Решение тригонометрических уравнений.
методическая разработка по математике (10 класс)

Решение тригонометрических уравнений и типичные ошибки обучающихся при их решении.

Чтобы успешно сдать выпускные экзамены по математике, необходимо внимательно разобрать и глубоко усвоить теоретический материал, получить твёрдые и прочные навыки в решении задач. Математику нельзя выучить за один день или несколько месяцев – только длительные занятия сделают экзаменационные задания простыми и доступными. В данном материале рассматриваются основные методы решения тригонометрических уравнений, что может помочь будущим выпускникам устранить некоторые пробелы в знаниях и предостеречь их от возможных ошибок.

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

1. Сведение к уравнениям вида

sinax = b, cosax = b, tgax = c, где аR, cR, b

2. Сведение к уравнениям вида

sinax = sinbx, cosax = cosbx, где a, bR

3. Сведение к уравнениям вида

asinx + bcosx = c, где a2 +в2 0; a, b, R.

Полученное уравнение можно преобразовать к более простому виду. Для этого разделим его на . Введём следующие обозначения:

.

Так как cos2 +sin2 =1, то данное уравнение примет вид

sincos +cossin = или

sin += = .

4. Сведение к квадратному уравнению

5. Разложение на множители

6. Сведение к однородному уравнению.

Задание 1. Решите уравнение:

sinx = 0.

Некоторая часть учащихся, используя свойство равенства нулю двух множителей, сразу пишет, что исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Ответ:

Уравнение решено неверно, так как ученик не учёл область определения арифметического корня.

Правильное решение выглядит так:

sinx = 0

Ответ:

Задание 2. Решите уравнение:

sinx + cosx = 0.

Правильное решение: 1 способ.

sinx + cosx = 0sinx +sin( – х) = 02sin • cos = 02sin • cos(x−) = 0 cos(x−) = 0x− = + x = + x = − +

Ответ: − + ,

2 способ.

Данное уравнение является однородным относительно sinx и cosх. Уравнение asinx + bcosx = 0, a,b не имеет решений вида + , разделив уравнение на cosx, получим a tgx +b = 0, откуда tgx = −.

Поэтому исходное уравнение sinx + cosx = 0 разделим на cosx и получим tgx = −1, откуда х = − +

Ответ: − + ,

Задание 3. Решите уравнение:

sinx + |cos( –x)| = 0

Правильное решение:

Используя формулы приведения, имеем:

sinx + |cos( –x)| = 0 sinx +|sinx| = 0

Ответ: ,

Задание 4.

Решите уравнение:

3sinx + 4cosx −5sin7x = 0

Правильное решение:

3sinx + 4cosx −5sin7x = 0 sinx + cosx = sin7x.

Введём следующие обозначения: cos = , sin = . Тогда = arksin . С учётом введённых обозначений исходное уравнение представим в виде:

sinxcos + cosxsin = sin7x sin(x+) = sin7x x+ = •7x +

Ответ: .

Задание 5.

Решите уравнение:

sinx+cosx = 1

Решение.

Правильное решение.

1 способ. Введение вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на :

sinx+cosx = 1| :

sinx + cosx = ,

cossinx + sincosx = ,

sin(x+) = ,

x + =arksin +,

x = − + +.

Ответ: − + +.

2 способ. Сведение к однородному уравнению.

Выразим sinx, cosx и 1 через функции половинного аргумента:

sinx = 2sin cos , cosx = cos2 − sin2 , 1 = cos2 + sin2 , получим:

2sin cos + cos2 − sin2 = cos2 + sin2 ,

2sin cos − 2 sin2 = 0 |: 2cos2 ,

tg – tg2 =0, tg (1− tg ) = 0,

Если tg = 0, то = x = 2

Если (1− tg) = 0, то tg = 1, = + + 2

Ответ: 2 + 2

Задание 6.

Решите уравнение:

cоs() = sin(4.

Решение.

Пользуясь формулами приведения, получим: − Пользуясь формулой синуса двойного угла для и приведя подобные члены, получим:

, = 0. Последнее уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ:

Задание 7.

Решите уравнение:

+3cos2 = 2

Прежде чем решать уравнение обязательно надо найти область допустимых значений переменной (ОДЗ), что довольно часто забывают учащиеся.

Решение.

ОДЗ исходного уравнения состоит из всех х + Пользуясь тем, что = на данной ОДЗ, имеем:

,

4

.

Решением этого уравнения являются

Все эти решения удовлетворяют ОДЗ исходного уравнения.

Ответ:

Задание 8.

Решите уравнение:

.

Данное тригонометрическое уравнение разложим на множители и заменим его равносильной совокупностью простейших уравнений.

Решение.

( − ) = 0( − )(2) = 0 .

Решением первого уравнения системы являются . Решением второго уравнения являются

Обе эти серии корней являются решениями исходного уравнения.

Ответ: ; .

Задание 9.

Решите уравнение:

3соs2 x = sin2 x + sin2x.

Решение:

Данное уравнение является однородным второй степени. Значения х, удовлетворяющие равенству cosx = 0, не являются решением исходного уравнения. Поэтому разделим обе части уравнения на cosx. Получим:

3 = + 3 =

Ответ:

Задание 10.

Укажите все корни уравнения + = 0, принадлежащие отрезку [−].

Решение.

+ = 0+ = 0 = 0

1) Решением первого уравнения совокупности являются x = .

Проведём отбор корней:

− , − .

Число k – целое число, значит, k и на промежутке [−] имеется три корня

x1 = −, x2 = 0, x3 = .

2) Решим второе уравнение совокупности cosx = −, x = + 2.

Рассмотрим первую серию корней, x = + 2, и выделим из них те, что принадлежат данному промежутку:

− + 2, тогда − 2 и − , т.е. k{−1; 0}.

В этой серии получаем корни х4 = и х5 = . Корни второй серии могут быть записаны с учётом чётности cosx и симметричности отрезка [−]: х6 = , х7 = − .

Ответ: , − − , 0, .

Задание 11.

Решите уравнение:

−52cos2 x+1

Решение.

Используя формулы cos2 х = и cos4x = 2cos2 2x−1, перепишем исходное уравнение в виде 10cos2 2x + cos2x −3 = 0. Пусть cos2x = y, тогда получим квадратное уравнение относительно переменной у: 10у2 + у −3 = 0, которое имеет корни у1 = , у2 = −. Исходное уравнение равносильно совокупности

.

Ответ:, ; n,m

Задание 12.

Решите уравнение: sin2x + sin6x = 3 cos2 2x.

Решение.

Применив формулу сложения синусов, исходное уравнение запишем в виде:

2sin4xcos2x = 3cos2 2x. Так как sin4x = 2sin2xcos2x, получим 4sin2xcos2 2x − 3cos2 2x = 0,

cos2 2x(4sin2x−3) = 0, откуда получаем совокупность уравнений:

cos2 2x = 0 и sin2x = , решениями которых являются 2x = + и 2x = (−1)n + ;

х = + и х = (−1)n + .

Ответ: + (−1)n + , n,m

Изложенные способы решения тригонометрических уравнений не могут быть эталонными, как не может быть и эталонным оформление. Однако я уверена, что любой способ оформления, если он не содержит ошибок, верен и приемлем.