МО «Иволгинский район»

МОУ Иволгинская средняя общеобразовательная школа

«Рассмотрено»                     «Согласовано»                        «Утверждено»

Руководитель МО:                     Зам. Директора по УВР:                Директор школы:

 ___________/______/                _________/________/                  _________/______/        

Протокол №___                                                                                Приказ №___                       от«____»_______20__ г.             «____»_______20__г.                      от«____»_______20__г.           

Элективный курс «Уравнения и неравенства»

Минеевой Ирины Анатольевны,  высшая категория

Ф.И.О., категория

по алгебре, 9 класс

Предмет, класс

                                Сроки реализации: 2018-2019 г.

Рецензия https://nsportal.ru/media-gallery/detail/5116057/23488415 

c.Иволгинск

          2018-2019 уч.,год

Пояснительная записка

Основная функция курсов по выбору в системе предпрофильной подготовки по математике – выявление средствами предмета математики направленности личности, её профессиональных интересов. Для того, чтобы познакомить учащихся с интересными, нестандартными задачами и расширить, углубить знания обучающихся считаю целесообразным включение элективного курса «Уравнения и неравенства».

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте людей, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей.

Данный курс «Уравнения и неравенства» предназначен для учащихся 9 классов.

В этом курсе рассматриваются простейшие уравнения и неравенства (уравнения и неравенства с модулями; рациональные уравнения и неравенства; уравнения и неравенства с параметрами) .Таким образом, курс охватывает значительную часть математики, помогает сформировать у учащихся такие качества, как:

• умение грамотно выполнять алгоритмические предписания и инструкции;
• умение пользоваться математическими формулами;
• умение применять приобретенные алгебраические преобразования;
• мышление, характерное для математики, с его абстрактностью, доказательностью, строгостью.

Уравнения и неравенства применяют во многих областях науки, поэтому данный курс помогает анализировать и исследовать, применяя математические методы, процессы и явления в природе и обществе.

Курс «Уравнения и неравенства» позволяет подготовить учащихся к ЕГЭ по математике, где часто предлагаются задания с неравенствами и уравнениями. На изучение вопросов, представленных в программе отводится 34 часа(1 час в неделю) дополняет базовую программу, не нарушая ее целостности. Курс рассчитан на учащихся, имеющих базовую математическую подготовку.

Данный курс укрепляет и расширяет базовый уровень знаний учащихся за счет теоретического материала, помогающего в решении некоторых неравенств и уравнений, выходящего за рамки школьной программы и углубляет его через решение задач повышенной сложности, требующих исследовательской деятельности.

Цели курса:

- расширение знаний учащихся по теме «Уравнения и неравенства»;

-выработка умений решать уравнения и неравенства;

-освоение учащимися основных методов решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в данном курсе;

-овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности;

-развитие таких качеств личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность и самокритичность;

-расположение к самостоятельному поиску решений.

Задачи:

-систематизация, углубление и расширение знаний, полученных учащимися на уроках алгебры в 7, 8, 9  классах при изучении тем, связанных с уравнениями и неравенствами различных видов;

-обучение методам и приёмам решения уравнений и неравенств, рассматриваемых в  данном элективном курсе, математических задач, развивающих научно – теоретическое и алгоритмическое мышление;

-развитие у школьников коммуникативных умений и навыков, навыков самостоятельной работы, самооценки и взаимооценки;

-формирование навыков и интереса к научной и исследовательской деятельности и воспитание устойчивого интереса к математике;

-оказание помощи ученику в оценке своего потенциала с точки зрения образовательной перспективы.

Методические рекомендации.

   Данный элективный курс «Уравнения и неравенства» дает примерный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть школьники. Учащиеся должны научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

   Одна из целей преподавания данного курса ориентационная - помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предлагается использовать следующие формы занятий: лекции, беседы с элементами обсуждения, коллективное исследование поставленной проблемы и практикумы по решению основных типов задач, а также домашние контрольные работы учащихся с последующей совместной проверкой и самооценкой.

Установление степени достижения учащимися промежуточных и итоговых результатов проводится на каждом занятии благодаря наблюдению учителя за работой учеников, использованию практикумов, самостоятельных работ, консультаций. Домашние контрольные работы включают в себя задания различной сложности, каждое задание оценивается определенным количеством баллов. Проверка этих работ производится на занятиях, ученики самостоятельно оценивают свой уровень знаний по пройденному материалу. Наиболее  сложные задачи, вызвавшие затруднения  учащихся решаются совместно.

Формой итогового контроля может стать тестовая работа, включающая разноуровневые задачи, рассмотренные на занятиях.

Календарно- тематическое планирование

Содержание  тем учебного курса (34 ч.)

                               Алгебраические уравнения.

1.Линейные уравнения (1 ч.)

2.Системы линейных уравнений (2 ч.)

3.Квадратные уравнения (1 ч.)

4.Уравнения, сводящиеся к квадратным (3 ч.)

5.Дробные рациональные уравнения (3 ч.)

6.Решение задач с помощью уравнений (3 ч.)

7.Уравнения с модулем (3 ч.)

8.Уравнения с параметрами (3 ч.)

                             Алгебраические неравенства.

9.Линейные неравенства (1 ч.)

10.Системы линейных неравенств (2 ч.)

11.Целые рациональные неравенства (2 ч.)

12.Дробно-рациональные неравенства (4 ч.)

13.Неравенства с модулем (3 ч.)

14.Неравенства с параметрами (3 ч.)

Результаты обучения

Учащиеся должны знать и уметь:

-анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать, самостоятельно работать с математической литературой и использовать информационные технологии;

- применять различные способы решений уравнений и неравенств разных видов;

-ставить цели и планировать действия для их достижения;

- объективно оценивать свои индивидуальные возможности в соответствии с избираемой деятельностью;

-проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Литература для учителя:

1. И.И Мельников .Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. Москва ,1994 г.
2. С.И. Колесникова Математика ЕГЭ-2009. Под редакцией Ф.Ф Лысенко. Ростов – на – Дону.2009 г.
3. Э.Н. Балаян. Репетитор по математике для поступающих в ВУЗЫ. Ростов –
4. на – Дону. 2003г
5. Н.А. Терешин, Т.Н. Терешина.  Сборник задач по алгебре.. Москва,1997 г.
6. А.Х. Шахмейстер . Уравнения и неравенства с параметрами. Москва, 2006 г.
7. Решение сложных задач ЕГЭ. Москва, 2005 г.

Литература для учеников:

1. Алгебра, 7 класс. Под редакцией А.Г. Мордковича, Мнемозина, 2010г.

2. Алгебра, 8 класс. Под редакцией А.Г. Мордковича, Мнемозина, 2010г.
3. Алгебра, 9 класс. Под редакцией  А.Г. Мордковича Мнемозина, 2010г
4. Сборник задач по алгебре. М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Просвещение. Москва, 1997г.

Министерство образования и науки республики Бурятия

МАОУ Иволгинская СОШ

ПРОГРАММАЭЛЕКТИВНОГО КУРСА ПО МАТЕМАТИКЕ В 7 КЛАССЕ «РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ»

Составил: Минеева И.А.

Учитель математики

                                        Иволгинск

        2016

ТИП ПРОГРАММЫ:углубленная.

Программа составлена на основании:рабочая программа для элективных  курсов по алгебре – 7.При составлении программы использована литература

1. Система тренировочных задач и упражнений по математике А. Я.Симонов ,Д.С. Бакаев и др.
2. Сборник задач по всем разделам курса алгебры .Дидактические материалы 7 класс.
3. 100  4 задач ( сборник задач для поступающих в вузы ) А. Г. Мордкович, В.К.Егерев.
4. ЕГЭ   Г.В.Дорофеев ,Е.А.Серова  Супер репетитор 2006-2007г.

                                    РАЗДЕЛ 1    ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Цели и задачи дисциплины:

 1. Помочь осознать учащимся степень своего интереса к предмету, оценить возможность овладения им с тем, чтобы ученик смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного или обычного изучения математики

2. Углубление знаний о математических понятиях, познакомиться с некоторыми фактами, которых в обычном учебнике нет.

3. Развивать навыки решения нестандартных задач.

Данная программа рассчитана для учащихся , которые увлекаются математикой,желают учиться в 10 классе с углубленным изучением математики или в профильном классе.

РАЗДЕЛIIТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

IУравнения  и неравенства с модулем

Причины, побудившие включить для рассмотрения данный раздел:

1. Модули активно используются в высшей математике.
2. Модули заставляют учащегося использовать важную для любого исследователя мыслительную операцию – классификацию.
3. Модули приучают учащегося критически оценивать полученные результаты.
4. Модули позволяют во многих случаях условие задачи записать более компактно
5. Модули легко можно включить в условие практически любого примера из алгебры, тригонометрии, начала анализа, что сразу же повышает рейтинг примера.

Модулем (абсолютной величиной) числа а называется:

- само это число, если оно неотрицательно (|a|=a, если а ≥0)

- противоположное число, если заданное число а отрицательно (модуль а равен –а, если а<0)

Если сумма чисел а и (-а) равна нулю, то эти числа называются взаимно противоположными.

Модуль числа а обозначается символом |a|.

Все это можно записать компактнее:

  а, если  а≥0;

|a|=

  -а, если а <0

Примеры:

1. Вычислить |a|, если а=3, а=-5, а=π-4, а= 18-π

Решение: |3|=3, т.к. число, содержащееся под знаком модуля, положительно

|-5|=5, т.к. число, которое стоит под знаком модуля отрицательно

|π-4| = -(π-4) = 4-π, т.к. числоπ-4<0 (π ≈ 3,14)

|18-π|=18-π,т.к. 18-π>0

2)

    Преобразовать заданную функцию к такому виду ,чтобы в записи аналитического выражения функции не использовались знаки модулей.

а) у =|х -3|    б) у = | 2х+4 | + 3х   в) у = | х – 1| +| х – 2|

г) | х| + | 2х + 4 | - | 3 -  х |

Решение:  а)если х-3 ≥ 0,т.е. х≥3  то | х-3 | = х-3;   если х-3< 0,т.е.х< 3, то | х-3| =3-х, получаем

а)  У =    

           б)    у =    

                 .

в)   у =    

г)                 - 2х – 7 ,если х ≤ -2;

     у =            2х +1, если -2≤х ≤ 0 ;

                      4х + 1, если 0 ≤      х≤ 3  

                      2х+7,если х≥ 3.  

                             Свойства модулей.

1. |а| ≥ 0 ,для любого  а.
2. | а|≥ а ,  для  любого а
3. |a| = | -a|  , для любого  а
4. | ab| =| a | | b |
5. |a: b| =|a| : | b |,  b ≠ 0
6. |aⁿ | = | a |ⁿ  ,  п € Z
7. | a | ⁿ = aⁿесли п – четное
8. | a | =√ a² , для любого а
9. |a + b |≤ | a | + | b|,для любых  а и b
10. | a + b | ≥ | a | - | b |.

Примеры уравнений с модулем

| x | = 1 ,                                                  |3x – 1 | = 5,

| x – 2 | = 1,   | x -3 | - x = 2 ,

| 2x+5 | = 7,   |3x – 2 | + x  = 2,

| x+ 2 | + | x-7 | = 9,   | x – 4 | + | x + 3 | = 2

| x + 3 | = 3 ,| x – 8 | + x = | 5 – x |,

|х – 1|+1=0                                               |х - 3|+|х+2|=7

   |х+2|+|х - 3|=5                                          |х|= 3(х - 3)

|х+2|+|х+3|=х                                           |х+5| - |х - 3|=8

|5 – 2х|+|х+3|=2 -3х                                 |5 - х|=2(2х-5)

|х+2| - |-х+2|=2х+1                                   |х – 4,2|(х – 4,2)= -1

Алгоритм решения уравнений,

содержащих переменную под знаком модуля.

1. Находят критические точки, т.е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
2. Разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак
3. На каждом из найденных промежутков решают уравнения без знака модуля.

Совокупность (объединение) решений  указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.

Неравенства с модулем

Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, находится аналогично решению уравнений подобного рода.

Например:

|2x-1| - |x-2|≥4.

Решение: Критические точки х=0,5 и  х=2

1)Рассмотрим промежуток х< 0,5.На нём исходное неравенство имеет вид

-2х+1-(-х+2)≥4, откуда х≤ -5.  Следовательно, на этом промежутке решением неравенства будет промежуток х≤ -5

2)Рассмотрим промежуток  0,5≤ х<2. На нём исходное неравенство имеет вид (2х-1) – (-х+2)≥4, откуда х ≥2⅓

На этом промежутке исходное неравенство не имеет решения

.

3)Рассмотрим промежуток х>2.На нем исходное неравенство имеет вид

       (2х-1) – (х-2) ≥4, откуда х ≥3.

    4)Объединение полученных решений  х ≤-5 и х ≥3 будет решением исходного неравенства .

     Ответ: -∞< х ≤ -5 и 3≤х

Примеры неравенств с модулем

|x|<3,                                    |x-3|<-1,|x-3|>2,

|x+2|>-2,                            |x-2| (x-1)>0,                  |3+x| ≥ x,

|x-7|≤0,   1:|x|≥1:3,|3x-2,5| ≤2,

| x | +|x+3| <5,                         |x-2| + |x+2|≤4,                  |2x-1| + |x-3|≤-7.

Контрольнаяработа.

1)Преобразуйте заданную функцию так, чтобы в записи её аналитического выражения не содержался знак модуля.

     у = |x-2| ,y=|x+3|,

     у = |x-3| + |x+2| ,y = |x+1| - |x-5|,

2. Решите уравнения:

|x-3| = 2,                                      |x-5| = 1,

|5-2x| - |x-3| =3x-2,     |x-4| - |2+x| = 2x+1,

3. Решите неравенство:

      |x+2| + | x-2|≤6,                          |2x-1| + |x-3| >4.

IIМинимум  по теории чисел.

Целое число  а делится на целое число в(а:в),если существует целое число с такое,  что   а = в × с.

Свойства   делимости:

1. (а:в)  ^ (в:с) =>(а:с),
2. (а:с) ^ (в:с) =>(а +в):с и (а-в):с,
3. (а:в) ^ (c € Z) => (а×в):с
4. (а:с) ^ (в

         5) (а:в)=>

Признаки делимости

Пусть А – натуральное (или целое) число, А = апап-1ап-2…а2а1а0

1)А:2⬄А – четное число

2)А:3⬄сумма цифр числа А делится на 3

  А= апап-1ап-2…а2а1а0:3⬄(ап +…+ а2+а1+а0):3

3)А:9⬄(ап + …+ а1+а0):9

4. А:4⬄а1а0:4
5. А:5⬄а0:5⬄а0=0 Vа0=5
6. F:25⬄а1а0:25
7. А:а⬄(ап - а3…- а2а1а0):а

        гдеа=7;11;13

Примеры заданий для закрепления признаков делимости

1. не выполняя действий, определить делится ли на 3 значение выражения:

181∙ 261

114+305

87+204+1107

2. даны числа 354,180,198,287,435,414. Выпишите из них те, которые делятся на 15, на14, на 6 и на 18
3. доказать, что из двух последовательных целых чисел только одно делится на 2
4. доказать, что а:3и в:3, если ( а²+ в² ):3, (а, в€z)
5. Можно ли к числу 19921992 справа приписать три цифры так, чтобы полученное число делилось одновременно на 8;9 и 7. Найдите все такие цифры.
6. Доказать, что 1589² - 1 – составное число.
7. Является ли число 648732 -3 простым?
8. Простым или составным является число 9243 + 1736?

Контрольная работа

1. Какую цифру можно приписать к числу 10 слева, чтобы получившееся трехзначное число делилось на 15? Делилось на 6? объясните, почему ответы совпадают.
2. Четным или нечетным числом является сумма всех натуральных нечетных чисел от 1 до 90.
3. Простым или составным является число 49863 + 82764?

Текстовые задачи.

Умение решать текстовые задачи – показатель уровня математического мышления. Такое умение необходимо любому человеку, собирающемуся добиться серьезных успехов в овладении современными профессиями.

Задачи на движение  

1. Стрекоза и муха двигаются по прямой . Стрекоза догоняет муху, их скорости равны 1,2 м/с и 300 м/с. Через  сколько секунд расстояние между насекомыми сократится с 6,5м до 20 см?

Решение:относительная скорость движения равна разности их скоростей:

V= 1,2 – 0,3=0,9 м/с.

Расстояние, которое надо сократить насекомым, равно разности расстояний в начальный и конечный моменты времени:

S= 6,5 – 0,2= 6,3м.

Следует интересующее нас время равно 6,3:0,9 = 7с.

Ответ: 7с.

2. турист прошел 3 км по шоссе и 6 км – по проселочной дороге, затратив на весь путь 2ч. По шоссе он шел со скоростью на 2 км/ч большей, чем по проселку. С какой скоростью шел турист по проселочной дороге?
3. Из пункта А в пункт Б вышел товарный поезд. Спустя 3 ч вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость которого на 30 км/ч больше скорости товарного. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд оказался впереди товарного на 300 км. Определить скорость товарного поезда.
4.  Из пункта А вниз по реке отправился плот. Одновременно навстречу вниз из пункта В вышел катер. Через 2 часа они встретились. Прибыв в пункт А, катер сразу отправился обратно. Сможет ли плот прибыть в пункт В раньше катера, если скорость течения реки 3 км/ч, а расстояние АВ= 16 км/ч?

Задачи на смеси и сплавы

1)Восемнадцатипроцентный  раствор соли массой 2 кг. Разбавили стаканом воды (0,25 кг.) Какой концентрации раствор в процентах в результате был получен?

Решение:    Найдём сколько соли находится в 2л. раствора.

Для этого составим пропорцию

                       2кг.                 100%

Хкг.        18%

Х=(2·18):100 =0,36

После добавления стакана воды получили раствор массой

              Р =2 + 0,25 = 2,25кг.

Процентное содержание соли – это та часть ,которую составляют 0.36кг.соли в общем количестве раствора (2,25кг.), умноженная на 100.Следовательно,искомая величина равна

     (0,36 ∙100): 2,25 = 16%

2)Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12кг,содержащий 45% меди . Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава , чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

Решение:

12· 0,45 = 5,4кг. Меди в первом сплаве

5,4 : 0,4 = 13,5кг. Вес нового сплава

13,5-12 = 1,5 кг.

                                   Ответ:1,5кг   олова.

3)Имеются два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый  сплав содержит 40 % олова, второй 26% меди . Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг. Первого и 250 кг. Второго сплава получили новый сплав , в котором 30 % цинка. Сколько кг. Олова содержится в новом сплаве?

Решение:

1)250 · 0,3= 75кг. Цинка во втором сплаве.

2)250 ∙ 0,26 = 65кг. Меди во втором сплаве.

3) 250 – (75 +65 )= 110кг. Олова во втором сплаве.

     4) 150 ∙ 0,4 = 60кг олова в первом сплаве

     5) 110 + 60 = 170кг олова в новом сплаве.

4)Смешали тридцати процентный раствор соляной кислоты с десяти процентным получили 600г  пятнадцати процентного раствора. Сколько грамм каждого раствора было взято ?

Решение:

Хг        30%  => 0,3 х г кислот

Уг   --------     10% => 0,1г. кислоты

В новом растворе   600 ∙ 0,15= 90г. кислоты

Х+у = 600,                                х = 150

0,3х + 0,1у = 90.                       у = 450     Ответ: 150г. и 450г.

5. Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%

Сколько нужно взять металла  каждого из этих сортов , чтобы получить 140т стали с содержанием 30% никеля?

Хт----- никеля 5%

Ут -----никеля 40%

Х +у =140,

0,05х + 0,4у =0,3·140                х = 40, у = 100.

                         Ответ: 40т и 100т.

6. Кусок сплава меди с цинком массой 36кг. Содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди ?

Решение:

36∙ 0,45 = 16,2 кг меди в первом сплаве

Хг---- добавленная медь

16,2 + х ---- г меди во втором сплаве

16,2 + х = 0,6(36 +х )

16,2 + х = 21,6 + 0,6х

Х = 13,5кг

Ответ: 13,5кг.

7)Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды надо добавить к 30кг морской воды ,чтобы соль составляла 1,5%?

Решение:

Хкг------  масса пресной воды

30 ∙ 0.05 = 1,5кг масса соли в 30кг морской воды

(30 + х )кг -----масса морской воды после добавления .

1,5 : (30 + х ) ----- концентрация соли в воде после добавления.

1,5 : ( 30 + х ) = 0,015

Х = 70                                    Ответ :70кг.

8)Сколько воды нужно выпарить из 40кг двадцати процентного раствора соли , чтобы получить двадцати пяти процентный раствор этой соли?

Решение:

Хкг ---- масса воды, которую надо выпарить в 40кг раствора

40 ∙0,2 = 8кг соли

(40 – х )кг ----- масса раствора после выпаривания

8: (40 – х ) ---- концентрация раствора после выпаривания.

7. 8: (40 – х) = 0,25

Х = 8                                            Ответ: 8кг.