Подготовка к олимпиаде по математике по теме " Чётность. Разбиение на пары" 5 класс
олимпиадные задания по математике (5 класс)

Тема «Чётность. Разбиение на пары»

Отметим ключевой момент рассуждения: если предметы можно разбить на пары, то их число - четно.

Задача 1 На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что хотя бы одна из шашек расположена на диагонали. 

Работа над задачей:

- Что такое симметричное расположение шашек?

- Это когда пара шашек стоит на одинаковом расстоянии от диагонали.

- Какое максимальное число шашек может быть симметрично?

- 24, а 25-я стоит на диагонали.

Для этой задачи наше утверждение о разбиении на пары можно сформулировать так: если из нечетного числа предметов образовано несколько пар, то по крайней мере один предмет остался без пары

Задача 2 На доске 25×25 расставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно обеих главных диагоналей. Докажите, что одна из шашек стоит в центральной клетке. 

Задача 3 В классе 30 учеников, и каждый день трое из них дежурят по классу. Может ли через некоторое время оказаться так, что каждый с каждым дежурил ровно один раз? 

Работа над задачей:

- Рассмотрим одного из учеников. Сколько учеников с ним ещё дежурит?

- 2

- Можно ли оставшихся одноклассников разбить на пары для дежурства с первым учеником? ( причём первый дежурит только один раз с каждым одноклассником).

- Нет, так как 29 не делиться на 2.

Задача 4 Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

Задача 5 Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

Костяшки домино

Задача 6 Из набора домино выбросили все кости с “пустышками” Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

Литература :

Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы/

С. А. Генкин. - Киров, издательство «АСА», 1994.— 272 с.