичны суммы S5  S6   S7 для  следующих рядов:

а)   б);  в);

4. Установите соответствие между общими членами   числовых рядов  и их  четвертыми членами

4.Свойства сходящихся рядов.

Так как сумма сходящегося ряда есть не что иное, как предел последовательности частичных сумм, то каждому свойству предела последовательности соответствует некоторое свойство суммы ряда. Рассмотрим эти свойства.

1)Числовой ряд не может иметь двух различных сумм (следует из того, что последовательность не может иметь двух различных пределов).

2)Если ряд    (1)  сходится, то сходится и ряд, полученный  из (1) любой расстановкой скобок, например,

   .

3)Пусть ряды   (2)

               и            (3)

сходятся и их суммы равны соответственно s и S. Тогда и ряд

  полученный почленным сложением этих рядов, также сходится и его сумма равна s+S.

4) Если ряд   сходится и его сумма равна s, то сходится и ряд    и его сумма равна As.

Это следует из того, что

5. Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е.

Пример1. Исследовать  сходимость  рядов:

а)+… ;

б)2 +22+23+…+2n+… .

Решение.1) Данный ряд представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Так как ,то ряд сходится.

2) Данный ряд есть бесконечно возрастающая геометрическая прогрессия. Так как -2) = ∞ следовательно, ряд  расходится.

Пример 2. Найти сумму ряда с общим членом .

Решение. Пусть n = 1,2,3,…; тогда получим ряд

++…= .Чтобы найти сумму ряда, надо найти предел при n его n-й частичной суммы

 +   (1).

Запишем общий член ряда в виде  подставляя в это равенство последовательно 1,2,3,…n и используя равенство (1), получим

. Все члены ряда, кроме первого и последнего, уничтожаются. Поэтому = , откуда

. Следовательно ряд сходится и его сумма равна1.

Пример 3.Сходится ли ряд  

Решение. Ряд сходится , так как .

Пример 4. Выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда

 +…?

Решение. Найдем , то ряд расходится, так как не выполняется необходимое сходимости ряда.

Пример2. Исследовать сходимость ряда: .

Решение. , необходимый признак не выполняется и данный ряд расходится.

Контрольные  задания

1. Установите, выполняется ли для заданных рядов необходимый признак сходимости: а)

 б)

2.Найдите суммы следующих рядов: а);  б).

6.Признаки сходимости числовых рядов.

Для числовых рядов с положительными членами (, при исследовании их сходимости, используются достаточные признаки сходимости: признак сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши, радикальный признак Коши.

а) Признак  сравнения  рядов.

Пусть даны два ряда с положительными членами:

  ,  (1)

   (2)

 и пусть   Тогда,

если сходится ряд(2), то сходится и ряд(1);

 и если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2).

При  использовании этого признака исследуемый ряд часто сравнивается или с бесконечной геометрической прогрессией  которая при сходится, а при расходится, или сравнивают с гармоническим рядом .

Пример1.При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд  . (3)

Решение. Выбираем для сравнения известный ряд  (4)

Этот ряд сходится, так как его члены являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем .Сравним члены исследуемого ряда (3) с рядом (4):

Таким образом, начиная со второго члена члены ряда(3) остаются  меньше соответствующих членов сходящегося ряда(4). Следовательно, ряд (3) тоже сходится, так как ,выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Пример 2. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд     (5)

Решение. Необходимый признак сходимости ряда (выполняется, так как

Исследуем ряд(5) по достаточному признаку сходимости при помощи сравнения рядов.

 Выберем для сравнения известный ряд   . (6)

Этот ряд сходится, так как его члены являются членами бесконечной убывающей геометрической прогрессии со знаменателем  Сравниваем члены исследуемого ряда(5) с соответствующими членами ряда (6):

 Члены ряда (5)  остаются не больше соответствующих членов сходящегося ряда(6).Следовательно, исследуемый ряд (5) тоже сходится.

Пример 3. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд   .

Решение. Сравним исследуемый ряд с гармоническим рядом

. Каждый член данного ряда, начиная со второго, больше соответствующего члена  гармонического ряда:

 , и так как гармонический ряд расходится, то согласно признаку сравнения, исследуемый ряд будет также расходиться.

Пример 4. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд  .

Решение. Каждый член  исследуемого ряда, начиная с третьего, меньше  соответствующего члена  бесконечной геометрической прогрессии, которая представляет сходящийся ряд, так как ее знаменатель  Поэтому, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд тоже сходится.

Пример 5. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд  .

Решение. Каждый член  исследуемого ряда, начиная с третьего, больше соответствующего члена  гармонического ряда: . Поэтому, согласно признаку сравнения , исследуемый ряд расходится.

Контрольные  задания

1.Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда:

   а)   б)  в)   г);  д) .

2. При помощи сравнения рядов установите сходится или расходится ряд:

   а)

   б)

   в);

   г).

б) Признак сходимости Даламбера.

Пусть   - числовой ряд с положительными членами и пусть существует предел  D = .

Тогда если D 1, то ряд сходится,  если D, то ряд расходится, а если D=1, то  возможна как сходимость, так и расходимость ряда.

Пример1. Исследовать на  сходимость ряд

 +.

Решение. Воспользуемся признаком Даламбера. Находим =  e  1. Следовательно, ряд  сходится.

Пример 2. Исследовать на  сходимость ряд

 .

Решение. Так  как =  = , то ряд расходится.

Пример 3. Исследовать на  сходимость ряд

+

Решение., то ряд сходится.

Пример 4. Исследовать на  сходимость ряд

 .

Решение., то ряд расходится.

Пример 5. Исследовать ряд на сходимость .

Решение.

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Контрольные  задания

2.Исследовать  по признаку Даламбера  на сходимость следующие ряды:

а)                         б)

в)            г)

д);   е)

ж)       з)

в) Радикальный признак Коши.

Если для ряда с положительными членами  

величина   при n имеет конечный предел равный D, т.е.

Тогда если D 1, то ряд сходится,  если D, то ряд расходится, а если D=1, то  возможна как сходимость, так и расходимость ряда.

Пример1. Исследовать на сходимость ряд  .

Решение. Так как =

Пример2. Исследовать на сходимость ряд  .

Решение. Так как =

Пример3. Исследовать на сходимость ряд  

Решение. ==

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд   .

Решение.

Таким образом, исследуемый ряд расходится. Примечание: Здесь основание степени , поэтому  

Контрольные  задания

1. Исследовать  (по признаку Коши ) на сходимость следующие ряды:

а);   б);  в) г);

д)

г) Интегральный признак Коши.

Ряд с положительными убывающими членами  сходится или расходится, смотря по тому, сходится или расходится несобственный интеграл где - непрерывная убывающая функция.

 Этим признаком можно пользоваться, когда выражение общего члена  имеет смысл не только для целых положительных значений n, но и для всех n, больших некоторого положительного числа m.

Пример1. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда

номер n непрерывной переменной  х и убеждаемся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х.Затем находим  несобственный интеграл отс бесконечным верхним пределом dx =. Несобственный интеграл расходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и исследуемый ряд также расходится.

Пример2.  Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда

номер n непрерывной переменной  х и убеждаемся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х.Затем находим  несобственный интеграл отс бесконечным верхним пределом

 =  - 1) =+. Несобственный интеграл расходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и исследуемый ряд также расходится.

Пример3.Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда номер n непрерывной переменной  х и убеждаемся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х.Затем находим  несобственный интеграл отс бесконечным верхним пределом   Несобственный интеграл сходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и исследуемый ряд также сходится.

Пример 4. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

Решение. Заменяем в заданном выражении общего члена ряда  номер n непрерывной переменной  х и убеждаемся, что полученная функция является непрерывной и убывающей во всем бесконечном интервале изменения х. Затем находим  несобственный интеграл отс бесконечным верхним пределом

      Несобственный интеграл сходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и исследуемый ряд также сходится.

Контрольные  задания

1. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда:

   а)  б)   в) г)

7.Абсолютно и условно сходящиеся  ряды.

а)Признак Лейбница.

Знакочередующимся(знакопеременным) называется ряд, члены которого поочередно то положительны, то отрицательны.

Например, ряд  есть ряд знакочередующийся.

Признак Лейбница для знакочередующихся рядов:

Если члены знакочередующегося ряда   ,

таковы, что и  то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

    .

Решение.  Воспользуемся признаком Лейбница, так как

и   то заданный ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как 1 и по признаку Лейбница ряд сходится.

Контрольные  задания

1.Исследуйте на сходимость следующие ряды:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

2. Применим  ли признак Лейбница к ряду: …

б) Абсолютная сходимость

Пусть дан ряд  +++…++…(1)   с произвольными членами. Если сходится ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1), т.е ряд:

|  (2), то исходный ряд (1) тоже сходится.

Ряд (1), для которого выполняется данное  условие , называется абсолютно сходящимся.

Если ряд (2) расходится, а ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся рядом.

Всякий абсолютно сходящийся ряд, есть ряд сходящийся.

Знакочередующийся ряд  сходится, если его члены убывают по абсолютному значению, стремятся к нулю, т.е. если  и

При практическом использовании рядов(сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка(остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов: ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда( с убывающими по абсолютному значению членами) суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

Пример1. Установить, сходится ряд:   (3)

абсолютно или условно.

Решение. Напишем ряд члены которого являются абсолютными величинами рядов данного ряда (3): |(4)

Исследуем используя признаки сходимости, ряд (4) сходится так как его члены являются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии  Так как сходится ряд (4), то ряд (3), по определению, является абсолютно сходящимся рядом.  Ответ. Ряд сходится абсолютно.

Пример2.Определить, является ли  абсолютно сходящимся,  неабсолютно (условно) сходящимся или расходящимся ряд: .

Решение. Члены данного знакочередующегося ряда убывают по абсолютному значению, стремясь к нулю:     1

Поэтому согласно признаку Лейбница, данный ряд сходится. Чтобы установить, сходится ли он абсолютно или неабсолютно, исследуем ряд  с положительными членами , составленный из абсолютных значений членов данного ряда. Применяя интегральный признак

   , заключаем, что ряд с положительными членами расходится. Следовательно, данный ряд сходится неабсолютно.

Пример3. Установить сходимость ряда (1)

Решение. Запишем ряд, члены которого являются абсолютными величинами данного ряда:,   (2)

т.е. ряда с положительными членами

Исследуем сходимость этого ряда по признаку Даламбера:

  Ряд (2) сходится, а, следовательно ряд (1), по определению, является абсолютно сходящимся рядом.

Контрольные задания

Установите, какие из рядов сходятся абсолютно и какие сходятся неабсолютно:

a)

б)

8.Функциональные ряды

Выражение вида   u1(x)+u2(x)+u3+…+un(x)+…,

где u1(x), u2(x), …, un(x), … - функции одной и той же переменной, определенные в какой-либо области, называется функциональным рядом.

Областью сходимости функционального ряда называется множество всех значений аргумента, при которых этот ряд сходится.

При различных значениях x из функционального ряда получаются различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Совокупность значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

Для определения сходимости функционального ряда можно пользоваться признаками сходимости числовых рядов.

Из всех функциональных рядов простейшими и наиболее  употребительными являются степенные ряды вида  

  (1) или более

общего вида    (2)

Областью сходимости всякого степенного ряда является один интервал числовой оси, симметричный относительно точки х=0 (для ряда1) или  х= 

Если степенной ряд обращается в сходящийся числовой при каждом значении(х)R, то интервал (-R; R)  называется интервалом сходимости, а R-радиусом сходимости степенного ряда.

Если все ≠ 0, то радиус сходимости определяется формулой

R= .  Если R = 0,то х = 0- единственная точка сходимости степенного ряда и ряд называется всюду расходящимся.

Сходимость степенного ряда при R = х и х= - R исследуется отдельно: в данный степенной ряд подставляются значения R= х и х = -R, полученные таким образом числовые ряда исследуются на сходимость.

Пример1. Найти радиус и интервал сходимости ряда

        (1)

Решение: По условию  и . R=  

=  =  =  

R =   и интервал сходимости   (

Подставим x =  в ряд (1). Получаем ряд

+++…++…, или  (2)

Проверяем, выполняется ли необходимый признак :

, следовательно, необходимый признак выполняется.

Исследуем ряд (2) по достаточному признаку сходимости при помощи сравнения рядов. Для сравнения возьмем ряд

 (3)

Ряд(3)расходится, так как его члены являются членами гармонического ряда, умноженными на :

.

Сравним члены ряда (2) и ряда (3):

 …      

Таким образом, начиная с первого члена, члена ряда (2) больше соответствующих членов расходящегося ряда (3), следовательно, ряд (2) расходится (по достаточному признаку сходимости рядов, установленного сравнением рядов).

Подставив x= -  в ряд (1), получаем:

   (4)

Ряд(4)-знакочередующийся, проведем его исследование по теореме Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов:

 при ;  Оба условия выполняются, ряд (4) сходится.

Пример2. Найти радиус  сходимости степенного  ряда:

Решение: Для степенного ряда  радиус определяем по

R= ;  . R=

=

Контрольные задания

1.Найти радиус  сходимости степенного  ряда:

б)

в);

г).

9.Разложение функции в степенные ряды

Если функция  может быть разложена в промежутке  в степенной ряд, то этот ряд есть обязательно ряд  Маклорена данной функции.

Ряд Маклорена

 ,(1)

где   (2)

Ряды  Маклорена  для некоторых элементарных функций:

(сходится при любом x);

ln(сходится при -1

=1+ +++… (сходится при -1

Sin x=x- + - +…(сходится при любом x);

Cos x=1- + - +…(сходится при любом x).

Пример1. Разложить в ряд Маклорена функцию cos.

Решение. Первый способ. Используем разложение в ряд Маклорена функцию cos z.

cos z=1- +-+…  Положим z = . Тогда  cos=1-+ - +…

Второй способ. Найдем коэффициенты ряда Маклорена по формуле (2):

f(x)=cos;   f(0)=1;   (x)= - sin;   (0)=0;  (x)=-cos;   (0)= -

(x)=sin;   (0)=0;    =cos;   (0)=; (x)=-sin;   (0)=0;

(x)= -cos;   (0)=-

Производные нечетного порядка содержат множитель sin, а поэтому при x=0 равны нулю: (0)=0, если n-нечетное число.

Производные четного порядка содержат множитель cos . Так как cos 0=1 и , то .

Знаки производных (начиная с первой производной) чередуются так: два минуса, два плюса, два минуса, два плюса, … Так как при x=0 производные нечетного порядка равны нулю, то знаки частных значений производных при x=0 чередуются так: минус, плюс, минус, плюс, …

Поэтому  cos =1-

Ответ. cos  = 1-

10. Ряды Фурье

Тригонометрический ряд   +, построенный по этим формулам, называется рядом Фурье.

Коэффициенты Фурье определяются по формулам:

.

Функция, заданная на отрезке [0; 2π], график которой симметричен относительно точки (π; 0), раскладывается в ряд Фурье только по синусам. Коэффициенты ряда определяются по формулам:

   (n = 1,2,3,…)

Функция, заданная на отрезке [0, 2π], график которой симметричен относительно прямой  x = π, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам.

Пример. Разложить в ряд Фурье функцию

f (x)=   на отрезке [0; 2π]; f (x+2π)=f (x).

Решение.

;

При n-четном ; при n-нечетном .

Действительно, данная функция разлагается в ряд Фурье только по синусам (, так как график ее симметричен относительно точки (π; 0).

Ответ. f (x)=

Вопросы для самопроверки:

1. Дайте определение числового ряда.

2. Какое выражение называется общим членом ряда?

3. Приведите примеры частичных сумм ряда.

4. Какой ряд называется сходящимся? Расходящимся?

5. Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.

6. Сформулируйте достаточные признаки сходимости ряда.

7. Какой достаточный признак сходимости рядов с положительными членами вытекает из сравнения рядов между собой?

8. В чем заключается достаточный признак сходимости рядов положительными членами (Даламбера)?

9. Какой ряд называется абсолютно сходящимся и какой условно сходящимся?

10. Какой ряд называется функциональным?

11. Что называется областью сходимости функционального ряда?

12. Что называется областью расходимости функционального ряда?

13. Какой ряд называется степенным?

14. По какой формуле определяется радиус сходимости степенного ряда?

15. Сформулируйте теоремы об интегрировании и дифференцировании рядов.

16. По какой формуле вычисляются коэффициенты ряда Маклорена?

17. Напишите ряд Маклорена в общем виде.

18.Напишите ряды Маклорена для функций:   ; ln(1+x); sin x; cos x;  .

19. По каким формулам определяются коэффициенты Фурье для функций периода ?

Контрольные задания

1. Разложить в степенные ряды функции:

a) f(x) = cos 4x;    б) f(x) = sin ;

2. При помощи сравнения рядов установить, сходятся или расходятся ряды:

а) ++++…++…;

б) +++…++….

3. Исследовать по признаку Даламбера сходимость рядов:

а) 2 ++++…++…;

б) + ++…++….

4. Установить, какие из рядов сходятся абсолютно и какие сходятся неабсолютно:

а) -  + - +…+-…;

б) - + - …--….

5. Найти интервал и радиус  сходимости ряда:

а) 3x ++ ++…++…;

  ; ln(1+x); sin x; cos x;  .

6. При помощи сравнения рядов установить, сходятся или расходятся ряды:

а) ++++…++…;

б) +++…++….

Приложение

Литература

1. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ. Учебное пособие. Просвещение 2010.

2. Г.Н.Запорожец Руководство к решению задач по математическому анализу

Учебное пособие для студентов вуз

3. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа.10-11классы.Ч.1.Учебник. 2011.

4. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа.10-11классы.Ч.2.Задачник.2011.

5. Г.Н. Яковлев Алгебра и начала анализа (часть2) математика для техникумов Учебник