Приложение производной при исследовании функций и построению графиков.
презентация к уроку по математике

Слайд 1

Лекция № 5 Приложение производной при исследовании функций и построению графиков.

Слайд 2

Содержание

Слайд 3

Применение производной к исследованию функции Признак возрастания и убывания (монотонность) Достаточный признак возрастания функции . Если >0 в каждой точке интервала I , то функция f возрастает на I . Достаточный признак убывания функции. Если <0 в каждой точке интервала I , то функция f убывает на I . Необходимое и достаточное условие постоянства функции. Функция постоянна на интервале I тогда и только тогда, когда=0 в каждой точке этого интервала. Критические точки функции (экстремумы) Внутренние точки области определения функции , в которых ее производная равна нулю или не существует, на­зываются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции. Сформулируем соответствующее утверждение, его называют тео­ремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма). Необходимое условие экстремума. Если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f ′, то она равна нулю: f '(х 0 )= 0. Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке х 0 обращает­ся в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция име­ет экстремум. Достаточные условия существования экстремума. Признак максимума функции . Если функция f непрерывна в точке х 0 , а f ′ ( х ) > 0 на интервале ( a ; х 0 ) и f ′ (х 0 )<0 на интервале ( х 0 ; b ), то точка х 0 является точкой максимума функции f . Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого при­знака: если в точке х 0 производная меняет знак с плюса на минус, то х 0 есть точка максимума. Признак минимума функции . Если функция f не­прерывна в точке х () , f ′ ( х ) < 0 на интервале (а; х 0 ) и f ′ ( х ) > 0 на интервале (х 0 ; b ), то точка х 0 является точкой минимума функции f .Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого признака : если в точке х 0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х 0 есть точка минимума.

Слайд 4

Схема применения производной для нахождения интервалов монотонности и экстремумов 1. Найти область определения функции и интервалы, на ко­торых функция непрерывна. 2. Найти производную f ′( x ). 3. Найти критические точки, т.е. точки, в которых произ­водная функции равна нулю или не существует. 4. В каждом из интервалов, на которые область определения разбивается критическими точками , определить знак произ­водной и характер изменения функции (с помощью достаточных условий монотонности). 5. Относительно каждой критической точки определить, яв­ляется ли она точкой максимума , минимума или не яв­ляется точкой экстремума. 6. Записать результат исследования функции: промежутки монотонности и экстремумы.

Слайд 5

Наибольшее и наименьшее значение функции Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке. Говорят, что функция у = f ( x ), определенная в промежутке X , достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка с , принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из X выполняется неравен­ство f ( x ) ≤ f (с) (соответственно f ( x ) ≥ f ( с )). Функция, непрерывная на отрезке [ а, b ], достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений. Эти значения обозначаются так: у наиб , у наим или , . Для функции, непрерывной на отрезке, ее наибольшее и наименьшее значения могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у = f ( x ) на отрезке [ а, b ]. 1. Находят f '( x ). 2. Находят точки, в которых f '( x ) = 0 или f '( x ) не существует, и отбирают из них те, что лежат внутри отрезка [ а, b ]. 3. Вычисляют значения функции у = f ( x ) в точках , полученных на предыдущем этапе, и на концах отрезка, а затем выбирают из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значением функции у = f ( x ) на отрезке [ а, b ] .

Слайд 6

Отыскание наибольшего или наименьшего значения функции на незамкнутом промежутке. Задача отыскания наибольшего или наименьшего значения функции, непрерывной на интервале ( а , b ), решает­ся с помощью того же алгоритма, что и для отрезка [ a , b ], но на третьем этапе вместо вычисления зна­чений функции на концах отрезка находят пределы функции при стремлении х к концам интервала. Иногда для решения указанной задачи использу­ют следующие утверждения: 1. Если функция у = f ( x ) имеет в промежутке X только одну точку экстремума х = с , причем это точка максимума, то f (с) — наибольшее значение функции в промежутке X . 2. Если функция у = f ( x ) имеет в промежутке X только одну точку экстремума х = с , причем это точка минимума, то f (с) — наименьшее значение функции в промежутке X . Рассмотреть по рисунку возрастание и убывание функций. Функция называется возрастающей на некотором промежутке значений, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее значение функции . Функция называется убывающей н а некотором промежутке значений, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует меньшее значение функции. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает,- промежутками монотонности.

Слайд 7

-Дать геометрическую интерпретацию признаков возрастания и убывания функции и сформулировать признаки. Если производная функции в данном промежутке значений положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а если отрицательна, то функция убывает. Правило нахождения интервалов монотонности функции : 1. Найти производную заданной функции . 2. Приравнять производную к нулю, то есть найти критические (стационарные) точки первого рода. 3. Расположить критические точки на числовой прямой в порядке возрастания и исследовать знак производной в каждом из полученных интервалов. Если на каком – либо интервале , на этом интервале функция у( х ) возрастает, если то функция у( х ) убывает на этом интервале . Пример : Найти интервалы монотонности функции Решение: 1. 2 . 3 . Разобьем числовую прямую на интервалы: и определим знак производной в каждом из интервалов х + 0 - 0 +

Слайд 8

- Максимум и минимум функции. Функция имеет максимум при , если при всех х , достаточно близких к а выполняется неравенство . Функция имеет минимум при х=а , если при всех х , достаточно близких к а выполняется неравенство . Точки максимума и минимума функции называются э кстремальными точками ( точками экстремума) данной функции, а значения функции в этих точках – минимумом и максимумом (или экстремумами) функции. Точками экстремума могут служить только критические точки, то есть точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная обращается в нуль или не существует (терпит разрыв). Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с + на - , то функция в этой точке достигает максимума. Если же с – на +, то минимума. Пример: Найти экстремумы функции Решение : Разобьем числовую прямую на три интервала -1 2 + 0 - 0 + Max Min

Слайд 9

Первое правило исследования функции на экстремум. 1. Найти производную заданной функции . 2. Приравнять производную к нулю, то есть найти критические (стационарные) точки первого рода. 3. Расположить критические точки на числовой прямой в порядке возрастания и исследовать знак производной в каждом из полученных интервалов. Если на каком – либо интервале , на этом интервале функция у( х ) возрастает, если то функция у( х ) убывает на этом интервале. 4. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак с + на - , то функция в этой точке достигает максимума. Если же с – на +, то минимума 5. Вычислить значения функции в точках экстремума. - Пример : Исследовать на экстремум функцию Решение: Составим таблицу : 0 2 + 0 - 0 + M 0 M 0

Слайд 10

Решить примеры: 1. Найти промежутки монотонности функции Решение: Пример 2. Исследовать на экстремум функцию Решение:

Слайд 11

Функция f ( x ) Первая производная f '( x ) y = const (C)'=0 y = x y ` = 1 y = x n y' = nx n-1 y = a x y' = a x ln(a) y = e x y' = e x y=kx +b y`=k y = log a (x) y = ln(x) y' = 1/x y = sin ( x ) y' = cos(x) y = cos ( x ) y ' = - sin ( x ) y = tg(x) y ' = 1/cos 2 ( x ) y = ctg(x) y ' = -1/sin 2 ( x ) y = arcsin(x) y = arccos(x) y = arctg(x) y ' = 1/(1+x 2 ) y =arcctg(x) y ' = -1/(1+x 2 )