Олимпиадные задачи_2018 - 2019 уч.год
олимпиадные задания по математике

Всероссийская олимпиада школьников – 2019-2020 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 5 класс

      1. Получите число 6 как можно большим числом способов, используя ровно 4 одинаковых цифры, любое число скобок и знаков арифметических действий.

      2. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 26. Найдите уменьшаемое.  

      3.  Большой любитель шифровок как-то раз зашифровал слово, заменив каждую букву ее порядковым номером в алфавите. Вот что у него получилось: 20111151. Какое слово было зашифровано?

     4.  Нарисуйте прямую и поставьте на ней пять точек A, B, C, D, E так, чтобы CE = AD = 5 см,  BC = BD = 4 см, AE = 2см.

     5. В деревне 120 домов. В 90 домах имеются козы, а в 62 – коровы. Оказалось, что в 33 домах есть и козы, и коровы. Сколько домов в деревне без коз и коров?

     6. Опытный дрессировщик может вымыть слона за 40 минут, а его сыну для этого потребуется 2 часа. За сколько времени они вымоют трёх слонов?

Всероссийская олимпиада школьников – 2019-2020 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 6 класс

1. 2019 мальчиков и девочек встали в ряд. Оказалось, что между любыми двумя девочками стоит мальчик, причем каждый мальчик стоит между двумя девочками. Сколько мальчиков и сколько девочек?

2.  Два рыбака поймали 70 рыб, причем   улова первого рыбака составляли караси, а   улова второго – окуни. Сколько рыб поймал каждый? 

3.  Счетчик автомобиля показывал 12921 км. Через два часа счетчик стал показывать число, которое одинаково читалось в обоих направлениях. С какой скоростью ехал автомобиль?

4.  В ящике находится 100 шаров, белые и черные. Известно, что среди любых 32 шаров есть хотя бы один белый, а среди любых 70 шаров хотя бы один черный. Сколько в ящике белых шаров и сколько черных?

5.  Средний возраст 11-ти футболистов команды 22 года. Во время игры один из игроков получил травму и ушел с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал 21 год. Сколько лет футболисту, ушедшему с поля?

6.  Саша и Маша нарисовали по прямоугольнику. Когда они сосчитали их периметры, оказалось, что у Сашиного он больше, чем у Машиного. Могло ли при этом оказаться, что площадь Сашиного прямоугольника меньше площади Машиного?

Всероссийская олимпиада школьников – 2019-2020 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 7 класс

1. Напишите в строку пять чисел так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была отрицательной, а сумма всех чисел положительной.

2.  В 7 классе 27 учеников. Среди них 15 занимаются шахматами и 10 баскетболом. Известно, что среди шахматистов 6 баскетболистов. Сколько человек в этом классе не занимаются ни баскетболом, ни шахматами?

3.   Координаты двух вершин квадрата (0;0) и (6;4). Каковы координаты двух других вершин квадрата?

4.   На острове Мамба- Ямба в результате инфляции цены выросли на 300%. Оппозиция потребовала от правительства возвращения цен к прежнему уровню. На сколько процентов должны быть уменьшены цены?

5.   Пешеход прошел 12 км с некоторой постоянной скоростью. Следующий участок пути в 8 км он шел вдвое медленнее. Найти его первоначальную скорость, если на весь путь потребовалось 7 ч.

6. 10 стульев стоят в ряд. Время от времени подходит человек и садится на один из свободных стульев. При этом один из его соседей (если таковые имеются) встает и уходит. Какое максимальное количество стульев может оказаться занятым, если вначале все они были свободными?

Всероссийская олимпиада школьников – 2019-2020 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 8 класс

1. Число 100 Ваня умножил то ли на 2, то ли на 3, прибавил к результату то ли 1, то ли 2, а потом поделил результат то ли на 3, то ли на 4. Какое натуральное число получилось?

2. Каждый их четырёх мальчиков  - Андрей,  Борис, Кирилл и Данила  - либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт. Мы услышали следующий разговор:

Андрей Борису: Ты врун.

Данила Андрею: Сам ты врун.

Кирилл Даниле:  Да они оба вруны. (Подумав.) А впрочем, ты тоже врун.

Определите, кто из мальчиков правдив, а кто врун.

3. Доберман съедает порцию корма за 5 минут, а эрдельтерьер – за 7 минут. За сколько времени обе собаки съедят одну порцию корма, если не будут конфликтовать?

4. Сколько имеется треугольников с периметром 15 см, каждая из сторон которых измеряется целым числом сантиметров?

5. Разложите на множители х² +6х - у² - 4у +5.

6. Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство

1 – 2 - 4 – 8 – 16 = 19 стало верным.

Всероссийская олимпиада школьников – 2019-2020 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 9 класс

1. Учитель спросил у четверых учеников, сколько из них вчера решали задачи. Аня ответила, что никто,  Боря – что один человек, Вася – что два, а Галя – что три. Известно, что правду сказали только те, кто решал вчера задачи. Сколько учеников решали вчера задачи?

2. Ненулевые числа а и b таковы, что  . Чему равно  ?

3. Буратино собирается купить три книги: первая стоит треть его денег и ещё 3 золотых, вторая  - четверть всех его денег и ещё 4 золотых, а третья – пятую часть всех его денег и ещё 5 золотых. После покупки у него остался один золотой. Сколько золотых стоит первая книга?

4.  Прямоугольник АВСD на рисунке состоит из семи одинаковых прямоугольников. Чему равно отношение АВ : ВС?

5. Сколько квадратных трёхчленов х² + bx +c таковы, что числа b и c различны и являются его корнями?

6.  Расстояние от деревни  до города -84 км. Вася проехал на велосипеде это расстояние на 1 час быстрее, чем планировал, проезжая каждый час на 2 км больше, чем планировал. С какой скоростью он ехал?

Всероссийская олимпиада школьников – 2019-2020 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 10 класс

1.  Любитель арифметики перемножил первые 2019 простых чисел. На сколько нулей заканчивается произведение?  

2. Известно, что каждый член последовательности …, 2, a, b, c, 500, … равен произведению двух предыдущих. Чему равно произведение  abc ?

3.  Содержание сахара в одном соке  -10%, а в другом – 15 %. Смешали 2 л первого и 3 л второго сока. Каково содержание сахара в смеси?

4. Если квадратные трёхчлены  x² + px+q  и  x² + qx+p  имеют общий корень и при этом p≠q, то чему равно значение  p+q?  

5.  Ване нужно 50 секунд, чтобы спуститься пешком по неподвижному эскалатору. Движущийся эскалатор поднимает его, стоящего на ступеньке, за 60 секунд. Сколько секунд нужно Ване, чтобы спуститься пешком по поднимающемуся эскалатору?

6.  Каково отношение площади заштрихованной фигуры к площади всего прямоугольника?

Всероссийская олимпиада школьников – 2018-2019 уч.г. Школьный этап

Гатчинский муниципальный район

Математика – 11 класс

1. Чему равна сумма |2 -| + |3 -| ?

2. На координатной плоскости даны прямые у = 2 + х  и у = 1 – х. Они разбивают плоскость на 4 части. Занумеруем это части против часовой стрелки, начиная с той, в которой лежит начало координат. В какой из частей лежит точка А( -2019; 2019) ?  

3. Цена на сахар снизилась на 20%. На сколько процентов больше сахара, чем раньше, можно купить теперь на 100 рублей?

4. На книжной полке стоят 50 книг по математике и физике. Никакие две книги по физике не стоят рядом, но рядом с каждой книгой по математике стоит другая книга по математике. Какое из следующих утверждений может быть неверным?

А) книг по математике хотя бы 32

В) книг по физике не более 17

С) есть 3 книги по математике, стоящие рядом

D) если книг по физике 17, то одна из них – первая или последняя на полке

Е) среди любых 9 стоящих подряд книг хотя бы 6 -  по математике

5.     В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен 2, радиус описанной окружности – 6,5. Чему равен периметр этого треугольника?            

6. Если a и b – корни уравнения  х² +х -2019 =0, то чему равно значение выражения  а² +2b² +ab +b – 2019 ?

Ответы и решения

5 класс

1. За каждый правильный пример – 1 балл.

Решение. 1) 2 · 2 · 2 -2 = 6, 2) 3 · (3+3) : 3 = 6, 3) 4 + (4 +4):4 =6, 4) 55:5 -5 =6, 5) 6 + (6-6) ·6 = 6,

6) (7·7-7):7 = 6, 7) 8-(8+8):8 = 6. 

2.  Решение: Так как вычитаемое и разность в сумме дают уменьшаемое,   то два уменьшаемых будут равны 26. а, значит, уменьшаемое будет равно 13.

3. Решение: 20- т, 1- а, 11 – й, 15 – н, 1 – а; тайна.

4. Решение: Точки можно расставить, например, так: 

Как догадаться? Давайте рассуждать: по условию BC = BD = 4 см, это означает, что точки С и D расположены на одинаковых расстояниях от В. Но так как CE = AD, то А и Е находятся тоже на равных расстояниях от точки В.

5. 1 дом

6. За час дрессировщик может вымыть 1,5 слона ( то есть 60 : 40), а сын - только половину слона. Это значит, что вдвоём они могут вымыть двух слонов, а на трёх у них уйдёт 1,5 часа.

6 класс

1. Решение: Ряд выглядит так: Д М Д М Д…М Д, мальчиков на одного меньше, чем девочек. Значит, мальчиков (2019 – 1) : 2= 1009, а девочек – 1010.

2. Решение: Число рыб, пойманных вторым рыбаком, кратно 17, следовательно оно может быть равно 17, 34, 51 или 68, число же рыб, пойманных первым, может равняться ( соответственно) 53, 36, 19 или 2. Но число рыб, пойманных первым, должно быть кратно 9. Первый рыбак поймал 36 рыб, второй – 34.

3. Решение: Через 2 часа счетчик автомобиля будет показывать число, которое начинается на 13 и оканчивается на 31, т.к. следующая возможная пара 14 и 41 не будет удовлетворять условию задачи ( за 2 часа автомобиль не может проехать больше 1000км). Определим, какая цифра может стоять в разряде сотен. Рассмотрим возможные варианты: 1) 13031 – 12921 = 110(км), 110:2=55 (км/ч) – скорость; 2) 13131 – 12921=210, 210:2=105; 3) 13231-12921=310, 310:2=155; 4)13331-12921=410, 410:2=205. Данный случай маловероятен, все остальные являются нереальными. Ответ: 55км/ч, 110км/ч, 155км/ч.

4. Решение: Белых шаров должно быть не менее 100-31=69 (если белых 68, то среди оставшихся 32 не будет ни одного белого), а черных не менее 100-69=31, т.е. 69 белых и 31 черный шар. 

5. Решение: 1) 22 · 11 = 242 – сумма лет всех футболистов; 2) 21 · 10 =210 – сумма лет десяти футболистов; 3)242 -210 = 32 (года) футболисту, ушедшему с поля.

6.   Решение: Так оказаться могло. Например, если размеры Сашиного прямоугольника 2 7, а Машиного 3 5, то условие выполнено, причем площадь Сашиного прямоугольника меньше площади Машиного.

7 класс

1. Ответ: задача имеет много решений, например: 4, -5, 4, -5, 4;   

2. Решение: Условие удобно изобразить в виде схемы (ее называют кругами Эйлера). На рисунке весь класс изображен в виде большого круга, внутри которого расположены множества шахматистов (круг с горизонтальной штриховкой) и  баскетболистов (круг с вертикальной штриховкой). Они показаны пересекающимися, потому что среди шахматистов шестеро- баскетболистов. Значит, в пересечении множеств Ш и Б  6 человек. Следовательно, в той части множества К, которая заштрихована только вертикально, 10 – 6 = 4 человека. Тем самым, в множествах Ш и Б всего 15 + 4 = 19 человек. Теперь понятно, что в той части большого круга, которая никак не заштрихована, 27 – 19 = 8 человек. А это как раз те, которые не шахматисты и не баскетболисты.

3. Решение: Данные вершины могут быть как соседними, так и противоположными. В первом случае отрезок, их соединяющий, - сторона квадрата, сам же он может быть расположен по разные стороны от этого отрезка. Во втором случае отрезок – это диагональ квадрата. В первом случае это точки А(-4; 6), В(2;10) и С(4;-6), D(10;-2), во втором- Е(1;5), К(5;-1)

4.  Ответ: на 75%.

5. Решение: Пусть х км/ч -  скорость на втором участке пути, 12/2х +8/х = 7, х =2, первоначальная скорость 4 км/ч. 

6. Решение: Все 10 стульев занять нельзя, потому что когда сядет на стул десятый человек, у него окажется хотя бы один сосед. Покажем теперь, как можно занять 9 стульев. Первый подходит и садится на первый стул, второй человек садится на третий стул ( соседей у него нет, поэтому никто не уходит), следующий садится на второй стул, а его сосед с третьего уходит. Далее нужно занять четвертый стул, после чего следующий человек сядет на третий, и сосед с четвертого уйдет. Продолжая таким образом, они займут все  стулья, кроме десятого. Ответ: 9 стульев.

8 класс

1. Решение: После первого шага Ваня получил 200 или 300. Прибавляя к этим числам по 2, мы не получим делимости ни на 3, ни на 4. Значит, на втором шаге Ваня прибавил 1 и получил 201 или 301. Первое из этих чисел можно разделить на 3, при этом получится 67, а 301 не делится ни на 3, ни на 4.  

2. Решение: Первая реплика означает, что Андрей и Борис не могут быть врунами одновременно. Значит, Кирилл не прав. Следовательно, его второе утверждение тоже ложно, и Данила правдив. Тогда Андрей –врун и Кирилл –врун.

3. Ответ: за 2 мин 55 сек.

4.  Ответ: 7 треугольников

5. Ответ: (х – у +1) (х + у +5)

6.  Решение: ||1-2| -| 4-8| - 16| =19.

  9 класс

1. Все ребята дали разные ответы на вопрос учителя. Это значит, что правду мог сказать либо один из них, либо ни одного. Но если никто не сказал правду, то никто не решал вчера задачи, а тогда получается, что Аня сказала правду. Значит, правду сказал ровно один человек, а тогда это Боря, и задачи вчера решал тоже только он один.

2. 2,5

3. 23 золотых

4. Пусть стороны маленького прямоугольника равны х и у, причем х- меньшая сторона. Тогда из рисунка мы видим, что 4х = 3у, следовательно, х : у = 3 : 4. Пусть тогда х = 3t, у = 4t для некоторого положительного числа t. Тогда мы видим, что АВ = 4х =12t, а ВС = х + у = 7t, итак, АВ : ВС = 12 : 7.

5. По теореме Виета сумма корней данного многочлена равна  -b, а их произведение равно с. Итак, b + с = - b, b с = с. Если с = 0, то и b= 0, но числа b и с должны быть различны. Значит, этот вариант не годится. Если с не равно 0, то из равенства b с = с следует, что b = 1. Тогда из равенства b + с = - b получаем, что с = -2. Итак, существует только один квадратный трёхчлен с нужным нам свойством: х² + х -2.

6. Пусть Вася проехал расстояние от деревни до города за T часов. Значит, он планировал проехать его за T+1час, и при этом, согласно условию, его скорость должна быть на 2 км/ч меньше. Мы можем записать уравнение -2=. Это уравнение сводится к квадратному Т² + Т - 42 = 0, откуда Т = 6, и скорость 14 км/ч.

10 класс

1.  Ответ: 1

2.  Решение: b = 2a, c = ab, bc = 500, значит, ab=500, a·4a²=500, откуда a = 5. Ответ: 2500.

3. Ответ: 13%

4. Решение: Пусть   - общий корень, тогда +p+q=+q+p, (p-q) = p-q,  , 1+p+q= 0, p+q =-1.Ответ: -1.

5.  Решение: Пусть длина эскалатора S метров, скорость  Вани  м/с, скорость эскалатора -  м/с, t =  Ответ: 300 сек

6.    Ответ: 5:12                                      

11 класс

1. Ответ: 1

2. Ответ: в 4 четверти

3.  Ответ: на 25%. Решение: Пусть 1 кг сахара стоил х руб, и на 100 руб можно было купить  кг, сахар стал стоить 0,8х руб, и на 100 руб можно купить  кг.

4.  Ответ: С

5.  Ответ: 30

6.  Ответ: 2020. Решение: 1. По т.Виета а + b = -1, ab = -2019, a = -1 –b, (-1- b)b = -2019, b²+b=2019;

2. a²+2b²+ab+b-2019=(a+b)² +b²+b-ab-2019= 1+2019 +2019 -2019 = 2020.