5 класс

1. Сумма шести различных натуральных чисел равна 22. Найдите эти числа (достаточно привести ответ).

2. В доску вбито 20 гвоздиков (см. рисунок). Расстояния между соседними по вертикали и горизонтали равны 1 см. Нарисуйте нитку длиной 19 сантиметров так, чтобы она прошла через все гвоздики.

3. По кругу написано семь натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.

4. Можно ли составить квадрат из набора палочек: 6 шт. по 1 см, 3 шт. по 2 см, 6 шт. по 3 см и 5 шт. по 4 см. Ломать палочки и накладывать одну на другую нельзя.
Ответ обосновать.

5. На острове живут два племени — аборигены и пришельцы. Известно, что аборигены всегда говорят правду, пришельцы — всегда лгут. Путешественник нанял туземца-островитянина в проводники. По дороге они встретили какого-то человека. Путешественник попросил проводника узнать, к какому племени принадлежит этот человек. Проводник вернулся и сообщил, что человек назвался аборигеном. Кем был проводник — аборигеном или пришельцем?
Ответ обосновать.

6 класс

Ответы следует обосновать.

1. На доске записаны числа 1, 21, 22, 23, 24, 25. Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность – неотрицательное число.
Может ли на доске в результате нескольких таких операций остаться только число 15?

2. Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

3. Клетки доски 7х7 окрашены в шахматном порядке так, что углы окрашены в чёрный цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые две соседние клетки (соседними считаем клетки, имеющие общую сторону). Можно ли с помощью таких операций перекрасить всю доску в белый цвет?

4. Четверо ребят обсуждали ответ к задаче.
Коля сказал: "Это число 9".
Роман: "Это простое число".
Катя: "Это четное число".
А Наташа сказала, что это число делится на 15.
Один мальчик и одна девочка ответили верно, а двое остальных ошиблись. Какой ответ в задаче на самом деле?

5. Существует ли шестиугольник, который можно разбить одной прямой на четыре равных треугольника?

7 класс

Ответы следует обосновать.

1. Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9 и 11.

2. В равенстве 101 – 102 = 1 передвиньте одну цифру так, чтобы оно стало верным.

3. Решите в целых числах уравнение: xy – 2x – 5y +10 = 11.

4. Про четырехугольник известно, что существуют две прямые, каждая из которых разбивает его на два равнобедренных прямоугольных треугольника. Обязательно ли он является квадратом?

5. Можно ли доску 10х10 разрезать на фигурки из четырёх клеток в форме буквы Г?

5 класс

1. Ответ:
1, 2, 3, 4, 5, 7.

2. См. рисунок.

3. Выберем любое из записанных чисел и будем эти числа подряд перебирать. Либо мы найдём два подряд идущих числа одинаковой чётности (и тогда задача решена), либо не найдём таких чисел. В последнем случае чётные и нечётные числа будут чередоваться. Но для нечётного количества чисел это невозможно.

4. Такой квадрат составить нельзя, поскольку его периметр должен быть 50 см, т.е. стороны не являются целыми числами.
Ответ:
Этого сделать нельзя.

5. Решение:
Второй туземец, кем бы он ни был, на вопрос: "Абориген ли Вы?" ответит положительно. Значит, проводник не обманул путешественника, следовательно, и он тоже абориген.
Ответ:
Проводник абориген.

6 класс

1. Искомая последовательность операций видна из следующей записи: 15 = 32 – 16 – (8 – 4 – 2 – 1).
Ответ:

Может.

2. Такое число делится на 111 = 3·37, это следует из десятичной записи.

3. Заметим, что при перекрашивании двух клеток количество клеток белого (или чёрного) цвета либо увеличивается на 2, либо уменьшается на 2, либо остаётся неизменным. В любом случае чётность числа клеток каждого цвета не изменяется. Вначале было 24 клетки белого цвета. Если в конце вся доска стала бы белой цвет, то белых клеток стало бы 49. Поскольку 24 и 49 – числа разной чётности, то данное перекрашивание невозможно.
Ответ: Нельзя.

4. Если Коля ответил верно, то обе девочки ошиблись, так как число 9 нечётное и не делится на 15. Значит, верный ответ дал Роман. Но простое число не делится на 15, а единственное чётное простое число – это 2.
Ответ:
2.

5. На рисунке приведён шестиугольник, который разрезается на четыре прямоугольных треугольника со сторонами 3, 4, 5.

7 класс

1. У чисел 2, 5, 9 и 11 нет общих делителей, поэтому если число делится на каждое из них, то оно делится и на их произведение. То есть искомое число делится на 2·5·9·11 = 990. Выпишем все четырёхзначные числа, которые делятся на 990: 1980, 2970, 3960, 4950, 5940, 6930, 7920, 8910, 9900. Наибольшее из них равно 9900, но у него есть совпадающие цифры. А наибольшее, у которого все цифры различны – это 8910.
Ответ:

8910.

2. Если цифру 2 в числе 102 передвинуть вверх, на место показателя степени, то исходное равенство примет вид 101 – 102 = 1 и будет верным.
Ответ:
Цифру 2 в числе 102 надо поставить на место показателя степени.

3. Запишем уравнение в виде (x – 5)(y – 2) = 11. 11 раскладывается в произведение двух целых множителей четырьмя способами, откуда и получаем четыре решения.
Ответ:

(6, 13), (16, 3), (4, –9), (–6, 1).

4. Рассмотрим невыпуклый четырёхугольник АВСD, в котором ∠А = ∠В = ∠D = 45°. Тогда каждая из прямых ВС и DC делит его на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

5. Раскрасим в шахматном порядке вертикали доски. При этом 50 клеток покрашено в белый цвет и 50 – в чёрный. Каждая буква "Г" занимает нечётное число (1 или 3) белых клеток. Поэтому если бы доску можно было разрезать на 25 фигурок в виде буквы "Г", то белых клеток на доске было бы нечётное число (сумма 25 нечётных чисел). Противоречие.
Ответ:

Нельзя.