Геометрия разрезания
рабочая программа по геометрии (6 класс) на тему

        Геометрия разрезания

. Все-таки удивительная эта наука  - математика. Поначалу кажется, ну такая она и страшная, и непонятная, и даже приближаться  к ней не хочется, а о том, чтобы в чем – то совершенно на первый взгляд непостижимом сидеть долго и разбираться, даже думать не хочется. Ну, вдруг,  наконец, ты что – то понял, у тебя получилось. Ты победил! Ты нашел решение! Радость и гордость переполняют тебя. Какой увлекательной и захватывающей кажется теперь тебе эта наука. Хочется идти дальше, покорять новые высоты, каждый раз обретая новые знания и победы, убеждаться в многогранности и разнообразии красок, которые таит в себе увлекательный мир математики.

Я давно занимаюсь геометрией, которая выходит за рамки учебника. Изучая многогранники и проблему замощения пространства и плоскости геометрическими телами  и фигурами, мне пришлось столкнуться с такой областью математики, как разрезание и конструирование фигур. Оказалось, что  эта область сулит множество открытий, полна удивительных возможностей. Например, геометрия танграма. Это сродни искусству, которое способно создавать сюжеты, истории без слов, которые словно доносят до нас странный и таинственный мир Японии, а ведь все это создается с помощью простых и вроде скучных фигурок, вырезанных из квадрата. Такие фигуры в геометрии называются равносоставленными.

Кстати, задачи на разрезание – это очень обширная и многоликая область геометрии. В частности, геометры давно заинтересовались так называемыми равносоставленными (фигуры могут быть разложены на одинаковое число попарно равных фигур) и равновеликими фигурами, доказав немало любопытных теорем на эту тему. Внимание заслуживает тот факт, что немало теорем  в геометрии доказываются с помощью разрезания фигур и с опорой на эти  теоремы, хотя в учебниках нет на них ссылок ( например, площадь параллелограмма). А мы, вдохновленные этой темой, и представленным в одном из учебников доказательством теоремой Пифагора с использованием  геометрии разрезания, внесли свой скромный вклад в огромный список различных доказательств этой знаменитой теоремы, что и демонстрируем на слайде.

Я хочу вас познакомить с очень красивым искусством японских пазлов. Нужно взять правильный тетраэдр, аккуратно разрезать поверхность так, чтобы его можно было разложить на столе. Фокус в том, что нужно сделать один длинный разрез, который проходит через все вершины, а тетраэдр должен состоять из нескольких слоев. Получившиеся слои подходят друг другу как кусочки пазлов.

А сейчас я хочу рассказать историю разгадывания одного фокуса, который я когда–то увидела и решила его повторить. Можно получать любопытные  результаты при складывании бумаги. Например, я смогла выполнить такое задание:   взять листок с изображенным на нем треугольником и  сложить его так, чтобы можно было отделить фигуру одним разрезом. Над этой задачей пришлось подумать, так как я поставила задачу, в которой треугольник может быть любым. В результате всех попыток я пришла к выводу, что треугольник нужно сворачивать по биссектрисам, а четвертый сгиб проходит по перпендикуляру. Далее я завершила успешно тот же опыт по вырезанию пятиконечной звезды. Нужно также сложить лист по биссектрисе верхнего угла, затем совместив лучи, сделать разрез ножницами и от листа отделяется звезда. Я покажу  вам новую фигурку – елочку, вырезанную из бумаги подобным образом. На самом деле это старинный японский геральдический знак. А вот вырезать из бумаги  четырехугольник у меня  получилось  не сразу, на решение этой задачи у меня ушло два месяца и стоило горы испорченной  бумаги.  Я уже отчаялась и решила, что скорей всего задача не имеет решения.  И тут, однажды, в очередной раз рассеянно рассматривая сгибы вырезанного треугольника, мне вспомнилась детская игра считалка, вырезанная из бумаги, которая сильно напоминала мне свернутый треугольник. И тут все сложилось. Точка пересечения биссектрис – это центр окружности, вписанной в треугольник, а четвертый сгиб – это её радиус. Значит, четырехугольник, в который вписана окружность точно можно сложить, сделав сгибы по биссектрисам углов и радиусам. И сложить как детскую  самодельную игрушку. Немедленно, я от руки построили чертеж и у меня все получилось. Может быть, это уже давно кем -  сделано, но я не нашла решения этой задачи ни в интернете, ни в книжках на эту тему. И это было моё открытие и моя собственная победа.

А теперь, я вернусь к фокусу, с которого все началось. Он заключается в том, что можно взять «шахматную доску», например, размером 4 на 4. А потом сложить этот лист так, чтобы один прямой разрез ножницами мог отделить все черные квадраты.. Для начала, конечно, я научилась вырезать один квадрат, а затем после долгих попыток я смогла сама сделать и фокус с шахматной доской.

Еще эта работа напомнила мне детскую забаву с вырезанием снежинок. Я подумала: а можно же поэкпериментировать. Сначала сворачивать листы разнообразными способами, потом делая разрез получать геометрические фигуры. Во первых, можно составлять различные головоломки на задачи, которые я рассматривала. Во вторых, по следам сгибов, наглядно, можно находить равные элементы: отрезки, треугольники.  Т.е изучать, притом  с удовольствием свойства самых разнообразных фигур. А потом на основе полученных результатов самому составлять задачи на нахождение  неизвестных элементов. Но это дело будущего. А пока вернемся к геометрии разрезания.  

А вот. Что получилось, когда на досуге пролистывая книжки с занимательными задачками, я наткнулась на предложение:  подумать, что получится, если разрезать ноты гаммы и сложить их по кругу. Разрезала!  Сложила! Смотрела на них, смотрела. И, о  «эврика!». В музыкальной школе все начинается с  нудной игры гамм и изучения гармонических созвучий – тоник. До – ми – соль – до. Наверно – помните. В отличие от всех других созвучий, они приятны и радуют слух, знание о них служит основой музыкальной грамотности. Посмотрите на выложенные ноты. Посмотрите на гармонические созвучия, и на то - на сколько отстоят друг от друга, входящие в них ноты.  До – ми – соль – до. 4 полутона – 3 полутона - 5 полутонов. Это мажорная гамма. А если ре- фа- ля, то 3 – 4 – 5, то уже получится минорная.  Это же знаменитый египетский треугольник, можно сказать, с которого начиналось зарождение математики, как науки. Выходит, музыкальные инструменты создавались  в строгой гармонии с математикой. И математика, не выдуманная нарочно наука, а она также, как и музыка сродни с природой и вытекает из гармонично устроенного мира.

Еще хочется рассказать о более приземленной  задаче, интересной тем, что  по ходу её  решения, ,мне пришлось  применить  разные  «математические штучки», и для себя лично сделать немало открытий.  Задача про торт. Прямоугольный торт имеет указанные размеры. Верх и боковые стороны покрыты глазурью. Нужно разделить торт на три куска равного объема так, чтобы горизонтальное сечение каждого куска было четырехугольником, и количество глазури было одинаковым. Сначала поделили периметр на троих. Потом посчитали площадь прямоугольника,  выяснили площадь каждого куска. Учесть надо, чтобы края пирога, содержали одинаковое количество глазури. Разделили верх на две трапеции, так как площадь трапеции легко посчитать. А вот, чтобы получить три четырехугольника, пришлось применить тот факт, что  все площади треугольников равны, если основание одно, а вершины «скользят» по прямой параллельной основанию. Эти две параллельные линии сошлись в одной точке, которая определила линии разреза, а все предыдущие действия доказывают.  что площади полученных фигур  равны. Я, думаю, что мне еще не раз пригодятся эти приемы при решении сложных задач, при подготовке к экзаменам, а после такой задачи, добытые знания забыть не получиться.

Если отбросить отпугивающую сложную внешнюю сторону современной науки, то станет ясно, что она вся занимательна, то есть интересна и захватывающе увлекательна. Занимательная математика имеет с серьезной наукой общий предмет исследований и нередко сама служит поставщиком новых идей и открытий.

  Я нашла множество разных задачек на разрезание, одни проще, другие сложнее Одни решаются быстро, над другими надо попотеть. А некоторые опыты с разрезанием выглядят как непостижимые. Например, опыты с разрезанием листов Мебиуса.  Но я убедилась, что эта область математики многогранна, имеет много   разных направлений, дает много разных «рецептов» для дальнейших решений.  Так и хочется сказать:

                                                  Открылась бездна, звезд полна,

                                                  звездам числа нет, бездне дна.

                                                                               М.В.Ломоносов.

Резюме

Геометрия разрезания.

Авторы:                           Витман Катарина .

Место учебы:                  г. Магадан, МАОУ «Гимназия №24»,  8 класс А

Консультант:                   Данилина О.С.,  учитель математики

                                                     МАОУ «Гимназия № 24»

Секция:                          естественно – математических наук

Предметная область: математика

Гипотеза:             Если отбросить отпугивающую сложную внешнюю сторону современной науки, то станет ясно, что она вся занимательна, то есть интересна и захватывающе увлекательна. Решая практические задачи и головоломки на разрезание, сворачивание листа бумаги с изображенными на них фигурами с тем, чтобы их отделить ножницами одним разрезом, или занимаясь геометрией танграма, проводя  опыты, можно  приходить  к первым самостоятельным открытиям и новым идеям, наглядно эмпирическим путем изучать свойства фигур, создавать свои собственные задачи

Методика:                       Исследование материалов , воспроизведение фокусов, разрезании фигур, эксперименты по их сворачиванию, решение задач и головоломок.

     Результаты и выводы: произведённые исследования могут подтвердить предположения о том, что простые опыты по разрезанию  могут привести к открытиям и неожиданным выводам, послужить толчком к получению новых знаний.  Занимательная математика имеет с серьезной наукой общий предмет исследований и нередко сама служит поставщиком новых идей и открытий. Интересно поставленная задача, например, на разрезание торта, изложенная в иной скучной интерпретации, не смогла бы увлечь никого, а её решение не могло быть найдено, если у человека не сформирован острый интерес к этой области и у него нет практического опыта.                                                 Раскрывая неожиданные стороны в как будто знакомых предметах метод занимательной науки углубляет понимание и повышает наблюдательность, восполняет пробелы школьного образования.   Решение интересных задач развивает логическое и творческое мышление, умение находить нестандартные решения

Практическое применение: Результаты работы могут быть использованы на уроках математики, во внеклассной деятельности. При создании научно- популярной литературы.  

Мы удостоверяем, что автор под руководством консультанта самостоятельно выполнил  и подготовил эту работу для предоставления на научной конференции школьников

г. Магадана.