Методическая разработка по дисциплине "Математика" на тему " Рекомендации по выполнению практических работ по математике для студентов специальности 31.02.01 Лечебное дело"
методическая разработка по математике

Рецензия.

Методическая разработка на тему «Рекомендации по выполнению практических работ по математике для студентов вторых курсов специальности фармация» выполненная преподавателем математики ОГБУ СПО Рославльский медицинский техникум» Ивановой Л.А. содержит материал соответствующий Государственным образовательным стандартам и рабочей программе дисциплины «Математика». Тема работы является актуальной, название работы сформулировано правильно и соответствует ее содержанию.

Тема раскрыта полно, в работе содержится весь необходимый материал для подготовки к выполнению практических работ по курсу математики. Все разделы снабжены примерами с подробно разобранными решениями. Соблюдены методические требования к обучению данной дисциплине. Работа выполнена на достаточно высоком научном уровне и в то же время изложение ведется на доступном языке. Работа соответствует современному состоянию науки, используется передовой опыт. В работе оптимально подобран иллюстративный, справочный материал. В приложении приводятся варианты инструкционных карт. Вся терминология, буквенные обозначения, формульные обозначения правильно используются и выдержаны в единообразной форме.

Настоящая методическая разработка предназначена для студентов вторых курсов средних специальных учебных заведений, а также для преподавателей математики. Основное внимание уделено подготовке к выполнению практических работ в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика». Много внимания уделено вопросам, необходимым для изучения специальных дисциплин. Приведенные примеры и задачи подобраны не только с целью закрепления теоретического материала, изученного на уроках математики, но и с целью раскрытия широких возможностей применения математики при изучении других дисциплин.

.

 Таким образом, данная работа рекомендуется  по дальнейшему использованию студентами и преподавателями СПО (целесообразно распространении в средних специальных образовательных учреждениях региона).

 Рецензент: преподаватель математики и информатики

высшей категории ОГБОУ СПО «Рославльский

 медицинский техникум»                                                  _____  Новикова С.В.        

Рецензент: преподаватель математики Смоленского областного государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения «Рославльский многопрофильный колледж»

                                                                                                  ___________ Науменок Р.А.

ОГБПОУ  «Рославльский медицинский техникум»

МЕТОДИЧЕСКАЯ  РАЗРАБОТКА

по дисциплине «Математика»

на тему: ««Рекомендации по выполнению практических работ по математике для студентов вторых курсов специальностей 31.02.01 Лечебное дело и 33.02.01 Фармация»

Разработал преподаватель:

Иванова Л. А.

г. Рославль

2017 г.

ФИО автора: Иванова Лариса Алексеевна

Должность – преподаватель, стаж работы – 36 лет, высшая квалификационная категория

Учебное заведение: Областное  государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Рославльский медицинский техникум»

Методические указания для студентов по проведению практических работ по математике

Аннотация: Настоящие методические указания разработаны  для проведения практических работ по математике для специальностей 31.02.01 Лечебное дело, 33.02.01 Фармация.  Каждая практическая работа содержит небольшую теоретическую справку, примеры решения заданий и варианты практических работ для решения.

Введение.

Математика – одна из самых важных фундаментальных наук. В эпоху компьютеризации значительно расширяется область применения теоретической и вычислительной математики.

          Слово «Математика» происходит от греческого слова «матема», что означает знание. Возникла математика на первых этапах создания человеческой культуры. За свою историю математика, которая развивалась в тесной связи с развитием производственной деятельности людей и общечеловеческой культуры, превратилась в стройную дедуктивную науку.

          Академик А. П. Колмогоров выделил следующие четыре основных периода в истории развития науки.

          Первый – период зарождения математики, начинается с глубокой древности и продолжается до VI –V в.в. до н.э. В этом периоде создается арифметика, а также зачатки геометрии.

          Второй – период элементарной математики, то есть математики постоянных величин (VI-V в. В. До н.э.-XVII в.н. э.).

           Третий – период создания математики переменных величин (XVII в.- середина XIX в.)

           Четвертый – период современной математики: теория алгебраических структур и геометрии  Лобачевского.

           Последние полвека отличаются широким использованием методов математического моделирования и ЭВМ, которые применяют в традиционных науках, в том числе механике, биологии, экономике и др. Математические методы необходимы также в решении конкретных задач, которые встречаются в ежедневной деятельности технических специальностей. Учебная дисциплина «Математика» является естественнонаучной, формирующей базовые знания для освоения общепрофессиональных и специальных дисциплин. Изучение математики для современного специалиста способствует формированию современного научного мышления, обогащению культуры труда и приобщению к вычислительной технике, техническим средствам, без использования которых труд специалиста немыслим в наши дни.

           Настоящая методическая разработка предназначена для студентов второго курса технических специальностей. Содержит рабочую программу курса математики, общие рекомендации по изучению дисциплины, краткие указания к выполнению практических работ, соответствующий справочный материал, образцы решения некоторых задач. Вопросы для самопроверки более подробно расшифровывают программу курса и позволяют студентам проверить уровень своей подготовленности по каждой теме программы.

          После изучения определенной темы по учебнику, аудиторных занятий, решения задач необходимо ответить на вопросы для самопроверки, помещенные в конце темы.

          К выполнению практической работы следует приступать только после овладения соответствующим материалом. При выполнении практической работы следует руководствоваться следующими указаниями:

1. Практическую работу выполняют в отдельной тетради школьного формата в клетку.
2. Работу выполняют чернилами одного цвета, аккуратно, разборчиво.
3. Каждую практическую работу выполняют с новой страницы.
4. Решения задач желательно располагать в порядке номеров, указанных в задании.

Каждую решенную задачу (упражнение) необходимо сопровождать ответом.

5. Условия задач необходимо переписывать полностью.
6. Чертежи следует выполнять карандашом с использованием чертежных инструментов, аккуратно, соблюдая масштаб.
7. Решения задач должны сопровождаться краткими, но обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

СОДЕРЖАНИЕ.

I.Введение.

II. Основная часть.

2.1. Рабочая программа дисциплины «Математика».

  Предел функции в точке и на бесконечности

2.2.Указания к выполнению практической работы №1.

 Производная функции. Приложения производной к исследованию функции на экстремум.

2.3.Указания к выполнению практической работы №2

2.4. Указания к выполнению практической работы №3

    Неопределенный интеграл, непосредственное интегрирование. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенного интеграла. Приложения определенного интеграла.

2.5. Указания к выполнению практической работы №4

2.6. Указания к выполнению практической работы №5

2.7. Указания к выполнению практической работы №6

   Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общее и частное решения.

2.8. Указания к выполнению практической работы №7

 Случайные события. Классическое определения вероятности. Основные понятия комбинаторики.

2.9. Указания к выполнению практической работы №8

 Основные понятия математической статистики.

2.10. Указания к выполнению практической работы №9

2.11. Указания к выполнению практической работы №10

III Заключение.

IV Список литературы.

Приложения.

 Область определения функции. Предел функции в точке и на бесконечности.

Определение1.   Функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу первого множества соответствует единственный элемент второго множества. При этом первое множество называют областью определения функции, второе – множеством значений функции.

Область определения функции обозначают D(f), множество значений – E(f).

 Функцию обычно обозначают y=f(x).

Определение 2.  Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме быть может,  самой точки а.  Число В  называется пределом функции f(x) в точке а (или при ,  x стремящимся к а), если для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к а, последовательность соответствующих значений функции сходится к числу В.

Обозначается .

Теоремы о пределах.

1.Предел суммы или разности равен сумме или разности пределов.

2.Предел произведения равен произведению пределов.

3 Предел отношения равен отношению пределов, если предел делителя отличен от нуля.

Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины.

Функция называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Функция называется бесконечно большой, если ее предел равен бесконечности.

Если функция y=f(x) бесконечно малая, то функция y=1/f(x) бесконечно большая и наоборот.

Замечательные пределы.

Первый замечательный предел. Предел отношения sin бесконечно малой величины к самой этой величине равен 1.

Свойства:

1.               2.          3.

Второй замечательный предел

                     , где е – иррациональное число приблизительно равное 2,71828.

Методы нахождения пределов функции.

1.Простая подстановка значения аргумента. (см. примеры 1-3). Если при простой подстановке получаются неопределенности типа 0/0 или∞/∞, то используются способы 2 и 3.

2. Числитель и знаменатель делятся на x с наибольшим показателем степени ( см. пример 5).

3. Дробь раскладывается на множители, согласно правилам сокращенного умножения (см. пример 4).

4. Используются замечательные пределы (см. примеры 6 и 7).

Примеры:

2.

3.  

4.  

5.  

6.  

7.

Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте определение функции.
2. Что называется областью определения функции?
3. Перечислите основные элементарные функции. Назовите их основные свойства.
4. Что называется пределом числовой последовательности?
5. Назовите основные свойства пределов функции.
6. Какая функция называется бесконечно малой? Бесконечно большой?
7. Назовите свойства бесконечно малых.
8. Напишите формулы первого и второго замечательных пределов.

Производная функции.

        Дана функция . Пусть х1 и х2 – два значения аргумента, у1= и  - соответствующие значения функции .

        Разность  называется приращением аргумента, а разность  приращением функции на отрезке .

        Если , то ; , тогда .

        Производной функции  по переменной х называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента х, когда стремится к нулю

        Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

        Второй производной функции , или производной второго порядка, называется производная от ее производной. Обозначение или  .

        Геометрический смысл производной. Производная функции  в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой , то есть , где Z – угол наклона касательной к оси абсцисс. Уравнение касательной имеет вид:

        Дифференциал функции. Из определения производной имеем , тогда величина  есть бесконечно малая при .

Или, что то же самое:

, где , тогда .

        Дифференциалом функции  в точке х называется главная часть  приращения функции , линейно зависящая от приращения аргумента . Дифференциал обозначается символом .

        Нахождение дифференциала функции называется дифференцированием, также как и нахождение производной.

        Производная сложной функции. Функция называется сложной, если ее аргументом является другая функция. Пусть , где u – функция от х: , то  сложная функция. Производная сложной функции определяется по формуле .

        Формулы производных. Даны функции  и , которые имеют производные в точках. Для них справедливы следующие формулы:

сумма:

разность:

произведение:  

частное:

Таблица производных

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.  

9.

10.

11.  

12.

13.

14.

15.

16.

Задание. Найти производные функций.

Примеры:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Задание. Найти производные функций при данном значении аргумента.

Примеры:

1.              

;  

2.            

;

3. ;

Вопросы для самопроверки

1.Что называется приращением аргумента, приращением функции?

2. Дайте определение производной функции.

3. В чем состоит геометрический смысл производной?

4. Дайте определение второй производной функции.

5. Что называется дифференциалом функции?

6.Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции; правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций.

7. Напишите все формулы дифференцирования.

Исследование функций с помощью производных.

Функция y=f(x) монотонно возрастает, если большему значению аргумента x соответствует большее значение функции f(x). Условие возрастания функции на интервале (а, в): .

Функция у=f(x) монотонно убывает, если большему значению аргумента x соответствует меньшее значение функции. Условие убывания функции на интервале (a,b) .

  Функция y=f(x) имеет максимум (минимум) при x=a, если при всех х, достаточно близких к а, выполняется неравенство: f(a)>f(x) – максимум

                                                                     f(a)< f(x)  - минимум

Признаки максимума:

1. f(a)=0;
2.  аргумента через x=a меняет знак с плюса на минус (с возрастания на убывание).

Признаки минимума:

1.;

2. при переходе аргумента через x=a меняет знак с минуса на плюс (с убывания на возрастание).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума, точки в которых функция достигает экстремума называются критическими точками I рода.

Правило исследования функции на экстремум с помощью первой производной.

1. Найти критические точки функции, т. е. точки в которых производная равна нулю или не существует.
2. Исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки. При этом, если при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке функция имеет максимум, если с минуса – на плюс, то – минимум, если же при переходе через критическую точку производная знак не меняет, то в этой точке нет экстремума.

Примеры исследования функции на экстремум.

1. Найти экстремумы функции

f(x)=

Вычисляем первую производную функции

  И находим стационарные точки:

Дальнейшие исследования представим в виде таблицы

А(-2,1) –min,  В(0,5)-max,  С(2,1) –min

2. f(x)=1+4x-x²

Вычисляем первую производную функции

Находим стационарные точки

4-2x=0 x=2

Дальнейшие исследования представим в виде таблицы

A(2, 5)- max

Вопросы для самопроверки.

1.Какая функция называется возрастающей? Убывающей?

2. Сформулируйте необходимый,  достаточный признаки возрастания и убывания функции.

3. Какие точки называются стационарными? Критическими?

4. Назовите достаточные признаки экстремума функции.

5. Сформулируйте правило нахождения точек минимума и максимума функции с помощью первой производной.

Неопределенный интеграл

        Дифференцируемая функция F(x),  называется первообразной для функции  на интервале , если  для каждого .

        Так, для функции  первообразной служит функция , поскольку .

        Для заданной  функции ее первообразная определяется неоднозначно. Если F (х) – первообразная для  на некотором промежутке, то и функция F(x)+C, С – любая постоянная, также является первообразной для функции  на этом промежутке. Обратно: каждая функция, являющаяся первообразной для  в данном промежутке, может быть записана в виде F(x)+C.

        Совокупность F(x)+C всех первообразных функции  на интервале  называют неопределенным интервалом от функции  на этом интервале и пишут . Здесь  - подынтегральное выражение; - подынтегральная функция; ч – переменная интегрирования; С – произвольная постоянная.

Например: , так как .

        Если функция  имеет на некотором промежутке хотя бы одну первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке. Можно доказать, что любая функция, непрерывная на отрезке , интегрируема на этом отрезке.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

; .

2. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции, сложной с произвольной постоянной, то есть .

3. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла: .

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен такой же алгебраической сумме неопределенных интегралов от каждой функции:

.

Основные формулы интегрирования

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Способы интегрирования

  Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла проводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение:

.

Пример 2. Найти интеграл .

.

Пример3. Найти интеграл

Пример 4. Найти интеграл  

Пример5. Найти интеграл  

1. Дайте определение первообразной функции.
2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?
3. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.
4. Напишите формулы таблицы основных интегралов.
5. В чем сущность непосредственного интегрирования?

Понятие определенного интеграла

        Пусть функция  определена на отрезке . Допустим, для простоты, что функция  в указанном промежутке неотрицательна и . Разобьем этот отрезок на n частей точками . На каждом из частичных отрезков  (i=1, 2, 3, … n) возьмем произвольную точку  и составим сумму:

где . Эта сумма носит название интегральной суммы функции  на отрезке .

        Геометрически каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием  и высотой , а вся сумма равна площади «ступенчатой фигуры», получающейся объединением всех указанных выше прямоугольников.

        Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего из отрезков стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления  ни от того, как выбираются промежуточные точки сi 

        Определенным интегралом от функции  на отрезке  называется предел, к которому стремиться интегральная сумма при  стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала. Он обозначается символом  и читается «интеграл от а до в от функции  по dx» или, короче, «интервал от а до в от ».

        По определению, . Число а называется нижним пределом интегрирования, число в  - верхним; отрезок  - отрезком интегрирования.

        Всякая непрерывная на отрезке  функция  интегрируема на этом отрезке.

        Если интегрируемая на отрезке  функция неотрицательна, то определенный интеграл  численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямых х=а и х=в, то есть . В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Основные свойства определенного интеграла

1) Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

2)  При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположной:

3)  Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

4) Постоянный множитель можно выносить на знак интеграла:

5) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от всех слагаемых:

.

Способы интегрирования

Непосредственное вычисление определенного интеграла. 

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула Ньютона-Лейбница

то есть определенный интеграл равен разности значений любой преобразованной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

        Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла:

1) найти неопределенный интеграл от данной функции;

2) в полученную первообразную подставить вместо аргумента сначала верхний, затем нижний пределы интегрирования;

3) из результата подстановки верхнего предела вычесть результат подстановки нижнего предела.

Пример1. Вычислить интеграл

Решение. Применив указанное правило, вычислим данный определенный интеграл:

Пример2. Вычислить интеграл

Решение.

Пример3. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Вопросы для самопроверки.

1.Дайте определение определенного интеграла.

2. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

3. Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

4.В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

        Определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла, на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.

        Площадь криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком неотрицательной непрерывной функции  отрезком  оси Ох, отрезками прямых х=а и х=b, вычисляются по формуле  

Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями  и отрезком  оси Ох.

        Данная фигура представляет собой криволинейную трапецию, поэтому ее площадь вычисляется по формуле:

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и у=0.

        График функции , расположен под осью ОХ, поэтому для вычисления площади данной фигуры применим формулу

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной отрезком  оси Ох, графиком функции у=cosх, отрезками прямых  и .

        График функции у=cosх на отрезке  пересекает ось Ох в точках .

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и

.

        Решая уравнение х+3=х2+1, найдем абсциссы точек пересечения графиков функций  и :х1=-1 и х2=2. Используя формулу, вычислим площадь фигуры:

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  и

        Для вычисления площади данной фигуры достаточно найти площадь криволинейной трапеции, соответствующей графику функции ,

и вычесть из нее площади криволинейных трапеций, образованных графиками функций

и . Поэтому

Вопросы для самопроверки.

1.В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла.

2.Напишите формулы для определения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла.

                 Обыкновенные дифференциальные уравнения

 Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

        Решение различных задач методом математического моделирования сводится к отысканию неизвестной функции из уравнения, содержащей независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции. Такое уравнение называется дифференциальным.

        Решением дифференциального уравнения называется всякая функция, которая обращает данное уравнение в тождество.

        Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению.

        Пример. Опытным путем установлено, что скорость размножения бактерий в любой момент времени положительна и пропорциональна массе. Найти зависимость массы бактерий от времени.

        Пусть  - масса бактерий в момент времени t, тогда  - скорость размножения этих бактерий, которая пропорциональна массе  бактерий, поэтому , где . Это уравнение содержит функцию  и ее производную, поэтому является дифференциальным уравнением. Убедитесь, что любая функция вида  (c – const) является решением дифференциального решения.

        Дифференциальным уравнением называется обыкновенным, если искомая функция зависит только от одного независимого переменного.

        Если дифференциальное уравнение содержит производную или дифференциал не выше первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка. Общий вид такого уравнения  - искомая неизвестная функция,  - ее производная по х, а F – заданная функция переменных

        Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция  от х и произвольной постоянной С, обращающая это уравнение в тождество по х.

        Общее решение, записанное в неявном виде Ф(х, у, С)=0 называется общим интегралом.

        Частным решением уравнения  называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении С: - фиксированное число.

        Частным интегралом уравнения  называется интеграл, полученный из общего интеграла при фиксированном значении С: Ф(х, у, С)=0.

Задача нахождения частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных значениях аргумента и функции называется задачей Коши.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

        Общий вид такого уравнения:  где - функции только от х, - функция только от у.

        Поделив обе части уравнения на произведение  получим уравнение с разделяющимися переменными:

        Общий интеграл этого уравнения имеет вид

        Замечание. Если произведение  при х=а и у=в, то эти функции х=а и у=в являются в решениями дифференциального уравнения при условии, что при этих значениях х и у уравнение не теряет числового смысла. Геометрически эти решения представляют собой прямые, параллельные осями координат.

        Пример1.  Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее условию у=4 при х=-2.

        Решение. Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения.

        Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде , тогда . Подставив в общее уравнение решение значения у=4 и х=2, получим 16=4+С, откуда С=12. Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид

Пример2. Найти общее решение дифференциального уравнения   cos²xdy=dx/siny

Решение. Разделяем переменные sinydy=dx/cos²x, далее интегрируем обе части полученного равенства,    соsy= tgx+c, - общее решение.

Пример3.Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Решение. Разделяем переменные. y²dy=x²dx, далее интегрируем обе части полученного равенства  -общее решение. Найдем частное решение 2³=0+с, с=8  ,  y³=x³+8- искомое частное решение.

Вопросы для самопроверки.

1.Какое уравнение называется дифференциальным?

2. Что называется порядком дифференциального уравнения?

3.Что называется решением дифференциального уравнения?

4. Дайте определение общего решения и общего интеграла дифференциального уравнения первого порядка.

5.Дайте определение частного решения и частного интеграла дифференциального уравнения первого порядка.

6.Вчем заключается задача Коши?

7. Как называется график частного решения дифференциального уравнения?

8.Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Метод его решения.

Элементы комбинаторики

        Задачи, в которых производится подсчет всех возможных различных комбинаций, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики, занимающейся их решением, называется комбинаторикой.

        1. Перестановки. Всякий установленный в конечном множестве порядок называется перестановкой его элементов.

Число всех перестановок из n элементов обозначается Pn. Оно равно произведению последовательных натуральных чисел от 1 до n включительно:

Pn.=1*2*3… (n-1)n

Произведение 1*2*3… (n-1)n принято обозначать знаком n! (читается «n-факториал»); при этом полагают 0!=1, 1!=1. Поэтому равенство можно переписать в виде

Pn = n!

        2. Упорядоченные множества и размещения. Множество, в котором задан порядок расположения его элементов, называется упорядоченным. Пусть дано конечное множество, состоящее из n элементов. Всякое его упорядоченное m-элементное подмножество  называется размещением из n элементов по m.

        Число размещений из n элементов по m обозначается . Это число находится по формуле: ,

которую можно записать в виде

Если m=n, то получается формула

        При решении задач часто используется равенство

         3. Сочетания. Пусть дано конечное множество, состоящее из n элементов. Всякое его m-элементное подмножество   называется сочетанием из n элементов по m.

        Число сочетаний из n элементов по m обозначается . Это число находится по формуле

которую можно записать также в виде ,

или .

        Кроме того при решении задач используется следующие формулы, выражающие основные свойства сочетаний:

Пример 1.  Сколькими способами из группы, включающей 25 учащихся, можно выбрать актив группы в составе старосты, комсорга и профорга?

Решение. Состав актива группы является упорядоченным множеством из 25 элементов по три элемента. Значит, искомое число способов равно числу размещений из 25 элементов по три элемента в каждом:

 или

Пример 2. Сколькими способами можно рассадить 10 гостей по десяти местам за праздничным столом?

Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из десяти элементов: Р10=10!=3628800.

Сочетание. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее m элементов, называется сочетанием из n элементов по m элементов.

        Таким образом, сочетания из n элементов по m элементов – это все m-элементные подмножества n-элементного множества, причем различными подмножествами считаются только те, которые имеют неодинаковый состав элементов.

        Подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными.

        Число подмножеств по m элементов в каждом, содержащихся во множестве из  n элементов, т.е. число сочетаний из n элементов по m элементов в каждом, обозначаются  и вычисляются по формуле

Число сочетаний  обладает следующим свойством: .

Так, .

Пример 3. Сколькими способами можно распределить 12 человек по бригадам, если в каждой бригаде по 6 человек?

Решение. Состав каждой бригады является конечным множеством из 12 элементов по 6. Значит, искомое число способов равно числу сочетаний из 12 элементов по 6 в каждом:

Вопросы для самопроверки

1. Какой раздел математики называется комбинаторикой?
2. Перечислите основные понятия комбинаторики.
3. Сформулируйте определения перестановок, размещений, сочетаний.

Запишите формулы для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний.

Вероятность. Теоремы сложения и умножения вероятностей  

Случайные события. Вероятность события. Теория вероятностей – это математическая наука, которая изучает закономерности в случайных событиях. К основным понятиям теории вероятностей относятся испытания и события.

Под испытанием (опытом) понимают реализацию данного комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие. Например, бросание монеты – испытание; появление герба или цифры – событие.

Случайным называется событие, связанное с данным испытанием, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти. Слово «случайное» для краткости часто опускают и говорят просто «событие». Например, выстрел по цели – это опыт, случайные события в этом опыте – попадание в цель или промах.

Событие в данных условиях называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет. Например, выпадение не более шести очков при бросании одной игральной кости –  достоверное событие; выпадение 7 очков при бросании одной игральной кости – невозможное событие.

События называются несовместными, если никакие два из них не могут появляться вместе. Например, попадание и промах, при одном выстреле – это несовместные события.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа – события равновозможные.

Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему событий. Пусть А – случайное событие, связанное с некоторым опытом. Повторим опыт n раз в одних и тех же условиях и пусть при этом событие А появилось m раз. Отношение   называется частотой события А. При многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Числовая мера степени объективной возможности события – это вероятность события.  Вероятность события А обозначается Р(А).

Пусть из системы n несовместных равновозможных исходов испытания m исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называют отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А к числу всех исходов данного испытания: . Если А – случайное событие, то  и ;

Эта формула носит название классического определения вероятности. Если В – достоверное (или невозможное) событие, то m=n  и . Таким образом, вероятность события заключается в следующих пределах: .

Независимость случайных событий. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменит вероятность события В. Если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что свойство независимости взаимно. Несколько событий называют попарно независимым, если каждые два события независимы.

Суммой А+В двух событий А и В называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. Если события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразличного какого.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместимых событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А) + Р(В)

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Например, если А – деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь годна и окрашена.

Условной вероятностью РА(В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило. Условная вероятность события В при условии, что событие А уже наступило, по определению, равна:

.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предложении, что первое событие наступило:

Р(АВ)=Р(А)*РА(В),

Примеры.

1. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной.

Решение.      

2. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого, наудачу извлеченного жетона, не содержит цифры 5.

Решение. Из чисел от 1 до 100 содержат  число 5 девятнадцать чисел. Не содержит число пять – 81 число. Тогда .

3. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара (красного или синего).

Решение. Вероятность появления красного шара , синего шара:  События А и В несовместимы. Теорема сложения приемлема

4. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков конусный, а второй – эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным . Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим, считая что первый валик – конусный, т.е.  условная вероятность: . По теореме умножения, искомая вероятность .

Задача о выборке.

        В партии из N деталей находится М бракованных. Наугад выбирают n деталей. Найти вероятность того, что из n деталей окажется m бракованных.

        Решение. Элементарным исходом является выборка любых деталей из их общего числа N. Число всех таких исходов равно числу сочетаний из N по n, т.е. .

        Событие А есть извлечение n деталей, из которых m бракованных. Число таких групп равно . , так как группу из m бракованных деталей можно образовать  способами, а группу из n-m качественных деталей  способами. При этом любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой неисправных деталей.

        Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к числу всех элементарных исходов:

Пример. В партии из 20 лампочек 3 бракованных. Из партии выбираются наугад 5 лампочек. Найти вероятность того, что среди этих пяти лампочек окажется две бракованных.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что из пяти выбранных лампочек две окажутся бракованными. Найдем число исходов благоприятствующих наступлению данного события

Найдем общее число исходов

Используя классическое определение вероятности имеем:

Вопросы для самопроверки

4. Какой раздел математики называется комбинаторикой?
5. Перечислите основные понятия комбинаторики.
6. Сформулируйте определения перестановок, размещений, сочетаний.
7. Запишите формулы для вычисления числа перестановок, размещений, сочетаний.
8. Какое событие называется невозможным; достоверным?
9. Какие события называются несовместными, равновозможными?
10. Что понимается под вероятностью события?
11. Дайте классическое определение вероятности события.

Случайная величина, ее функция распределения

        Случайная величина. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Например, число бракованных лампочек среди 10 купленных есть случайная величина, которая имеет следующие возможные значение: 0, 1, 2, …, 10. Случайные величины обозначаются прописными буквами латинского алфавита: X, Y, Z и т.д., а их значения – соответствующими строчными буквами x, y, z и т.д.  

        Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечно или счетное, то есть множество ее значений представляет собой конечную последовательность х1, х2, … хn или бесконечную последовательность х1, х2, … хn …

        Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного множества. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

        Законом распределения случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задавать таблично, аналитически и графически. Табличное задание закона:

где х1, х2, … хn – возможности значения случайной величины Х;

p1, p2. … pn – вероятности случайной величины Х.

        События Х=х1, Х=х2, … Х=хn – полная система попарно несовместимых событий, поэтому сумма их вероятностей равна 1.

p1+ p2 + … pn=1.

Пример. В издательстве выпущено 100 книг по овцеводству. Лотереей разыграны одна книга в 500 руб и 10 по 10 руб. Найти закон распределения случайной величины х – возможного выигрыша одной книги.

Решение. Возможны значения х: х1=500, х2=10, х3=0. Вероятности: p1=0,01,  p2=0,1,

р3=1-( p1+ p2)=0,89

Закон распределения:

Биномиальное распределение.

Пусть случайная величина X – число появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна  p, а непоявления – q=1-p.Очевидно, чтоX может принимать значения 0, 1, 2,…, n, вероятности которых определяются по формуле Бернулли:

Определение Закон распределения случайной величины X,имеющий вид:

Называется биномиальным распределением.

Пример   Составить закон распределения числа попаданий в цель при четырех выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна  0,9.

Случайная величина X – число попаданий в цель при четырех выстрелах – может принимать значения 0,1,2,3,4, а соответствующие им вероятности находим по формуле Бернулли:

Итак, искомый закон распределения имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

        Кроме закона распределения, который дает полное представление о случайной величине, часто используют числа, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К ним относятся математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины.

        Математическим ожиданием (М) дискретной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений, умноженных на вероятности.

где хi – значение случайной величины, рi – вероятность случайной величины.

        Часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг его среднего значения. Дисперсией (рассеянием) D(х) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

        Формула для вычисления дисперсии .

        Свойства математического ожидания и дисперсии:

1. М(С)=С, с-const                                    1. D(C)=0, c-const

2. M(CX)=CM(X)                                      2. D(CX)=C2D(X), c-const

3. M(XV)=M(X)*M(V)                             3. D(X+V)=D(X)+ D(V)

4. M(X+M)=M(X)+M(V)                          4. D(X-V)=D(X)+D(V)        

        Средним квадратичным отклонением () случайной величины х называют квадратный корень из дисперсии:

Вопросы для самопроверки.

1.Что называют случайной величиной?

2. Какая случайная величина называется непрерывной; дискретной?

3.Что называется законом распределения дискретной случайной величины?

4. Запишите формулу Бернулли.

5.Какой закон распределения дискретной случайной величины называется биномиальным?

6. Что называют числовыми характеристиками дискретной случайной величины?

7. Дайте определение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения дискретной случайной величины.

Основные задачи математической статистики

        Математическая статистика – это раздел математики, который изучает методы обработки и классификации статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия решений.

        Основные задачи математической статистики могут быть сформулированы следующим  образом:

а) оценка неизвестных параметров случайной величины (вероятности случайного события, математического ожидания случайной величины, дисперсии, функции распределения);

б) статистическая проверка гипотез. т.е. проверка предположений, сделанных относительно некоторых случайных событий, случайных величин (о вероятности события, о законе распределения случайной величины и т.д.);

в) принятие решений (сюда относятся, в частности, задачи оптимального выбора момента настойки или замены действующей аппаратуры, например, определения срока замены двигателя самолета, отдельных деталей станков и т.д.).

        В настоящее время математическая статистика продолжает бурно развиваться; при этом все больше расширяется круг ее задач и методов исследования с широким применением ЭВМ.

        Так, разрабатываются статистические методы распознавания образов, определения характеристик элементов системы автоматического управления и т.д.

        Математическая и прикладная статистика используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов при предупредительном и приемочном контроле качества продукции и в других практических задачах.

Основные понятия математической статистики

        Множество всех значений некоторой изучаемой величины или, другими словами, совокупность всех объектов, которая подлежит изучению, носит название генеральной совокупности, а специальным образом отобранная группа объектов – выборочной совокупности или выборки. 

        Рассмотрим теперь осиные виды выборок. Различают выборки с возвращением и без возвращения. Если  после фиксирования значения параметров объект возвращается в генеральную совокупность и, таким образом, он может многократно повторяться в выборке, то говорят о выборке с возвращением или с повторением.  Если же раз отобранный объект обратно не возвращается, и он не может больше, чем один раз, повторятся в выборке, то такая выборка называется выборкой без возвращения или без повторения. Заметим, что когда объем выборки намного меньше объема генеральной совокупности, то различие между выборкой с возвращением и без возвращения практически исчезает.

        Выборка репрезентативна (представительна), если она достаточно «хорошо» представляет изучаемые признаки генеральной совокупности.

        Важным условием обеспечения репрезентативности выборки является соблюдение случайности отбора, т.е. все объекты генеральной совокупности должны иметь равные вероятности попасть в выборку.

С целью обеспечения репрезентативности выборки в зависимости от конкретных условий применяются различные способы отбора: простой, типический, механический, серийный.

        Простым называется отбор, при котором из генеральной совокупности случайным образом извлекается по одному элементу с возвращением или без возвращения. Например, для изучения белых медведей экспедиция ловит случайным образом попавшихся ей белых медведей, измеряет, исследуемые параметры и отпускает на волю или сдает в зоопарк в зависимости от целей, которые стоят перед ней.

        Типическим называется отбор, при котором объекты случайным образом отбираются из каждой «типической» части генеральной совокупности.

        Например, если детали изготавливаются равными цехами, то для обеспечения репрезентативности выборки отбор производится случайным образом с соблюдением пропорций из продукции каждого цеха. Типическим отбором пользуются тогда, когда исследуемый признак существенно колеблется в различных частях генеральной совокупности.

        Механическим называется отбор, при котором объект отбирается через определенный интервал, скажем, каждый пятый, двадцатый, сотый и т.д.

        Серийным называется отбор, при котором выборка состоит из целой серии объектов. Этим способом пользуются в тех случаях, когда исследуемый признак в Определение. Наблюдаемые значения рассматриваемого признака называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется выборочном или вариационным рядом.

        Пусть из генеральной совокупности отобрана выборка, в которой значение х1 признака Х наблюдалось n1 раз, значение х2-n2 раз, …, значение хk-nk раз. Если объем выборки равен n, то .

        Определение. Число n1, n2, …, nk называются частотами, а их отношения к объему выборки, т.е. , - относительными частотами соответствующих вариант.

        Рассматривается еще накопленная или кумулятивная частота , которая показывает, сколько наблюдалось элементов выборки со значениями признака, меньшими хi

        Определение. Отношение  накопленной частоты к общему объему выборки называется относительной накопленной частой,

        Определение. Статистическим распределением выборки называется перечень вариантов и соответствующих им частот или относительных частот.

        Статистическое распределение выборки можно записать в виде таблицы, в первой строке которой указываются значения вариант выборки, во второй строке – значения частот:

или значения относительных частот (которые легко вычисляются по известным частотам и объему выборки).

Пример 1. Дано статистическое распределение выборки

Найти относительные частоты, накопленные частоты, накопленные относительные частоты.

        Вычислим объем выборки n=3+10+7=20. Тогда

, , , ; , , , .

Пример 2. Найти вариационный ряд, частоты, относительные частоты для выборки, полученной при изменении электрической емкости двадцати пластин пьезоэлементов в пикофарадах по следующим результатам:

9,9; 11,0; 9,2; 12,0; 8,0; 8,7; 7,0; 11,8; 11,7; 10,3; 11,2; 8,1; 9,5; 11,5; 11,6; 9,7; 10,2; 11,4; 8,6; 10,0.

        Вариационный ряд для данной выборки будет на количество интервалов:

х1=7,0, х2=8,0, х3=8,1, х4=8,6, х5=8,7, х6=9,2, х7=9,5, х8=9,7, х9=9,9, х10=10,0.

        Вариационный ряд для данной выборки будет

х1=7,0,  х2=8,0, х3=8,1, х4=8,6, х5=8,7, х6=9,2, х7=9,5, х8=9,7, х9=9,9, х10=10,0, х11=10,2, х12=10,3, х13=11,0, х14=11,2, х15=11,4, х16=11,5, х17=11,6, х18=11,7, х19=11,8, х20=12,0.

        Здесь каждая варианта встречается по одному разу, следовательно, ni=1 для всех i=1, 2, …, 20. Равными будут также и относительные частоты, причем wi=1\20.

        Теперь мы можем следующим образом уточнить понятие репрезентативности выборки.

        Выборка является репрезентативной, если относительные частоты вариант выборки близки к соответствующим относительным частотам вариант генеральной совокупности (по всем вариантам генеральной совокупности).

        Пример 3. Исследовать репрезентативность выборки

для генеральной совокупности.

        Вычислим относительные частоты для нашей выборки (обозначим их через  ):

        При большом числе наблюдений и большом числе вариант удобно варианты группировать по отдельным интервалам их значений. Для этого шкала интересующего нас признака разделяется на некоторое число интервалов, и вместо отдельных вариантов рассматриваются группы значений вариант, попавших в последовательно расположенные интервалы. Число  m таких интервалов, как правило, берется в пределах от 10 до 20. Ширина интервалов  определяется путем деления размаха выборки xk-x1 на количество интервалов:

Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте основные задачи математической статистики.
2. Что называется выборкой?
3. Перечислите основные виды отбора.
4. Что называется статистическим распределением?

Геометрическая интерпретация статистических распределений выборки.

        Определение. Ломаная линия, отрезки которой соединяют точки (xi;ni), называется полигоном частот.

        Пример. Построить полигон частот для статистического распределения выборки.

        Определение. Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки  построенные в системе координат так, что на оси абсцисс расположены варианты хi, а на оси ординат – относительные частоты .

        Определение. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, построенных на частичных интервалах с длиной d и высотой, равной отношению (плотность частоты на данном интервале).

        Площадь i-го частичного прямоугольника равна

Следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

        Гистограммы относительных частот строятся аналогичным образом, только в качестве высот прямоугольников берется отношение  (плотность относительной частоты на данном интервале).

генеральной совокупности колеблется незначительно.

Области применения математических методов

в медицине и биологии.

Различные конкретные математические методы применяются к таким областям биологии и медицины, как таксономия, экология, теория эпидемий, генетика, медицинская диагностика и организация медицинской службы.

В том числе методы классификации в применении к задачам биологической систематики и медицинской диагностики, модели генетического сцепления, распространения эпидемии и роста численности популяции, использованию методов исследования операций в организационных вопросах, связанных с медицинским обслуживанием,

Пользуются также математические модели для таких биологических и физиологических явлений, в которых вероятностные аспекты играют подчиненную роль и которые связаны с аппаратом теории управления или эвристического программирования.

Существенно, важен вопрос о том, в каких областях применимы математические методы. Потребность в математическом описании появляется при любой попытке вести обсуждение в точных понятиях и что это касается даже таких сложных областей как искусство и этика. Мы несколько конкретнее рассмотрим области применения математики в биологии и медицине.

До сих пор мы имели в виду главным образом те медицинские исследования, которые требуют более высокого уровня абстракции, чем физика и химия, но тесно связаны с этими последними. Далее мы перейдем к проблемам, связанным с поведением животных и психологией человека, т. е. к использованию прикладных наук для достижения некоторых более общих целей. Эту область довольно расплывчато называют исследованием операций. Пока мы лишь отметим, что речь будет идти о применении научных методов при решении административных и организационных задач, особенно тех, которые непосредственно или косвенно связаны с медициной.

В медицине часто возникают сложные проблемы, связанные с применением лекарственных препаратов, которые еще находятся на стадии испытания. Морально врач обязан предложить своему больному наилучший из существующих препаратов, но фактически он не может сделать выбор. Пока испытание не будет закончено. В этих случаях применение правильно спланированныхпоследовательностей статистических испытаний позволяет сократить время, требуемое для получения окончательных результатов.

Этические проблемы при этом не снимаются, однако такой математический подход несколько облегчает их решение

Простейшее  исследование  повторяющихся эпидемий  вероятностными методами показывает, что такого рода математическое описание позволяет в общих чертах объяснить важное свойство таких эпидемий - периодическое возникновение вспышек примерно одинаковой интенсивности, тогда как детерминистская модель дает ряд затухающих колебаний, что не согласуется с наблюдаемыми явлениями. При желании разработать более детальные, реалистические модели мутаций у бактерий или повторяющихся эпидемий эта информация, полученная с помощью предварительных упрощенных моделей, будет иметь очень большую ценность. В конечном счете, успех всего направления научных исследований определяется возможностями моделей, построенных для объяснения и предсказания реальных наблюдений.

Одно из больших преимуществ, правильно построенной математической модели состоит в том, что она дает довольно точное описание структуры исследуемого процесса. С одной стороны, это позволяет осуществлять ее практическую проверку с помощью соответствующих физических, химических или биологических экспериментов. С другой стороны, математический анализ образом, чтобы в ней с самого начала была предусмотрена соответствующая статистическая обработка данных.

Разумеется, множество глубоких биологических и медицинских исследований было успешно выполнено без особого внимания к статистическим тонкостям. Но во многих случаях планирование эксперимента, предусматривающее достаточное использование статистики, значительно повышает эффективность работы и обеспечивает получение большего объема информации о большем числе факторов при меньшем числе наблюдений. В противном случае эксперимент может оказаться неэффективным и неэкономичным и даже привести к неверным выводам. В этих случаях новые гипотезы, построенные на таких необоснованных выводах, не смогут выдержать проверку временем.

Отсутствием статистического подхода можно в какой-то мере объяснить периодическое появление "модных" препаратов или метод лечения. Очень часто врачи ухватываются за те или иные новые препараты или методы лечения и начинают широко применять только на основании кажущихся благоприятных результатов, полученных на небольших выборках данных и обусловленных чисто случайными колебаниями. По мере того как у медицинского персонала накапливается опыт применения этих препаратов или методов в больших масштабах, выясняется, что возлагавшиеся, на них надежды не оправдываются. Однако для такой проверки требуется очень много времени и она весьма ненадежна и неэкономична; в большинстве случаев этого можно избежать путем правильно спланированных испытаний на самом начальном этапе.

В настоящее время специалисты в области биоматематики настоятельно рекомендуют применять различные статистические методы при проверке гипотез, оценке параметров, планировании экспериментов и обследований, принятии решений или изучении работы сложных систем.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НАХОЖДЕНИЕ ПРОЦЕНТА

1°. Сотая часть числа называется, одним  процентом этого числа, само число соответствует ста процентам.  Слово “процент″ заменяется символом %.

2°. Пусть дано число  и требуется найти % этого числа. Это будет число  равное  

  Например:  Так, 20% числа 18 дают числа   а,150% числа 18 - число  

При  заработной плате 4000 руб. и подоходном налоге 13% налоговые  отчисления в бюджет составят     руб.

3°. Если число  принимается за 100%,то число  соответствует %, причем  

Эта формула позволяет находить какой процент составляет  от .

Например: Так, 2 от 4 составляет   ,    а 12 от 4 составляет  .

4°. Если известно, что число  составляет % числа , то само число   находятся так

Например:  При ставке налога  на прибыль =20% налоговые отчисления составили  3 млн. руб. Прибыль (до уплаты налога) была  равна

 млн. руб.

МЕРЫ ОБЪЕМА.

1литр (л) = 1 куб. дециметру (дм3)

1 куб. дециметр (дм3) = 1000 куб. сантиметрам (см3)

1 куб. метр (м3) = 1000 000 куб. сантиметрам (см3)

1 куб. метр (м3) = 1000 куб. дециметрам (дм3)

1 мг = 0,001 г

1 г = 1000 мг

ДОЛИ ГРАММА

0,1 г – дециграмм

0,01 – сантиграмм

0,001 – миллиграмм (мг)

0,0001 – децимиллиграмм

0,00001 – сантимиллиграмм

0,000001 – миллимиллиграмм или промилли или микрограмм (мкг)

КОЛИЧЕСТВО МЛ В ЛОЖКЕ

1 ст.л. – 15 мл

1 дес.л. – 10 мл

1 ч.л. – 5 мл

КАПЛИ

1 мл водного раствора – 20 капель

1 мл спиртового раствора – 40 капель

1 мл спиртово-эфирного раствора – 60 капель

СТАНДАРТНОЕ РАЗВЕДЕНИЕ АНТИБИОТИКОВ.

100 000 ЕД  - 0,5 мл раствора

0,1 гр -  0,5 мл раствора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНЫ ДЕЛЕНИЯ ШПРИЦА.

КОНЦЕНТРАЦИЯ РАСТВОРОВ

Разведение антибиотиков

        Если растворитель в упаковке не предусмотрен, то при разведении антибиотика на 0,1г (100 000 ЕД) порошка берут 0,5 мл раствора. Таким образом, для разведения:

• 0,2г нужен 1 мл растворителя;
• 0,5г нужно 2,5-3 мл растворителя;
• 1г нужно 5 мл растворителя.

Набор в шприц заданной дозы инсулина.

В 1 мл раствора находится 40 ЕД инсулина, цена деления: в шприце 4 ЕД инсулина в 0,1 мл раствора, в шприце 2 ЕД инсулина в 0,05 мл раствора

ПОНЯТИЕ ПРОПОРЦИЙ.

10. Отношение числа х к y называется частное чисел х и y. Записывают  или

Отношение  показывает во сколько раз  больше (если ) или какую часть числа  составляет число  (если ).

20. Пропорцией называется равенство двух отношений, именно

- называют крайними членами пропорции

- средними членами пропорции

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению ее средних членов, т.е.

Это свойство пропорции позволяет найти неизвестное число пропорции, если три других числа этой пропорции известны.

   ,   ,    

Из пропорции  вытекают другие пропорции:

30 .  Чтобы разделить некоторое число пропорционально данным числам (разделить в данном отношении) надо разделить это число на сумму данных чисел и результат умножить на каждое из них.

Например:  одна бочка содержит  смесь спирта с водой в отношении 2:3, а другая – в отношении 3:8. Поскольку ведер нужно взять из каждой бочки, чтобы составить 10 ведер смеси, в которой спирт и вода были бы в отношении 3:5

Решение: пусть из первой бочки взяли  ведер, тогда из второй взяли  ведер. Первая бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 2:3, поэтому в  ведрах смеси из первой бочки содержится  ведер спирта. Вторая бочка содержит смесь спирта с водой в отношении 3:8, поэтому в  ведрах смеси содержится ведер спирта. В десяти ведрах новой смеси спирт и вода находятся в отношении 3:5, поэтому спирта в 10 ведрах новой смеси будет ведер. Имеем уравнение

Решив его, находим: .

Ответ: нужно взять  ведер из первой бочки и  ведер из второй бочки.

АНТРОПОМЕТРИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ.

 Количество пищи грудного ребенка в сутки рассчитывают объемным методом: от 2 недель до 2 месяцев – 1/5 массы тела, от 2 месяцев до 4 месяцев – 1/6, от 4 месяцев до 6 месяцев – 1/7. После 6 месяцев – суточный объем составляет не более 1л. Для определения разовой потребности в пище суточный объем пищи делят на число кормлений, Долженствующую массу тела можно определить по формуле:mдолж=mо+ месячные прибавки, где mo – масса при рождении. Месячные прибавки составляют за первый месяц 600 г, за второй – 800 г и каждый последующий месяц на 50 г меньше предыдущего.

Можно рассчитать объем пищи, используя калорийный метод, исходя из потребности ребенка в калориях. В первую четверть года ребенок должен получать 120 ккал/кг, в четвертую – 105 ккал/кг. 1 литр женского молока содержит 700 ккал. Например, ребенок в возрасте 1 месяца имеет массу тела 4 кг и, следовательно, нуждается в 480 ккал/сут. Суточный объем пищи равен 480 ккал х 1000 мл : 700 ккал = 685 мл.

Расчет прибавки массы детей.

Ориентировочно  можно рассчитать основные антропометрические показатели. Масса ребенка 1 года жизни равна массе тела ребенка 6 месяцев (8200-8400 г) минус 800 г на каждый недостающий месяц или плюс 400 г на каждый последующий.

Масса детей после года равна массе ребенка в 5 лет (19 кг) минус 2 кг на каждый недостающий год, либо плюс 3кг на каждый последующий.

Расчет прибавки роста детей.

Длина тела до года увеличивается ежемесячно в I квартале на 3-3,5 см, во II – на 2,5 см, в III – 1,5 см, в IV – на 1 см. Длина тела после года равна длине тела в 8 лет (130 см) минус 7 см за каждый недостающий год либо плюс 5 см за каждый превышающий год.

Основные показатели ФР можно оценить центильным методом. Он прост, удобен, точен. Стандартные таблицы периодически составляются на основании массовых региональных обследований определенных возрастно-половых групп детей. Используя центильные таблицы можно определить уровень и гармоничность ФР. В срединной зоне (25-75 центили) располагаются средние показатели изучаемого признака. В зонах от 10-й до 25-й центили и от 75-й до 90-й находятся величины, свидетельствующие о нижесреднем или вышесреднем ФР, а в зоне от 3-й до 10-й центили и от 90-й до 97-й – показатели низкого или высокого развития. Величины, находящиеся в более крайних положениях, могут быть связаны с патологическим состоянием.

Математические вычисления

в предметах «Акушерство» и «гинекология»

Задача №1: В норме физиологическая потеря в родах составляет 0,5% от массы тела. Определить кровопотерю в мл., если масса женщины 67 кг?

Решение:  Воспользуемся формулой (1).

Ответ: Кровопотеря  составила 0,34 мл.

Задача № 2: Шоковый индекс равен отношению пульса к систолическому давлению. Определить шоковый индекс, если пульс – 100, а систолическое давление – 80

Решение:  для определения шокового индекса необходимо значение пульса разделить на значение систолического давления:

Ответ:  шоковый индекс равен 12,5

Задача № 3: Определите кровопотерю в родах, если она составила 10% ОЦК, при этом ОЦК составляет 5000 мл.

Решение: для определения кровопотери в родах, необходимо найти, сколько составляет 10% от 5000. Для этого воспользуемся формулой (1)

Ответ: кровопотеря в родах 500 мл.

Математические вычисления

в предмете «Педиатрия»

Задача № 1: Физиологическая убыль массы новорожденного ребенка  в норме до 10%. Ребенок родился с весом 3.500, а на третьи сутки его масса составила 3.300. Вычислить процент потери веса.

Решение: Для решения данной задачей воспользуемся  формулой

Потеря веса  на третьи сутки составила  3500-3300=200 грамм. Найдем, сколько процентов 200г составляет от 3.500г., для этого воспользуемся формулой (2)

Ответ: физиологическая убыль массы в норме и составила 5,7%

Задача №2: Вес ребенка при рождении 3300 г., в три месяца его масса составила 4900 г.  Определить степень гипотрофии.

Решение: Гипотрофия I степени при дефиците массы 10-20%, II степени – 20-30%, III степени – больше 30%.

1) Сначала определим, сколько должен весить ребенок в 3 месяца, для этого к весу при рождении ребенка прибавим ежемесячные прибавки, т.е.

г

2) Определяем разницу между долженствующим весом и фактическим (т.е. дефицит массы):

 г

3) Определяем какой процент, составляет дефицит массы, для этого воспользуемся формулой (2)

Ответ: Гипотрофия I степени  и составляет 10,9%.

Задача №3:  Ребенок родился ростом 51 см. Какой         рост должен быть у него в 5 месяцев (5 лет)?

Решение: Прирост за каждый месяц первого года жизни составляет : в I четверть (1-3 мес.) по 3 см за каждый месяц, во II четверть (3-6 мес.)  - 2,5 см, в III четверть (6-9мес.) – 1,5 см и в IV четверть  (9-12 мес.) – 1,0 см.

Рост ребенка после года можно вычислить по формуле:

где 75 -  средний рост ребенка в 1 год, 6 – среднегодовая прибавка, n – возраст ребенка.

Рост ребенка в 5 месяцев: 51+3*3+2*2,5= 65 см

Рост ребенка в 5 лет: 75+6*5=105 см

Задача №4: Ребенок родился весом 3900г. Какой вес должен быть у него в 6 месяцев, 6 лет, 12 лет?

Решение: Увеличение массы тела ребенка за каждый месяц первого года жизни:

Массу тела ребенка до 10 лет в килограммах можно вычислить по формуле: m=10+2n, где 10 средний вес ребенка в 1 год, 2 – ежегодная прибавка веса, n – возраст ребенка.

Массу тела ребенка после 10 лет в килограммах можно вычислить по формуле : m=30+4(n-10), где 30 – средний вес ребенка в 10 лет, 4 – ежегодная прибавка веса, n – возраст ребенка.

Вес ребенка в 6 месяцев: m=3900+600+2*800+750+700+650= 8200г.

Вес ребенка в 6 лет: m=10+2*6=22кг

Вес ребенка в 12 лет: m=30+4*(12-10)= 38 кг

Задача№5: Какое артериальное давление должно быть у ребенка 7 лет?

Решение: Ориентировочно артериальное максимальное давление у детей после года можно определить с помощью формулы В.И.Молчанова: , где 80 – среднее давление ребенка 1 года (в мм.рт.ст.), - возраст ребенка.

Минимальное давление составляет  максимального.

Максимальное давление у ребенка 7 лет: мм.рт.ст

Задача № 6. Рассчитать суточную калорийность пищевого рациона ребенка 10 лет.

Решение: Суточная калорийность рассчитывается по формуле: , где - число лет, 1000 – суточная калорийность пищевого рациона ребенка для годовалого ребенка.

Суточная калорийность пищевого рациона для ребенка 10 лет:

ккал

Задача № 7: Определить количество мочи, выделяемой за сутки ребенком 7 лет.

Решение: Для определения количества мочи, выделяемой за сутки ребенком, можно воспользоваться формулой: , где 600 – количество мочи в мл, выделяемой ребенком 1 года за сутки, 100 – ежегодная прибавка, - число лет жизни ребенка.

Ребенок 7 лет за сутки выделит: 600+100(7-1)=1200 мл.

Математические вычисления

в предметах «Сестринское дело», «ФАРМАКОЛОГИЯ»

Задача № 1. Определите цену деления шприца, если от подигольного конуса до цифры «1» - 10 делений.

Решение: Для определения цены деления шприца, необходимо цифру «1» разделить на количество делений 10.

Ответ: цена деления шприца равна 0,1 мл.

Задача № 2. Определите цену деления шприца, если       от подигольного конуса до цифры «5» - 10 делений.

Решение: Для определения цены деления шприца, необходимо цифру «5» разделить на количество делений 10.

Ответ: цена деления шприца равна 0,5 мл.

 Задача № 3. Определите цену деления шприца, если от подигольного конуса до цифры «5» - 5 делений.

Решение: Для определения цены деления шприца, необходимо цифру «5» разделить на количество делений 5.

Ответ: цена деления шприца равна 1 мл.

Задача № 4. Определите цену деления шприца, если от подигольного конуса до цифры «10» - 5 делений.

Решение: Для определения цены деления шприца, необходимо цифру «10» разделить на количество делений 5.

Ответ: цена деления шприца равна 2 мл.

Задача № 5. Определите цену деления инсулинового  шприца в ЕД, если от подигольного конуса до числа «20» - 5 делений.

Решение: Для определения цены   деления инсулинового шприца, необходимо цифру «20» разделить на количество делений 5.

Ответ: цена деления шприца равна 4 ЕД.

Формула для решения задач на разведение растворов

(получить из более концентрированного раствора менее концентрированный)

1 действие:

 количество мл более концентрированного раствора (который необходимо развести)

 необходимый объем в мл (который необходимо приготовить)

- концентрация менее концентрированного раствора (того, который необходимо получить)

- концентрация более концентрированного раствора (того, который разводим)

2 действие:

Количество мл воды (или разбавителя) =  или воды до (ad) необходимого объема ()

Задача№6. Во флаконе ампициллина находится 0,5 сухого лекарственного средства. Сколько нужно взять растворителя, чтобы в 0,5 мл раствора было 0,1 г сухого вещества.

Решение: при разведении антибиотика на 0,1 г сухого порошка берут 0,5 мл растворителя, следовательно, если,

0,1 г сухого вещества – 0,5 мл растворителя

0,5 г сухого вещества -  х мл растворителя

получаем:

Ответ: чтобы в 0,5 мл раствора  было 0,1 г сухого вещества необходимо взять 2,5 мл растворителя.

 Задача № 7.  Во флаконе пенициллина находится 1 млн. ЕД сухого лекарственного средства. Сколько нужно взять растворителя, чтобы в 0,5 мл раствора было 100000 ЕД сухого вещества.

Решение: 100000 ЕД сухого вещества – 0,5 мл сухого вещества, тогда в 100000 ЕД сухого вещества –0,5 мл сухого вещества.

1000000 ЕД – х

Ответ: чтобы в 0,5 мл раствора было 100000ЕД сухого вещества необходимо взять 5 мл растворителя.

 Задача № 8. Во флаконе оксацилина находится 0,25 сухого лекарственного средства. Сколько нужно взять растворителя, чтобы в 1 мл раствора было 0,1 г сухого вещества

Решение:

1 мл раствора – 0,1г

х мл                  - 0,25 г

Ответ: чтобы в 1 мл раствора было 0,1 г сухого вещества нужно взять 2,5 мл растворителя.

 Задача №9. Цена деления инсулинового шприца – 4 ЕД. Скольким делениям шприца соответствует 28 ЕД. инсулина? 36 ЕД.? 52 ЕД.?

Решение: Для того, чтобы узнать скольким делениям шприца соответствует 28 ЕД. инсулина необходимо: 28:4 =7(делениям).

Аналогично: 36:4=9(делениям)

                       52:4=13(делениям)

Ответ: 7, 9, 13 делениям.

Задача № 10. Сколько нужно взять 10% раствора осветленной хлорной извести и воды (в литрах) для приготовления 10л 5%раствора.

Решение:

1)   100 г – 5г

      10000 г - х

 (г) активного вещества

2)   100% – 10г

       х % – 500г

 (мл) 10% раствора

3)  10000-5000=5000 (мл) воды

Ответ: необходимо взять 5000мл осветленной хлорной извести и 5000мл воды.

 Задача № 11. Сколько нужно взять 10% раствора хлорной извести и воды для приготовления 5л 1% раствора.

Решение:

Так как в 100 мл  содержится 10 г активного вещества то,

1)  100г – 1мл

      5000 мл – х

 (мл) активного вещества

2)  100% – 10мл

      х %– 50мл

00 (мл) 10% раствора

3) 5000-500=4500 (мл) воды.

Ответ: необходимо взять 500 мл 10% раствора и 4500мл воды.

Задача № 12. Сколько нужно взять 10% раствора хлорной извести и воды для приготовления 2л 0,5% раствора.

Решение:

Так как в 100 мл содержится 10 мл активного вещества то,

1)  100 % – 0,5мл

      2000  – х

0 ( мл ) активного вещества

2)  100 % – 10 мл

      х – 10 мл

 (мл) 10% раствора

3) 2000-100=1900 (мл) воды.

Ответ: необходимо взять 10 мл 10% раствора и 1900 мл воды.

 Задача № 13. Сколько нужно взять хлорамина (сухое вещество) в г и воды для приготовления 1 литра 3%раствора.

Решение:

Процент – количество вещества в 100 мл.

1)  3г – 100 мл

      х  - 10000 мл

г

2)  10000 – 300=9700мл.

Ответ: для приготовления 10 литров 3%раствора необходимо взять 300г хлорамина  и 9700мл воды.

 Задача №  14.  Сколько нужно взять хлорамина (сухого) в г и воды для приготовления 3-х литров 0,5% раствора.

Решение:

Процент – количество вещества в 100 мл.

1)  0,5 г – 100 мл

      х  - 3000 мл

г

2)  3000 – 15=2985мл.

Ответ: для приготовления 10 литров 3%раствора необходимо взять 15г хлорамина  и 2985мл воды

 Задача №  15.  Сколько нужно взять хлорамина (сухого) в г и воды для приготовления 5 литров 3% раствора.

Решение:

Процент – количество вещества в 100 мл.

1)  3 г – 100 мл

      х  - 5000 мл

г

2)  5000 – 150= 4850мл.

Ответ: для приготовления 5 литров 3%раствора необходимо взять 150г хлорамина  и 4850 мл воды.

 Задача № 16. Для постановки согревающего компресса из 40% раствора этилового спирта необходимо взять 50мл. Сколько нужно взять 96% спирта для постановки согревающего компресса?

Решение:

По формуле (1)

мл

Ответ: Для приготовления согревающего компресса из 96% раствора этилового спирта необходимо взять 21 мл.

Задача № 17. Приготовить 1 литр 1% раствор хлорной извести для обработки инвентаря из 1 литра маточного 10% раствора.

Решение: Подсчитайте сколько нужно взять мл 10% раствора для приготовления 1% раствора:

10г – 1000 мл

1г    -    х  мл

Ответ: Чтобы приготовить 1 литр 1% раствора хлорной извести нужно взять 100 мл 10% раствора и добавить 900 мл воды.

Задача № 18. Больной должен принимать лекарство по 1 мг в порошках 4 раза в день в течении 7 дней, то сколько необходимо выписать данного лекарства ( расчет вести в граммах).

Решение: 1г = 1000мг, следовательно, 1 мг = 0,001 г.

Подсчитайте сколько больному необходимо лекарства в день:

4* 0,001 г = 0,004 г, следовательно, на 7 дней ему необходимо:

7* 0,004 г = 0,028 г.

Ответ: данного лекарства необходимо выписать 0,028 г.

Задача № 19. Больному необходимо ввести 400 тысяч единиц пенициллина. Флакон по 1 миллиону единиц. Развести 1:1. Сколько мл раствора необходимо взять.

Решение: При разведении 1:1 в 1 мл раствора содержится 100 тысяч единиц действия. 1 флакон пенициллина по 1 миллиону единиц разводим10 мл раствора. Если больному необходимо ввести 400 тысяч единиц, то необходимо взять 4 мл полученного раствора.

Ответ: необходимо взять 4 мл полученного раствора.

Задача № 20. Ввести больному 24 единицы инсулина. Цена деления шприца 0,1 мл.

Решение: в 1 мл инсулина содержится 40 единиц инсулина. В 0,1 мл инсулина содержится 4 единицы инсулина. Чтобы ввести больному 24 единицы инсулина необходимо взять 0,6 мл инсулина.

ЗАДАЧИ  ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Приготовить 3л 1% раствора хлорамина.
2. Приготовить 7л 0,5% раствора хлорамина.
3. Приготовить 10% раствор хлорной извести.
4. Приготовить 4 л 1% раствора хлорной извести.
5. Приготовить 3л 3% раствора хлорамина.

6. В норме физиологическая потеря в родах составляет 0,5% от массы тела. Определить кровопотерю в мл, если масса женщины 54 кг?

7. Шоковый индекс равен отношению пульса к систолическому давлению. Определить шоковый индекс, если пульс – 120, а систолическое давление – 70

8. Определите кровопотерю в родах, если она составила 20% ОЦК, при этом ОЦК составляет 5000 мл.

9. Физиологическая убыль массы в норме до 10%. Ребенок родился с весом 3.600, а на третьи сутки его масса составила 3.100. Вычислить процент потери веса.

10. Вес ребенка при рождении 3200 г., в два месяца его масса составила 4000 г.  Определить степень гипотрофии.

11. Ребенок родился ростом 49 см. Какой         рост должен быть у него в 7 месяцев (6 лет)?

12. Ребенок родился весом 3400г. Какой вес должен быть у него в 8месяцев, 5 лет, 13 лет?

13. Какое артериальное давление должно быть у ребенка 5 лет?

14. Рассчитать суточную калорийность пищевого рациона ребенка 6 лет.

15. Определить количество мочи, выделяемой за сутки ребенком 3 лет.

16. Определите цену деления шприца, если от подигольного конуса до цифры «1» - 20 делений.

17. Определите цену деления шприца, если от подигольного конуса до цифры «5» - 10 делений.

18. Определите цену деления шприца, если от подигольного конуса до цифры «5» - 5 делений.

19. Определите цену деления шприца, если от подигольного конуса до цифры «10» - 5 делений.

20. Определите цену деления инсулинового  шприца в ЕД, если от подигольного конуса до числа «20» - 5 делений.

21. Во флаконе ампициллина находится 0,5 сухого лекарственного средства. Сколько нужно взять растворителя, чтобы в 0,1 мл раствора было 0,05 г сухого вещества.

22. Во флаконе пенициллина находится 1 млн. ЕД сухого лекарственного средства. Сколько нужно взять растворителя, чтобы в 0,1 мл раствора было 100000 ЕД сухого вещества.

23. Во флаконе оксацалина находится 0,25 сухого лекарственного средства. Сколько нужно взять растворителя, чтобы в 1 мл раствора было 0,1 г сухого вещества

24. Цена деления инсулинового шприца – 4 ЕД. Скольким делениям шприца соответствует 48 ЕД инсулина? 30 ЕД? 28 ЕД?

25. Сколько нужно взять растворителя для разведения 20 млн. ЕД пенициллина, чтобы в 0,5 мл раствора содержалось 100000 ЕД сухого вещества.

26. Сколько нужно взять 10% раствора осветленной хлорной извести и воды (в литрах) для приготовления 6л 5%раствора.

27. Сколько нужно взять 10% раствора хлорной извести и воды для приготовления 3л 1% раствора.

28. Сколько нужно взять 10% раствора хлорной извести и воды для приготовления 7л 0,5% раствора.

29. Сколько нужно взять хлорамина (сухое вещество) в г и воды для приготовления3 литров 5%раствора.

30. Сколько нужно взять хлорамина (сухого) в г и воды для приготовления 5 литров 0,5% раствора.

31. Сколько нужно взять хлорамина (сухого) в г и воды для приготовления 1 литр  3% раствора.

32. Для постановки согревающего компресса необходимо 25 мл 40% раствора этилового спирта. Сколько для этого нужно взять 96% спирта?

33. Приготовить 1 литр 1% раствор хлорной извести для обработки инвентаря из 1 литра маточного 10% раствора.

34. Больной должен принимать лекарство по 1 мг в порошках 3 раза в день в течении 10 дней, то сколько необходимо выписать данного лекарства (расчет вести в граммах).

36. Ввести больному 36 единиц инсулина. Цена деления шприца 0,1 мл.

ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Выбрать правильный вариант ответа:

1. Ребенок родился ростом 49 см. В 5 месяцев его рост должен быть:

А)  57 см

Б)  60 см

В)  63 см

2. Ребенок родился массой 3300 гр. В 8 месяцев он должен иметь массу:

А)  7,8 кг

Б)   9 кг

В)   8,75 кг

3. Артериальное давление ребенка 9 лет должно быть:

А)   100/60 мм.рт.ст.

Б)    90/60   мм.рт.ст.

В)    100/70 мм.рт.ст.

4. Чтобы приготовить 9% раствор из расчета на 1 литр, необходимо взять сухого вещества:

А)   90 г

Б)   180г

В)    9г

5. Чтобы ввести больному 19 ЕД. инсулина, необходимо в шприц набрать следующее число делений:

А)    4 деления

Б)     4 ¾  деления

В)     4 ¼  деления

6. В одной столовой ложке содержится следующее количество 5% раствора лекарственного вещества:

А)   0,5 г

Б)    5 г

В)    0,75г

7. Зная разовую дозу (0,3г), и, зная, что больной принимает лекарство десертными ложками, процентная концентрация раствора будет:

А)    3%

Б)     30%

В)     6%  

8. Если больной должен принимать жидкое лекарственное вещество по 1 чайной ложке 4 раза в день 7 дней, то ему необходимо выписать следующее количество раствора:

А)    250 мл

Б)     300 мл

В)     200 м

9. Каким символом заменяется слово «процент»

А) @

Б) %

В) $

10. Сколько содержит капель 1 мл водного раствора:

А)  40

Б)  35

В) 20

Содержание учебного пособия соответствует рабочей программе по математике. Изложение теоретического материала сопровождается большим количеством примеров и задач. В конце приводятся зад

Заключение.

Настоящая методическая разработка предназначена для студентов вторых курсов средних специальных учебных заведений, а также для преподавателей математики. Основное внимание уделено подготовке к выполнению практических работ в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика». Много внимания уделено вопросам, необходимым для изучения общетехнических и специальных дисциплин. Приведенные примеры и задачи подобраны не только с целью закрепления теоретического материала, изученного на уроках математики, но и с целью раскрытия широких возможностей применения математики при изучении других дисциплин.

          В современное время существенно расширяется область применения теоретической и вычислительной математики на базе использования метода математического моделирования и электронных вычислительных машин. Сейчас математические методы применяются не только в таких традиционных науках, как механика ,астрономия, физика, но и в экономике, химии и даже в таких, с первого взгляда, как будто бы далеких от математики отраслей знания, как социология, лингвистика, биология, медицина и др.

Объясняется это тем, что большинство направлений научной и технической деятельности людей достигли сравнительно высокого уровня развития и ( на данном этапе) исчерпали возможности описательных методов исследования. В связи с этим дальнейший успех возможен только на базе использования точных количественных методов исследования, т.е. применения математического аппарата. Во-вторых, развитие самой математики и ряда смежных научных дисциплин – таких, как математическая логика, физика, в особенности электротехника, позволило создать мощные электронные вычислительные машины, способные выполнять большие объемы громоздких массовых вычислений.

           Только благодаря высокому уровню развития науки и техники, их влиянию друг на друга и взаимному обогащению стало возможным решать такие трудоемкие и сложные задачи, как создание автоматизированных систем управления (АСУ) предприятиями и отраслями, оптимальное планирование народного хозяйства, использование атомной энергии в мирных целях, создание больших морских, воздушных и космических кораблей разного назначения, обеспечение длительной работы научных экспедиций в космосе и т. д.

          Однако математические методы нужны не только для решения крупных задач. Подобные задачи встречаются в ежедневной работе технических специалистов, экономистов, технологов. Поэтому работникам  народного хозяйства, в какой бы области они не трудились, необходимо владеть основными математическими методами исследования и приемами вычислений, устным письменным и машинным счетом. Специалисты должны иметь полное представление о возможностях современной электронной вычислительной техники, уметь пользоваться распространенными  вычислительными машинами.

   На первом курсе студенты знакомились с основами теории уравнений и их систем, векторного, дифференциального и интегрального исчислений и их применением в решении практических задач. Цель изучения математики на втором курсе состоит в том, чтобы углубить знания по изученным разделам и ознакомится с некоторыми новыми разделами математики (теорией дифференциальных уравнений, теорией вероятностей, математической статистикой и др.), которые обогащают общую культуру, развивают логическое мышление и широко используются в математическом моделировании задач, с которыми встречается современный специалист в своей деятельности.

           Данная методическая разработка составлена в полном соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика» на базе общего полного образования для технических специальностей. Содержание и методика изложения материала выполнена в направлении большей доступности и усиления прикладной направленности математики. Изложение теоретического материала сопровождается разбором большого числа примеро

Используемая литература.

Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа (под ред. Яковлева Т.К.)

Ч 1. М.: Наука , 1987 г.

Математика для техникумов. Алгебра и начало анализа (под ред. Яковлева Т.К.)

Ч 2. М.: Наука , 1988 г.

Башманов М.И. Алгебра и начало анализа. М.: Просвещение, 1998  г.

Колмагоров А.И. Абрамов А.М. и др. Алгебра и начало анализа (10-11 кл) М.:

Просвещение, 1995 г.

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике, М.: высшая школа, 2000 г.

Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.А., Математика для техникумов, М.:

Наука , 1991 г.

Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.А.,Гуткин И.И. Сборник задач по

математике для техникумов на базе средней школы, М.: Наука, 1999

1. Руденко В.Г., Янукян Э.Г. Пособие по математике, Пятигорск 2002г,
2. Святкина К.А., Белогорская Е.В., «Детские болезни» - М.: Медицина, 1980г.
3. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н.. Практикум по вычислительной математике. М.: «Высшая школа», 1990.

Рецензент:

Полякова Е.В. преподаватель I категории.

Брянцева И.В. преподаватель I категории

Методическое пособие написано в помощь студентам при изучении темы «Применение математических методов в профессиональной деятельности медицинского работника».

Рецензия.

Методическая разработка на тему «Рекомендации по выполнению практических работ по математике для студентов вторых курсов технических специальностей» выполненная преподавателем математики ФГОУ СПО «Рославльский технический колледж» Ивановой Л.А. содержит материал соответствующий Государственным образовательным стандартам и рабочей программе дисциплины «Математика». Тема работы является актуальной, название работы сформулировано правильно и соответствует ее содержанию.

Тема раскрыта полно, в работе содержится весь необходимый материал для подготовки к выполнению практических работ по курсу математики. Все разделы снабжены примерами с подробно разобранными решениями. Соблюдены методические требования к обучению данной дисциплине. Работа выполнена на достаточно высоком научном уровне и в то же время изложение ведется на доступном языке. Работа соответствует современному состоянию науки, используется передовой опыт. В работе оптимально подобран иллюстративный, справочный материал. В приложении приводятся варианты инструкционных карт. Вся терминология, буквенные обозначения, формульные обозначения правильно используются и выдержаны в единообразной форме.

Настоящая методическая разработка предназначена для студентов вторых курсов средних специальных учебных заведений, а также для преподавателей математики. Основное внимание уделено подготовке к выполнению практических работ в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика». Много внимания уделено вопросам, необходимым для изучения общетехнических и специальных дисциплин. Приведенные примеры и задачи подобраны не только с целью закрепления теоретического материала, изученного на уроках математики, но и с целью раскрытия широких возможностей применения математики при изучении других дисциплин.

Настоящая методическая разработка предназначена для студентов вторых курсов средних специальных учебных заведений, а также для преподавателей математики. Основное внимание уделено подготовке к выполнению практических работ в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика». Много внимания уделено вопросам, необходимым для изучения общетехнических и специальных дисциплин. Приведенные примеры и задачи подобраны не только с целью закрепления теоретического материала, изученного на уроках математики, но и с целью раскрытия широких возможностей применения математики при изучении других дисциплин.

 Таким образом, данная работа рекомендуется  по дальнейшему использованию студентами и преподавателями СПО технического профиля (целесообразно распространении в средних специальных образовательных учреждениях региона).