Комбинаторная геометрия. Разрезание прямоугольника
творческая работа учащихся по математике (10 класс)
Изучая основы школьной планиметрии на уроке геометрии, я задался интересным вопросом - на какое минимальное количество попарно-неравных квадратов можно разрезать любой прямоугольник и вообще возможно ли это сделать?
Так же на изучение данной темы меня вдохновили мой научный руководитель, который поспособствовал усилению любопытства, а также предоставил материал по выбранной мною теме.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 tezis.docx | 66.27 КБ |
 prezentatsiya_-_razrezanie_pryamougolnika_29.03.2018.pptx | 1.35 МБ |
Предварительный просмотр:
Разрезание прямоугольника на попарно- неравные квадраты
Лымарь Сергей Алексеевич
ученик 11 А класса
МБОУ «Гимназия № 24»
Руководитель: Данилина Ольга Сергеевна
учитель математики
Изучая основы школьной планиметрии на уроке геометрии, я задался интересным вопросом - на какое минимальное количество попарно-неравных квадратов можно разрезать любой прямоугольник и вообще возможно ли это сделать?
Так же на изучение данной темы меня вдохновили мой научный руководитель, который поспособствовал усилению любопытства, а также предоставил материал по выбранной мною теме.
Для того чтобы, понять – возможно ли провести разрезание прямоугольника, необходимо взять за основу какую-нибудь начальную конфигурацию, состоящую из нескольких попарно-неравных квадратов и с помощью алгебраических преобразований над сторонами доказать возможность или невозможность
Начальная конфигурация
(К центральному квадрату, являющийся основой, прилегают остальные стороны квадратов)
Перед тем, как проводить преобразования и составлять неравенства, необходимо учесть пару допущений:
- Квадраты, прилежащие к центральному, можно изображать и прямоугольниками для упрощения восприятия модели действий в ходе рассуждений, тем более что это не повлияет на составляемые неравенства.
- Начальная конфигурация в любом случае должна включать в себя центральный квадрат, к которому прилегают стороны уже других неравных квадратов
Пример преобразований над начальной конфигурацией и составление её математической модели в виде неравенства сторон, на основе которой уже доказывается возможность и невозможность разрезания прямоугольника:
a2 = a1 + a3; a3 = a4 + a1; a4 = a1 + a5;
a5 > a2 + a1;
В ходе изучения и рассуждений в плане разрезания прямоугольника, мне удалось доказать, что прямоугольник можно составить из неравных квадратов путём увеличения длины одной стороны квадрата, в результате которого образуется пустой угол, который мы заполняем другим квадратом, но этот процесс слишком трудоёмкий и необходим более экономичный способ разрезания. Для этого я обратился к теории графов, ведь действительно, прямоугольник можно представить в виде ориентированного графа, если середины горизонтальных линий в конфигурации заменить вершинами, ребра же в свою очередь будут являться горизонтальными линиями, а грани, образованные ими – вертикальными линиями.
(Пример с графом)
Очевидно, что данный способ представления прямоугольника может найти своё практическое применение в компьютерной графике для оптимизационных алгоритмов сжатия изображений, а также при трёхмерном моделировании объектов, в котором возможно добиться того же результат, но с меньшими затратами времени и памяти, если применять данное разрезание.
Список литературы:
- Г. Линдгрен. Занимательные задачи на разрезание
- И. М. Яглом. Как разрезать квадрат?
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели исследования. На какое минимальное количество попарно различных квадратов можно разбить произвольный прямоугольник P. 2. Как построить прямоугольник P из попарно неравных квадратов, не используя способ составления равенств. 3 . Найти практическое применение найденным результатам.
Результаты исследования. Доказательство о невозможности составления Произвольного прямоугольника P из 5, 6, 7, 8 попарно различных квадратов. K1 K2 K5 K3 K4 a 2 = a 3 + a 1 ; a 3 = a 4 + a 1 ; a 4 = a 5 + a 1 ; a 5 = a 2 + a 1 ; Т. е. a 2 > a 3 > a 4 > a 5 > a 2 5 Попарно различных квадратов
K1 K2 K5 K3 K4 Образуется пустой угол, который нельзя заполнить одним квадратом. 6 Попарно различных квадратов
K1 K2 K5 K3 K4 K1 K2 K5 K3 K4 Рис. 1 Рис. 2 a 2 = a 1 + a 3 ; a 3 = a 4 + a 1 ; a 4 = a 1 + a 5 ; a 5 > a 2 + a 1 ; Т. е. a 2 > a 3 > a 4 > a 5 > a 2 7 Попарно различных квадратов
K1 K2 K5 K3 K4 K1 K2 K5 K3 K4 K6 K6 Рис. 3 Рис. 4 K1 K2 K5 K3 K4 K6 Рис. 5 2) Образуется два пустых угла, которых нельзя заполнить двумя квадратами! 3) Не удовлетворяет условиям! 1) Удовлетворяет всем условиям! K1 K2 K5 K3 K4 K6 K7 a 2 = a 3 + a 1 ; a 5 + a 6 = a 2 + a 1 ; a 3 = a 4 + a 1 ; a 6 = a 5 + a 7 ; a 4 = a 5 + a 1 ; a 7 = a 4 + a 5 ; 7 Попарно различных квадратов
a 2 = a 3 + a 1 ; a 5 + a 6 = a 2 + a 1 ; a 3 = a 4 + a 1 ; a 6 = a 5 + a 7 ; a 4 = a 5 + a 1 ; a 7 = a 4 + a 5 ; a 2 = a 3 + a 1 ; a 2 = a 4 + a 1 + a1 ; a 2 = a 5 + a 1 + a1 + a1 ; a 2 = a 5 + 3a 1 И a 2 = a 5 + a 6 – a 1 ; Т. е. a 6 = 4a 1 ; a 6 = a 5 + a 7 = 2a 5 + a 4 = 3a 5 + a 1 ; 3a 5 = a 6 – a 1 = 3a 1 ; a 5 = a 1 ; Квадраты должны быть попарно различными! K1 K2 K5 K3 K4 K6 K7 7 Попарно различных квадратов
K1 K2 K5 K3 K4 K1 K2 K5 K3 K4 K6 K1 K2 K5 K3 K4 K6 K7 K1 K2 K5 K3 K4 K6 K7 K8 I II III IV 8 Попарно различных квадратов
K1 K2 K5 K3 K4 K6 K7 K8 a 8 = a 2 + a 6 ; a 7 = a 8 + a 6 ; a 5 = a 2 + a 6 ; a 4 = a 3 + a 1 ; a 3 = a 4 + a 1 ; a 2 = a 3 + a 1 ; a 2 > a 3 > a 4 > a 5 > a 7 > a 8 ; Но… a 8 = a 2 + a 6 ; a 2 > a 3 > a 4 > a 5 > a 7 > a 8 > a 2 ; a 2 > a 2 ; - что невозможно! 8 Попарно различных квадратов
9 Попарно различных квадратов Доказательство о возможности составления произвольного прямоугольника P из 9 попарно различных квадратов. K1 K2 K5 K3 K4 K6 K7 K8 K1 K2 K3 K4 K6 K7 K8 K5 K9
K1 K2 K3 K4 K6 K7 K8 K5 K9 Исходя из рисунка, получаем : a 4 = a 1 + a 5 ; a 3 = a 4 + a 1 ; a 2 = a 1 + a 3 ; a 1 + a 2 = a 5 + a 6 ; a 5 + a 9 = a 6 + a 8 ; a 7 = a 6 + a 8 ; a 8 = a 2 + a 6 ; a 9 = a 4 + a 5 ; a 2 = a 1 + a 3 ; a 2 = 2a 1 + a 4 ; a 2 = 3a 1 + a 5 ; a 2 = a 5 + a 6 – a 1 ; 9 Попарно различных квадратов
K1 K2 K3 K4 K7 K8 K5 K9 K6 a 2 = a 1 + a 3 ; a 2 = 2a 1 + a 4 ; a 2 = 3a 1 + a 5 ; a 2 = a 5 + a 6 – a 1 ; 3 a 1 + a 5 = a 5 + a 6 – a 1 ; a 6 = 4a 1 ; a 5 = a 2 + a 1 – a 6 = a 2 – 3a 1 ; a 5 = a 6 + a 7 – a 9 = 2a 6 + a 8 – (a 4 + a 5 ); a 5 = 3a 6 + a 2 – (2a 5 + a 1 ); 3a 5 = 3a 6 + a 2 – a 1 = 11a 1 + a 2 ; 3 a 2 - 9a 1 = 11a 1 + a2 ; 2a 2 = 20a 1 ; a 2 = 10a 1 ; 9 Попарно различных квадратов
a 3 = a 2 – a 1 = 9a 1 ; a 4 = a 3 – a 1 = 8a 1 ; a 5 = a 4 – a 1 = 7a 1 ; a 7 = a 6 + a 8 = 18a 1 ; Таким образом окончательно получаем : a 2 = 10a 1 ; a 3 = 9a 1 ; a 4 = 8a 1 ; a 5 = 7a 1 ; a 6 = 4a 1 ; a 7 = 18a 1 ; a 8 = 14a 1 ; a 9 = 15a 1 ; K1 K2 K3 K4 K7 K8 K5 K9 K6 Так как все условия соблюдены, то в итоге, составить произвольный прямоугольник P из 9 попарно различных квадратов можно! 9 Попарно различных квадратов
1 K4 K3 K5 K6 K2 K9 K7 K8 9 Попарно различных квадратов
K10 K11 K12 K10 K11 K12 K13 I II 9 Попарно различных квадратов и более
Построение с использованием теории графов. 8 9 7 4 10 15 18 14 1 H1 H2 H3 H5 H4 H6 H1 H3 H4 H6 H5 H2
K1 K2 K3 K4 H2 H3 H5 H4 H6 H1 18 14 10 4 15 7 1 9 8 Геометрическая смысл граней H1 H l H l-1 H2 H3 H k -1 H k H k+1
23 17 6 24 5 11 19 3 25 22 23 24 19 5 6 11 3 17 22 25 4 4 3 2 3 1 1 3 4 4 3 1 1 2
Применение .
Список литературы, который был использован при рассмотрении данной темы : 1. М. Ден “ О разложении прямоугольников на прямоугольники ” 2. Г. Линдгрен “ Занимательные задачи на разрезание ” 3 . У. Т . Татти “ Квадрирование квадрата ” 4. И. М . Яглом “ Как разрезать квадрат? ” 5 . М. Гарднер “ Математические головоломки ”
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Прямоугольник. Площадь прямоугольника.
Комбинированный урок по теме "Прямоугольник. Площадь прямоугольника" с учетом требований ФГОС второго поколения. В ходе урока используются ЦОР единой коллекции цифровых образовательных ресурсов...
Периметр прямоугольника.Площадь прямоугольника.Путь.
Данная презентация поможет в усвоении нового материала и во внеклассной работе....
Урок по теме: Прямоугольник. Площадь прямоугольника. 5 класс математика.
Главная дидактическая цель: формировать умение использовать формулы площади при решении задач; способность развитию математической речи, оперативной памяти, произвольного внимания, наглядно-действенно...
Прямоугольник. Площадь прямоугольника.
Урок по учебнику Математика-5 И.И.Зубаревой, А.Г.Мордковича...
Геометрия разрезания
Если отбросить отпугивающую сложную внешнюю сторону современной науки, то станет ясно, что она вся занимательна, то есть интересна и захватывающе увлекательна. Решая практические задачи и головоломки ...
Контрольная работа «Деление с остатком. Площадь прямоугольника. Прямоугольный параллелепипед и его объем. Комбинаторные задачи» (5 класс)
УМК Математика. 5 класс. А.Г. Мерзляк: Учебник....
Контрольная работа для 5 класса "ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД И ЕГО ОБЪЁМ. КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ"
Контрольная работа составлена в 2 вариантах к учебнику "Математика, 5" автор Мерзляк А.Г....