Внеклассное занятие по математике в 5 классе " Решение задач с помощью кругов Эйлера."
план-конспект занятия по математике (5 класс)

Тема: «Применение кругов Эйлера к решению задач»

Дмитриева Елена Александровна, учитель математики,

г. Москва, школа №962

Раздел: внеклассная работа по математике в 5-6 классах

Цель занятия:

1. Развитие способности у учащихся концентрировать внимание;
2. Обучение учащихся логически рассуждать, сравнивать, делать выводы;
3. Пропедевтика подготовки к ОГЭ и ЕГЭ;
4. Тренировка и развитие зрительной памяти;
5. Установление логических связей между объектами;
6. Применение кругов Эйлера к решению задач.

Ход занятия

1. 1. Разминка:

Проверка внимания

Двое играли в шашки 4 часа. Сколько часов играл каждый из них? (Ответ: 4)

2. Разминка:

Чем больше из неё берёшь, тем больше она становится. Что это такое? (Ответ: яма)

2. Объяснение материала.

Прослушайте задачу

В одной школе их 73 восьмиклассников 26 занимаются в радиокружках, 24 – в физических кружках, 18 – в математических кружках. 23 ученика не занимаются ни в одном из этих кружков. Из числа членов физических кружков 10 занимаются ещё в математических кружках, 8 – в радиокружках. Есть только один школьник, который посещает кружки всех трех видов. Есть ли кроме него, еще кто занимался бы и в математическом и в радиокружке?

С такими задачами мы еще с вами не встречались и сегодня познакомимся с методом решения таких задач.

А как же такие задачи появились?

Давайте переместимся в XVIII век. К знаменитому математику Леонарду Эйлеру (1707-1783) обратились родители одной девочки, увлекающейся математикой. Они попросили ученого рассказать ей доступно о наиболее интересных вопросах математики того времени. Эйлер написал этой девочке много писем, которые потом были объединены им в отдельную книгу под названием «Письма к принцессе». Это была одна из наиболее читаемых книг по математике XVIII века, она выдержала многочисленные издания на разных языках. Чтобы сделать некоторые рассуждения более понятными Эйлер в этой книге использует придуманные им наглядные «круговые схемы». Они широко применяются и в наше время. Вы сами сегодня убедитесь, насколько эти простые схемы облегчают решение довольно трудных задач, как они делают условие задачи легко обозримым.

Но сначала поговорим о тех понятиях, которые нам будут нужны.

1. В математике широко используется слово «множество», оно имеет тот же смысл, что и слова: «набор» (каких-либо предметов), «коллекция», «совокупность», «собрание» (каких-либо вещей).

С множествами мы с вами сталкиваемся на каждом шагу. Вот несколько примеров множеств: коллекция марок, пчелиный рой, футбольная команда, птичья стая, русский алфавит. Те объекты (вещи, люди, птицы, числа, буквы и т.п.), из которых составлено множество, называют его элементами. Например, Москва – это элемент множества всех городов России, число 19 – элемент множества нечетных чисел, ученик – элемент множества учащихся школы, в которой он учится. Но есть различие между «житейским» и математическим употреблением слова «множество». Когда нематематики говорят «множество», то они имеют в виду «большое количество объектов». Например, что «болельщиков на стадионе было множество» означает, что стадион был набит битком. В математике же допускается, чтобы множество содержало мало элементов – например, пересечение окружности и прямой в 2-х точках, в одной.

Есть множества, в которых нет ни одного элемента. Их называют пустыми. Например, уравнение не имеет корней. Говорят, что его решение пустое множество: Ø.

Множества обозначают большими латинскими буквами: A, B, C и т.д.

Пусть нас интересует какое-то множество, например, множество всех учеников нашей школы. Изобразим его схематично в виде круга (размеры и положение не имеют никакого значения). Множество учеников вашего класса тоже в виде круга. 2-е множество содержится в 1-ом. Поэтому второй круг содержится в 1-ом (рис. 1). Вместо круга можно взять другу. Плоскую фигуру – прямоугольник, производный четырехугольник и т. д.

Рисунок 1. Пример множества

Пересечение множеств (множество всех общих элементов

2-х каких-либо множеств A и B) (рис. 2).

Рисунок 2. Пересечение множеств

Объединение множеств (множество, составленное из всех таких элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из 2-х рассматриваемых множеств) (рис. 3).

Рисунок 3. Объединение множеств

Эйлер выделил 6 типов соотношений между понятиями, которые выразил в соответствии схемам:

1. Равнозначные

Два одинаковых круга. Например, М. Лермонтов автор поэмы «Мцыри».

2. Пересекающиеся

Часть одного круга частично совпадает с частью другого (человек мечтает быть одновременно и поэтом, и физиком).

3. Подчиненные

Один маленький круг внутри большого (коза относится к классу млекопитающих).

4. Соподчиненные

Несколько одинаковых маленьких кругов внутри большого (картофель, свекла, капуста – овощи).

5. Противоречащие

Разделенный пополам круг, каждая часть которого не имеет ничего общего с другой. Например, конкурирующие между собой компании, производящие холодильники.

6. Противоположные

Две части круга, между которыми есть свободное пространство. В отличии от 5 типа между ними нет конфликта (горячее, холодное)

Сегодня круги Эйлера широко используют в своей работе математики, экономисты, маркетологи, менеджеры и др.

3. Переход к решению задач

1. Расположить 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 2 элемента.

2. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Чебурашка», 11 человек «Руслан и Людмила – перезагрузка», из них 6 смотрели оба фильма. Сколько человек смотрели только фильм «Чебурашка» и «Руслан и Людмила – перезагрузка»?

Решение

Чертим два множества

1. 15 – 6 = 9 – человек смотрели только фильм «Чебурашка»
2. 11 – 6 = 5 человек смотрели только фильм «Руслан и Людмила»

3. Каждый из 35 шестиклассников являются читателем, по крайней мере, одной из 2-х библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной.

Вопросы:

Сколько шестиклассников

А) являются читателями обеих библиотек?

Б) не являются читателями районной библиотеки?

В) не являются читателями школьной библиотеки?

Г) являются читателями только районной библиотеки?

Д) являются читателями только школьной библиотеки?

Решение:

1. 20 + 25 – 35 = 10 (чел) - являются читателями обеих библиотек

2. 35 – 20 = 15 (чел) – не являются читателями районной библиотеки
3. 35 – 25 = 15 (чел) – не являются читателями школьной библиотеки
4. 35 – 20 = 15 (чел) – являются читателями районной библиотеки
5. 20 – 10 = 10 (чел) – не являются читателями районной библиотеки

4. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Решение

1. 75 – 13 = 62 (с) – выписывают только газету
2. 27 – 13 = 14 (с) – выписывают только журнал
3. 62 + 14 + 13 = 62 + 27 = 99 (с) – всего семей живёт в нашем доме

5. В городе живёт многодетная семья: 7 детей любят капусту, 6 – морковь, 5 – горох, 7 – капусту и морковь, 3 – капусту и горох, 2 – морковь и капусту, 1 – и капусту, и морковь, и горох. Сколько детей в семье?

Решение

1. 4 – 1 = 3 (чел) – любят капусту и морковь
2. 3 – 1 = 2 (чел) – любят капусту и горох
3. 2 – 1 = 1 (чел) – любят морковку и горох
4. 6 – 3 – 1 – 1 = 1 (чел) – любит морковь
5. 7 – 2 – 3 – 1 = 1 (чел) – любит капусту
6. 5 – 1 – 1 – 2 = 1 (чел) – любит горох
7. 1 + 1 + 1 + 1 + 3 + 2 + 1 = 10 (чел) – всего в семье детей

6. Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого, ни французского языков. Сколько туристов знали оба языка?

Решение

100 – 10 = 90 – знали языки либо немецкий, либо французский

75 + 83 – x = 90

158 – x = 90

x = 68

Ответ: 68 туристов знали оба языка.

7. На полу комнаты площадью 24 м2 лежат 3 ковра. Площадь одного из них – 10 м2, другого – 8 м2, третьего – 6 м2. Каждые два ковра перекрываются по площади 3 м2, а площадь участка пола, покрытого всеми тремя коврами, составляет 1 м2. Найти площадь участка пола:

а) покрытого первым и вторым коврами, но не покрытого третьим;

б) покрытого только 1 ковром;

в) не покрытого коврами.

Решение

1. 3 – 1 = 2 (м2) – только I и II
2. Также 2 м2 – II и I
3. 2 м2 – II и III
4. 10 – 2 – 2 – 1 = 5 (м2) – I
5. 8 – 2 – 2 – 1 = 3 (м2) – II
6. 6 – 2 – 2 – 1 = 1 (м2) – III
7. 24 – 5 – 3 – 1 – 2 – 2 – 2 - 1 = 8 (м2)

4. Домашнее задание

Упражнения для размышления:

1. В январе было 15 ясных и безветренных дней, 9 дней был ветер и 10 дней шёл снег. Сколько дней была метель?
2. Подумайте над решением задачи, которая читалась в начале занятия.

Список литературы и интернет-ресурсов:

1. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математические встречи. Часть 1. Смоленск: Изд-во Смоленского пед. ин-та,1994. 64 с.
2. Задачи для внеклассной работы по математике в V—VI классах: Пособие для учителей/ Сост, В. Ю. Сафонова. Под ред. Д. Б. Фукса, А. Л. Гавронского. - М.: МИРОС, ; 72 с
3. Гарднер М. А ну-ка, догадайся.: Пер. с англ. – М, Мир 1984. – 213 с.
4. Шарыгин И. Ф. Математический винегрет. - М.: Издание агентства «ОРИОН», 1991. -64 c.
5. Германович П.Ю. Сборник задач по математике на сообразительность. Пособие для учителей. — М.: УЧПЕДГИЗ, 1960. — 224 c.