ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  АВТОНОМНОЕ  ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

 «БЕЛГОРОДСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

обучающимся по выполнению практических работ

учебной дисциплины

ЕН. 01. МАТЕМАТИКА

специальность:

08.02.06 Строительство и эксплуатация городских путей сообщения

                                              Белгород 2023г.

Протокол № 1

от  «31» августа   2023г.

Составители:

Гроза Н. А., Кузьмина Ю.С., Котенева К.П. преподаватели математики ОГАПОУ «БСК»

ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

Пояснительная записка

Учебная дисциплина ЕН 01. Математика способствует формированию общих и профессиональных компетенций по всем видам деятельности ФГОС по специальности 08.02.06 «Строительство и эксплуатация городских путей сообщения». Особое значение дисциплина имеет при формировании и развитии общих и профессиональных компетенций

Методические указания для выполнения практических работ составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине ЕН.01 Математика для 2 курса специальностей СПО и является частью учебно-методического комплекса. Всего на практические работы для специальности специальность 08.02.06 Строительство и эксплуатация городских путей сообщения отводится 20 часа аудиторного времени.

Содержание практических работ позволяет освоить:

- практические приемы вычисления, а также выполнение измерений и связанных с ними расчетов геометрических тел и поверхностей;

- практические навыки вычисления пределов функций;

- практические навыки вычисления производной функции и применение производной;

- практические навыки вычисления определенного и неопределенного интеграла, практическое применение интеграла;

- элементы теории вероятностей и математической статистике.

В содержании каждой практической работы даны краткие теоретические сведения или формулы, примеры решения задач, и задания для самостоятельного решения по вариантам.

Ход выполнения практической работы

Практические работы необходимо выполнять в рабочих тетрадях с указанием номера, темы, целей работы.

Ход работы:

1. Познакомиться с теоретическим материалом
2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)
3. Выполнить самостоятельную работу
4. Сдать преподавателю тетрадь для проверки.

Критерии оценивания практических работ

Отметка «5» ставиться, если:

- работа выполнена полностью;

- в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;

- в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, не являющаяся следствием незнания или непонимания учебного материала).

        Отметка «4» ставится, если:

- выполнено 75-90% заданий;

- либо работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны;

-  допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являются специальным объектом проверки).

        Отметка «3» ставиться, если:

- выполнено 51-75% заданий;

- допущены более одной ошибки или более двух-трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.

        Отметка «2» ставится, если:

- выполнено менее 50% заданий;

- допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Практическая работа 1.

Тема: Множества и операции над ними

Цель: развитие практических навыков задания множеств, выполнения операций над множествами.

Теоретические сведения к практической работе

1. Понятие о множестве

Под множеством понимают объединение в одно целое объектов, связанных между собой неким свойством. Термин "множество" в математике не всегда обозначает большое количество предметов, оно может состоять из одного элемента и вообще не содержать элементов, тогда его называют пустым и обозначают ∅.

Конечное множество состоит из конечного числа элементов, например, множество страниц в книге, множество студентов в группе и т.д.

Бесконечное множество состоит из бесконечного числа элементов, т.е. это множество, которое не является ни конечным, ни пустым. Например: множество действительных чисел, множество точек плоскости, множество атомов во Вселенной и т.д.

Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Мощность множества A обозначается  m (A).

Пример 1. Определите мощность какого из множеств A = {1;3;5;7;9} или B = {2;4;6;8} больше.

Решение. Понятие мощности конечных множеств позволяет сравнивать их по количеству элементов.

 Так, если A={1;3;5;7;9}, а B = {2;4;6;8}, то m(A) = 5, а m (B) = 4 и потому m (A) > m (B).

        Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит множеству B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Следовательно, два множества равны, если каждое из них является подмножеством другого (A = B ⇔ (A ⊂ B и В ⊂А)).

        Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…, а их элементы - малыми: а, в, с…

Запись а∈A означает, что элемент а принадлежит множеству A, то есть а является элементом множества A. В противном случае, когда а не принадлежит множеству A, пишут а∉A.

Для задания множества следует:

1. Перечислить его элементы, например А={2;6;15} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 2, 6, 15).
2. Указать свойства элементов множества, например A= {x| x2≤ 4} - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию x2 ≤ 4.
3. Графически (с помощью диаграмм Эйлера- Венна)

Таким образом, множество однозначно определяется его элементами и не зависит от порядка записи этих элементов.

Например, множество из трех элементов a, b, c допускает шесть видов записи:

{a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}.

Множество B называют подмножеством множества А, если любой элемент множества В является элементом множества А. Обозначается В⊂А.

Множество - А={1;2;3;4;5;6;7;8;9}, множество -  В={1;3;5;7;9}

Пример 2. Пусть А, В, С - подмножества множества N: А={1;2;6;18}; В={6;1;18}; С={2;18;6;1}. В этом случае А = С; C⊂A и A⊂C,  B⊂A.

2. Операции над множествами.

1. Пересечение множеств

Пусть даны два множества А и В.

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В. Обозначают пересечение множеств A ∩ B. A∩B = {х | х ∈ A и х ∈ B}. Аналогично определяется пересечение любого числа множеств. Графически удобно пересечение множеств изображать в виде общей части двух или более кругов Эйлера–Венна

Пример 3.

1. А = {2n | n ∈ N} — множество чисел, делящихся на 2, B = {3n | n ∈ N} — множество чисел, делящихся на 3, тогда A ∩ B = {6n | n ∈ N} — множество чисел, делящихся на 6.

2. А — отрезок [0; 5], В — отрезок [2; 7], тогда A ∩ B — отрезок [2; 5].

2. Объединение множеств

Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В. Обозначают объединение множеств A ∪ B.      A ∪ B = {х | х ∈ A или х ∈ B}. 

Аналогично определяется объединение любого числа множеств.

Пример 4.

1. А = {1; 2; 3; 4; 6; 12}, B = {1; 2; 3; 6; 9; 18}, тогда A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18}.

2. А = [0; 7], В = [3; 10], тогда A ∪ B = [0; 10].

3. Разность множеств

Разностью (дополнением) множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, множества А, не принадлежащих множеству В. Обозначают разность множеств A \ B .   A \ B = {х | х ∈ A и х ∉ B}.

Пример 5

1. А = [–2; 0), B = [–1; 3). Тогда A \ B = [–2; –1), а B \ A = [0; 3).

2. А = {1; 2; 3},  В = {2; 3; 4}. Тогда А\В = { 1 }

Пример 6.  Найти множество, являющееся пересечением множеств А = {1;2;5;7;10} и В = {2;3;5;6;7;9}, и мощность найденного множества. Построить диаграммы Эйлера-Венна.

Решение.   По определению операции пересечения, искомое множество С будет состоять из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству А и множеству В. То есть С = А∩ В = {2;5;7}, m (C) = 3.

Ответ: С = А ∩В = {2;5;7}. m (C) = 3.

Контрольные вопросы

1. Какие множества называются конечными, какие бесконечными, какие пустыми?
2. Что значит задать множество?
3. Какие множества называются равными? Когда два конечных множества будут равными?
4. Когда множество А называют подмножеством множества В? Как множество В в этом случае называется по отношению к множеству А?
5. Что такое объединение двух множеств? Какое его обозначение?
6. Что такое пересечение двух множеств? Какое его обозначение?
7. Что такое разность двух множеств? Какое его обозначение?
8. Что такое дополнение множества А до множества В? Какое его обозначение?

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1

Задание 2

а) найдите для каждой пары подходящее универсальное множество;

б) связаны ли пары одним из соотношений: =, ;

в) найдите пересечение ;

г) найдите разности А\B,   B\A;

д) найдите ;

е) изобразите каждую пару множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна.

Задание 3.

Практическая работа 2.

Тема: Вычисление пределов различными способами.

ЦЕЛЬ: научиться вычислять значения пределов функции при x→a, x→, используя замечательные пределы. 

Теоретические сведения к практической работе

1.Типы неопределенностей и методы их раскрытия

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем.

Пример1. Вычислить предел

Решение: 

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента  в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;  к ним относятся неопределенности видов:                    

Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

Неопределенность вида 

Пример 2. Вычислить предел  

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида  .  Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители:  х2 -25 = (х-5)*(х+5),  получили общий множитель (х-5),  на который можно сократить дробь.                                       ===

Пример 3. Вычислить предел  

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3  видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.            

 Неопределенность вида

Пример 4. Вычислить предел  

Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности () видим, что получается неопределенность вида .  Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:

==, т.к. величины являются бесконечно малыми и их пределы равны 0.

2. Вычисление пределов функций с использованием  замечательных пределов.

Первый замечательный предел:

  Второй замечательный предел:

Пример 5.  Вычислить

Решение. В данном случае имеет место неопределенность вида так как при x→0 числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом

Пример 6. Вычислить предел  

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается неопределенность вида  . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом  и его следствием  . После чего предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

.

Пример 7.  Вычислить  

Решение.         В данном случае имеет место неопределенность вида  так как при x→0  числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом   и его следствием . Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

Пример 8.   

Задачи для самостоятельного решения

Практическая работа 3.

Тема: Вычисление производной и дифференциала.

ЦЕЛЬ: научиться вычислять производные и дифференциалы высших порядков, способствовать развитию навыков решения задач.

Теоретические сведения к практической работе

Производные высших порядков.

Пусть производная некоторой функции f дифференцируема. Тогда производная от производной этой функции называется второй производной функции f и обозначается f". Таким образом,             f"(x) = (f'(x))'.

Производная третьего порядка (третья производная) от функции f есть производная от ее второй производной:      f"'(x) = (f" (x))'

Если дифференцируема (n - 1)-я производная функции f, то ее n-й производной называется производная от (n - 1)-й производной функции f и обозначается f(n).

Итак,                                        f(n)(x) = (f(n-1)(x))',   n ϵ N,      f(0)(x) = f(x).

Число n называется порядком производной.

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциал второго порядка (второй дифференциал) функции y= f(x) есть дифференциал от ее первого дифференциала:     d2y = d(dy).

Дифференциал третьего порядка (третий дифференциал) функции y= f(x) есть дифференциал от ее второго дифференциала:      d3y = d(d2y).

Дифференциал n – го порядка (n – ый дифференциал) функции y= f(x) есть дифференциал от ее (n – 1) – ого дифференциала:      dny = d(dn-1y).

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Пример 1. Найти производную второго порядка функции

Решение:  поэтому найдём производную первого порядка, а затем второго.

        Пример 2. Найти , , , …, если y = x5 +2x4 -3x3 - x2 -0,5x +7.

Решение:         ,

                ,

                ,

                , , .

Пример 3. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции  y=(2x-3)3.

Решение:            dy=3∙(2x-3)2∙2dx = 6∙(2x-3)2dx,

        d2y=12∙(2x-3)∙2dx = 24∙(2x-3)d2x,

                d3y=24∙2dx = 48d3x.

Контрольные вопросы:

1. Что называется производной второго порядка?
2. Что называется производной n – го порядка?
3. Что называется дифференциалом функции?
4. Что называется дифференциалом второго порядка?
5. Что называется дифференциалом n – го порядка? По какой формуле он вычисляется?

Задачи для самостоятельного решения

Вариант 1

1. Найдите производную третьего порядка функции y=3x4 + cos5x.

2. Дана функция y=sinx. Найти y(7).

3. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции

а)   y= 2x3 + 5x2                        б)    y= e4x                в)    y=(4x-5)6

Вариант 2

1.Найдите производную третьего порядка функции y=2x5 - sin3x.

2. Дана функция y=sinx. Найти y(10).

3. Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков функции  

Практическая работа 4.

Тема: Методы вычисления интегралов.

ЦЕЛЬ: рассмотреть вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной.

Теоретические сведения к практической работе

Таблица интегралов

1. Метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям решает очень важную задачу, он позволяет интегрировать некоторые функции, отсутствующие в таблице, произведение функций, а в ряде случаев – и частное.

Если функции u= u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], то  имеет место формула интегрирования по частям:

        Самое сложное, что есть в этом методе – это правильно определить, какую часть подынтегрального выражения брать за u, а какую за dv

        Рассмотрим стандартные случаи.

• Для интегралов вида ,  или , где Pn(x) - многочлен, a– число. Удобно принять u=P(x), а за dv обозначить все остальные сомножители.
• Интегралы вида , , , , . Удобно принять P(x) = dv, а за u все остальные сомножители.
• Интегралы вида , , где a и b числа. За u  можно принять функцию u = еах.

Пример 1.  Вычислить  

Решение.

.

Пример 2. Вычислить  

Решение.

.

2.  Интегрирование заменой переменной (подстановкой).

Пусть для интеграла   от непрерывной функции сделана подстановка x = ϕ(t).

Если: 1) функция x = ϕ(t) и ее производная х/ = ϕ/(t) непрерывны при t∈[α;β];

2) множеством значений функции x = ϕ(t) при t∈[α;β] является отрезок [a;b]

3) ϕ(α) = a и ϕ(β) = b, то

Отметим, что: 1) При вычислении определённого интеграла методом замены переменной возвращаться к старой переменной не требуется;

2) часто вместо подстановки x = ϕ(t) применяют подстановку t = g(x);

3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Алгоритм вычисления определенного интеграла методом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).
2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.
3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.
4. Находят новые пределы интегрирования.
5. Производят замену под интегралом.
6. Находят полученный интеграл.

Пример 1. Вычислить                 

Решение. Замена: t = x2 -16; dt = 2x dx;  dx= .

Найдём новые пределы интегрирования.

При x = 4, α= t(4) = 42 -16 =0; x = 5, β= t(5) = 52 -16 =9.

Получаем: .

Пример 2. Вычислить                 

Решение. Замена: t = , .

t -1 =, 2x + 1 = (t – 1)2, , dx = (t -1)dt.

Найдём новые пределы интегрирования. При x = 0, α= t(0) = 2; x = 4, β=t(4)=4.

Получаем:

.

Контрольные вопросы

1. Что такое определенный интеграл?

2.Какими свойствами обладает определенный интеграл?

3.Что такое формула Ньютона-Лейбница?

4.Как осуществляется замена переменной в определенном интеграле?

5.Как осуществляется интегрирование по частям в определенном интеграле?

Задачи для самостоятельного решения:

Практическая работа 5.

Тема: Применение определенного интеграла для вычисления площади фигуры.

ЦЕЛЬ: совершенствование  умений находить площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Теоретические сведения к практической работе

        Фигура, изображённая на рисунке является криволинейной трапецией

        Определение: Криволинейной трапецией  называется фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной функции y=f(x), снизу отрезком [a;b] оси Ох, а с боков отрезками прямых х=а, х=b

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определённого интеграла

Возможно такое расположение:

                 S = S1  +  S2

Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующему плану:

1. по условию задачи делают схематический чертёж;
2. представляют искомую фигуру как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.
3. записывают каждую функцию в виде f(x)
4. вычисляют площадь каждой криволинейной трапеции и искомой фигуры.

Задача

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

S =  dx =dx =

= (-|=- (кв. ед.)

Задание для практической работы

Практическая работа 6.

Тема: Применение определенного интеграла для вычисления объема тела вращения.

ЦЕЛЬ: закрепление практических навыков вычисления объема фигуры с помощью определенного интеграла.

Краткие теоретические сведения

        Есть два случая нахождения объемов тела

Алгоритм решения задачи на вычисление объемов тел:

1) Сделать приблизительный рисунок тела.

2) Найти пределы интегрирования.

3) Выбрать формулу для вычисления объема.

4) Найти объем тела.

Пример 1. Вычислите объём тела, полученного вращением кривой – графика функции у= x2,у=1, х=2, вокруг оси Ох.

Решение. Найдем пределы интегрирования: из условия задачи уже имеем: х2 = 2. Найдем нижний предел: у= х2=1 х1=1

Найдем объемы тел, как разность объемов двух тел вращения:

 (кв. ед)

        Пример 2.  На координатной плоскости XOY построить площадь, ограниченную линиями y= 2x- x2 и  y= 4x- 2x2 , и найти объем тела, образованного вращением этой площади вокруг оси OX .

Решение. Сделаем чертеж площади:

Задание для практической работы

Практическая работа 7.

Тема: Решение практических задач на определение вероятности события.

ЦЕЛЬ: закрепить теоретические знания и отработать умения по решению задач на вычисление вероятностей событий.

Теоретические сведения к практической работе

Вероятность события.

Изучение явлений связано с выполнением некоторых условий, или испытаний. Всякий результата или исход испытания называется событием. События А, В называются несовместимыми, если в условиях испытаний каждый раз возможно появление только одного события. События А и В называются совместимыми, если в данных условиях появление одного из этих событий не исключает  появление другого при том же испытании. Событие называется случайным, если исход испытания приводит либо к появлению, либо к не появлению этого события. m – число появления некоторого события; n- число испытаний.

        Под вероятностью Р(А) наступления события принимается отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу исходов испытания. Вероятность – устойчивая частость. P(A)=100%

Вероятность любого события заключена между нулем и единицей  .          

Теорема сложения вероятностей. Вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий без указания какого именно, равно сумме вероятностей этих событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности наступления первого события на условную вероятность наступления второго события, вычисленную в предположении, что первое событие имеет место.

        Формула полной вероятности . Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий исключающих друг друга В1, В2,…, Вn, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле Р(А) = Р(В1) Р(В1│А)+ Р(В2) Р(В2│А)+…+ Р(Вn) Р(Вn│А), где Р(В1), Р(В2),…, Р(Вn) – вероятности соббытий, а условные вероятности события А относительно каждого из событий системы равны Р(В1│А), Р(В2│А),…, Р(Вn│А)

Пример 1. В ящике 20 шаров, среди которых 8 белых. Какова вероятность появления белого шара Р(А)?

 . m=8; n=20.      P(A)=100%=100%=40%

Пример 2. Поездка пассажиров с некоторой трамвайной остановки к месту работы обслуживаются маршрутами №3 и №11. Через данную остановку проходят трамваи пяти маршрутов. Известно, что из 40 трамваев 8 – маршрута №3, 10 – маршрута №11. Найти вероятность того, что первый проходящий трамвай будет соответствовать требуемому маршруту.

.m1=8  m2=10  n=40   P(№3, №11)=100%=100%=8%

Пример 3. В одной урне 10 шаров, из которых 5 белых, в другой – 12 шаров, из которых 8 белых.  Найти вероятность того, что при одном испытании будут выбраны одновременно из первой и второй урны два шара одновременно.

.m1=5  n1=10 m2=8  n2=12    P(AB)=P(A)*P(B) =**100%

P(AB)=**100%=*100%≈33%

        Пример 4. Имеются три одинаковых на вид урны: в первой 2 белых шара и 3 чёрных, во второй - 4 белых и один чёрный, в третьей - три белых шара. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из неё один шар. Пользуясь формулой полной вероятности, найти вероятность того, что этот шар будет белым.

Решение. Событие А – появление белого шара. Выдвигаем три события:

В1 – выбрана первая урна, В2 – выбрана вторая урна, В3 – выбрана третья урна.

Вероятности этих событий - Р(В1)=Р(В2)=Р(В3)= 1/3.

Условные вероятности события А относительно каждого из событий - Р(В1│А)=2/5, Р(В2│А)= 4/5, Р(В3│А)=1.

Применяем формулу полной вероятности, в результате - требуемая вероятность:

Р(А) =

Схема повторных испытаний. Формула Бернулли

Если при одних и тех же условиях определенный опыт повторяется п раз и если вероятность появления некоторого события А в каждом опыте равна р, то вероятность того, что событие А в серии из п опытов произойдет ровно k раз, находится по формуле Бернулли:          Рn (k) = С   рk  q n-k  , где q=1- р

Контрольные вопросы

1.Что называют испытанием? Событием?

2.Какое событие называется случайным?

3.Дайте определение вероятности.

4.Сформулируйте теорему сложения вероятностей.

5.Сформулируйте теорему умножения вероятностей.

6. Формула полной вероятности.

7. Формула Бернулли

Задачи для самостоятельного решения.

Практическая работа 8.

Тема: Решение задач на вычисление характеристик ДСВ.

ЦЕЛЬ: закрепить понятия и формулы вычисления  математического ожидания, дисперсии и среднего отклонения случайной величины.

Теоретические сведения к практической работе

Дискретная случайная величина

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет случайно одно и только одно значение из множества возможных значений.

        Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения с определенными вероятностями.

        Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

        Пример 1. Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M={1, 2, 3, 4, 5, 6}; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I=[100, 3000]).

Закон распределения

        Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями (его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая - их вероятности (Табл.1).

Таблица 1

Сумма вероятностей второй строки таблицы 1, равна единице:           p1 + p2 + ...+ pn = 1.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

        Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

Если дискретная случайная величина принимает только значения x1, x2, ..., xn, вероятности которых соответственно равны p1, p2, ..., pn. Тогда математическим ожидание определяется равенством:         M (X) = x1p1 + x2p2 + ...+ xnpn/

Свойства математического ожидания случайной величины:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(C)=С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:  М(CХ)=CM(X).

3. Математическое ожидание  суммы двух независимых случайных величин равна сумме математических ожиданий этих величин:   М(Х+Y)=М(X)+М(Y). (аналогично для разности)

        Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:                         D (X) = M [X - M (X)]2.

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема.  Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:                         D (X) = M (X2) - [M (X)]2

Квадратная скобка введена в запись формулы для удобства ее запоминания.

Свойства дисперсии случайной величины:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:                        D(C)=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:   D(CХ)=C2D(X).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:   D(Х+Y)=D(X)+D(Y).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:  D(Х–Y)=D(X)+D(Y)

Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется корень квадратный из ее дисперсии:

Примеры решения задач

Пример 1. В урне 10 красных, 5 синих и 15 белых шаров. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара.

Вероятность появления красного шара (событие А) : .

Вероятность появления синего шара (событие В):

События А и В  несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

Искомая вероятность  

Пример 2. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0.8, а вторым (событие В) – 0.7.

Решение: События А и В независимые, поэтому по теореме умножения, искомая вероятность:

Пример 3. В студенческой группе организована лотерея. Разыгрываются две вещи стоимостью по 100 руб. и одна по 300 руб. определить математическое ожидание чистого выигрыша для студента, если он приобрел один билет стоимостью 100 рублей, а всего билетов 50.

Решение. Х – случайная величина, характеризующая сумму чистого выигрыша  для студента. Х может принимать значения: = - 1, если студент ничего не выиграл; х = 9, если выигрыш 100 рублей; х = 29, при выигрыше 300 рублей.

Вычисляем вероятность каждого выигрыша. Р(-1)=47/50 = 0,94; Р(9)=2/50=0,04; Р(29)=1/50=0,02

Определяем математическое ожидание:

M = -1∙0,94+9∙0,04+29∙0,02 = 0

Вычисляем дисперсию D(x)= (x1-M)2+(x2-M)2+(x3-M)2

D(x) = (-1-0)2+(9-0)2+(29-0)2=1+81+841=923

Пример 4. Дискретная случайная величина распределена по закону:

Найти: математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X).

Решение. Сначала находим математическое ожидание M(X). M(X) = -1∙0,2 +0∙0,1 + 1∙0,3 +2∙0,4 = 0,9.

По формуле D (X) = M (X2) - [M (X)]2 найдем дисперсию.

Найдем  М(Х2) = (-1)2∙0,2 + 02∙0,1 + 12∙0,3 +22∙0,4 = 2,1.

Дисперсия равна D(X) = 2,1 - (0,9)2 = 2,1 - 0,81 = 1,29.

Контрольные вопросы

1. Приведите пример случайной величины.
2. Что называют функцией распределения случайной величины?
3. Дайте определение математического ожидания случайной величины.
4. Дайте определение дисперсии случайной величины.

Задачи для самостоятельного решения.

Практическая работа 9.

Тема: Вычисление числовых характеристик выборки.

ЦЕЛЬ: закрепить понятия и формулы вычисления  моды и медианы выборки.

Теоретические сведения к практической работе

Свойства совокупности данных можно представить в форме таблиц и графиков. Рассмотрим некоторые другие способы оценки данных по распределению частот. Их целью является, как принято говорить в статистике, определение меры центральной тенденции (центрального положения).

Проще всего найти меру центральной тенденции с помощью моды (от латинского слова modus — мера, правило).

Мода — это значение признака, которое встречается чаще всего в данном ряде распределения.

Для дискретных вариационных рядов мода определяется как значения признака с наибольшей частотой. Например, если в универмаге на протяжении дня продано 200 детских костюмчиков --38 штук 22 размера, 42 штуки 24 размера, 56 штук 26 размера, 18 штук 28 размера, 33 штуки 30 размера и 13 штук 32 размера, то модальным размером является 26-й, т. к. он имеет наибольшую численность.

Однако не каждая совокупность значений имеет единственную моду в строгом понимании этого определения. В совокупности значений (3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9) модой является число 8, т. к. оно встречается чаще любого другого значения.

В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, считают, что группа оценок не имеет моды. Например, в группе (1,2; 1,2; 1,7; 1,7; 4,8; 4,8) моды нет.

Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и она больше частоты любого другого значения, то мода является средним этих двух значений. Например, мода группы значений (1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) равна 3,5 ((3 + 4) : 2). Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты и они больше частот любого значения, то существует две моды.

Например, в группе значений (7, 10, 10, 10, 11, 13, 14, 14, 14, 15) модами являются 10 и 14.

Мода используется, в частности, в практике торговой статистики при определении покупательского спроса на товары, Уровня цен на рынках и т. п.

Пример. Цинковые белила чаще всего используют художники в масляной живописи. Поэтому белую краску можно считать модой совокупности красок, которые встречаются на палитре. Этот факт учитывают производители красок: цинковых белил выпускают больше, чем красок других цветов.

  Медиана — средняя величина изменяющегося признака, находящаяся в середине ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания значений признака.

Медиана -  это значение изменяющегося признака, делящее множество данных пополам, так что одна половина значений больше медианы, а другая – меньше.  

Статистика оперирует такими средними значениями: среднее арифметическое, среднее квадратичное, среднее геометрическое.

Среднее арифметическое.

  Пусть мы имеем n объектов, в которых измерена некоторая характеристика, имеющая значения           Х1 х2, х3, ..., хп .

Средним значением (или средним арифметическим) называется такое число  х, которое получают делением суммы всех данных выборки хг х2, х3, ..., хп на число этих данных п.

Свойства среднего арифметического.

1) Найдем отклонение I каждого значения х. от среднего х . Разность (х - х) может быть отрицательной или положительной. Сумма всех п отклонений равна нулю.

2) Если к каждому результату наблюдений прибавить некоторое число с (константу), то среднее арифметическое х  преобразуется в (х  + с). Возьмем, например, предыдущие 8 значений и прибавим к каждому из них по 5. Получим числа 5; 5; 6; 6; 8; 8; 8; 10, среднее арифметическое которых (5+5 + + 6 + 6 + 8 + 8 + 10) : 8 = 7. Среднее на 5 единиц больше.

3) Если каждое значение совокупности со средним х умножить на константу с, то среднее арифметическое будет сх . Проверьте свойство, используя предыдущие данные.

Среднее квадратичное отклонение. Мы уже установили, что сумма отклонений данных от среднего значения равна нулю Поэтому если бы мы решили искать средний показатель отклонений, то он также был бы равен нулю. В статистике пользуются другим показателем — средним квадратичным отклонением, которое находят так: все отклонения возводят в квадрат; находят среднее арифметическое этих квадратов; из найденного среднего арифметического извлекают квадратный корень. Среднее квадратичное отклонение обозначают греческой буквой о («сигма» малая):

В статистике применяют также величину ợ2 (квадрат среднего квадратичного отклонения), которую называют дисперсией.

Среднее геометрическое п положительных чисел x1, х2,   х3,   ...,   хп   определяется  выражением тс =√ x1* х2* х3*  ...*  хп      , т. е. среднее геометрическое  x1, х2,   х3,   ...,   хп          это корень п-й степени из произведения всех хi (i = l,2, ...).

В случае двух чисел а и b среднее геометрическое называют средним пропорциональным этих чисел.

На практике отдельным людям, организациям, руководителям предприятий приходится решать разнообразные задачи, связанные с использованием понятия моды, медианы, среднего. Например, каких размеров детскую обувь надо выпусать больше, чем других; на каком из городских маршрутов необходимо увеличить количество автобусов; спортивных костюмов каких размеров следует изготовить больше для учащихся 10—11 классов и т. п.

Рассмотренные моду, медиану и средние значения называют мерами центральной тенденции.

Задачи для самостоятельного решения.

Задание №1.

Построить график эмпирической функции распределения

Задание №2.

Построить полигоны частот и относительных частот распределения

Задание №3.

Построить гистограммы частот и относительных частот распределения (в первом столбце указан частичный интервал, во втором—сумма частот вариант частичного интервала)

2-5               9

5-8             10

8-11           25

11-14          6

Задание №4.

Построить гистограмму частот по данному раcпределению выборки:

Указание: Найти предварительно плотность частоты  для каждого интервала и заполнить последний столбец таблицы.

Задание №5.

Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:

Указание: Найти предварительно плотность частоты  для каждого интервала и заполнить последний столбец таблицы.

Задание №6.

Выборочным путем были получены следующие данные о массе 20 морских свинок при рождении (в г): 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32, 29, 28, 27, 36, 31, 34, 30, 23, 28, 31, 36, 30. Найдите выборочную среднюю .

Задание №7.

Имеется выборка:

х1 = 71,88; х2 = 71,93; х3 = 72,05; х4 = 72,07;

x5 = 71,90; х6 = 72,02; х7 = 71,93; х8 = 71,77;

х9 = 72,11; х10 = 71,96.

Найдите выборочную среднюю .

Задание №8.

Генеральная совокупность задана таблицей распределения:

Найдите генеральную дисперсию.

Задание №9.

Выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Найдите выборочную дисперсию.

Практическая работа 10.

Тема: Вычисление площадей и объемов.

ЦЕЛЬ: Рассмотреть практическое применение формул площадей фигур и геометрических тел. Способствовать развитию навыков решения задач. Закрепить и систематизировать знания по теме.

Теоретические сведения к практической работе

Площадь поверхности многогранника находится как сумма площадей всех его граней.

Задания для практической работы.

Вариант 1

1. Основание прямого параллелепипеда – ромб со стороной 8 см, острый угол которого равен 600. Найдите площадь полной поверхности и объем параллелепипеда, если его высота равна 15 см.

2. Диагональ правильной четырехугольной призмы составляет с боковой стороной угол 450. Найдите объем призмы, если сторона основания равна 8 см.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 600. Найдите объем пирамиды.

4. Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна см. Найдите объем цилиндра.

5. Объем конуса с радиусом основания 6 см равен 96πсм3. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

6. Шар пересечен плоскостью на расстоянии 3 см от центра. Площадь сечения равна 36πсм2. Найдите площадь поверхности шара.

Вариант 2

1. Стороны основания прямого параллелепипеда 3 дм и 5 дм, острый угол равен 600. Найдите площадь полной поверхности и объем параллелепипеда, если его высота равна 24 дм.

2. Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы равна и составляет угол 300 со стороной основания призмы. Найдите объем призмы.

3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10, боковые грани наклонены к основанию под углом 600. Найдите объем пирамиды.

4. Площадь осевого сечения цилиндра равна 108 см2, а его образующая в три раза меньше диаметра основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

5. Радиус основания конуса равен 5 см, а образующая конуса равна 13 см. Найдите объем конуса.

6. Объем шара равен 36πсм3. Найдите площадь поверхности шара.

Список литературы

 Печатные издания

1. Баврин, И. И.  Математика для технических колледжей и техникумов : учебник и практикум для среднего профессионального образования / И. И. Баврин. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2021. — 397 с.

2.  Башмаков М.И. Математика (базовый уровень). – Академия, 2019 г

3. Осипенко С.А. Элементы высшей математики: учебное пособие/ С.А. Осипенко . – Москва; Берлин: Директ –Медиа, 2020.-201с.

 Дополнительные источники

1. Богомолов Н. В. Практические занятия по математике: учебное пособие. – М.: Юрайт, 2019. – 217 с.

2. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика: учебник. Рекомендовано ФГУ «ФИРО»/ Под. Ред. В.А. Гусева. – ИЦ Академия, 2019. – 416 с

3. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнения и задачах / в 2-х томах. – М.: Высшая школа, 2020. – 304 с.

4. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука, 2019.

5. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. М: Айрис-пресс, 2021г

6. Щипачев В. С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 2020. – 304 с. 5. Щипачев В. С. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа. 2008.-479 с.

 Электронные издания (электронные ресурсы)

1  www.school-collection.edu.ru  (Единая коллекция цифровых ресурсов).

2 http://www.studentlibrary.ru/ Электронно-Библиотечная Система Студента».

3 http://www.biblio-online.ru/ Электронно-библиотечная система.

4 http://znanium.com/ Электронно-библиотечная система.:

4.1. Математика: Учеб. пособие / Н.А. Березина, Е.Л. Максина. - М.: РИОР, 2020. (Профессиональное образование)

4.2. Математика : учеб. пособие / Ю.М. Данилов, Л.Н. Журбенко, Г.А. Никонова, Н.В. Никонова, С.Н. Нуриева ; под ред. Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой. — М.: ИНФРА-М, 2019.

4.3. Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М, 2013.)

5. https://academia-moscow.ru/

5.1 Математика: учебник для студ.учреждений сред. проф. образования/ В.П. Григорьев, Т.Н. Сабурова. – 4-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2020. – 368с.

5.2 Элементы высшей математики: учебник для студ.учреждений сред. проф. образования/ В.П. Грогорьев, Ю. А. Дубинский, Т.Н. Сабуров. – 3-е изд., стер.- М.: Издательский центр «Академия», 2019. – 400с.

6. Математика в Открытом колледже [Электронный ресурс] Режим доступа: http://www.mathematics.ru