Выступление на научно-практической конференции
методическая разработка по математике (5 класс)

Омский Научный центр Сибирского отделения Российской академии наук

Региональная общественная организация «Омский совет ректоров»

Омское региональное отделение Всероссийской общественной организации

«Русское географическое общество»

Детская областная общественная организация

«Научное общество учащихся «Поиск»

МБОУ «Алексеевская СОШ»

53-я

Межрегиональная научно-практическая конференция

школьников и учащейся молодежи

Тема: «Приемы быстрого умножения»

Учебно-исследовательская работа

Научное направление: математика, 5 класс

Выполнил:

ученик 5 класса

МБОУ «Алексеевская СОШ»

Щепилов Евгений Сергеевич

Научный руководитель: 

МБОУ «Алексеевская СОШ»

Тимофеева Людмила Анатольевна

Омск – 2021

                                Содержание:

1. Введение

2. Теоретическая часть

• Историческая справка
• счёт на пальцах
• распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания
• умножение на 11, 22, 33
• умножение на 5, 50, 25, 125
• возведение в квадрат числа, которое оканчивается цифрой 5
• возведение в квадрат числа, которое начинается цифрой 5
• умножение на 4 и 8
• умножение на 1,5
• умножение на 9, 99, 999
• умножение на 101 двузначного числа
• умножение двузначных чисел, близких к 100
• умножение двузначных чисел, у которых число десятков одинаково, а число единиц в сумме равно 10

3. Практическая часть

• анкетирование и обработка данных
• диагностическая работа
• проверочная работа после ознакомления с новыми приёмами

4. Заключение.

5. Список литературы

6. Приложение.

1. Введение.

Устный счёт - хорошая тренировка для ума. Он развивает память и логическое мышление. Если складывать и вычитать в уме умеют многие школьники, то умножать устно могут далеко не все. Но без этого действия не обходятся контрольные, проверочные и тестовые задания по математике. Поэтому меня заинтересовало именно умножение.

АКТУАЛЬНОСТЬ: В настоящее время на помощь школьникам часто приходят телефон и микрокалькулятор, и у ребят отпадает необходимость считать устно. При этом развитие логического мышления и памяти сводится к нулю. А человек должен учиться видеть главное, понимать и решать задачи, возникающие в различных сферах деятельности.

Известно много способов упрощения арифметических вычислений. Знание и применение таких приёмов особенно ценно в тех случаях, когда время ограничено и нет под рукой таблиц и калькулятора. Например, на экзамене!  Сэкономить время помогут несложные вычисления в уме. Но для этого нужно с ними ознакомиться.

ЦЕЛЬ: изучить некоторые нестандартные приёмы быстрого умножения и показать, что их применение делает процесс вычисления рациональным и интересным.

ЗАДАЧИ:

• ознакомившись со справочной литературой, узнать в чём секрет быстрого умножения;
• изучить некоторые приёмы умножения в уме, рассмотреть новые нестандартные способы;
• выяснить, пользуются ли школьники 5-9 классов приёмами быстрого счёта и какими именно;
• научить одноклассников приёмам быстрого умножения;
• исследовать качество и скорость устного счёта ДО применения новых способов и ПОСЛЕ.

ГИПОТЕЗА: приёмы быстрого умножения помогают сэкономить время и делают процесс вычисления интересным и увлекательным.

Не секрет, что вычислительные навыки являются очень важными для школьников. Без них не обходится ни одна задача, уравнение или обычное числовое выражение. И как здорово, когда ученик с лёгкостью решает любое задание на уроке математики. Но, к сожалению, далеко не все учащиеся могут этим похвастаться, хотя необходимость в умении считать осознают абсолютно все.

2. Теоретическая часть.

Как возникло действие умножение?

Умножение можно назвать особым случаем сложения нескольких одинаковых чисел. В далекие времена люди учились умножать уже при счете предметов. Так, считая по порядку числа 17, 18, 19, 20, они должны были представлять 20 не только как 10+10, но и как два десятка, т. е. 2 • 10.

Умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения.

В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения — «предками» современных таблиц.

В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Индийцы производили умножение чисел начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении.

Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме.

Индийский прием умножения перешел к арабам.

В Европу индийский способ умножения пришел именно через них. Только в XV в. европейские математики отказались от перечеркивания неточных цифр и стали начинать умножение с низших рядов. Европейскими математиками было разработано около десятка различных вариантов приемов умножения.

Для обозначения действия умножения одни из европейских математиков XVI века употребляли букву М, которая была начальной в латинском слове, обозначающем увеличение, умножение, – мультипликация (от этого слова произошло название «мультфильм»). В XVII веке некоторые математики стали обозначать умножение косым крестиком «×», а иные употребляли для этого точку. Мы в настоящее время используем именно именно этот символ.

Итак, умножение пришло к нам с незапамятных времён. Мы уже не представляем нашу жизнь без него. Но практика показывает, что если складывать и вычитать в уме может большинство учащихся, то с умножением дело обстоит иначе. Поэтому я остановлюсь именно на некоторых основных способах быстрого умножения.

• Счёт на пальцах.

Коль скоро мы заговорили об умножении, несколько слов о таблице умножения. Знаменитая таблица Пифагора без сомнения, является величайшим в истории человечества интеллектуальным открытием. Она является мощным оружием для вычислений в любой сфере нашей жизни. Очень точно важность таблицы умножения описана в «Арифметике» Магницкого: «Вы не можете выполнить умножение многозначных чисел –хотя бы даже двузначных- если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, то есть того, что называется таблицей умножения».

Рассмотрим способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.

Допустим, нам нужно умножить 6 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём шестой палец (начиная считать от большого пальца слева).

Число пальцев слева от загнутого пальца это число десятков, а справа - единицы полученного произведения (слайд   ).

 Итак, с таблицей умножение на 9 теперь все ребята справятся. А остальное обязательно выучат!

• Распределительный закон умножения относительно сложения и вычитания - это самый распространённый способ быстрого умножения. Многие школьники быстро усваивают его и успешно применяют на практике. Использовать его можно в разных заданиях.

a*b + a*c=a(b+c);                a*b - a*c=a(b-c)        

Например, 656*372+344*372=372*(656+344) =372*1000=372000

Другой пример, 6*213=6*(200+10+3) =1200+60+18=1278.

Аналогично для вычитания: 8*192=8*(200-8) =1600-64= 1536. (слайд)

• Умножение на 11.

Если двузначное число, сумма цифр которого не больше 10, умножить на 11, нужно цифры этого числа "раздвинуть" и поставить между ними их сумму.

Например, 53*11=583; 42*11=462

Немного иначе дело обстоит с умножением на 11 двузначного числа, сумма цифр которого равна, или больше, 10. В этом случае нужно мысленно "раздвинуть" цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а потом к первой цифре прибавить 1, а остальные просто переписать.

Например, 95*11=1045.

используя этот приём, можно легко умножать в уме двузначные числа на 22, 33 и т.д.

Пример: 24*22=24*2*11=48*11=528.

 Или, 23*33=23*3*11=69*11=759.

• Умножение на 5, 50, 25 и 125.

Для того, чтобы быстро умножить любое число на 5, нужно сначала умножить его на 10, а затем полученное произведение разделить на 2.

Аналогично, умножая на 50, сначала умножим на 100, потом разделим на 2.

При умножении на 25, начнём с умножения на 100, затем разделим это произведение на 4.

Для того, чтобы быстро умножить на 125, вначале умножим число на 1000, затем ответ разделим на 8.

Например, 18*5=18*10:2=90

                42*50=42*100:2=2100

                27*25=27*100:4=675

                96*125=96:8*1000=12000

• Возведение в квадрат числа, которое оканчивается цифрой "5".

В 5 классе мы познакомились с понятием "Степень", научились возводить в квадрат и в куб любое натуральное число. Как этот процесс сделать более рациональным?

Рассмотрим на примере: 852. Для этого 8*9=72, где 8 - число десятков, а 9 -  число десятков +1. К полученному числу 72 осталось только приписать 25. Ответ:7225.

• возведение в квадрат числа, которое начинается с цифры 5.

нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры.

Например, 582=3364, так как 25+8=33, а 82=64

Если квадрат второй цифры – однозначное число, перед ним нужно приписать нуль.

Пример: 532=2809, так как 25+3=28, 32=09

• умножение на 4 и на 8.

Чтобы любое число умножить на 4, нужно его дважды умножить на 2.

При умножении на 8, число умножить на 2 трижды.

Пример: 26*4= (26*2) *2=104

213*8= ((213*2)*2)*2=1704

• умножение на 1,5

Чтобы число умножить на 1,5 надо просто прибавить к этому числу его половину.

Пример: 484*1,5=484+242=724

• умножение на 9, 99, 999

При умножении на 9, нужно к числу приписать нуль, и вычесть первоначальное число.

186*9= 1860-186=1674

Умножая на 99, припишем к исходному числу два нуля и отнимем из полученного числа первоначальное.

24*99= 2400-24= 2376

Аналогично умножаем на 999. Только приписать придётся три нуля

Эксперимент «Как я узнаю?» Запишите номер дома, где вы живете умножьте на 4, к результату прибавьте 7, полученное число умножьте на 25 прибавьте к полученному произведению свой возраст (целое число ваших лет) прибавьте число 125. Скажите мне какое у вас получилось число и я назову вам номер дома, в котором вы живете и сколько вам лет.

• При изучении дополнительной литературы по данной теме, я столкнулся с формулами сокращённого умножения. На уроках математики мы будем изучать их только в 7 классе, но применять их на практике совсем не сложно. Особенно удобно пользоваться формулой разности квадратов:

a2 -b2= (a-b) (a+b).

Пример: 52*48= (50+2) (50-2) =502-22=2500-4=2496.

• Один из сложных примеров, это быстрое умножение двузначных чисел, близких к 100.

Пример: 97*96=9312, первому числу до 100 не хватает 3, второму – 4. Прибавим к трём четыре. Получили 7. Затем от 100 отнимем эти 7, получим первые 2 цифры ответа. А перемножив 3 на 4, получим 12. Это последние две цифры ответа.

• И в заключение, перемножим двузначные числа, у которых число десятков одинаково, а число единиц в сумме даёт 10.

Пример: 23*27=621, где 6 – это число десятков, умноженное на число десятков +1. А 21 это число единиц, умноженное друг на друга. 3*7=21

3. Практическая часть.

Не секрет, что вычислительные навыки являются очень важными для школьников. Без них не обходится ни одна задача, уравнение или обычное числовое выражение. И как здорово, когда ученик с лёгкостью решает любое задание на уроке математики. Но, к сожалению, далеко не все учащиеся могут этим похвастаться, хотя необходимость в умении считать осознают абсолютно все.

В нашей школе было проведено исследование среди учащихся 5-9 классов (70 человек) на предмет знания приёмов быстрого вычисления (приложение 1). И вот что оно показало.

На вопрос "Зачем хорошо уметь считать?" школьники ответили так:

• пригодится в повседневной жизни, например, для счёта денег - 36 человек (51%), преимущественно ученики 5-6 классов;
• чтобы успешно сдать выпускные экзамены и получить аттестат - 22 (32%), в основном учащиеся 8-9 классов;
• чтобы стать грамотным человеком - 12 (17%);
• не обязательно уметь считать - так не ответил никто.

На вопрос "Знаете ли вы приёмы быстрого вычисления?":

• знаю много - 17 (24%)
• знаю несколько - 32 (46%)
• не знаю - 21 (30%).

Затем для тех, кто ответил: "Знаю", а это 49 учащихся, был задан вопрос "Применяете ли вы эти приёмы на уроках математики и при выполнении домашнего задания?"

• да - 28 (57%)
• нет - 21 (43%).

Анализируя результаты исследования, я пришёл к выводу: немногие школьники знакомы с рациональными способами вычислений. И не все те, кто знаком с ними, этим пользуются. Поэтому изучив литературу по данному вопросу, я решил поделиться некоторыми интересными приёмами с одноклассниками.

Я провёл следующий эксперимент: написал на доске 10 примеров и попросил одноклассников решить их. Что же при этом произошло? На решение заданий (приложение 2) у них ушло больше 10 минут. Даже самые "сильные" учащиеся почти все примеры решали "столбиком".

Затем я показал к каждому из примеров более рациональный способ решения, и написал на доске алгоритм, позволяющий выполнить действия быстрее и проще, после чего провёл повторную устную работу. Примеры были почти такие же, только с другими числами. И выяснилось, что на решение повторной работы ушло не более пяти минут.

И чтобы заинтересовать одноклассников, я привёл им такую задачу:

Эксперимент «Как я узнаю?» Запишите номер дома, где вы живете умножьте на 4, к результату прибавьте 7, полученное число умножьте на 25 прибавьте к полученному произведению свой возраст (целое число ваших лет), затем прибавьте число 125. Скажите мне какое у вас получилось число и я назову вам номер дома, в котором вы живете и сколько вам лет.

Выводы: Приёмов быстрого счёта очень много, их использование не ново в науке. Но в литературе они, в основном, «разбросаны». Нужно было их привести в систему. В своей работе я постарался их систематизировать. Мне было интересно работать над этим, ведь мне обязательно это пригодится. Для меня это своего рода пособие для математического саморазвития. И хотелось оказать посильную помощь одноклассникам и всем желающим овладеть этими методами.

Надеюсь, мне удалось показать, что приёмы быстрого счёта просты и доступны всем. Если у вас не сразу получилось использовать их, не отчаивайтесь. Нужна ежедневная тренировка. И успех обязательно придёт!

Список используемой литературы:

1. Бенджамин Артур, Шермер Майкл «Магия чисел. Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы». Изд-во Манн, Иванов и Фербер, 2017 г.
2. Игнатьев Е.И. «В царстве смекалки» под ред. М.К.Потапова, М., Наука, 1979 год
3. Пшеничная Л.А. «Считай быстрее компьютера», Новосибирск, Изд-во Центр «Автор», 1994 год
4. Нагибин Ф.Ф. «Математическая шкатулка» пособие для учащихся, М. Просвещение, 1984 г.
5. Моро М.И., Бантова М.А., и др. Математика, Просвещение, 2007г.

Приложение 1. Анкета для учащихся.

1. Зачем хорошо уметь считать?

• Пригодится в повседневной жизни
• Для того, чтобы успешно сдать экзамены и получить аттестат
• Чтобы быть образованным человеком
• Не обязательно уметь считать

2. Знаете ли вы приёмы быстрого вычисления?

• Знаю много
• Знаю несколько
• Не знаю

3. Пользуетесь ли вы ими на уроках и при выполнении домашнего задания?

• Да
• Нет

Приложение 2. Диагностическая работа.

1. 246*1001-246*1
2. 27*11
3. 248*50
4. 452
5. 315*4
6. 516*999
7. 462*1,5
8. 35*101
9. 252
10. 7*196

Приложение 3. Проверочная работа

1. 321*102-321*2
2. 53*11
3. 146*50
4. 352
5. 214*4
6. 703*999
7. 244*1,5
8. 72*101
9. 552
10. 8*195