УМЕНИЕ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ РЕШАТЬ КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ
статья по математике (5 класс)

УМЕНИЕ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ РЕШАТЬ КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ

Сколько имеется вариантов расстановки пяти книг на полке? Сколькими способами можно выбрать двух дежурных из класса? На такие вопросы отвечает раздел математики, именуемый комбинаторика. С введением ФГОС ООО [1] этот раздел стал обязательной частью школьного курса, но ему отводится не так много времени.

Цель данной статьи – выявить, какими умениями должны обладать учащиеся 5-6 классов для успешного решения комбинаторных задач, и дать рекомендации по развитию данных умений.

Успешное решение комбинаторных задач требует хорошо развитого логического мышления. При решении таких задач мышление последовательно проходит 3 этапа: от наглядно-действенного (при решении комбинаторных задач путем систематического перебора вариантов) и наглядно-образного (задачи на распознавание различных видов комбинаторных соединений) к логическому (комбинаторные задачи, при решении которых необходимо привлечь элементы математической логики).

Для возраста 10–13 лет характерно развитие логического мышления [2,3], поэтому в 5–6 классах была проведена проверка сформированности некоторых умений, связанных с решением комбинаторных задач.

Учащимся были предложены следующие задачи:

1. Запишите все натуральные числа, на которые делится число 48. (Перечислите делители числа 48).
2. Найдите все способы, которыми можно составить трёхцветный флаг из горизонтальных полос красного, белого и синего цветов. Сколько таких способов получилось?
3. Из цифр 1, 2, 3, 0 необходимо составить трёхзначное число так, чтобы каждая цифра встречалась только один раз. Сколькими способами можно составить такое число?

С первой задачей справились в 5 классах 51% учащихся, а в 6 классах – 81%. Основная ошибка – пропуск вариантов из-за бессистемного перебора.

Вторая задача имеет практическую направленность и основана на реальном сюжете. Она схожа с комбинаторными задачами, предлагаемыми в начальных классах. С этой задачей справилось большинство учащихся (5 классы – 91%, 6 классы – 90%).То есть учащиеся наиболее успешно справились, только с тем заданием, которое максимально опирается на наглядно-образное мышление, что уже недостаточно для данного возраста.

Третья задача – не требующая полного перебора возможных вариантов. В ней необходимо подсчитать количество возможных комбинаций, при этом некоторые варианты можно исключить сразу. Процент выполнивших задачу значительно ниже предыдущих результатов: 5 классы – 4%, 6 классы – 12%.

Таким образом, у учащихся были проверены следующие умения:

• умение осуществлять систематический (организованный) перебор возможных вариантов;
• умение использовать схему – ориентировочную основу перебора (таблицу, граф);
• умение исключать некоторые варианты решения (т. е. осуществлять сокращенный перебор).

Результаты показывают, что учащиеся не всегда могут осуществить систематический перебор при решении задач, что непосредственно связано с умением решать комбинаторные задачи. Поэтому учителя должны, учитывая возрастные особенности, реализовывать последовательное включение элементов комбинаторики в курс. Для этого задачи, во-первых, должны иметь прикладную направленность (например, составьте схему проведения розыгрыша кубка по олимпийской системе, в которой участвуют 19 команд), а во-вторых, использовать традиционный курс (например, сколько пятизначных чисел, кратных числу 4, можно записать цифрами 2, 9, 7, 5, 4, если цифры в записи числа не повторяются и в разряде десятков стоит цифра 2, а в разряде единиц – цифра 4?).

Таким образом, необходимо развивать умение решать комбинаторные задачи через традиционное содержание курса математики посредством включения в программу заданий на умение находить как можно больше вариантов подхода к решению одной и той проблемы, как математического, так и прикладного характера.

Литература:

1. Приказ Минобрнауки России от 17.12.2010 N 1897 (ред. от 29.12.2014) «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта основного общего образования»
2. Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии / Под ред. Л. Ф. Обуховой, Г. В. Бурменской. – М.: Гардарики, 2001. – 622 с.
3.  Инельдер Б. Развитие представлений о случайности и вероятности в детском возрасте // Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии / Под ред. Л. Ф. Обуховой, Г. В. Бурменской. – М.: Гардарики, 2001. – С. 261–277